2018年全国高中数学联赛广东预赛试题及详解

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2018年全国高中数学联赛广东赛区预赛试卷及详解
一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
1?ae
?x
1. 函数
f(x)?
（
a?1
）的值域为 ．
?x
1?e
2.设集合
A?{x|x
2
?[x]?2}
和
B?{x||x|?2}
，其中符号
[x]
表示不大于
x
的最大整 数，
则
AB?
．
?2x
3.已知方程
xe?k?0
在区间
(?2,2)
内恰有两个实根，则
k
的取值范 围是 ．
4.已知
?ABC
的三个角
A
、B
、
C
成等差数列，对应的三边为
a
、
b
、< br>c
，且
a
、
c
、
4
b
3
成 等比数列，则
S
?ABC
:a
2
?
．
5.已知点
A(1,1)
，
B(12,0)
，
C(32,0 )
，经过点
A
，
B
的直线和经过
A
，
C< br>的直线与直
线
y?a
（
0?a?1
）所围成的平面区域为G
，已知平面矩形区域
{(x,y)|0?x?2,0?y?1}
中的任意一点进 入区域
G
的可能性为
1
，则
a?
．
16
6.袋中装有
m
个红球和
n
个白球，
m?n? 4
.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的
概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关 系
m?n?40
的数组
(m,n)
的个数
为 ．
7.已知关于
x
的实系数方程
x?2x?2?0
和
x?2m x?1?0
的四个不同的根在复平面上
对应的点共圆，则
m
的取值范围是 ．
8.已知圆
x?y?8
围成的封闭区域上（含边界）的整点（坐标均为整数的点） 数是椭圆
22
22
1
x
2
y
2
??1围成的封闭区域上（含边界）整点数的，则正实数
a
的取值范围是 ．
5
a
2
4

二、解答题 ：本大题共3小题，共56分.

9.设函数
f(x)?e
x
?1?x
，
（1）求
f(x)
在区间
[0,]
（
n
为正整数）的最大值
b
n
；
（2）令
a
n
?e?1?b
n
，
p
k
?
1
n
1
n
a
1
a
4
a
2k
（
n
，
k
为正整数），求证：
a
1
a
3
a
2k?1
p
1
?p
2< br>?




p
n
?
2
?1?1
.
a
n
10 .如图，矩形
ABCD
沿平行于
AD
的线段
EF
向上翻折（ 点
E
在线段
AB
上运动，点
F
在
线段
CD
上运动），得到三棱柱
ABE?CDF
，已知
AB?5
，
A C?34
.
（1）若
?ABG
是直角三角形，这里
G
是线 段
EF
上的点，试求线段
EG
的长度
x
的取值范
围 ；
（2）若（1）中
EG
的长度为取值范围内的最大整数，且线段
AB的长度取得最小值，求二
面角
C?EF?D
的值；
（3）在（1）与（2）的条件都满足的情况下，求三棱锥
A?BFG
的体积.

11.已知正整数< br>n
都可以唯一表示为
n?a
0
?a
1
9?a
2
9
2
?
非负整数，
a
j
?{0,1,
? a
m
9
m
（*）的形式，其中
m
为
.试求（*）中 的数列
a
0
，
a
1
，
,8}
（
j ?0,1,
，
a
m
?,
,m?1
）
1{}8,a
2
，…，
a
m
严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n
的和.

2018年全国高中数学联赛广东赛区预赛答案
一、填空题
1.
(a,1)
2.
{?1,3}
3.
(?
12
,?
4
)

2ee
4.
3

2
3
2
5.
1

2
6.3 7.
{m|?1?m?1
或
n??}

8.
22?a?23

三、解答题
x
9.解：（1）因为
f'(x)?e?1
，所以，当
x?[0,]
时，
f'(x)?0< br>，即
f(x)
在
[0,]
是增
1
n
1
n
1
1
1
函数，故
f(x)
在
[0,]
上的最大值为
b
n
?e
n
?1?

n
n< br>1
n
（2）由（1）知
a
n
?e?1?b
n
?
1

n
(2k?1)(2k?1)4k
2
?1
因 为
??1
，所以
(2k)
2
4k
2
?
13 5(2k?1)
?
133557
?
24(2k)
?
?
2
2
4
2
6
2
??
又易证明
2
(2k?1)(2k?1)11
?

