1999年全国高中数学联赛试卷及详细解析

1999年全国高中数学联合竞赛试卷
第一试

一、选择题
本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C ）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正
确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题 选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论
是否写在括号内），一律得0分。
1． 给定公比为
q
(
q
?1)的等比数列{
a
n
}，设
b
1
=
a
1
+
a
2
+
a
3
,
b
2
=
a
4
+a
5
+
a
6
,…,
b
n
=
a
3
n
?
2
+
a
3
n
?
1
+
a
3
n
,…，则数列{
b
n
}
【答】（ ）
(
A
) 是等差数列 (
B
) 是公比为
q
的等比数列
3
(
C
) 是公比为
q
的等比数列 (
D
) 既非等差数列也非等比数列
22
2． 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (|
x
|?1)+ (|
y
|?1)＜2
的整点(
x
,
y
)的个数是 【答】（ ）
(
A
) 16 (
B
) 17 (
C
) 18 (
D
) 25
xx
3． 若(
log
2
3)?(
log
5
3)≥(
log
2
3)?(
log
5
3)，则 【答】（ ）
(
A
)
x
?
y
≥0 (
B
)
x
+
y
≥0 (
C
)
x
?
y
≤0 (
D
)
x
+
y
≤0
4． 给定下列两个关于异面直线的命题：
命题Ⅰ：若平面
?
上的直线
a
与平面
?
上的直线
b
为异面直线，直线
c
是
?与
?
的交线，那么，
c
至多与
a
,
b
中的一条相交；
命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么 【答】（ ）
(
A
) 命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (
B
) 命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确
(
C
) 两个命题都正确 (
D
) 两个命题都不正确
5． 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比 赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，
这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名 选手之间比赛的场数是
【答】（ ）
(
A
) 0 (
B
) 1 (
C
) 2 (
D
) 3
2
6． 已知点
A
(1,2)，过点(5, ?2)的直线与抛物线
y
=4
x
交于另外两点
B
,
C
，那么，△
ABC
是
(
A
) 锐角三角形 (
B
) 钝角三角形 (
C
) 直角三角形 (
D
) 不确定 【答】（ ）

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7. 已知正整数
n
不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那 么，这样的
n
的个数是
___________.
?y?y
cos 2
?
?isin2
?
5
，那么，复数
z?
的辐角主 值是_________.
12
239?i
ctgC
222
9. 在△
ABC
中，记
BC
=
a
，
CA
=b
，
AB
=
c
，若9
a
+9
b
?19
c
=0，则=__________.
ctgA?ctgB
8. 已知
?
=arctg
x
2
y
2
??1
上， 10. 已知点
P
在双曲线并且
P
到这条双曲线的右准线的距离恰是
P
到这条双曲线的两个焦
169
点的距离的等差中项，那么，
P
的横 坐标是_____.
11. 已知直线
ax
+
by
+
c< br>=0中的
a
,
b
,
c
是取自集合{?3,?2,?1 ,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的
倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是__ ____.
12. 已知三棱锥
S
?
ABC
的底面是正三角形，< br>A
点在侧面
SBC
上的射影
H
是△
SBC
的 垂心，二面角
H
?
AB
?
C
的
平面角等于30?,
SA
=2
3
。那么三棱锥
S
?
ABC
的体 积为__________.

三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
13. 已知当
x
?[0,1]时，不等式
xcos
?
?x (1?x)?(1?x)sin
?
?0
恒成立，试求的取值范围。




22

x
2
y
2
5
??1
上的动点，
F
是左焦点， 当|
AB
|+|
BF
|取最小值时，求
B
14. 给定A
(?2,2)，已知
B
是椭圆
2516
3
的坐标。














22
15. 给定正整数
n
和正 数
M
，对于满足条件
a
1
?a
n?1
≤
M
的所有等差数列
a
1
,
a
2
,
a
3
,….，试求
S
=
a
n
+1
+
a
n
+2
+…
+
a
2
n
+1
的最大值。

第二试

一、(满分50分) 如图，在四边形
ABCD
中，对角线
AC
平分 ∠
BAD
。在
CD
上取一点
E
，
BE
与< br>AC
相交于
F
，
延长
DF
交
BC
于
G
。求证：∠
GAC
=∠
EAC
.

