2020年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试卷 全国Ⅰ卷(含答案)

2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅰ卷
文科数学

一、选择题
1.若
z?1?i
,则
z
2
?2z?
( )
A.0 B.1 C.
2
D.2
2.设集合
A?xx
2
?4?0
，
B?
?
x2x?a?0
?
，且
A?B?
?
x?2?x?1
?
，则
a?
( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
??
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹 之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的
高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形 的面积，则其侧面三角形底边上的高与
底面正方形的边长的比值为( )

A.
5?1

4
B.
5?1

2
C.
5?1

4
D.
5?1

2
4.已知
A
为抛物线
C:y
2
?2px(p?0)
上一点，点
A
到
C
的焦点的距离为12，到
y
轴的
距离为9，则
p?
( )
A.2 B.3 C.6 D.9
5.某 校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率
y
和温度
x
(单位：
°
在20
C
)的关系，
个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据< br>(x
i
,y
i
)(i?1,2,...,20)
得到下面的散 点图：
由此散点图，在
10?C
至
40?C
之间，下面四个回归方 程类型中最适宜作为发芽率
y
和温度
x
的回归方程类型的是( )
1

A.
y?a?bx
B.
y?a?bx
2
C.
y?a?be
x
D.
y?a?blnx

6.函数
f(x)?x
4
?2x
3
的图像在点
(1,f(1))
处的切线方程为( )
A.
y??2x?1
B.
y??2x?1
C.
y?2x?3
D.
y?2x?1

π
7.设函数f(x)?cos(
?
x?)
在
?
?π,π
?
的图像大致如下图，则
f(x)
的最小正周期为( )
6

A.
10π

9
B.
7π

6
C.
4π

3
D.
3π

2< br>y
2
8.
(x?)(x?y)
5
的展开式中
x
3
y
3
的系数为( )
x
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
9.已知
?
?(0,?)
，且
3cos2
?
?8cos
?
?5
，则
sin
?
?
( )
A.
5

3
B.
2

3
1
C.
3
D.
5

9
10. 已知
A,B,C
为球
O
的球面上的三个点，
O
1
为
ABC
的外接圆，若
O
1
的面积为
4π,AB?BC?AC ?OO
1
,则球
O
的表面积为( )
A.
64π
B.
48π
C.
36π

y2
D.
32π

0
，
P
为
l< br>上的动点，过点
P
作
11.
已知
M:x
2
? y
2
?2x?2y?2?0
，直线
l:2x
⊙
M
的 切线
PA,PB
，切点为
A,B
，当
|PM|?|AB|
最 小时，直线
AB
的方程为
( )
A.
2x?y?1?0
B.
2x?y?1?0
C.
2x?y?1?0
D.
2x?y?1?0

12.
若
2
a
?log
2
a?4
b
?2log
4
b
，则
( )
2

A.
a?2b
B.
a?2b
C.
a?b
2
D.
a?b
2

13.
已 知集合
A?{x|x
2
?3x?4?0},B?{?4,1,3,5}
,则
A?B?
( )
A.
{?4,1}
B.
{1,5}
C.
{3,5}
D.
{1,3}

14.
若
z?1?2i?i
3
，则
|z|?
( )
A.0 B.1 C.
2
D.2
15.
埃及胡夫金字塔是古 代世界建筑奇迹之一
,
它的形状可视为一个正四棱锥
,
以该四棱锥的
高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积
,
则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
( )

A.
5?1

4
B.
5?1

2
C.
5?1

4
D.
5?1

2
16.
设
O
为正方形
ABCD
的中心
,
在
O,A,B,C,D
中任取< br>3
点
,
则取到的
3
点共线的概率为
( )
A.
1

5
B.
2

5
C.
1

2
D.
4

517.
某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率
y
和温度
x(
单位：
°C
)
的关系，在
20
个不同的温度条件下进 行种子发芽实验，由实验数据
(x
i
,y
i
)(i?1,2,
图：

,20)
得到下面的散点

由此散点图，在
10? C
至
40?C
之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率
y
和 温度
x
的回归方程类型的是
( )
3

A.
y?a?bx
B.
y?a?bx
2
C.
y?a?be
x
D.
y?a?blnx

18.< br>已知圆
x
2
?y
2
?6x?0
，过点
?1,2
?
的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
π
19.
设函数
f(x)?cos(
?< br>x?)
在
[?π,π]
的图像大致如下图，则
f
?
x
?
的最小正周期为
( )
6

