高中数学笔记函数-高中数学课件和导学案
全
国高中数学竞赛专题-不等式
证明不等式就是对不等式
的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归,而变形的依据是不等式的性质,不等式的
性质分类罗列如
下:
不等式的性质:
a?b?a?b?0,a?b?a?b?0.
这是不等式的定义,也是比较法的依据.
对一个不等式进行变形的性质:
(1)
a?b?b?a
(对称性)
(2)
a?b?a?c?b?c
(加法保序性)
(3)
a?b,c?0?ac?bc;a?b,c?0?ac?bc.
nn
n
(4)
a?b?0?a?b,
n
a?
对两个以上不等式进
行运算的性质.
(1)
a
(2)
a
(3)
a
(4
)
a
b(n?N*).
?b,b?c?a?c
(传递性).这是放缩法的依据.
?b,c?d?a?c?b?d.
?b,c?d?a?c?b?d.
?b?0,d?c?0,?
ab
?,ad?bc.
cd
2
含绝对值不等式的性质:
(1)
|x|?a(a?0)?x?a??a?x?a.
(2)
|x|?a(a?0)?x?a?x?a或x??a.
(3)
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
(三角不等式).
(4)
|a
1
?a
2
???a
n
|?|a
1
|?|a
2
|???|a
n
|.
22
2
证明不等式的常用方法有:比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.
当然在证
题过程中,常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法;后者称为分析法.综合
法和分析法是解决一
切数学问题的常用策略,分析问题时,我们往往用分析法,而整理结果时多用综合法
,这两者并非证明不等式的特
有方法,只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外,具体地证明一个
不等式时,可能交替使用多种方法.因此,
要熟练掌握不等式的证明技巧,必须从学习这些基本的常用方
法开始。
1.比较法(比较法可分为差值比较法和商值比较法。)
(1)差值比较法(原理:A- B>0
例1 设a, b, c∈R
+
,
A>B.)
试证:对任意实数x, y, z, 有x
2
+
y
2
+z
2
?2
?
a?babcb?cc?a
?<
br>?
xy?yz?xz
?
.
??
(a?b)(b?c
)(c?a)
?
cab
?
证明:左边-右边= x
2
+y<
br>2
+z
2
?2
abbcca
xy?2yz?2xz
(b?c)(c?a)(a?b)(c?a)(a?b)(b?c)
所以左边≥右边,不等式成
立。
(2)商值比较法(原理:若>1,且B>0,则A>B。)
例2 若a
(1-x)|与|log
a
(1+x)|.
解:因为1-x
?
1,所以log
a
(1-x)
?
0,
|log
a
(1?x)|
1
=|log
(1-x)
(1+x)|=-log
(1-x)
(1+x)=log
(1-x)
>log
(1-x)
(1-x)=1
1?x
|log
a
(1?x)
|
1
(因为0<1-x
2
<1,所以>1-x>0, 0<1-x<1).
1?x
所以|log
a
(1+x)|>|log
a
(1-x
)|.
2.分析法(
即从欲证不等式出发,层层推出使之成立的充分条件,直到已知为止,
叙述方式为:要证……,只需证……。
)
例3 已知a, b, c∈R
+
,求证:a+b+c-3
3
abc
≥a+b
?2ab.
证明:要证a+b+c
?3
3
c?a?b
≥a+b
?2ab
.
只需证
c?2ab?3
3
abc
,
因为
c?2ab?c?
所以原不等式成立。
ab?ab?3
3
c?a?b?3
3
abc
,
例4 已知实数a, b, c满足0证明:因为0
211
1
??.
,求证:
c(1?c)a(1?b)b(1?a)
2
1
,由二次函数性质可证a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c),
2
111
??
所以,
a(1?a)b(1?b)c(1?c)
1122
???
所以,
a
(1?a)b(1?b)b(1?b)c(1?c)
1111
???
所以只需证明,
a(1?a)b(1?b)a(1?b)b(1?a)
a?ba?b
?
也就是
证,
a(1?a)(1?b)b(1?a)(1?b)
只需证b(a-b)
≤a(a-b),即(a-b)
2
≥0,显然成立。所以命题成立。
3.综合法
例5 若a,b,c>0,求证:abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。
证明:∵(a+b-c)+(b+c-a)=2b>0,
(b+c-a)+(c+a-b)=2c>0,(c+a-b)+(a+b-c)=2a>0,
∴a+b-c,b+c-a,c+a-b中至多有一个数非正.
