2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷 全国Ⅲ卷(含答案)

2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅲ卷
理科数学

一、选择题
y)|x，y?N
*
，y
1.
已知 集合
A?{(x，
（

）

A.2
2.
复数
A.
?
B.3
1
的虚部是（

）

1?3i
y)|x?y?8}
，则
A
x}，
B?{(x，
B
中元素的个数为
C.4 D.6
3

10
B.
?
1

10
C.
1

10
D.
3

10
4
i?1
p
2
，p
3
，p
4
，且
?
p
i
?1< br>，则下面四
3.
在一组样本数据中，
1
，
2
，
3
，
4
出现的频率分别为
p
1
，
种情形中，对应 样本的标准差最大的一组是（

）

A.
p
1
?p
4
?0.1
，
p
2
?p
3
?0.4< br>
C.
p
1
?p
4
?0.2
，
p< br>2
?p
3
?0.3

B.
p
1
?p
4
?0.4
，
p
2
?p
3
?0.1

D.
p
1
?p
4
?0.3
，
p
2
?p
3
?0.2

ic
模型是常用数学模型之一，可应 用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某
地区新冠肺炎累计确诊病例数
I(t)
（
t
的单位：天）的
Logistic
模型：
I(t)?
K
1?e
?0.23(t?53)
，其
中
K
为最大确诊病例 数
.
当
I(t
*
)?0.95K
时，标志着已初步遏制疫情 ，则
t
?
约为（
ln19?3
）
（

）

A.60 B.63 C.66 D.69
E
两点，若
OD?OE
，
y
2
?2px(p?0)
交于
D，
5.
设
O
为坐标原点，直线
x?2
与抛物线
C：
则
C
的焦点坐标为（

）

1
0)
A.
(，
4
1
0)
B.
(，
2
0)
C.
(1，0)
D.
(2，
a?b?
（

）

b
满足
|a|?5，|b|?6，a?b??6
，则
cosa，
6.
已知向 量
a，
A.
?
31

35
B.
?
19

35
C.
17

35
D.
19

35
7.
在
ABC
中，
cosC?
1
A.
9

2
，
AC?4
，
BC?3
，则
cosB?
（

）

3
1
B.
3
C.
1
1

2
D.
2

3

8.
下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（

）


A.
6?42
B.
4?42
C.
6?23
D.
4?23

π
9.
已知
2tan
?
?tan(
?
?)?7
，则
tan
?
?
（

）

4
A.
?2
B.
?1
C.1 D.2
1
10.
若直线
l
与曲线
y?x
和圆
x
2
?y
2
?
都相切， 则
l
的方程为（

）

5
A.
y?2x?1
B.
y?2x?
1

2
C.
y?
1
x?1

2
D.
y?
11
x?

22
x
2
y
2
11.
设双曲线
C：
2
?
2
?1(a?0，b?0)
的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2< br>，离心率为
5
.P
是
C
ab
上一点，且
F< br>1
P?F
2
P
.
若
PF
1
F
2
的面积为
4
，则
a?
（

）

A.1 B.2 C.4 D.8
12.
已知
5
5
?8< br>4
，
13
4
?8
5
.
设
a?log
5
3
，
b?log
8
5
，
c?log13
8
，则（

）

A.
a?b?c

二、填空题
?
x?y0，
?< br>13.
若
x
，
y
满足约束条件
?
2x?y0 ，
则
z?3x?2y
的最大值为
________.
?
x1，
?
B.
b?a?c
C.
b?c?a
D.
c?a?b

2
14.
(x
2
?)
6
的展开式中常数项是
___________
（用 数字作答）
.
x
15.
已知圆锥的底面半径为
1
，母线长 为
3
，则该圆锥内半径最大的球的体积为
_________.
16.
关于函数
f(x)?sinx?
1
有如下四个命题：

sinx
①
f(x)
的图像关于
y
轴对称
.
2

②
f(x)
的图像关于原点对称
.
③
f(x)
的 图像关于直线
x?
④
f(x)
的最小值为
2.
其中所有真命题的序号是
________.
三、解答题
17.
设数列
{a
n
}
满足
a
1
?3
，
a
n?1
?3a
n
?4n
.
（
1
）计算
a
2
，
a
3
，猜想
{a
n
}的通项公式并加以证明；

（
2
）求数列
{2
n
a
n
}
的前
n
项和
S
n
.
1 8.
某学生兴趣小组随机调查了某市
100
天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻 炼的人
次，整理数据得到下表（单位：天）：

(200，400](400，600]
π
对称
.
2

1
（优）

2
（良）

3
（轻度污染）

4
（中度污染）

[0，200]


16
10
7
2

25
12
8
0
2
5
6
7
（
1
）分别估计该市一天的空气质量等级为
1
，
2
，
3
，
4
的概率；

（
2
） 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）；

（
3
）若某天的空气质量等级为
1
或
2
，则称这天 “空气质量好”；若某天的空气质量等级为
3
或
4
，则称这天“空气质量不好 ”
.
根据所给数据，完成下面的
2?2
列联表，并根据列联表，
判断 是否有
95%
的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？


空气质量好

空气质量不好

2
人次


400

人次
?400




n(ad?bc)
2
附：
K?
，
(a?b)(c?d)(a ?c)(b?d)
19.
如图，在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，点
E
，
F
分别在 棱
DD
1
，
BB
1
上，且
2DE?ED
1
，
3

BF?2FB
1
.

