2017全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)

2017年全国高中数学联赛A卷
一试
一、填空题
1.设< br>f(x)
是定义在
R
上的函数，对任意实数
x
有
f( x?3)?f(x?4)??1
.又当
0?x?7
时，
f(x)?log2
(9?x)
，则
f(?100)
的值为__________. 2.若实数
x,y
满足
x?2cosy?1
，则
x?cosy< br>的取值范围是__________.
2
x
2
y
2
??1
，
F
为
C
的上焦点，
A
为
C
的右顶点，
P
是3.在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
的方程为
:
910
C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为_ _________.
4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC中，AB=1，AP=2，过AB的平面α将其体积平分，则棱PC与平面 α所成角的余弦值
为________.
6.在平面直角坐标系
xOy
中， 点集
K?(x,y)x,y??1,0,1
?
.在
K
中随机取出三个 点，则这三点中存在两
点之间距离为
5
的概率为__________.
7 .在
?ABC
中，
N
是线段
BM
的中点.若
?A?
M
是边
BC
的中点，
的最小值为__________.
8.设两个严格递增的正整数数列
?
a
n
?
,
?
b
n
?
满足：
a
10
?b
10
?2017< br>，对任意正整数
n
，有
a
n?2
?a
n?1
?a
n
，
?
?
3
，则
AM?AN
?ABC
的面积为
3
，
b
n?1
?2b
n
，则a
1
?b
1
的所有可能值为__________.
二、解答题
9.设
k,m
为实数，不等式
x
2
? kx?m?1
对所有
x?
?
a,b
?
成立.证明：
b?a?22
.


10.设
x
1
,x
2
,x
3
是非负实数，满足
x
1
?x
2
? x
3
?1
，求
(x
1
?3x
2
?5x3
)(x
1
?


x
2
x
3
?)
的最小值和最大值.
35
e(z
1
)?Re(z
2
)?2
（其中
Re(z)
表示复数
z
的实部）11.设复数
z
1
,z
2
满足
Re(z
1
)?0
，
Re(z
2
)?0
， 且
R
.
（1）求
Re(z
1
z
2
)
的最小值； （2 ）求
z
1
?2?z
2
?2?z
1
?z
2< br>的最小值.
22

2017年全国高中数学联赛A卷
二试 < br>一.如图，在
?ABC
中，
AB?AC
，
I
为
?ABC
的内心，以
A
为圆心，
AB
为半径作圆
?
1
，以
I
为圆心，
IB
为半径作圆
?
2
，过点
B,I
的圆
?
3
与
?
1
,
?
2
分别交于点
P,Q
（不同于点
B
）.设
IP< br>与
BQ
交于点
R
.证
明：
BR?CR




二.设数列
?
a
n
?
定义 为
a
1
?1
，
a
n?1
?
?
?< br>a
n
?n,a
n
?n,
?
a
n
?n ,a
n
?n,
n?1,2,?
.求满足
a
r
?r? 3
2017
的正整数
r
的个
数.



三.将
33?33
方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数 相等.若相邻连个小方格
的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.




a
1
,a
2
,
?
,a
n
是
n
个不超过
m
的互不相同的正整数，< br>四.设
m,n
均是大于1的整数，
且
a
1
,a
2
,
?
,a
n
m?n
，
互素.证明：对任意实数
x
，均存在一个
i(1?i?n)
，使得
a
i
x?
它最近的整数的距离.





2
x
，这里
y
表示实数
y
到与
m(m?1)

2017年全国高中数学联赛A卷一试答案

1.
2.
3.
4.
5.
6.

7.

8.

9.

10.

11.

2017年全国高中数学联赛A卷二试答案

一.

二.

三.

四.

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）
一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
1.在等比数列
{an
}
中，
a
2
?2
，
a
3
?
3
3
，则
a
1
?a
2011
的值为 .
a
7
?a
2017
2.设复数
z
满足
z?9?10z?22i
，则
|z|
的值为 .
3.设f(x)
是定义在
R
上的函数，若
f(x)?x
是奇函数，f(x)?2
是偶函数，则
f(1)
的值为 .
4.在< br>?ABC
中，若
sinA?2sinC
，且三条边
a,b,c
成等比数列，则
cosA
的值为 .
5.在正四面体
ABC D
中，
E,F
分别在棱
AB,AC
上，满足
BE?3
，
EF?4
，且
EF
与平面
BCD
平行，
则?DEF
的面积为 .
6.在平面直角坐标系
xOy
中 ，点集
K?{(x,y)|x,y??1,0,1}
，在
K
中随机取出三个点 ，则这三个点两
两之间距离均不超过2的概率为 .
7.设
a
为非零实数，在平面直角坐标系
xOy
中，二次曲线
x?ay?a?0
的焦 距为4，则
a
的值
为 .
8.若正整数
a,b,c
满足
2017?10a?100b?1000c
，则数组
(a,b,c)的个数为 .
222
2x
二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
9.设不等式
|2?a|?|5?2|
对所有
x?[1,2]
成立，求实数
a
的 取值范围.