A.
10π

9
B.
7π

6
C.
4π

3
D.
3π

2
20.
设
alog
3
4?2
，则
4
?a< br>?
( )
A.
1

16
1
B.
9
1
C.
8
D.
1

6
21.
执行下面的程序框图，则输出的
n?
( )

A.17 B.19 C.21 D.23
22.
设
{a
n
}
是等比数列，且
a
1
?a
2
?a
3
?1
，
a
2
?a
3
+a
4
?2< br>，则
a
6
?a
7
?a
8
?
( )
A.12 B.24
2
C.30 D.32
y
2
2 3.
设
F
1
,F
2
是双曲线
C:x??1
的两个焦点，
O
为坐标原点，点
P
在
C
上且
|OP |?2
，
3
4

则
△PF
1
F
2
的面积为
( )
A.
7

2
B.3 C.
5

2
D.2
24.
已知
A,B,C
为球
O
的球面上的三个点，
O
1
为
ABC
的外接圆，若
O
1
的面积为
4π
，
AB?BC?AC?OO
1
，则球
O
的表面积为
( )
A.
64π

二、填空题
B.
48π
C.
36π
D.
32π

?
2x?y?2?0,
?
25.若
x,y
满足约束条件
?
x?y?1?0,
则
z?x?7y
的最大值为____________.
?
y?1?0,
?
26.设
a,b
为单位向量，且
|a?b|?1
，则
|a?b|?
___________.
x
2
y
2
27.
已知
F
为双曲线
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的右焦点，
A
为
C
的右顶点，
B
为
C
上
ab
的点，且
BF
垂 直于
x
轴
.
若
AB
的斜率为
3
，则
C
的离心率为
______________.
28.
如图，在三棱锥< br>P–ABC
的平面展开图中，
AC?1
，
AB?AD?3
，< br>AB?AC
，
AB?AD
，
?CAE?30?
，则
c os?FCB?
______________.

?
2x?y?2?0,
?
29.若
x,y
满足约束条件
?
x?y?1?0,
则
z?x?7y
的最大值为__________.
?
y?1?0,?
30.设向量
a?(1,?1),b?(m?1,2m?4)
，若
a? b
，则
m?
____________.
31.曲线
y?lnx? x?1
的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
5

32.数列
{a
n
}
满足
an?2
?(?1)
n
a
n
?3n?1
，前16项和为5 40，则
a
1
?
_____________.
三、解答题 33.
设
{a
n
}
是公比不为
1
的等比数列，
a
1
为
a
2
，
a
3
的等差中项．

(1)
求
{a
n
}
的公比；

(2)
若
a
1
?1
，求数列
{na
n
}< br>的前
n
项和
.
34.
如图，
D
为圆锥的顶 点，
O
是圆锥底面的圆心，
AE
为底面直径，
AE?AD
.
ABC
是
6
底面的内接正三角形，
P
为
DO
上一点，
PO?DO
.
6

(1)
证明：
PA?
平面
PBC
；

(2)
求二面角
B?PC?E
的余弦值
.
35.
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽
签决定首先比赛的 两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一
场轮空，直至有一人被淘汰；当 一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，
另一人最终获胜，比赛结束
.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空
.
设每场比赛双方获胜的概率
都为
1< br>.
2
(1)
求甲连胜四场的概率；

(2)
求需要进行第五场比赛的概率；

(3)
求丙最终获胜的概率
.
x
2
36.
已知< br>A,B
分别为椭圆
E:
2
?y
2
?1
?a?1
?
的左、右顶点，
G
为
E
的上顶点，
a
AG?GB?8
，
P
为直线
x?6
上的动点，
PA
与
E
的另一交点为
C
，
PB
与
E
的另一交
点为
D
.
6

(1)
求
E
的方程；

(2)
证明：直线
CD
过定点
.
37.
已知函数
f(x)?e
x
?ax
2
?x
.
(1)
当
a?1
时，讨论
f
?
x
?
的单调性；

(2)
当
x?0
时，
f
?
x
?
?
1
3
x?1
，求
a
的取值范围
.
2k
?
?
x?cost,
t
38.
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为
?
(
为参数).
以坐标原点为极点，
k
?
?
y?sint
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
2
的极坐标方程为
4
?cos
?
?16
?
sin
?
?3?0
.
(1)
当
k?1
时，
C
1
是什么曲线？