A



D



E

F
B

G

C









二、(满分50分) 给定实数
a
,
b
,
c
，已知复数
z
1
,
z
2
,
z
3
满足：
?
|z
1
|?|z
2
|?|z
3
|?1
?
?
z
1
?
z
2
?
z
3
?1
，求|
az
1
+
bz
2
+
cz
3
|的值。
?
?
z
2
z
3
z
1

三、(满分50分) 给定正整数
n
，已知用克数都是正整数的
k
块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,
n
克的所有物品。
（1）求
k
的最小值
f
(
n
)；
（2） 当且仅当
n
取什么值时，上述
f
(
n
)块砝码的组成方式是 唯一确定的？并证明你的结论。

1999
一、选择题
年全国高中数学联合竞赛答案
1
C
2
A
3
B
4
D
5
B
6
C
题号
答案
1. 给定公比为
q
(
q
?1)的等比数列{
a
n
}，设
b
1
=
a
1
+
a< br>2
+
a
3
,
b
2
=
a
4
+
a
5
+
a
6
,…,
b
n=
a
3
n
?
2
+
a
3
n?
1
+
a
3
n
,…，则数列{
b
n< br>}
【答】（ ）
(
A
) 是等差数列 (
B
) 是公比为
q
的等比数列
3
(
C
) 是公比为
q
的等比数列 (
D
) 既非等差数列也非等比数列
【答案】(C).
【解析】由题设，
a
n
?a
1
q
n?1
，
因此，
?
b
n
?
是公比为
q
的等比数列.
3


22
2. 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (|
x
|?1)+ (|
y
|?1)
＜2的整点(
x
,
y
)的个数是 【答】（ ）
(
A
) 16 (
B
) 17 (
C
) 18 (
D
) 25
【答案】(A)
【解析】由
?
|x |?1
?
?
?
|y|?1
?
?2
,可得(|x|- 1,|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，
0).从而，不难 得到(x,y)共有16个.

22
3. 若(
log
2
3)?(
log
5
3)≥(
log
2
3)?(
lo g
5
3)，则 【答】（ ）
(
A
)
x
?
y
≥0 (
B
)
x
+
y
≥0 (
C
)
x
?
y
≤0 (
D
)
x
+
y
≤0
【答案】(B)
xx
?y?y

【解析】 记f(t)=
?
log< br>2
3
?
?
?
log
5
3
?
，则f(t)在R上是严格增函数.原不等式即f(x)≥f(-y). 故
tt
x≥-y，即x+y≥0.

4. 给定下列两个关于异面直线的命题：
命题Ⅰ：若平面
?
上的直线
a
与平面
?
上的直线
b
为异面直线，直线
c
是
?与
?
的交线，那么，
c
至多与
a
,
b
中的一条相交；
命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么 【答】（ ）
(
A
) 命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (
B
) 命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确
(
C
) 两个命题都正确 (
D
) 两个命题都不正确
【答案】(D).
【解析】易知命题Ⅰ不正确 ；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线
两两不同向，则这些直线中的任 意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确.


5. 在某次乒乓球单打比赛中 ，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退
出了，这样，全部比赛只进行了5 0场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是
【答】（ ）
(
A
) 0 (
B
) 1 (
C
) 2 (
D
) 3
【答案】(B)
?
n?3
??
n?4
?
=44 +r.由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数.
2
2
【解 析】设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛.由题意，可得
C
n?3
?6 ?r?50
，即

2
6. 已知点
A
(1,2)，过点(5 ,?2)的直线与抛物线
y
=4
x
交于另外两点
B
,
C
，那么，△
ABC
是
(
A
) 锐角三角形 (
B
) 钝角三角形 (
C
) 直角三角形 (
D
) 不确定 【答】（ ）
【答案】(C)
22
【解析】 设B(t,2t),C(s ,2s),s≠t,s≠1,t≠1，则直线BC的方程为，化得2x-(s+t)y+2st=0.
由于直线BC过点(5，-2)，故2×5-(s+t)(-2)+2st=0，即(s+1)(t+1)= - 4.
因此，
k
AB
k
AC
?


二、填空题
题号
答案

7. 已知正整数
n
不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的
n
的个 数是
___________.
【答案】6.
【解析】首项为a为的连续k个正整数之和为
S
k
?












7
6
8 9 10

?

11
43

12
4
??1
,所以，∠BAC=90°，从而△ABC是直角三角形.
?
t?1
??
s?1
?

64

5
?
2a?k?1
?
k
2
?
k
?
k?1
?