(1)
当a+b-c,b+c-a,c+a-b中有且仅有一个数为非正时,原不等式显然成立.
(2) a
+b-c,b+c-a,c+a-b均为正时,则
?
a?b?c
??
b?c?
a
?
?
?
a?b?c
?
?
?
b?c?a<
br>?
?b
2
同理
?
a?b?c
??
a?c?b
?
?a,
?
b?c?a
??
a?c?b
?
?c,
三式相乘得abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
例6
已知△ABC的外接圆半径R=1,S
△ABC
=,a,b,c是△ABC的三边长,
令S=,t=。求证:t>S。
1
解:由三角形面积公式:
bcsinA<
br>.正弦定理:asinA=2R.可得abc=1.
2
所以2t=2bc+2ac
所以2t>=2a
bc
+2b
ac
+2c
ab
=2
a
以t>s。
4.反证法
例7
设实数a
0
, a
1
,…,a
n
满足a
0
=a
n
=0,且a
0
-2a
1
+a
2
≥0
, a
1
-2a
2
+a
3
≥0,…, a
n-2<
br>-2a
n-1
+a
n
≥0,求证a
k
≤0(k=1,
2,…, n-1).
证明:假设a
k
(k=1, 2,…,n-1)
中至少有一个正数,不妨设a
r
是a
1
, a
2
,…,
a
n-1
中第一个出现的正数,则a
1
≤0,
a
2
≤0,…,
a
r-1
≤0, a
r
>0.
于是a
r
-a
r-1
>0,依题设a
k+1
-a
k
≥a
k
-a
k-1
(k=1, 2, …, n-1)。
所以从k=r起有a
n
-a
k-1
≥a
n-1
-a
n-2
≥…≥a
r
-a
r-1
>0.
因为a
n
≥a
k-1
≥…≥a
r+1
≥a
r
>0与a
n
=0矛盾。故命题获证。
abc
+2
babc
+2
cabc
=2(
a
+
b
+
c
)=2s.所
5.数学归纳法
例8
对任意正整数n(≥3),求证:n
n+1
>(n+1)
n
.
证明
:1)当n=3时,因为3
4
=81>64=4
3
,所以命题成立。
(k?1)
k?2
2)设n=k时有k>(k+1),当n=k+1时,只需证(k+1)>
(k+2),即>1.
(k?2)
k?1
k+1kk+2k+1
k
k?1
(k?1)
k?2
k
k?1
因为,
?1
,所以只需证
?
kk?1k
(k?1)(k?2)(k?1)
即证(k+1)
2k+2
>[k(k+2)]
k+1
,只需证(k+1)
2
>k(k+2),即证k
2
+2k+1>k
2
+2k. 显然成立。
所以由数学归纳法,命题成立。
6.分类讨论法
222222
x?yy?zz?x
???0.
例9 已知x, y,
z∈R
+
,求证:
y?zz?xx?y
证明:不妨设x≥y, x≥z. <
br>ⅰ)x≥y≥z,则
111
??
,x
2
≥y
2
≥z
2
,由排序原理可得
x?yx?zy?z
x
2
y<
br>2
z
2
y
2
z
2
x
2
??
???
,原不等式成立。
y?zz?xx?yy?zz?xx?y
111
?
?
ⅱ)x≥z≥y,则,x
2
≥z
2
≥y
2
,由排
序原理可得
x?zx?yy?z
x
2
y
2
z
2<
br>y
2
z
2
x
2
?????
,原不等式成立。
y?zz?xx?yy?zz?xx?y
7.放缩法(即要证A>B,可证A>C
1<
br>,
C
1
≥C
2
,…,C
n-1
≥C
n
,
C
n
>B(n∈N
+
).)
abc
??.
a?mb?mc?m
ababa?bmmc
证明:
?????1??1??
a?mb?ma?b?ma?b?ma?b?ma?b?mc?mc?m
例10 已知a,
b, c是△ABC的三条边长,m>0,求证:
(因为a+b>c),得证。
8.引入参变量法
b
3
例11 已知x, y∈R, l, a,
b为待定正数,求f(x, y)=
2
?
2
的最小值。
xy
+
a
3
(1?k)
2
ylkl
解:
设
?k
,则
x?
,f(x,y)=
,y?
x1?k1?k<
br>l
2
?
3
b
3
?
?
?
a?
k
2
?
?
?
??
??
3
??
1
(a?b)
1
3
111
33333332
?
,
a?b?ak?ak?b??b??b??ak
?
?