(2)
当
k?4
时，求
C
1
与
C
2
的公共点的直角坐标
.
39.
已知函数
f(x)?|3x?1|?2|x?1|
.
(1)
画出
y?f(x)
的图像；


(2)
求不等式
f(x)?f(x?1)
的解集
.
40.
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品
(
单位：件
)
按标准分为
A,B,C,D
四个等级
.
加
工业务约定：对于
A
级品、
B
级品、
C
级品，厂家每件分别收取加工费
90
元，
50
元，
20
元；对于
D
级品，厂家每件要赔偿原料损失费
50
元
.
该厂有甲、乙两个分厂可承接加工
业务
.
甲分厂加工成本费为
25
元

件，乙分厂加工成本费为
20
元

件
.
厂家为决定由哪个分厂
承接加工业务，在两个分厂各试加工了< br>100
件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如
下：

甲分厂产品等级的频数分布表

等级

A

B

C

D

7

频数
40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表

等级

频数

A

B

C

D

28 17 34 21
(1)
分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为
A
级品的概率；

(2)
分别求甲、乙两分厂加工出来的
100
件产品的平均利润，以平均利润 为依据，厂家应选
哪个分厂承接加工业务
?
41.
ABC
的内角< br>A,B,C
的对边分别为
a,b,c
.
已知
B?150?.
(1)
若
a?3c,b?27
，求
ABC
的面积；

(2)
若
sinA?3sinC?
2
，求
C
. < br>2
42.
如图，
D
为圆锥的顶点，
O
是圆锥底面的圆 心，
ABC
是底面的内接正三角形，
P
为
DO
上一点，?APC?90?
．


(1)
证明：平面
PAB?
平面
PAC
；

(2)
设
DO?2
，圆锥的侧面积为
3π
，求三棱锥
P? ABC
的体积
.
43.
已知函数
f(x)?e
x
?a(x?2)
.
(1)
当
a?1
时，讨论
f(x)
的单调性；

(2)
若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围
.
x
2
44.
已知
A,B
分别为椭圆
E:
2
?y
2
?1
?
a?1
?
的左、右顶点，
G
为
E
的上顶点，
a
AG?GB?8
，
P
为 直线
x?6
上的动点，
PA
与
E
的另一交点为
C< br>，
PB
与
E
的另一交
点为
D
．

8

(1)
求
E
的方程；

(2)
证明：直线
CD
过定点
.
k
?
?
x?cost,
t
45.
在直角坐标系
xOy
中，
(
为参数
)
．曲线
C
1
的参数方程为
?
以 坐标原点为极点，
k
?
?
y?sint
x
轴正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线
C
2
的极坐标方程为
4
?
cos
?
?16
?
sin
?
?3?0
．

(1)
当
k?1
时，
C
1
是什么曲线？

(2)
当
k?4
时，求
C
1
与
C
2
的公共点的直角坐标．

46.
已知函数
f(x)?|3x?1|?2|x?1|
．

(1)
画出
y?f(x)
的图像；


(2)
求不等式
f(x)?f(x?1)
的解集
.
9

参考答案
1.答案：D
解析：
2.答案：B
解析：
3.答案：C
解析：如图，设正四棱锥的高为
h
，底面边 长为
a
，侧面三角形底边上的高为
h'
，则依
?
2
1
h?ah'
?
a1h'h'
?
2
题意有：
?，因此有
h'
2
?()
2
?ah'
，化简得
4 ()
2
?2()?1?0
，解得
22aa
?
h
2< br>?h'
2
?(
a
)
2
?
?2
h'5 ?1
.
?
a4

4.答案：C
解析：设点
A< br>的坐标为
(x，y)
，由点
A
到
y
轴的距离为9可得
x?9
，由点
A
到
C
的
焦点的距离为12，可得< br>x?
5.答案：D
解析：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图像的大致走向判断， 此函数应该是对数函数
类型的，故应该选用的函数模型为
y?a?blnx
.
6.答案：B
解析：先求函数的导函数
f'(x)?4x
3
?6x
2
，则由导数的几何意义知在点
(1,f(1))
处的切线的
斜率为
k?f'(1)??2
，又因为
f(1)??1
，由直线方程的点斜式得切线 方程为：
y?(?1)??2(x?1)
，化简得
y??2x?1
.
p
?12
，解得
p?6
.
2
7.答案：C 解析：由图知
f(?
4π4ππ4πππ
)?cos(?
?
?) ?0
，所以
?
?
???k
π(
k?Z
)
， 化简得
996962
10

