(完整word版)2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛

2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题

（
说明：本试卷满分150分，共13题， 10道填空题，3道解答题。填空题的答案和解答
题的解答过程书写在答题纸上。）
一、填空题（每题8分，共80分）
1.如图，将长度为1的线段分为
x,y
两段，再将长度为
x
的线段弯成半圆周
ACB
，
将长度为
y
的线段折成矩形
ABDE
三条边（
BD,DE,EA
），构成闭“ 曲边形”
ACBDEA
，则该曲边形面积的最大值为_______________.
答案
1

2(
?
?4)
解 记圆的半径为
r
，矩形的宽为
h
，则有
?
x?
?
r
x12x
?r?,h?[1?x?]
，
?
1?x?2r?2h
?
2
?
?
所以曲边形的面积 为

1x
2
12x2xx(4?
?
)x
2
4?
??
2
?
2
S?
?
?
2
? ?(1?x?)???[()?(x?)]
，
22
2
?
2
???
2
?
2
?
4?
?
4?
?
因 此，当
x?
?
?
?4
时，
S
max
?1
.
2(
?
?4)
2.已知集合
A?{k?1,k? 2,L,k?n},k,n
为正整数，若集合
A
中所有元素之和为
2019， 则当
n
取最大值时，集合
A?
_____________________ _.
答案
A?{334,335,336,337,338,339}

解 由已知
2k?n?1
?n?3?673
.
2
当n?2m
时，得到
(2k?2m?1)m?3?673?m?3,n?6,k?333；
当
n?2m?1
时，得到
(k?m?1)(2m?1)?3?673 ?m?1,n?3
.
所以
n
的最大值为6，此时集合
A?{334 ,335,336,337,338,339}

?
2sin
?
cos
?
3.设
?
?(0,)
，则的最大值为_____ ___.
(sin
?
?1)(cos
?
?1)
2
答案
6?42

解 令
t?sin
?
?cos
?
，则
t?
2sin(
?
?
)
?
(1,2].
4
2sin
?
cos
?
t
2
?14
?
2
?2??(0,6?42].

(sin
?
? 1)(cos
?
?1)
t?1
t?1
?t?1
2
?
4. 设三条不同的直线：
l
1
:ax?2by?3(a?b?1)?0,
l
2
:bx?2(a?b?1)y?3a?0
，
l
3
:(a?b?1)x?2ay?3b?0
，则它们相交于一点的充分必要条件为
___ ____________.

1
答案
a?b??

2
解 设
c?a?b?1

?
ax?2by?3c?0?
设三条直线相交于点(x,y)，则有
?
bx?2cy?3a?0
?< br>cx?2ay?3b?0

?
A
P
D
B
C< br>消去
x,y
得
a
3
?b
3
?c
3< br>?3abc?0,
即
(a?b?c)(a
2
?b
2
? c
2
?ab?bc?ac)?0

把
c?a?b?1
代入得 ，
(2a?2b?1)[(a?b)?(b?1)?(a?1)]?0
，
当
(a?b)?(b?1)?(a?1)?0
时，解得
a?b??1
，不合题意舍去；
所以
2a?2b?1?0
，解得
a?b??
222
222< br>1
.

2
1
反之，当
a?b??
时，方程组有解.

2
5. 如图，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC=2. 在AC边上取一点D（不含A
、
C），将△ABD沿线段BD折起，得到△PBD. 当平面PBD
垂直平面ABC时，则P到平面ABC距离的最大值
为 .
答案 2
A
P
D
B
C
解 在
?ABC
中，因为
AB?BC?2,?ABC?120
o
，所以
?BAD?B CA?30
o
.

由余弦定理可得
AC?23
.
设
AD?x
，则
0?x?23
，
DC?23?x
.
在
?ABD
中，由余弦定理可得
BD?x
2
?23x?4< br>.
在
?PBD
中，
PD?AD?x
，
PB?BA? 2
,
?BPD?30
o
，
11
设
P
到平 面
ABC
距离为
d
，则
S
?PBD
?BD?d?P D?PBsin?BPD
，
22
解得
d?
x
x?23x? 4
2
?
1?
1
234
?
2
xx
， 由
0?x?23
得
d
max
?2
.
31
6.如图,在
?ABC
中,
D,E,F
分别为
BC,CA,AB上的点，且
CD?BC,EC?AC,
52
1
AF?AB.
设
P
为四边形
AEDF
内一点（
P
点不在边界上）.若
3
uuurruuur
1
uuu
DP??DC?xDE,
则实数< br>x
的取值范围为________________.
3
14
答案
(,)
.
23
1
解答：由已知，在
BD
上取一点
G
且
DG?DC.