2
由Sk≤2000，可得60≤k≤62.
当k=6 0时，Sk=60a+30×59，由Sk≤2000，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950；
当k=61时，Sk=61a+30×61，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，19 52；
当k=62时，Sk=62a+31×61，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953.
于是，题中的n有6个.

8. 已知
?
=arctg
【答案】
cos2
?
?isin2
?
的辐角主值是_________.
5
，那么，复数
z?
12
239?i
?

4
2
【解析】 z的辐角主值 argz=arg［(12+5i)(239-i)］
=arg［(119+120i) (239-i)］ =arg［28561+28561i］=
?

4
ctgC
222
9. 在△
ABC
中，记
BC< br>=
a
，
CA
=
b
，
AB
=
c
，若9
a
+9
b
?19
c
=0，则=_____ _____.
ctgA?ctgB
【答案】 .
【解析】


x
2
y
2
??1
上， 10. 已知点P
在双曲线并且
P
到这条双曲线的右准线的距离恰是
P
到这条双 曲线的两
169
个焦点的距离的等差中项，那么，
P
的横坐标是_____.
【答案】
?
64

5
【解析】记半实轴、半虚轴、半焦距的 长分别为a、b、c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，
则a=4, b=3, c=5, ,右准线l为.
如果P在双曲线右支，则 |PF
1
|=|PF
2
|+2a=ed+2a.
从而，|PF
1
|+|PF
2
|=(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d，
这不可能；故P在双曲线的左支，则 |PF
2
|－|PF
1
|=2a , |PF
1
|+|PF
2
|=2d.
两式相加得2|PF
2
|=2a+2d. 又|PF
2
|=ed,从而ed=a+d.
a
a
2
64
?16
. 因此，P的横坐标为
x??d??
. 故
d?
e?1
c5

11. 已知直线
ax
+
by
+
c
=0中的
a
,
b
,
c< br>是取自集合{?3,?2,?1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直
线的倾斜角为 锐角，那么，这样的直线的条数是______.
【答案】43
【解析】设倾斜角为θ，则tgθ=->0.不妨设a>0，则b<0.
(1) c=0,a有三种取法，b有三种取法，排除2个重复(3x-3y=0,2x-2y=0与x-y=0为同一直 线)，
故这样的直线有3×3-2=7条；
(2)c≠0，则a有三种取法，b 有三种取法，c有四种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样
的直线有3×3×4=36条.
从而，符合要求的直线有7+36=43条.

12. 已知三棱锥< br>S
?
ABC
的底面是正三角形，
A
点在侧面
SBC< br>上的射影
H
是△
SBC
的垂心，二面角
H
?
AB
?
C
的平面角等于30?,
SA
=2
3
。那 么三棱锥
S
?
ABC
的体积为__________.
【答案】
93

4
【解析】由题设，AH⊥面SBC.作BH⊥ SC于E.由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB.故SC⊥面ABE.设
S在面ABC内射影为O ，则SO⊥面ABC.由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F.同理，BO⊥AC.故O为

△ABC的垂心.
又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=.
因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB.所以，∠EFC是二面角H- AB-C
的平面角.故∠EFC=30°，
OC=SCcos60°=
3
，SO= OC tg60°=3.
又OC=

三、解答题
13. 已知当
x
?[0,1]时，不等式
x
2
cos
?
?x(1?x)?(1?x)
2
si n
?
?0
恒成立，试求的取值范围。
393
AB，故AB=
3
OC=3. 所以，VS-ABC=.
34
【解析】
若对一切x?［0，1］，恒有f(x)=
x
2< br>cos
?
?x(1?x)?(1?x)
2
sin
?
? 0
，
则 cosθ=f(1)>0, sinθ=f(0)>0. (1)
取x? (0，1)，由于
f
?
x
?
?2x?
1?x
?
sin
?
cos
?
?x
?
1?x
?
，
所以，
f
?
x
?
?0
恒成立，当且仅当
2sin
?
cos
?
?1?0
(2 )
先在［0,2π］中解(1)与(2)：由cosθ>0,sinθ>0，可得0<θ<
?
2< br>.
又由（2）得 sin2θ>
1
?
5
?
2
注意到0<2θ<π，故有
6
<2θ<
6
,
所以，
?
12
<θ<
5
?
12
. 因此，原题中θ的取值范围是2kπ+
?
5
?
12
<θ<2kπ +
12
,k?Z.
或解：若对一切x∈［0，1］，恒有
f(x)=x
2
cosθ-x(1-x)+(1-x)
2
sinθ>0，
则cosθ=f(1)>0,sinθ=f(0)>0. (1)
取 x
0
= ∈(0，1)，则 ．
由于 +2x(1-x)，
所以，00
)=2x
0
(1-x
0
) ．
故 -+>0 (2)
反之，当(1)，(2)成立时，f(0)=sinθ>0，f(1 )=cosθ>0，
f(x)≥2x(1-x)>0．
先在［0,2π］中解(1)与(2)：
由cosθ>0,sinθ>0，可得0<θ<.
又-+>0, > ,
sin2θ>, sin2θ>,
注意到 0<2θ<π，故有 <2θ< ,
所以，<θ< .
因此，原题中θ的取值范围是 2kπ+<θ<2kπ+ ,k∈Z
且x∈(0，)时，1