2
(a
3
+b
3
+3a
2
b+3ab
2
)
=
2
22
l
k
??
k
??
l
?<
br>kl
???
?
?????????
??
??
??(a?b)
3
ab
.
等号当且仅当
?
时成立。所以f(x,
y)
min
=
xy
l
2
1
≤k≤1,
x
3
x
4
≥4,
3
2
例12
设x
1
≥x
2
≥x
3
≥x
4
≥2, x<
br>2
+x
3
+x
4
≥x
1
,求证:(x
1
+x
2
+x
3
+x
4
)
2
≤
4x
1
x
2
x
3
x
4
.
证明:
设x
1
=k(x
2
+x
3
+x
4
),依题
设有
2
(1?k)
2
原不等式等价于(1+k)(x
2
+x
3
+x
4
)
≤4kx
2
x
3
x<
br>4
(x
2
+x
3
+x
4
),即(x
2
+x
3
+x
4
)
≤x
2
x
3
x
4
,
4k
1
?<
br>1
?
因为f(k)=k+在
?
,1
?
上递减, k
?
3
?
1
3??2
(1?k)
2
1
1
3
所以(x
2
+x
3
+x
4
)=
(k??2)
(x
2
+x
3
+x
4
)≤·3x<
br>2
=4x
2
≤x
2
x
3
x
4
.
4k
4k
4
所以原不等式成立。
9.局部不等式
例13 已知x, y, z∈R
+
,且x
2
+y
2
+z
2
=1,求证:
33
xyz
?.
??
2
1?x
2
1?y
2
1?z
2
证明:先证
x33
2
?x.
2
1?x
2
1
?2x
2
(1?x
2
)
2
?
因为x(
1-x
2
)=
2
1
?
2
?
2
?<
br>??
?
,
2
?
3
?
33
3
xx
2
x
2
33
2
所以
???x.
<
br>22
2
2
1?xx(1?x)
33
z33
2
y33
2
?z
, 同理,
?y
2
2
2
1?
z
2
1?y
xyz33
2
33
22
???(x?y
?z)?.
22
1?x
2
1?y
2
1?z
2
abc
例14 已知0≤a, b, c≤1,求证:
≤2。
??
bc?1ca?1ab?1
a2a
证明:先证
?.
①
bc?1a?b?c
所以
即a+b+c≤2bc+2.
即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a.
因为0≤a, b, c≤1,所以①式成立。
同理
b2bc2c
?,?.
ca?1a?b?cab?1a?b?c
三个不等式相加即得原不等式成立。
10.利用函数的思想
111
的最小值。
??
a?bb?cc?a
55
解:当a, b,
c中有一个为0,另两个为1时,f(a, b, c)=,以下证明f(a, b, c) ≥.
22
3
2ca?b1
不妨设a≥b≥c,则0≤c≤, f(a, b,
c)=
2
?
2
?.
3
c?1c?1
a?
b
(a?b)
2
因为1=(a+b)c+ab≤+(a+b)c,
4
例15 已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1,求f(a, b, c
)=
解关于a+b的不等式得a+b≥2(
考虑函数g(t)=
c
2
?1
-c).
t1
2
?
,
g(t)在[
c?1,??
)上单调递增。
2
c?1
t
3
2
2
又因为0≤c≤,所以3c
2
≤1.
所以c
2
+a≥4c
2
.
所以2
(c?1?c)
≥
c?1.
3
2ca?b1
2c2(c
2
?1?c)1
??
?
2
?
所以f(
a, b, c)=
2
≥
2
2
c
2
?1
c?1c?1
a?b
c?1
2(c?1?c)
2cc
2?1?c
?
=
2
2
c?1c?1
?
1
?
c3c
2
?1
2
=
2
?
?c?1
?
?
2
?
?
2
?<
br>2
?
c?1
?
c3c
2
?1
≥
4?
?
22
3
?
3
?
c
2
?1)?
c?
0 ①
?3?c?3c
2
?1?
c
2
+6c
+9≥9c
2
+9
?c
?
?c
?
≥0
?c?
.
4
?
4
?
33
55
?
,所以①式成立。所以f(a, b, c) ≥,所以f(a, b,
c)
min
=
.
因为
c?
34
22
下证
3(1?
11.构造法
例16 证明:≤。
提示:构造出(x,0)到两定点的距离之差,并利用数形结合的方法得
知两边差小于第三边且三点
共线时取最大值,从而结论得证。
12.运用着名不等式
(1)平均值不等式:
设a
1
, a
2
,…,a
n
∈R
+
,记H
n
=
n
111
????<
br>a
1
a
2
a
n
, G
n
=
n
a
1
a
2
?a
n
, A
n
=<
br>a
1
?a
2
?
n
?a
n
,
2
a
1
2
?a
2
?