（
1
）证明：点
C
1
在平面
AEF内；

（
2
）若
AB?2
，
AD?1
，
AA
1
?3
，求二面角
A?EF?A
1
的正弦值
.
x
2
y
2
15
20.
已知椭圆
C：?
2
?1(0?m?5)
的离心率为，
A
，
B
分别为
C
的左、右顶点
.
25m
4
（
1
）求
C
的方程；

（
2
）若点
P
在
C
上，点
Q
在直线
x?6
上，且
|BP|?|BQ|
，
BP?BQ
，求
AP Q
的面积
.
11
f())
处的切线与
y
轴垂直
. 21.
设函 数
f(x)?x
3
?bx?c
，曲线
y?f(x)
在点(，
22
（
1
）求
b
；

（
2
）若
f(x)
有一个绝对值不大于
1
的零点，证明：
f( x)
所有零点的绝对值都不大于
1.
?
x?2?t?t
2
，
22.
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为?
t
t?1
），
C
与坐标
2
（为参数且
y?2?3t?t
?
轴交于
A
，
B
两点
.
（
1
）求
|AB|
；

（
2
）以 坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线
AB
的极坐标方程
.
23.
设
a
，
b
，
c?R
，
a?b?c?0
，
abc?1
.
（
1
）证明：
ab?bc?ca?0
；

bc}< br>表示
a
，
b
，
c
的最大值，证明：
max{ a，b，c}
（
2
）用
max{a，，
3
4
.
4

参考答案
1.
答案：
C
解析：

2.
答案：
D
解析：

3.
答案：
B
解析：

4.
答案：
C
解析：

5.
答案：
B
解析：

6.
答案：
D
解析：

7.
答案：
A
解析：

8.
答案：
C
解析：

9.
答案：
D
解析：

10.
答案：
D
解析：

11.
答案：
A
解析：

12.
答案：
A
解析：

13.
答案：
7
解析：

14.
答案：
240
解析：


5

15.
答案：
解析：

2
π

3
16.
答案：②③

解析：

17.
答案：解：（
1
）
a
2
?5，a
3
?7
.
猜想
a
n
?2n?1
.
由已知可得

a< br>n?1
?(2n?3)?3[a
n
?(2n?1)]
，
a
n
?(2n?1)?3[a
n?1
?(2n?1)]
，

……

a
2
?5?3(a
1
?3)
.
因为
a
1
?3
，所以
a
n
?2n?1.
（
2
）由（
1
）得
2
n
a
n
?(2n?1)2
n
，所以
S
n
?3?2?5?22
?7?2
3
?
从而
2S
n
?3?2
2
?5?2
3
?7?2
4
?
①
-
②得?S
n
?3?2?2?2
2
?2?2
3
?
所以
S
n
?(2n?1)2
n?1
?2
.
解析：

18.
答案：解：

（
1
）由 所给数据，该市一天的空气质量等级为
1,2,3,4
的概率的估计值如下表：
空气质 量等级

概率的估计值

1
0.43
2
0.27
3
0.21
4
0.09
?(2n?1)?2
n
.
①

?(2n?1)?2
n?1
.
②

?2?2
n
?(2n?1)?2
n?1
.
（
2< br>）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
（
3
）根据所给数据，可得
2?2
列联表：


空气质量好

空气质量不好

2
1
(100?20?300?35?500?45)?350
.
100
人次
400

33
22
人次
?400

37
8
100?(33?8?22?37)
2
?5.820
.
根据列联表得
K?
55?45?70?30
6

由于
5.820?3.841
，故有
95%
的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量
有关
.
解析：

19.
答案：解
:
设
AB?a,AD? b,AA
1
?c
，如图，以
C
1
为坐标原点，
C< br>1
D
1
的方向为
x
轴正方向，
建立空间直角坐标系< br>C
1
?xyz
.