< br>x
2
y
2
5
??1
上的动点，
F
是 左焦点，当|
AB
|+|
BF
|取最小值时，求 14. 给定
A
(?2,2)，已知
B
是椭圆
2516
3
B
的坐 标。
【解析】
3
25
，左准线为x=
?
,
5
3
5
25
过点B作左准线x=
?
的垂线，垂足为N，过A 作此准线的垂线，垂足为M.由椭圆定义，|BN|=|BF| .
3
3
记椭圆的半 长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，离心率为e.则a=5,b=4,c=3,e=
于是，|AB |+
5
53
|BF|=|AB|+|BN|≥|AM|(定值)，等号成立当且仅当B 是AM与椭圆的交点时，此时B(
?
，
3
2
2) , 所以，当|AB|+

5
53
|BF|取最小值时，B的坐标为(
?
，2).
3
2
22
15. 给定正整数
n
和正数
M
，对于满足条件
a
1
?a
n?1
≤
M
的所有等差数 列
a
1
,
a
2
,
a
3
,….，试 求
S
=
a
n
+1
+
a
n
+2< br>+…+
a
2
n
+1
的最大值。
【解析】 设公差为 d,
a
n?1
=α,则S=
a
n?1
?a
n?2< br>???a
2n?1
=(n+1)α+
n
?
n?1
?
d.
2
故 .
则
因此 |S|≤
S=(n+1)〔
=(n+1) =
(n+1)
+·
(n+1)

，且当 α=
·

．
(n+1)．
〕
,d=· 时，
由于此时4α=3nd,故
所以，S的最大值为




1999年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准

一、(满分50分) 如图，在四边形
ABCD
中，对角线
AC
平分∠
BAD
。在
CD
上取一点
E
，
BE
与
AC
相
交于
F
，延长
DF
交
BC
于
G
。求证：∠
GAC
=∠
EAC
.

A
D
E
B
F
G
C

．
【解析】连结BD交AC于H．对△BCD用塞瓦定理，可得
因为AH是∠BAD的平分线，由角平分线定理，可得
故 ．
过点C作AB的平行线AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线
于J．
则 . 所以，


因
从
从而，CI=CJ.
又因为 CI∥AB，CJ∥AD，
故 ∠ACI=π-∠ABC=π-∠DAC=∠ACJ．
此，△ACI≌△ACJ．
而，∠IAC=∠JAC，即 ∠GAC=∠EAC

二、(满分50分) 给定实数
a
,
b
,
c
，已知复数
z
1
,
z
2
,
z
3
满足：
?
|z
1
|?|z
2
|?|z
3
|?1
?
?
z
1
?
z
2
?
z
3
?1
，求|
az
1
+
bz
2
+
cz
3
|的值。
?
?
z
2
z
3
z
1

【解析】 记 e
可设
iθ
=cosθ+isinθ．
，则 < br>iφ-i(θ
，
iθ
z
1
?e
i(
?
?
?
)
．
z
3
由题设，有e+e+e=1.φ
两边取虚部，有
0=sinθ+sinφ-sin(θ+φ)
+φ)

故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ，k∈Z．
因而，z
1
=z< br>2
或z
2
=z
3
或z
3
=z
1．

如果z
1
=z
2
，代入原式即
故 ．
．
这时，|az
1
+bz
2
+cz
3
|=|z
1
||a+b±ci|=
类似地，如果z
2
=z
3
,则|az
1
+bz
2
+cz
3
|=
如 果z
3
=z
1
,则|az
1
+bz
2
+c z
3
|=
所以，|az
1
+bz
2
+cz
3
|的值为
．
或
．
;
或 ．