2
10.设数列
{a
n
}
是等差数列，数列
{b
n
}
满足
b
n
?a
n?1
a
n?2
?a
n
，
n?1,2,
xx.
（1）证明：数列
{b
n
}
也是等差数列；
（2 ）设数列
{a
n
}
、
{b
n
}
的公差均是
d?0
，并且存在正整数
s,t
，使得
a
s
?b< br>t
是整数，求
|a
1
|
的最小值.

< br>222
11.在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
:y?4x
，曲线
C
2
:(x?4)?y?8
，经过
C1
上一点
P
作一条倾
斜角为
45
的直线
l，与
C
2
交于两个不同的点
Q,R
，求
|PQ|?|P R|
的取值范围.

2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）
一、（本题满分40分）
设实数
a,b,c
满足
a?b?c?0< br>，令
d?max{a,b,c}
，证明：
(1?a)(1?b)(1?c)?1 ?d
2





二、（本题满分40分） 给定正整数
m
，证明：存在正整数
k
，使得可将正整数集
N?
分拆为
k
个互不相交的子集
A
1
,A
2,
每个子集
A
i
中均不存在4个数
a,b,c,d
（可 以相同），满足
ab?cd?m
.
,A
k
，



三、（本题满分50分）
如图，点
D
是锐角
?ABC< br>的外接圆
?
上弧
BC
的中点，直线
DA
与圆
?
过点
B,C
的切线分别相交于点
求证：
AT
平分线段XY
.
P,Q
，
BQ
与
AC
的交点为
X
，
CP
与
AB
的交点为
Y
，
BQ与
CP
的交点为
T
，

四、（本题满分50分） 设
a
1
,a
2
,,a
20
?{1,2,,5}
，
b
1
,b
2
,,b
20
?{1,2,, 10}
，集合
X?{(i,j)1?i?j?20,(a
i
?a
j< br>)(b
i
?b
j
)?0}
，求
X
的元素个数 的最大值.

一试试卷答案
a?a
2011
a? a
18
a
3
3
3
8
?
6
1201 1
?
6
?
. 1.答案： 解：数列
{a
n
}的公比为
q?
，故
1
?
a
7
?a
20 17
q(a
1
?a
2011
)q9
9
a
2
2
2.答案：
5
。解：设
z?a?bi,a,b?R
，由条 件得
(a?9)?bi?10a?(?10b?22)i
，比较两边实虚部
?
a?9?10a
可得
?
，解得：
a?1,b?2
，故
z?1 ?2i
，进而
|z|?5
.
b??10b?22
?
17
2
。解：由条件知，
f(1)?1??(f(?1)?(?1))??f(?1 )?1
，
f(1)?2?f(?1)?
，
2
4
17
两式相加消去
f(?1)
，可知：
2f(1)?3??
，即
f(1 )??
.
24
asinA
4.解：由正弦定理知，
??2
，又
b
2
?ac
，于是
a:b:c?2:2:1
，从而由余 弦定理得：
csinC
3.答案：
?
b
2
?c
2< br>?a
2
(2)
2
?1
2
?2
2
2< br>.
cosA????
2bc4
2?2?1
5.解：由条件知，
EF
平行于
BC
，因为正四面体
ABCD
的各个面是全等的正三角 形，故
AE?AF?EF?4
，
AD?AB?AE?BE?7
.
由余弦定理得，
DE?
同理有
DF?37
.
作等腰
?DEF
底边
EF
上的高
DH
，则
EH?
于是< br>S
?DEF
?
AD
2
?AE
2
?2AD?A E?cos60
?49?16?28?37
，
1
EF?2
，故DH?DE
2
?EH
2
?33
，
2
1
EFDH?233
.
2

3
6.解 ：注意
K
中共有9个点，故在
K
中随机取出三个点的方式数为
C9
?84
种，
当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：
（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，
（2）三点是边长为
1,1,2的等腰直角三角形的顶点，有
4?4?16
种情况，
（3）三点是边长为
2,2,2
的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于
(0,0)
的有4个，直 角顶点