3
设
DC?3a,
则
DG?a
.有
BC?5a
，则
BG?a
.
过G
作
GHDE
分别交
DF,AE
于
K,H
.
124
由
GHDE?HE?EC?AH?EC,HG?DE
.
333
AH1AF1
???FHBC?FH?BC
.
又
H C2FB3
FHKH331
??KG?HK?KG?HG?DE.

由
DGKG582
14
所以
x
?(,)
.
23
1010x?1009
,
定义
f
(1)
(x)?f( x),f
(i)
(x)?f(f
(i?1)
(x)),i?2,3,L
，则7.设
f(x)?
1009x?1010
f
(n)
(x)?< br>________________.
答案
f
(n)
(2019n
?1)x?2019
n
?1
(x)?

(2019
n
?1)x?2019
n
?1
(n)
解 由已知
f
1010f
(n?1)
(x)?1009f
(n)
(x)?11f
(n?1)
(x)?1
(x)??
(n)
??
(n?1)
,

(n?1)
1009f(x)?1010f(x)?120 19f(x)?1

f
(n)
(x)?11x?1(2019
n
?1)x?2019
n
?1
(n)
???f(x)?
以此类 推，
(n)

f(x)?1(2019)
n
x?1(2019
n
?1)x?2019
n
?1
8.设
z
1
,z< br>2
为复数，且满足
z
1
?5,
为_____________ ___________.
答案
10

z
1
?2?i
（ 其中
i
为虚数单位），则
z1
?z
2
取值
z
2
解 由
z
1
?5,
设
z
1
?5(cos
?
?isin
?)
，由
z
1
?2?i
得
z
2
?(2? i)(cos
?
?isin
?
)
，于
z
2
是，
z
1
?z
2
?(3?i)(cos
?
?isi n
?
)?10
.
9. 设
0?x
1
?x
2
，数列
{x
n
}
满足
x
n?2
?xn?1
?x
n
,n?1
. 若
1?x
7
?2< br>，则
x
8
的取值
范围为__________________.
答案
[
2113
,]

134
解 由已知得
x
3
?x
1
?x
2
,x
4
?x< br>1
?2x
2
,x
5
?2x
1
?3x
2
,x
6
?3x
1
?5x
2
,x
7
?5x
1
?8x
2
,x
8
?8x
1
?1 3x
2
,

因为
1?x
7
?2
，所以1?5x
1
?8x
2
?2,
结合
0?x
1?x
2
，在
O?x
1
x
2
坐标下所围成的111221
线性规划区域为四边形，它的四个顶点坐标分别为
(0,),(,),(,) ,(0,)
，
8131313134
2113
所以
x
8?8x
1
?13x
2
?[,]
.
134
10 .在复平面上，任取方程
z
100
?1?0
的三个不同的根为顶点组成三角形 ，则不同
的锐角三角形的数目为____________________.
答案 39200
解 易知
z
100
?1?0
的根在单位圆上，且两根之 间弧长相等，
都为
2
?
，即将单位圆均匀分成100段小弧.
100
首先选取任意一点
A
为三角形的顶点，共有100种取法. 按顺时针 方向依次取顶
点
B
和顶点
C
，设
AB
弧有
x
段小弧，
CB
弧有
y
段小弧，
AC
弧有
z
段小弧，则

?
x?y?z?100
?
x?y?z? 97
?ABC
为锐角三角形的等价条件为
?
?
?
L
(1)

?
1?x,y,z?49
?
0?x,y,z?48
计算方程组（1）的整数解个数，记
P
1
?
?
xx?y?z?97 ,x?49},P
2
?
?
yx?y?z?97,y?49},
P
3
?
?
zx?y?z?97,z?49},S?
?
( x,y,z)x?y?z?97,x,y,z?0},

2
P
1
?P
2
?P
3
?S?P
1
?P
2
U
P
3
?C
99
?[P
1
?P
2
?P
3
?
?
P
i
?P
j
?P
1
?P< br>2
?P
3
]

i?j
22
?C
99
?3C
50
?1176.