三、(满分50分) 给定正整数
n
，已知用克数都是正整数的
k
块 砝码和一台天平可以称出质量为
1,2,3,…,
n
克的所有物品。
（1）求
k
的最小值
f
(
n
)；
（2） 当且仅当
n
取什么值时，上述
f
(
n
)块砝码的组成方式是 唯一确定的？并证明你的结论。
【解析】(1)设这k块砝码的质量数分别为a
1
, a
2
,…,a
k
，且1≤a
1
≤a
2
≤… ≤a
k
，
a
i
∈Z，1≤i≤k．因为天平两端都可以放砝码，故可 称质量为 x
i
a
i
,x
i
∈｛-1，0，
1｝． 若利用这k块砝码可以称出质量为1，2，3，…,n的物品，则上述表示式中
含有1，2，…，n，由 对称性易知也含有0，-1，-2，…，-n，即
｛x
i
a
i
|x
i
∈｛-1，0，1｝｝｛0,±1，…，±n｝．
所以，2n+1=|｛0，±1，…，±n｝| ≤|｛
即 n≤
x
i
a
i
|x
i
∈｛-1，0，1｝｝|≤3，
k
设 m-1
且k=m时，可取a
1
=1,a
2
=3,…,a
m
=3 ．
由数的三进制表示可知，对任意0≤p≤3-1,都有p=
则 p-=y
i
3-3=(y
i
-1)3 ．
令x
i
=y
i
-1，则x
i
∈｛-1，0，1｝．
故对一切-
由于n≤
≤
l
≤ 的整数
l
， 都有
l
=x
i
3
i-1
i-1i-1i-1
my
i
3
i-1
，其中y
i
∈｛0，1，2｝．
,其中x
i
∈｛-1，0，1｝．
，因此，对一切-n≤
l
≤n的整数
l
，也有上述表示．

综上，可知k的最小值
f(n)=m·( (2)Ⅰ.当m-1
，3就是一种砝码的
m
组成方式．下面我们证明1，3，…，3
m-1
,3
m
-1也是一 种方式
若1≤
l
≤ ，由(1)可知
l
=x
i-1
i
3，x
i
∈｛-1，0，1｝．
则
l
=x
-1
i
3
i
+0·(3< br>m
-1)；
若 <
l
≤n<3 ，
则 <
l
+1≤．
由(1)可知

l
+1=，其中x
i
∈｛-1，0，1｝．
易知x=1．(否 则
l
≤3
i-1
m+1
-1=-1,矛盾)则
l
= ·(3
m-
1)．
所以，当n≠时，f(n)块砝码的组成方式不惟一．
Ⅱ.下面我们证明：当n=时，f(n)=m块砝码的组成方式是惟一的，
a
i< br>=3
i-1
(1≤i≤m)．
若对每个-≤
l
≤,都有
l
=x
i
a
i
，x
i
∈｛-1，0，1｝ ．
即 ｛x
i
a
i
|x
i
∈｛-1，0，1 ｝｝｛0,±1，…，±｝．
注意左边集合中至多有3m个元素．故必有
｛xi
a
i
|x
i
∈｛-1，0，1｝｝=｛0,±1，…，±｝．
从而，对每个
l
，-≤
l
≤ ,都可以惟一地表示为

l
=x
i
a
i
，其中x
i
∈｛-1,0,1｝．
因而，a
i
=．则(x
i
+1) a
i
=x
i
a
i
+a
i
=x
i< br>a
i
+．
令y
i
=x
i
+1,则y
i
∈｛0，1，2｝．
由上可知，对每个0≤
l
≤3
m
-1，都可以惟一地表示为
< br>l
=y
i
a
i
，其中y
i
∈｛0，1，2｝ ．
特别地，易知1≤a
1
2
<…m
．
即

下面用归纳法证明a
i
=3
当i=1时，易知
i-1
(1≤i≤m)．
y
i
a
i中最小的正整数是a
1
,故a
1
=1．
i-1
假设当1≤i≤p时，a
i
=3
由于y
i
a
i
=
p
．
y
i
3
i-1
, y
i
∈｛0，1，2｝就是数的 三进制表示，易知它们正好是
y
i
a
i
|y
i
∈｛ 0,1,2｝｝中最小的0，1，2，…,3-1，故a
p+1
应是除上述表示外｛
数 ，因此，a
p+1
=3．
i-1
由归纳法可知，a
i
=3(1≤
i
≤m)．
p
综合Ⅰ，
定的．






可知，当且仅当n=时，上述f(n)块砝码的组成方式是惟一确Ⅱ