?
??
2π4 π
3?9k
又因为
T?2π?2T
，即，所以
1?|
?|?2
，当且仅当
k??1
?2π?
(k?Z)
，
|< br>?
||
?
|
4
2π4π
3
，最小正周期T?
.故选C.
?
|
?
|3
2
时
1 ?|
?
|?2
，所以
?
?
8.答案：C
12，， 34，5)
，所以
r?1
时，解析：
(x?y)
5
的通项公 式为
C
5
r
x
5?r
y
r
(r?0，，< br>y
2
14
323
xy?10x
3
y
3
，所以
x
3
y
3
的系数为15.
C
5
xy?5x
3
y
3
，r?5
，时
xC
5
x
9.答案：A
2
解析：原式化简得
3cos
2
?
?4cos
?
?4?0
，解得
cos
?
??
，或2 （舍），又
?
?(0,π)
，所
3
以
sin
??
5
.
3
10.答案：A
解析：设
AB?a,O< br>1
的半径为
r
，球
O
的半径为
R
，所以πr
2
?4π
，所以
r?2
，而
r?O
1A?
3
a
，所以
a?23,R
2
?OO
12
?O
1
A
2
?4
，所以球
O
的表面 积为
4πR
2
?64π
，故
3
选A.
11.答案：D
解析：
M:(x?1)
2
?(y?1)
2
?4
，
因为
S
PAMB
?
1
|PM||AB|?2S
2< br>PAM
?|PA||AM|?2|PA|?2|PM|
2
?4
，
11
x?
，
22
所以
|PM·||AB|
最小， 即
|PM|
最小，此时
PM
与直线
l
垂直，
PM： y?
直线
PM
与直线
l
的交点
P(?1，0)
，
过直线外一点
P
作
M
的切线所得切点弦所在直线方程为：
2 x?y?1?0
，所以选D.
12.答案：B
解析：
13.答案：D
解析：由
x
2
?3x?4?0
解得
?1?x?4
,
所以
A?
?
x|?1?x?4
?
,
又因为
B?
?
?4,1,3,5
?
，所以
A?B?
?
1 ,3
?
,
故选：
D.
11

14.答案：C
解析：因为
z?1+2i?i
3
?1+2i?i? 1?i
,
所以
z?1
2
?1
2
?2
．
故选：
C
．

15.答案：C
a
, 解析：如图
,
设
CD?a,PE?b
,
则
PO?PE? OE?b?
4
222
2
1bb
a
2
1
2< br>?ab
,
化简得
4()
2
?2??1?0
,
由题意
PO?ab
,
即
b?
2aa
42
2
解得
b1?5
(
负值舍去
).
?
a4
故选：
C.

16.答案：A
解析：如 图
,
从
O,A,B,C,D
5
个点中任取
3
个有< br>
{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C}

{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D}

{A,C,D},{B,C,D}
共
10
种不同取法
,
3
点共线只有
{A,O,C}
与
{B,O,D}
共
2
种情况
,
由古典概型的概率计算公式知
,
取到
3
点共线的概率为
故选：
A.
21
?
.
105
12

17.答案：D
解析：由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率
y
和温度
x
的回归方程类型的是
y ?a?blnx
.
故选：
D.
18.答案：B
解析：圆
x
2
?y
2
?6x?0
化为
(x?3)
2
?y
2
?9
，所以圆心
C
坐标为
C(3,0)
， 半径为
3
，