211
（
1
） 连结
C
1
F
，则
C
1
(0,0,0)
，< br>A(a,b,c)
，
E(a,0,c)
，
F(0,b,c)
，
EA?(0,b,c)
，
333
1
C
1
F?(0, b,c)
，得
EA?C
1
F
，

3
因此< br>EAC
1
F
，即
A,E,F,C
1
四点共面，所以点
C
1
在平面
AEF
内
.
（
2
） 由已知得
A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A
1
(2,1, 0),AE?(0,?1,?1)
，
AF?(?2,0,?2),A
1
E?( 0,?1,2),A
1
F?(?2,0,1)
.
设
n
1< br>?(x,y,z)
为平面
AEF
的法向量，则

?
?
n
1
?AE?0,
?
?y?z?0,
即
?
可取
n
1
?(?1,?1,1)
.
?
?2x?2z?0,
?
?
n
1
?AF?0,
?
设
n
2
为平面
A
1
EF
的法向量，则

?
?n
2
?A
1
E?0,
1
同理可取
n
2
?(,2,1)
.
?
2
?
?
n
2
?A
1
F?0,
因为
cosn
1
,n
2
?
n
1
?n
2
7
42
??
.
， 所以二面角
A?EF?A
1
的正弦值为
|n
1
|?|n2
|7
7
7

解析：

20.
答案：解：

x
2
y
2
25
??1
25?m15
2
.
（
1
）由题设可得，得
m?
，所以
C
的方程为
25
25
?
16
54
16
2
（
2
）设
P(x
P
,y
P
),Q(6,y
Q
)
，根据对称性可设
y
Q
? 0
，由题意知
y
P
?0
.
由已知可得
B(5,0 )
，直线
BP
的方程为
y??
1
22
(x?5)< br>，
.
,|BQ|?1?y
Q
所以
|BP|?y
P< br>1?y
Q
y
Q
因为
|BP|?|BQ|
，所以
y
P
?1
，将
y
P
?1
代入
C
的方程，解得
x
P
?3
或
?3
.
由直线
BP
的方程得
y
Q
?2
或
8. < br>所以点
P，Q
的坐标分别为
P
1
?(3,1),Q
1
(6,2);P
2
?(?3,1),Q
2
(6,8)
. < br>1
10
x
，
|PQ
直线
PQ
点
A? (?5,0)
到直线
PQ
，故
APQ
11
11
的方 程为
y?
11
的距离为
11
|?10
，
3
2
1105
的面积为
??10?
.
222
|P
2
Q
2
|?130
，直线
P
2
Q
2
的方程为
y?
710
130
x?
，点
A
到直线P
2
Q
2
的距离为，故
AP
2
Q
2< br>93
26
11305
的面积为
??130?
.
2262
5
综上，
APQ
的面积为
.
2
解析：

21.
答案：解：（
1
）
f
?
(x)?3x
2
?b
.
13
依题意得
f
?
()?0
，即
?b?0
.
24
3
故
b??
.
4
33
32
（
2
）由（
1
）知
f(x)?x?x?c,f
?
( x)?3x?
.
44
1
1
令
f
?
(x) ?0
，解得
x??
或
x?
.
2
2
f?
(x)
与
f(x)
的情况为：

x
f
?
(x)

1
(?∞，-)

2
-
1

2
11
(-，)

22
1

2
1
(
，+∞
)

2
+ 0
8
– 0 +

f(x)

↗

1
c?

4
↘

1
c?

4
↗

111
因为
f(1)?f(?)?c?
，所以当
c??
时，
f(x)
只有大于
1
的零点
.
244
111
因为
f(?1)?f()?c?
，所以当
c?
时，
f(x)
只有 小于
?1
的零点
.
244
由题设可知
?
11
c
.
44
11
当
c??
时，
f(x)
只有两个零点
?
和
1.
42
当
c?
11
时，
f(x)
只有两个零点
?1
和
.
42
111111
当
??c?
时，
f(x)
有三个零点
x
1
,x
2
,x
3
，且
x
1
?(?1,?),x
2
?(?,),x
3
?(,1)
.
442222
综上，若
f(x)
有一个绝 对值不大于
1
的零点，则
f(x)
所有零点的绝对值都不大于
1.
解析：

22.
答案：解：（
1
）因为
t?1< br>，由
2?t?t
2
?0
得
t??2
，所以
C
与
y
轴的交点为
(0,12)
；由
2?3t?t
2
?0
得
t?2
，所以
C
与
x
轴的交点为< br>(?4,0)
.
故
|AB|?410
.
（
2）由（
1
）可知，直线
AB
的直角坐标方程为
xy
?? 1
，将
x?
?
cos
?
,y?
?
sin< br>?
代入，
?412
得直线
AB
的极坐标方程
3
?
cos
?
?
?
sin
?
?12?0
.
解析：

23.
答案：解：（
1
）由题设可知，
a,b,c
均不为零，所以

1
ab?bc?ca?[(a?b?c)
2
?(a
2
?b
2
?c
2
)]

2
1
??(a
2
?b
2
?c
2
)

2
?0
.
(b?c)
2
（
2
）不妨 设
max{a,b,c}?a
，因为
abc?1,a??(b?c)
，所以< br>a?0,b?0,c?0
.
由
bc
，
4
a
3
可得
abc
，故
a
3
4
，所以
max{a ,b,c}
3
4
.
4
解析：




9