(2k)
2
2k?12k?1< br>1
?2k?1?2k?1
，所以
2k?1
p
k
?< br>a
2
a
4
a
2k
135(2k?1)1
?? ?2k?1?2k?1

a
1
a
3
a
2k?124(2k)
2k?1
所以
p
1
?p
2
??p
n
?(3?1)?(5?3)+
2
?1?1

a
n
2
?1?1

a
n
+（2n?1?2n?1)

?2n?1?1?
即p
1
?p
2
??p
n
?
10.（1）有题设条 件可知
?AEG
，
?BEG
均为直角三角形，因此
AG?AE?x< br>，
222
BG
2
?BE
2
?x
2

由余弦定理：
AB?AE?BE?2AEBEcos?AEB
，
于是：
2x?AE?BE?AB?AE?BE?2AEBEcos?AEB
，
222222
222
x
2
??AEBEcos?AEB?AEBE?t(5 ?t)??t
2
?5t?2.5
2

所以：
x?[0,2.5)
，又对
k
2
?k?[0,2. 5)
，
AE?EB?2.5
，
?AEB?
?
?arccos
2
，
2.5
则：
x??AEBFcos?AEB?k
，故 ：
x
的取值范围为
[0,2.5)
.
（2）因为
AE?E F
，
BF?EF
，所以
?AEB
就说二面角
C?EF?D< br>的平面角，又由（1）
知，
EG
的长度
x
为
[0,2 .5)
的最大整数，因此
x?2
.于是：
AB
2
?t2
?(5?t)
2
?4?2t
2
?10t?29
，t?(0,5)

因此
t?2.5
时，线段
AB
的长度取得最小值，由此得：
2??
258
cos?AEB
，
?AEB?
?
?arcc os
.
425
（3）由（1）、（2）知
?AEB?
?
?arccos
且
EF?
85
41
，
AE?EB?
，
AG?BG?
，
EG?2
，
252
2
AC2
?AB
2
?34?25?3
.
BE?E
，所以：
EF?
平面
EAB
，故： 因为
AE?EF
，
BE?EF
，
AE
1
V
A?BFG< br>?V
A?BEG
?(S
?AEB
EF?S
?AGB
E G)?

3
1
?
1164413561?82
?
1 25
22

(AEsin?AEB)EF?BFEG?(1?3?2)?
??
3
?
22625424
?
64

11.设
A
和
B
分别表示（*）中数列严格单调递增和递减的所有正整数构成的集合.符号S(M)
表示数集
M
中所有数的和，并将满足（*）式的正整数记为：
n?a
m
a
m?1
a
1
a
0
< br>把集合
A
分成如下两个不交子集
A
0
?{n?A|a
0
?0}
和
A
1
?{n?A|a
0
?0}
，我们有

S(A)?S(A
0
)?S(A
1
)
.
?n?A
1
，令
f(n)?9n?A
0
，则
f
是
A
1
到
A
0
的双射，由此得：
S(A
0
)?9S(A
1
)
，
从而：
S(A)?10S(A
1
)
.
又对
?a? a
m
a
m?1
a
0
?B
，令
(9?a
0
)?A
1
，
b?g(a)?(9?a
m
)(a?a
m?1
)
则
g
是
B
到
A
1
的双射，其中：
a?b?9
m?1
?9
m
?
因为
B?{a
m
a
m?1
所以
B
中共有
9
?9?(9
m?1
?1)
.
8
a
0< br>|1?a
m
?a
m?1
?
m?1
8
?a0
?8,m?0,1,,7}
，
m?0
?
C
7
个元素，因此
9
7
m?1 m?1
9
8
kk
9
8
k
9
88
S (B)?S(A
1
)?
?
C
8
(9?1)?
?C
8
9?
?
C
8
?(10?2)

8
m?0
8
k?0
8
k?0
8
又令
A
2
表示
A
中最高位数
a
m
?8
的正整数全体，< br>A
中其余的数和零所成集合记为
A
3
，则
S(A)?S(A
2
)?S(A
3
)

对
?a?a
m
a
m?1
的双射，其中：
a
0
?B
，令
b?
?
(a)?(8?a
m
)(8? a
m?1
)(8?a
0
)?A
3
则
?
是< br>B
到
A
3
a?b?89
m
?89
m?1?
所以
S(B)?S(A
3
)?
最后对
?a?8am
?8?9
m?1
?1
.
m?1
8
?
C
k?0
8
(9
m?1
?1)?10
8
?28

a
0
?A
2
?{8}
，令
(8?a
0
)?B
，
b?
?
(a)?(8?a< br>m
)
则
?
是
A
2
?{8}
到
B
的双射，其中：
a?b?89
m?1
?89
m
??8 ?9
m?2
?1
.

所以
S(B)?S(A
2
)?8?

m?0
?
C
7
m?1
8
(9
m?2
?1)?8?
?
C
8
k
(9
k?1
?1)?910
8< br>?2
8
.
k?1
8
19
88
?
S (B)?S(A)?(10?2)
?
于是
?
.
108
?< br>2S(B)?S(A)?10
9
?2
9
?
解之得：
S (A)?
31
9
10?80?968750080
，
S(B)?15 624704
，由于
A
和
B
中都含有
32
1,2， …，8，因此所求正整数的和等于：
S(A)?S(B)?36?984374748
.