设
P(1,2)
，当过点
P
的直线和直线
CP
垂直时，圆心到过点
P
的直线的距离最大，所求的
弦长最短，

根据弦长公式最小值为
29?|CP|
2
?29?8?2
.
故选：
B.
19.答案：C
?
4π
?
解析：由 图可得：函数图象过点
?
?,0
?
，

?
9
?
π
??
4π
将它代入函数
f
?
x
?< br>可得：
cos
?
??
?
?
?
?0
，

6
??
9
?
4π
?
又
?
?,0
?
是函数
f
?
x
?
图象与
x轴负半轴的第一个交点，

?
9
?
4πππ3
所以??
?
???
，解得：
?
?
，

96 22
所以函数
f
?
x
?
的最小正周期为
故选：C.
20.答案：B
T?
2π
?
?
2π4π
?
3
3
，

2
解析：由
alog
34?2
可得
log
3
4
a
?2
，所以
4
a
?9
，

所以有
4
?a
?
1
，

9
13

故选：
B.
21.答案：C
解析：依据程序框 图的算法功能可知，输出的
n
是满足
1?3?5?
因为

? n?100
的最小正奇数，
?
1?n
?
?
?
?1?3?5??n?
n?1
?
?1
?
2
??
?
1
n?1
2
?100
，解得
n?19
，

??
24
所以输出的
n?21
．

故选：
C.
22.答案：D
2
解析：设等比数列
?a
n
?
的公比为
q
，则
a
1
?a2
?a
3
?a
1
1?q?q?1
，

??
a
2
?a
3
?a
4
?a
1
q ?a
1
q
2
?a
1
q
3
?a
1< br>q
?
1?q?q
2
?
?q?2
，

567525
因此，
a
6
?a
7
?a
8
? a
1
q?a
1
q?a
1
q?a
1
q1?q ?q?q?32
.
??
故选：
D.
23.答案：B
解 析：由已知，不妨设
F
1
(?2,0),F
2
(2,0)
，

则
a?1,c?2
，因为
|OP|?1?
1
|F
1
F
2
|
，

2
所以点
P
在以
F
1
F
2
为直径的圆上，

即
F< br>1
F
2
P
是以
P
为直角顶点的直角三角形，

故
|PF
1
|
2
?|PF
2
|
2
?|F
1
F
2
|
2
，

即
|PF
1
|
2
?|PF
2
|
2
?16< br>，又
|PF
1
|?|PF
2
|?2a?2
，

所以
4?|PF
1
|?|PF
2
|?|PF
1|
2
?|PF
2
|
2
?2|PF
1
| |PF
2
|?16?2|PF
1
||PF
2
|
，< br>
解得
|PF
1
||PF
2
|?6
，所以< br>S
△
F
1
F
2
P
?
故选：
B.
24.答案：A
解析：设圆
O
1
半径为
r
，球的半径为
R
，依题意，

得
πr
2
?4π,?r?2
，

1
|PF
1
||PF
2
|?3
，

2
2
14

由正弦定理可得
AB?2rsin60??23
，

?OO
1
?AB?23
，根据圆截面性质
OO
1
?
平面
A BC
，

?OO
1
?O
1
A,R?OA?OO1
2
?O
1
A
2
?OO
1
2
?r
2
?4
，

?
球
O
的表面积
S?4πR
2
?64π
.
故选：
A.

25.答案：1
解析：
26.答案：
3

解析：
27.答案：2
解析：
1
28.答案：
?

4
解析：
29.答案：1
解析：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

15

11
目标函数
z?x?7y
即：
y??x?z
，

77
其中
z
取得最大值时，其几何意义表示直线系在
y
轴上 的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点
A
处取得最大值，

?
2x?y?2?0
联立直线方程：
?
，可得点
A
的坐标为 ：
A1,0
，

x?y?1?0
?
据此可知目标函数的最大 值为：
z
max
?1?7?0?1
.
故答案为：
1
．

30.答案：5
解析：由
a?b
可得
a?b?0
，

又因为
a?(1,?1),b?(m?1,2m?4)
，

所以
a?b?1?(m?1)?(?1)?(2m?4)?0
，

即
m?5
，

故答案为：
5.
31.答案：
y?2x

解析：设切线的切点坐标为
(x
0
,y
0
),y?lnx?x?1,y??
y?|
x?x
0< br>?
1
?1
，

x
1
?1?2,x
0
?1,y
0
?2
，所以切点坐标为
(1,2)
，

x
0
所求的切线方程为
y?2?2(x?1)
，即
y?2x
.
故答案为：
y?2x
.
32.答案：7
16

解析：
a
n?2
?(?1)
n
a
n
?3n?1
，

当
n
为奇数时，
an?2
?a
n
?3n?1
；当
n
为偶数时，
a
n?2
?a
n
?3n?1
.
设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，
S
16
?a
1
?a
2
?a
3
?a4
?
?a
1
?a
3
?a
5
?a
16