Q
n
?
n
2
?a
n
则H
n
≤G
n
≤A
n
≤Q
n
. 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。
其中等号成立的条件均为a
1
=a
2
=…=a
n
.
当n=2时,平均值不等式就是已学过的基本不等式及其变式,所以基本不等式实际上是均值不等式的特
例
证明:由柯西不等式得A
n
≤Q
n
,再由G
n
≤A
n
可得H
n
≤G
n
,以下仅证G
n
≤
A
n
.
1)当n=2时,显然成立;
2)设n=k时有G
k<
br>≤A
k
,当n=k+1时,记
1?k
因为a
1
+a<
br>2
+…+a
k
+a
k+1
+(k-1)G
k+1≥
k
k
a
1
a
2
?
a
ka
k?1
=G
k+1
.
?1
a
1
a
2
?a
k
?k
k
a
k?1
?G
k
k
?1
?1k
2k
a
1
a
2<
br>?a
k?1
G
k
k
?
G
k
2
?1
?
2k
1
?
2kG
k+1
,
≥
2k
2k
所以a
1
+a
2
+…+a
k+1
≥(k+1)G
k+1
,即A
k+1
≥G
k+1
.
所以由数学归纳法,结论成立。
例17
利用基本不等式证明
a?b?c?ab?bc?ca.
..
【思路分析】左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可
用轮换的方法.
【略解】
a?b?2ab,同理b?c?2bc,c?a?2ca
;
三式相加再除以2即得证.
【评述】(1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧.
2
2
x
n
x
1
2
x
2
如
?
????x
1
?x
2
???x
n
,可在不等式两边同时加上
x
2
?x
3
???x
n
?x
1
.
x
2
x
3
x
1
222
2223
22
再如证
(a?1)(b?1)(a?c)(b?c)?256abc(a
,b,c?0)
时,可连续使用基本不等式.
33223
a?b
2
a
2
?b
2
)?
(2)基本不等式有各种变式 如
(
等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.<
br>22
如上式左右两边次数均为2,系数和为1.
例18 已知
a?b?1,
a,b?0,
求证:
a
4
1
?b
4
?.
8
1
,如何也转化为
a
、
b
的4次式呢.
8
【思路分析】不等式左边是
a
、
b
的4次式,右边为常数
【略解】要证
a
4
11
?b
4
?,
即证
a
4
?b
4
?(a?b)
4
.
88
(2)柯西(Cavchy)不等式:设
a
1
、a
2
、
a
3
,…,
a
n
是任意实数,
则
等号当且仅当
b
i
?ka
i
(k
为常数,i?1,2,?,n)
时成立.
证明:不妨设
a
i
(i?
1,2,
?
,n)
不全为0,
b
i
也不全为
0(因为
a
i
或
b
i
全为0时,不等式显然成立).
22222
a
1
2
?a
2
???a
n,B=
b
1
?b
2
???b
n
. 记A=且令
x
i
?
a
i
b
,y
i
?
i
(i
?
1,2,
?
,n),
AB
则
x
1
?x
2
???x
n
?1
,y
1
?y
2
???y
n
?1.
原不等式化为x
1
y
1
?x
2
y
2
???x
n
y
n
?1.
即
2(x
1
y
1
?x
2
y
2
???x
n
y
n
)
?
x
1
?x
2
???x
n
?y
1
?y
2
???y
n
.
它等价于
(x
1
?
y
1
)?(x
2
?y
2
)???(x
n
?
y
n
)?0.
其中等号成立的充要条件是
x
i
?
y
i
(i
?
1,2,
?
,n).
从而原不等式成立,且等号成立的充要条件是
b
i
n
2
i
222
222222
222222
?ka
i
(k?
A).
B
变式1:若a
i
∈R, b
i
∈R,
i=1, 2, …, n,则
(
a
)?
?
i?1
b
i
n
(
?
a
i
)
2
(
?
b
i
)
2
i?1
i?1
n
.
等号成立条
件为a
i
=λb
i
,(i=1, 2, …, n)。
变式2:设a
i
, b
i
同号且不为0(i=1, 2, …, n
),则
a
i
?
?
i?1
b
i
n
(
?
a
i
)
2
n
?
ab
i
i?1
i?1
n
.