位于
(?1,0)
，
(0,?1)
的各有一个 ，共有8种情况.
综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为
6?16?8?30
，进而所求概率为
305
?
.
8414
x
2y
2
?1
，显然必须
?a?0
，故二次曲线为双曲线，其标准方 程为7.解：二次曲线方程可写成
?
2
?
aa
y
2
x
2
2222
2
c?(?a)?(?a)?a?a
，则，注意到焦距 ，可知
a?a?4
，又
a?0
，
2c?4
??1
2
2
(?a)
(?a)
所以
a?
1?17
.
2
8.解：由条件知
c?[
2017
]?2
，当
c?1< br>时，有
10?b?20
，对于每个这样的正整数
b
，由
10b ?a?201
1000
知，相应的
a
的个数为
202?10b
，从而这样的正整数组的个数为
b?10
?
(202?10b)?
20(102?2)?11
?572
，
2
当
c?2
时，由
20?b?[
20172017
]
，知，
b?20
，进而< br>200?a?[]?201
，
10010
故
a?200,201，此时共有2组
(a,b,c)
.
综上所述，满足条件的正整数组的个数为
572?2?574
.
9.解：设
t?2
，则
t?[2,4]
，于是
|t?a|?|5?t|
对所有
t?[2,4]
成立，由于
x
|t?a|?|5?t|?(t?a)< br>2
?(5?t)
2
，
?(2t?a?5)(5?a)?0
，
对给定实数
a
，设
f(t)?(2t?a?5)(5?a)
，则f(t)
是关于
t
的一次函数或常值函数，注意
t?[2,4]
，因
此
f(t)?0
等价于
?
?
f(2)?(?1?a)( 5?a)?0
，解得
3?a?5

?
f(4)?(3?a)(5?a )?0
所以实数
a
的取值范围是
3?a?5
.
22
10.解：（1）设等差数列
{a
n
}
的公差为
d
，则< br>b
n?1
?b
n
?(a
n?2
a
n?3?a
n?1
)?(a
n?1
a
n?2
?a
n< br>)

?a
n?2
(a
n?3
?a
n?1)?(a
n?1
?a
n
)(a
n?1
?a
n< br>)?a
n?2
2d?(a
n?1
?a
n
)d
?(2a
n?2
?a
n?1
?a
n
)d?3d
2< br>
所以数列
{b
n
}
也是等差数列.
（2）由已知 条件及（1）的结果知：
3d?d
，因为
d?0
，故
d?
2
1
，这样
3
2
22
b
n
?a
n? 1
a
n?2
?a
n
?(a
n
?d)(a
n
?2d)?a
n
?3da
n
?2d
2
?a
n
?

9
22
若正整数
s,t
满足
as
?b
t
?Z
，则
a
s
?b
t
?a
s
?b
t
??a
1
?(s?1)d?a
1< br>?(t?1)d?

99

s?t?22
??Z
.
39
s?t? 22
记
l?2a
1
??
，则
l?Z
，且
1 8a
1
?3(3l?s?t?1)?1
是一个非零的整数，故
|18a
1
|?1
，从而
39
1
|a
1
|?
.
18
1117
又当
a
1
?
时，有
a
1
?b
3
???1?Z
，
181818
1
综上所述，
|a
1
|
的最小值为.
18
?2a
1
?
22
(x?4)?(x?2t?t)?8< br>，11.解：设
P(t,2t)
，则直线
l
的方程为
y?x? 2t?t
，代入曲线
C
2
的方程得，
222
化简可得：
2x?2(t?2t?4)x?(t?2t)?8?0
①，
由于
l
与
C
2
交于两个不同的点，故关于
x
的方程①的判别式
?
为正，计算得，
2222
?
?(t
2
?2t?4)
2
?2((t
2
?2t)
2
?8) ?(t
2
?2t)
2
?8(t
2
?2t)?16?2(t< br>2
?2t)
2
?16

4
??(t
2
?2t)
2
?8(t
2
?2t)??(t
2
?2t)(t
2
?2t?8)
??t(t?2)(t?2)(t?4)
，
因此有
t?(?2,0)(2,4)
，②
2
设
Q,R的横坐标分别为
x
1
,x
2
，由①知，
x
1< br>?x
2
?t?2t?4
，
x
1
x
2
?
1
2
((t?2t)
2
?8)
，
2
因此，结合
l
的倾斜角为
45
可知，
|PQ| |PR|?2(x
1
?t
2
)2(x
2
?t
2)?2x
1
x
2
?2t
2
(x
1
?x
2
)?2t
4

?(t
2
?2t)
2?8?2t
2
(t
2
?2t?4)?2t
4
?t
4
?4t
3
?4t
2
?8?2t
4
?4t
3
?8t
2
?2t
4

?t
4
?4t< br>2
?8
?(t
2
?2)
2
?4
，③
由②可知，
t?2?(?2,2)
2
(2,14)
，故
(t
2
?2)
2
?[0,4)(4,196)
，从而由③得：
|PQ ||PR|?(t
2
?2)
2
?4?[4,8)(8,200)

4?2t?t
2
|?22
， 注1：利用
C
2
的圆 心到
l
的距离小于
C
2
的半径，列出不等式
|
2< br>同样可以求得②中
t
的范围.
注2：更简便的计算
|PQ||PR|
的方式是利用圆幂定理，事实上，
C
2
的圆心为
M(4,0)
，半径为
r?22
，
22222242
故
|PQ||PR|?|P M|?r?(t?4)?(2t)?(22)?t?4t?8
.