(a
14
?a
16
)

?a15
?(a
2
?a
4
)?
?a
1
?( a
1
?2)?(a
1
?10)?(a
1
?24)?(a1
?44)?(a
1
?70)

?(a
1
?1 02)?(a
1
?140)?(5?17?29?41)

?8a
1
?392?92?8a
1
?484?540
，

?a
1
?7
.
故答案为：
7.
1(3n?1) (?2)
n
33.答案：(1)
q??2
；(2)
S
n??
.
99
解析：(1)设
?
a
n
?
的公比为
q
，由题设得
2a
1
?a
2
?a
3
，即
2a
1
?a
1
q?a
1
q
2
.
所以
q
2
?q?2?0
，解得
q?1(舍去)，
q??2
.
故
?
a
n
?
的公比为
?2
.
( 2)记
S
n
为
?
na
n
?
的前
n
项和.由(1)及题设可得，
a
n
?(?2)
n?1
.所以
S
n
?1?2?(?2)??n?(?2)
n?1
，
?(n?1)?(?2)
n?1
?n?(?2)
n
.
?(?2)
n?1
?n?(?2)
n

?2S
n< br>??2?2?(?2)
2
?
可得
3S
n
?1?(?2 )?(?2)
2
?
1?(?2)
n
??n?(?2)
n.
3
1(3n?1)(?2)
n
所以
S
n
? ?
.
99
34.答案：(1)见解析；(2)
25
.
5
63
a,AO?a,AB?a
，
63
解析：(1)设
DO?a
，由题设可得
PO?
17

PA?PB?PC?
2
a
.
2
因此
PA
2
?PB
2
?AB
2
，从而
PA ?PB
.
又
PA
2
?PC
2
?AC
2< br>，故
PA?PC
.
所以
PA?
平面
PBC
.
(2)以
O
为 坐标原点，
OE
的方向为
y
轴正方向，
OE
为单位长，建立 如图所示的空间直角
坐标系
O?xyz
.

?
31
??
2
?
?,,0,P0,0,
由题设可得
E(0,1,0),A (0,?1,0),C
????
?
22
???
.
2
????
??
31
?
2
?
?,?,0,EP?0,?1,
所以
EC?
????
?
2
???
.
22
????
设
m?(x,y,z)
是平面
PCE
的法向量，则
?
2
?y?z?0,
?
?
?
m?EP?0,
?
2
即
?

?
31
?
?
m?E C?0,
?
?x?y?0.
?
?22
??
3
?,1 ,2
可取
m?
??
?
3
?
.
??
?
2
?
AP?0,1,
由(1)知
??
??
是平 面
PCB
的一个法向量，记
n?AP
,
2
??
则
cosn,m?
n?m25
?
.
|n|?|m|5
18

所以二面角
B?PC?E
的余弦值为
35.答案：(1)
137
；(2)；(3).
16416
1
.
16
25
.
5
解析： (1)甲连胜四场的概率为
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为
乙连胜四场的概率为
1
；
16
1
；
16
1
丙上场后连胜三场的概率为.
8
所以需要进行第五场比赛的概率为
1?
(3)丙最终获胜，有两种情况：
1113
???
.
161684
1
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；
8
比赛五场 结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种
情况：胜胜负胜，胜负 空胜，负空胜胜，概率分别为
11117
因此丙最终获胜的概率为
????
.
8168816
111
,,
.
1688
x
236.答案：(1)
?y
2
?1
；(2)见解析.
9
解析：(1)由题设得
A(?a,0),B(a,0),G(0,1)
.
1),GB?(a,?1)
.由
AG?GB?8
得
a
2?1?8
，即
a?3
. 则
AG?(a,
x
2
所以
E
的方程为
?y
2
?1
.
9
(2) 设
C
?
x
1
,y
1
?
,D
?x
2
,y
2
?
,P(6,t)
.
若
t?0
，设直线
CD
的方程为
x?my?n
，由题意可知
? 3?n?3
.
tt
由于直线
PA
的方程为
y?(x?3)
，所以
y
1
?
?
x
1
?3
?.
99
tt
直线
PB
的方程为
y?(x?3)
，所以
y
2
?
?
x
2
?3
?
.
33
可得
3y
1
?
x
2
?3
?< br>?y
2
?
x
1
?3
?
.
19