100?1176
?39200.

3
二、解答题（第11题20分，第12、13题各25分）
由于重复计算3次，所 以所求锐角三角形个数为
x
2
11.如图，椭圆
C
1
:?y
2
?1
,抛物线
C
2
:x
2
?2py(p ?0)
，
4
设
C
1
,C
2
相交于
A,B
两点，
O
为坐标原点.
（1）若
?ABO
的外心在椭圆上，求实数
p
的值；
（2 ）若
?ABO
的外接圆经过点
N(0,
13
)
，求实数p
的值.
2
解（1）由抛物线、椭圆和圆的对称性可知，
?ABO的外
心为椭圆的上顶点
M(0,1)
.则有
MA?MB?MO?1.设
B(x
0
,y
0
)(x
0
?0)
， 则有
2
?
x
0
?2py
0
?
2
?
x
0
2

?
?y
0
?14
?
22
?
x
0
?(y?1)?1
0
?
?
2
4(213?5)
?
x
0
?
9?
?
?1?13
解得
?
y
0
?
3
?
?
7?13
p?
?
6
?
（2）因 为
O,A,N,B
四点共圆，设
AB
与
y
轴相交于
C(0,y
0
)
，由相交弦定理得

1313
?y< br>0
)?x
0
x
0
?2py
0
，解得
y
0
??2p,
①

22
13
2
2
?2py
0
,解得，
x
0
?2p(?2p)
， ②
代入
x
0
2
AC?CB?CN?CO
,即
y< br>0
(
13p?4p
2
13
?(?2p)
2
? 1
，
将
①
②代入椭圆方程得
42
解得
p?3
.
12. 设
a
i
,b
i
?0(1?i?n?1),b
i?1
?b
i
?
?
?0(
?
为常数）.若
?
a
i
?1
，证明：
i?1
n
i
i< br>a
1
a
2
L
a
i
b
1
b< br>2
L
b
i
1
?
.
?
b
i ?1
b
i
?
i?1
n
i
i
a
1< br>a
2
L
a
i
b
1
b
2
L< br>b
i
1
n
11
i
?
?
(?)ia< br>1
a
2
L
a
i
b
1
b
2< br>L
b
i

证法一
?
bb
?
b b
i?1i?1
i?1iii?1
n
?(
?
?
b< br>i?1
1
n
1
i
?
n
1
)(a1
?a
2
?
L
?a
i
)
i
b
1
b
2
L
b
i

b
i?1
?
1
{a
1
?
?
[(a
1
?a
2
?
L
?a
i
)
i
b
1
b
2
L
b
i
?(a
1
?a
2
?
L
?a
i?1
)
i?1
b
1
b
2
L
b
i?1
]

?
i?2
b
i
1

?
1
(a
1
?a
2
?L?a
n
)
n
b
1< br>b
2
Lb
n
}

b
n?1
（因为< br>i
b
1
b
2
Lb
i
?
i?1
b
1
b
2
Lb
i?1
}
）
?
1
{a
1
?
?
i?2
n
?
1
1< br>i
b
1
b
2
L
b
i
[(a
1
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2
?
L
?a
i
)?(a
1
?a
2
?
L
?a
i?1
)]}

b
i
n
a
i
i
1a1
?[a
1
?
?
b
1
b
2
L
b
i
]?[a
1< br>?
?
i
b
i
]?
.
???
i?2
b
i
i?2
b
i
k
n
证法二 记
s
k
?
?
a
i
b
i
,s
0
?0
，则有
a
k
?
i?1
nn
s
k?s
k?1
.
b
k
nn
s
i
?s< br>i?1
s
i
s
i
s
i
s
?
?
(?)??
?
?
i
由已知
1?
?
a< br>i
?
?
b
i
b
i?1
b
i?1i?1i?1i?1
b
i
i?1
b
i
b
i?1
（因为
is
i
?
i
a
1
a
2La
i
b
1
b
2
Lb
i
）