全国高中数学联赛四川初赛试题及答案

2017年全国高中联合竞赛（四川初赛）试题
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

1.已知函数
f(x)?alnx?x
2
在
x?1
处有极值，则实数
a
的值是
（ A ）

A.
?2
B.
?1


2.已知
?
,
?
?(0,
?
),tan
?
,tan
?
是方程
x
2
?3x?1?0
的两个根，则
cos(
?
?
?
)
的值是
（ B ）

A.
5
12
B. C.
3
33
D.
5

2
3.在
(x?y?z)
8
的展开式中，所有形如
x
2
y
a
z
b< br>(a,b?N)
的项的系数之和是
（ C ）



x
2
y
2
4.已知
F
1
,F< br>2
为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左、右焦点， 该椭圆上存在两点
A,B
，
ab
使得

uuuruuuur
F
1
A?3F
2
B
，则该椭圆的离心率的取值范围是
（ C ）

A.
(0,)
B.
(0,)
C.
(,1)

D.
(,1)

1
3
1
2
1
3< br>1
2
uuuruuur
uuuruuuruuuruuur
|AC|? |AB|
uuur
5.已知
?ABC
中，
AB?BC?3CA?AB
，则
的最大值是
|BC|
（ B ）

A.
5
12
B. C.
3
33
D.
5

2
6.已 知数列
{a
n
}
满足：
a
n
?(2?1)
n
?(2?1)
n
(n?N)
，用
[x]
表示不超过实数< br>x
的
最大整数，则
[a
2017
]
的个位数字是
（ A ）



二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

201625
x
k
)?
______________。

7. 已知函数
f(x)?
x
，则
?
f(
25?5
201 7
k?1
答案：1008。

8.设
a?R
，复数
z
1
?a?i,z
2
?2a?2i,z
3
?3a?4i，其中
i
是虚数单位。若
|z
1
|,|z
2
| ,|z
3
|
呈等比数列，则实数
a
的值是____________ ___。

答案：0。

x
2
y
2
??1
上的点，则
|x?y|
的最小值是9.若
P(x,y)
是双曲线
84
________________。

答案：2。

10.设正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，
?
为过直线
BD
1
的平面，则< br>?
截该正
方体的截面面积的取值范围是______________。

答案：
[
6
,2]
。

2
11.已知实数
x
1
,x
2
,x
3
满足：
x
1< br>2
?x
2
2
?x
3
2
?x
1
x
2
?x
2
x
3
?2
，则
|x
2
|
的最大值是
___________。

答案：2。

12.设集合
M?{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
，
A?{ (x,y,z)|x,y,z?M,且9|(x
3
?y
3
?z
3)}
，
则

集合
A
中的元素的个数是____________。

答案：243。

三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）

13. 已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
?a,a
n ?1
?
5a
n
?8
(n?N
*
)
。

a
n
?1
（1）若
a?3
，求证：数列
{
a
n
?2
}
成等比数列，并求出数列
{a
n
}
的通项公式；

a
n
?4
（2）若对任意的正整数
n
，都有
a
n
?3
，求实数
a
的取值范围 。

年，美国数学家提 出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便
是着名的Smarandache函数，正整 数
n
的Smarandache函数定义为

S(n)?min{m|m?N
*
,n|m!}
，比如
S(2)?2,S(3)?3,S(6)?3
。

（1）求
S(16)
和
S(2016)
的值；

（2）若
S(n)?7
，求正整数
n
的最大值；

（3）证明：存在无穷多个合数
n
，使得
S(n)?p
，其中
p为
n
的最大质因数。

15.如图，点
A
与点
A
?
在
x
轴上，且关于
y
轴对称 ，过点
A
?
垂直于
x
轴的直线与
抛物线
y
2
?2x
交于
B,C
，点
D
为线段
AB
上的动点，点
E
在线段
AC
上，满
足
|CE||AD|?
。

|CA||AB|
（1）求证：直线
DE
与此抛物线有且只有一个公共点；

（2）设直 线
DE
与此抛物线的公共点为
F
，记
?BCF
与

S
1
的值。

S
2
?ADE
的面积分别为
S
1
,S
2
，求

< br>16.设
?
,
?
为实数，若对任意的实数
x,y,z
，有
a(xy?yz?zx)?M?
?
(x
2
?y
2
?z
2
)
恒成立，其中
M?
?
(x
2
? xy?y
2
?y
2
?yz?z
2
)
，求
?
的最大值和
?
的最小
cyc
值。