2
?
x?3
??
x
2
? 3
?
，可得
27yy??x?3x?3
，即
x
2
2
2
由于
?y
2
??
2
?1
，故
y
2
?
1
??
2
?
12
9
9?
27?m
?
yy
2
12
?m(n?3)
?< br>y
1
?y
2
?
?(n?3)
2
?0
.①
x
2
将
x?my?n
代入
?y
2
? 1
得
9
?
m
2
?9
?
y
2?2mny?n
2
?9?0
.
2mnn
2
?9
所以
y
1
?y
2
??
2
.
,y
1
y
2
?
2
m?9m?9
代入①式得
27?m< br>2
n
2
?9?2m(n?3)mn?(n?3)
2
m
2
?9?0
.
解得
n??3
(舍去)，
n?
3
.
2
3
?
3
?
，即直线
CD
过定点
?
,0
?
.
2
?
2
?
??????
故直线
C D
的方程为
x?my?
?
3
?
若
t?0
， 则直线
CD
的方程为
y?0
，过点
?
,0
?
.
?
2
?
?
3
?
综上，直线
CD过定点
?
,0
?
.
?
2
?
?
7?e
2
?
,??
?
. 37.答案：(1)见解析；(2)?
?
4
?
解析：(1)当
a?1
时，
f(x) ?e
x
?x
2
?x
，
f'(x)?e
x
? 2x?1
.
故当
x?(??,0)
时，
f'(x)?0
； 当
x?(0,??)
时，
f'(x)?0
.所以
f(x)
在
(??,0)
上单调递减，
在
(0,??)
单调递增.
( 2)
f(x)?
1
3
?
1
?
x?1
等价于
?
x
3
?ax
2
?x?1
?
e
? x
?1
.
2
?
2
?
?
1
?设函数
g(x)?
?
x
3
?ax
2
?x?1< br>?
e
?x
(x?0)
，则
?
2
?
3
?
1
?
g'(x)??
?
x
3
?ax< br>2
?x?1?x
2
?2ax?1
?
e
?x

2
?
2
?
1
??x
?
x
2
?(2a?3)x?4a?2
?
e
?x

??
2
1
??x(x?2a?1)(x?2)e
?x
. < br>2
(i)
若
2a?1?0
，即
a??
1
，则 当
x?(0,2)
时，
g'(x)?0
.所以
g(x)
在< br>(0,2)
单调递增，而
2
g(0)?1
，故当
x?(0,2 )
时，
g(x)?1
，不合题意.
11
(ii)
若
0?2a?1?2
，即
??a?
，则当
x?(0,2a?1)?(2,?? )
时，
g'(x)?0
；
22
20

< br>当
x?(2a?1,2)
时，
g'(x)?0
.所以
g(x)
在
(0,2a?1),(2,??)
单调递减，在
(2a?1,2)
单调递增.
7?e
2
由于
g(0)?1
，所以
g(x)?1
当且仅当
g(2)?(7?4a)e?1
，即
a?
.
4< br>7?e
2
1
所以当
?a?
时，
g(x)?1
.
42
1
?
1
?
(iii)
若
2a?1 ?2
，即
a?
，则
g(x)?
?
x
3
?x ?1
?
e
?x
.
2
?
2
?
?2
?
7?e
2
1
?
?
1
?
,
?
，故由
?
ii
?
可得
?
x
3
?x?1
?
e
?x
?1
. 由于
0?
?
2
?
?
2
?
?
4
故当
a?
1
时，
g
?
x
?
?1
.
2
7?e
2
综上，
a
的取值范围为[,?∞).
4
?
11
?
38.答案：(1)曲线
C
1
是圆心为 坐标原点，半径为1的圆；(2)
?
,
?
.
?
44
?
?
x?cos
4
t,
解析：(1)当
k?1
时 ，
C
1
:
?
消去参数
t
得
x
2< br>?y
2
?1
，故曲线
C
1
是圆心为坐标原
4
?
y?sint,
点，半径为1的圆.
?
x?cos
4< br>t,
(2)当
k?4
时，
C
1
:
?
消去参数
t
得
C
1
的直角坐标方程为
x?y?1
,
4
y?sint,
?
C
2
的直角坐标方程为
4x? 16y?3?0
.
1
?
x?,
?
?
?
x ?y?1,
?
4
由
?
解得
?