等号成立当且仅当b
1
=b
2<
br>=…=b
n
.
i
22
2
x
n
x<
br>n
x
1
2
x
2
?1
例19 设
x
1
,x
2
,
?
,x
n
?R
,求证
:
??
?
???x
1
?x
2
?
?
?x
n
.
x
2
x
3
x
n
x
1
?
【思路分析】 注意到式子中的倒数关系,考虑应用柯西不等式来证之.
【评述】注意到式子中的倒数关系,考虑应用柯西不等式来证之.
【详解】
∵
x
1
,x
2
,?,x
n
?0
,故由柯西
不等式,得
?(x
2
?
x
1
x
2?x
3
?
x
2
x
3
?
?
?x
n
?
x
n?1
x
n
?x
1
?x
n
x
1
)
2
?(x
1
?x
2
?
?
?x
n?1
?x
n
)
2
,
22
2
x
n
x
n
x
1
2
x
2
?1
∴
??
?
???x
1
?x
2
?
?
?x
n
.
x
2x
3
x
n
x
1
【评述】这是高中数学联赛题,还可用均
值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.
(3)排序不等式:(又称排序
原理)设有两个有序数组
a
1
?a
2
???a
n
及
b
1
?b
2
???b
n
.
则
a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n
(同序和)
?a
1
b
j1
?a
2
b
j2
??
?a
n
b
jn
(乱序和)
?a
1
b
n
?a
2
b
n?1
?<
br>?
?a
n
b
1
(逆序和)
其中
j
1
,j
2
,
?
,j
n
是1,2,…,n的任一排
列.
当且仅当
a
1
?a
2
???a
n
或
b
1
?b
2
???b
n
时等号(对任一排列
j
1
,j
2
,
?
,j
n
)成立.
证明:不妨设在乱序和S中
j
n
?n
时(若
j
n
?n
,则考虑
j
n?1
),且在和S中含有项
a
k
b
n
(k?n),
则
a
k
b
n
?a
n
b
j
n
?a
n
b<
br>jn
?a
n
b
n
.
① 事实
上,左-右=
(a
n
?a
k
)(b
n
?b
j
n
)?0,
由此可知,当
j
n
?n
时,调换
S?a
1
b
j
1
???a
k
b<
br>j
k
???a
n
b
j
n
(
j
n
?n
)中
b
n
与
j
n
位置(其
余不动),所得新和
S
1
?S.
调整好
a
n
及<
br>b
n
后,接着再仿上调整
a
n?1
与
b
n?
1
,又得
S
2
?S
1
.
如此至
多经
n?1
次调整得顺序和
a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n
?a
1
b
j1
?a
2
b
j2
???a
n
b
jn ②
这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然,当
a
1
?a
2
???a
n
或
b
1
?b
2
???b<
br>n
时②中等号成
立.反之,若它们不全相等,则必存在
j
n
及
k,使
b
n
?b
j
n
,a
n
?a
k
.
这时①中不等号成立.因而对这
个排列②中不等号成立.
?
类似地可证“乱序和不小于逆序和”.
a
2
?b
2b
2
?c
2
c
2
?a
2
a
3
b
3
c
3
?????.
例20
a,b,c?R,求证a?b?c?
2c2a2bbccaab
【思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和,将它们拆开,再用排序不等式证明.
【略解
】不妨设
a
111
?b?c,则a
2
?b
2
?c<
br>2
,??
,
cba
2
1
2
1
2<
br>1
2
1
2
1
2
1
则
a??b??c
?
(乱序和)
?a??b??c?
(逆序和),
cababc
2<
br>1
2
1
2
1
2
1
2
1
2<
br>1
同理
a??b??c?
(乱序和)
?a??b??c?
(逆
序和)
cababc
两式相加再除以2,即得原式中第一个不等式.再考虑数
组
a
仿上可证第二个不等式.
例21 设
a
1
,a<
br>2
,?,a
n
?N
,且各不相同,求证:
1?
*3
?b
3
?c
3
及
111
,
??<
br>bcacab
111aa
3
a
n
?????a
1?
2
????.
23n2
2
3
2
n
2
【思路分析】不等式右边各项
a
i
1
;可理解为两数之积
,尝试用排序不等式.
?a?
i
22
ii
【略解】设
b<
br>1
,b
2
,
?
,b
n
是
a
1
,a
2
,
?
,a
n
的重新排列,满足
b
1
?b
2
???b
n
,又
1?
所以
a
1
?
111
????.