加试试卷答案
一、
证明：当
d?1
时，不等式显然成立
以下设
0?d? 1
，不妨设
a,b
不异号，即
ab?0
，那么有
(1?a)(1?b)?1?a?b?ab?1?a?b?1?c?1?d?0

因此
(1?a)(1?b)(1?c)?(1?c)(1?c)?1?c
2
?1?c
2
?1?d
2

二、
证明：取
k?m?1
，令< br>A
i
?{xx?i(modm?1),x?N
?
}
，
i?1,2,,m?1

设
a,b,c,d?A
i
，则
ab ?cd?i?i?i?i?0(modm?1)
，
故
m?1ab?cd
，而
m?1m
，所以在
A
i
中不存在4个数
a,b,c,d，满足
ab?cd?m

三、
证明：首先证明
YXBC
，即证
AXAY
XC
?
YB

连接
BD,CD< br>，因为
S
?ACQ
S
?
S
?ABC
S
?ACQ
?ABC
S
?
，
?ABP
S
?ABP
1
AC?CQsin?ACQ
1
AC?BCsin?ACB
1
AC?AQsin?CAQ
所以
2
1
?
2
， ①
2
AB?BCsin?ABC
1
?
2
1

2
AB?BPsin?ABP
2
AB?APsin?BAP
由题设，
BP,CQ
是圆
?
的切线，所以
?ACQ??ABC
，
? ACB??ABP
，又
?CAQ??DBC??DCB??BAP
（注意
D< br>是弧
BC
的中点），于是由①知
AB?AQ
AC?AP
?CQ
BP
因为
?CAQ??BAP
，所以
?BAQ??CAP< br>，
S
1
?ABQ
2
AB?AQsin?BAQ
于是
AB?AQ
S
??
③
?ACP
1
AC? APsin?CAP
AC?AP
2
S
1
?BCQ
2
BC?CQsin?BCQ
而
CQ
S
?

?BCP
1
?
④
2
BC?BPsin?CBP
BP
由②，③，④得
S
?ABQ?CBQ
S
?
S
?ACP
S
，
?BCP
即
S
?ABQ
S
?
S
?ACP< br>?CBQ
S

?BCP
②

又
S
?ABQ
S
?CBQ
?
AX
S
?ACP
AY
?
，
XC
S
?BCP
YB
故
AXAY

?
XCYB
AXCMBY
???1
，
XCMBYA
设边
BC
的中点为
M
，因为
所以由塞瓦定理知，
AM,B X,CY
三线共点，交点即为
T
，故由
YXBC
可得
AT< br>平分线段
XY

四、
解：考虑一组满足条件的正整数
(a1
,a
2
,
对
k?1,2,
,a
20
,b
1
,b
2
,,b
20
)

,5
，设
a
1
,
2
t
k
,a
20
中 取值为
k
的数有
t
k
个，根据
X
的定义，当
a
i
?a
j
时，
(i,j)?X
，因此
至少有< br>?
C
k?1
5
个
(i,j)
不在
X
中，注意到
?
t
k?1
5
k
?20
，则柯西不等式 ，我们有
555
111
5
120
22
C??(t?t)?? ((t)?t)??20?(?1)?30

?????
kkkk
2
k?1
25
k?1
25
k?1k?1k?1
2
t
k
2
从而
X
的元素个数不超过
C
20
?30?190 ?30?160

5
另一方面，取
a
4k?3
?a
4k?2
?a
4k?1
?a
4k
?k
（
k?1,2 ,
，
b
i
?6?a
i
（
i?1,2,,5
），
,20
）
2
则对任意
i,j
（
1?i?j? 20
），有
(a
i
?a
j
)(b
i
?b< br>j
)?(a
i
?a
j
)((6?a
i
)?( 6?a
j
))??(a
i
?a
j
)?0

22
等号成立当且仅当
a
i
?a
j
，这恰好发生
5 C
4
?30
次，此时
X
的元素个数达到
C
20?30?160

综上所述，
X
的元素个数的最大值为160.

、

四