高中数学全国高中数学联赛试题新规则和考试范围

全国高中数学联赛试题新规则和考试范围
──高中数学竞赛大纲（修订稿）
在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续
几年我国选手在国 际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为
之振奋，热忱不断高涨，数学竞 赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动持久、
健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和 各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学
竞赛大纲》以适应当前形势的需要。
本大 纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。《教
学大纲》在教学目的一 栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化
学好数学的积极性。”具体作法是： “对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等
多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视 能力的培养……，着重培养学生的运算能
力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综 合、归纳、演绎、概括、抽
象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力 ”。
《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样
的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。
而“课堂 教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容
必须充分考虑学生的实 际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”
的原则，这样才能加强基础，不断 提高。

全国高中数学联赛试题新规则

联赛分为一试、加试（ 即俗称的“二试”）。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、
“复赛”等等，都不是正式的全国联赛 名称及程序。
一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。
一试
考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。
（2009年的旧规则和2008年之前的旧规则略去。）
加试（二试）
考试 时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两
道每题50 分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。
（2009年的旧规则和2008年之前的旧规则略去。）
依据考试结果评选出各省级赛区级一 、二、三等奖。其中一等奖由各省负责阅卷评分，
然后讲一等奖的考卷寄送到主办方（当年的主办方）， 由主办方复评，最终由主管单位（中
国科协）负责最终的评定并公布。二、三等奖由各个省自己决定。
各省、市、自治区赛区一等奖排名靠前的同学可参加中国数学奥林匹克（IMO）。
根据最新消息，2011年数学联赛的试题规则与2010年相同。

考试范围
一试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定 的
教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和
微 积分初步不考。

二试
1.平面几何
基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的
平方和最小的点 --重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的等周问题。了解下述定理：
在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
2.代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。
n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论 问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧
几里得除法，非负最小完全剩余类 ，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及
其性质。
3.立体几何
多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4.平面解析几何
直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5.其他
抽屉原理。
容斥原理。

极端原理。
集合的划分。
覆盖。
梅涅劳斯定理
托勒密定理
西姆松线的存在性及性质。
赛瓦定理及其逆定理。