222
23n
a
n
b
n
a
2
a
3
b
2
b
3
.由于
b
1
,b
2
,?b
n
是互不相同的正整数,
?????b?????
1
22222
n
2323n
b
3
b
n
b
11
故
b
1
?1,b
2
?2,?,b
n
?n.
从而
b
1
?
2
,原式得证.
?????1????
2n
22
3
2
n
2
【评述】排序不等式应用广泛,例如可证我们熟悉的基本不等式,
a?b?a?b?
b?a,
例22 在△ABC中,试证:
22
?
3
?<
br>aA?bB?cC
?
?.
a?b?c2
【思路分析】
可构造△ABC的边和角的序列,应用排序不等式来证明之.
【详解】
不妨设
a?b?c
,于是
A?B?C.
由排序不等式,得
相加,得
3(aA?bB?cC)?(a?b?c)(A?B?C)?
?
(a?b?c
)
,得
又由
0?b?c?a,0?a?b?c,0?a?c?b,
有
0?A(b?c?a)?C(a?b?c)?B(a?c?b)?a(B?C?A)?b(A?C?B
)?c(A?B?C)
?a(
?
?2A)?b(
?
?2B
)?c(
?
?3C)?(a?b?c)
?
?2(aA?bB?cC).
aA?bB?cC
?
?
①
a?b?c3
得
aA?bB?cC
?
?.
②
a?
b?c2
a
a
1
a
2
????
n
?n.
b
1
b
2
b
n
由①、②得原不等式成立.
例23 设
b
1
,b
2
,
?
,b
n
是正数
a
1
,a
2
,
?
,a
n
的一个排列,求证
【思路分析】 应注意到
a
i
?
1<
br>?
1(i
?
1,2,
?
,n)
a
i
【略证】 不妨设
a
1
?a
2
??
?a
n
,因为
a
1
,a
2
,
?
,
a
n
都大于0.
所以有
1
?
1
???
1
,
a
1
a
2
a
n
又
111111
,,
?
,
是
,,
?
,
的任意一个排列,于是得到
b
1
b
2
b
n
a
1
a
2
a
n
例24 设正数
a,b,c
的乘积
abc?1
,试证:
(a?1?
111
)(b?1?)(c?1?)?1.
bca
【略解】
设
a?
xyz
,b?,c?
,这里
x,y,z
都是正数,
yzx
则原需证明的不等式化为
(x?y?z)(y?z?x)(z?
x?y)?xyz,显然x?y?z,y?z?x,z?x?y
中最多只有一个非负数.若<
br>x?y?z,y?z?x,z?x?y
中恰有一个非正数,则此时结论显然成立.若
x?
y?z,y?z?x,z?x?y
均为正数,则
x,y,z
是某三角形的三边长. <
br>1
222
容易验证
(x?y?z)(y?z?x)(z?x?y)?[(x(y
?z?x)?y(z?x?y)?z(x?y?z)].
3
故得
(x?y?z)(y?z?x)(z?x?y)?xyz.
【评述】
利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题:设正数
a
、
b
、
c
的乘积
abc?1,
证明
1113
???.
<
br>a
2
(b?c)b
2
(c?a)c
2
(a?b)2
x
2
y
2
z
2
3
111
???
, 证明:设
a?,b?,c?,则xyz?1
,且所需证明的不等式
可化为
y?zz?xx?y2
xyz
现不妨设
x?y?z
,则
xyz
??
,
y?zz?xx?y
x
2
y
2<
br>z
2
xyz
??
?z??x??y?
据排序不等式 得
y?zz?xx?y
y?zz?xx?y
x
2
y
2
z
2
xyz
??
?y??z??x?
及
y?z
z?xx?y
y?zz?xx?y
x
2
y
2
z
2<
br>??)
?x?y?z?3
3
xyz?3.
两式相加并化简可得
2(
y?zz?xx?y
(4)切比雪夫不等式:
若<
br>a
1
?a
2
???a
n
,
b
1?b
2
???b
n
,则
a
1
b<
br>1
?a
2
b
2
???a
n
b
na
1
?a
2
???a
n
b
1
?b2
???b
n
??.
nnn
证明:由题设和排序不等式,有
a
1
b
1
?a
2<
br>b
2
???a
n
b
n
=
a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n
,
a
1
b
1
?a
2
b
2???a
n
b
n
?a
1
b
2
?a2
b
3
???a
n
b
1
,……
将上述n个不等式叠加后,两边同除以n
2
,即得欲证的不等式.