1
?
?
4x?16y?3?0
?
y?.
?
?4
11< br>故
C
1
与
C
2
的公共点的直角坐标为
(，)
.
44
7
??
39.答案：(1)见解析；(2)
???,?
?
.
6
??
解析：(1)由题设知
1?
?x?3，(x??),
?
3
?
1
?
f(x )?
?
5x?1，(??x?1)，

3
?
(x?1).< br>?
x?3，
?
?
y?f(x)
的图像如图所示.
21

(2) 函数
y?f(x)
的图 像向左平移1个单位长度后得到函数
y?f(x?1)
的图像.

?
711
?
y?f(x)
的图像与
y?f(x?1)
的图像的交点坐 标为
?
?,?
?
.
?
66
?
7
由图像可知当且仅当
x??
时，
y?f
?
x
?
的图 像在
y?f
?
x?1
?
的图像上方.
6
7
??
故不等式
f
?
x
?
?f
?
x?1< br>?
的解集为
?
??,?
?
.
6
??
40.答案：(1)由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工 出来的一件产品为
A
级品的概率的估计值为
乙分厂加工出来的一件产品为
A< br>级品的概率的估计值为
40
?0.4
；
100
28
?0.28
.
100
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
22

利润
频数
65
40
25
20
-5
20
-75
20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
65?40?25?20?5?20?75?20
?15
.
100
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
频数
70
28
30
17
0
34
-70
21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
70?28?30?17?0?34?70?21
?10
.
100
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
解析：
41.答案：(1)由题设及余弦定理得
28?3c
2
?c
2
?2?3c
2
?cos150?
.
解得
c??2
(舍去)，
c?2
，从而
a?23
.
1
ABC
的面积为
?23?2?sin150??3
.
2
(2)在
ABC
中，
A?180??B?C?30??C
，所以 < br>sinA?3sinC?sin
?
30??C
?
?3sinC?sin
?
30??C
?
.
故
sin
?
30??C
?
?
2
.
2
而
0??C?30?
，所以
30??C?45?
，故
C ?15?
.
解析：
42.答案：(1)由题设可知，
PA?PB?PC
.
由于
ABC
是正三角形，故可得
PAC?PAB
，
PAC?PBC
.
又
?APC?90?
，故
?APB?90?,?BPC?90?
.
从而
PB?PA,PB?PC
，故
PB?
平面
PAC
，所以平面
PAB?
平面
PAC
.
(2)设圆锥的底面半径为
r
，母线长为
l
.
由题设可得
rl?3,l
2
?r
2
?2
.
解得
r?1,l?3
.
23

从而AB?3
.由(1)可得
PA
2
?PB
2
?AB
2
，故
PA?PB?PC?
所以三棱锥
P?ABC
的体积为
1111
?
6
?
6
.
??PA?PB?PC?? ?
?
?
?
?
3232
?
28
??
3
6
.
2

解析：
43.答案：(1)当
a?1
时，
f(x)?e
x
?x?2
，则
f'(x)?e< br>x
?1
.
当
x?0
时，
f'(x)?0
； 当
x?0
时，
f'(x)?0
.
所以
f(x)
在
(??,0)
单调递减，在
(0,??)
单调递增.
(2)
f'(x)?e
x
?a
.
当
a?0
时，
f'
?
x
?
?0
，所以
f
?
x
?
在
?
??,??
?
单调递增，故
f
?
x
?
至多存在1个零点，不合
题意.
当
a?0
时，由
f'
?
x
?
?0
可得
x?lna
， 当
x?
?
??,lna
?
时，
f'
?
x< br>?
?0
；当
x?
?
lna,??
?
时，f'
?
x
?
?0
，所以
f
?
x
?
在
?
??,lna
?
单调递减，在
?
lna, ??
?
单调递增，故当
x?lna
时，
f
?
x?
取得量小值，最小值为
f
?
lna
?
??a
?
1?lna
?
.
?
i
?
若
0?a?< br>1
，则
f(lna)?0
，
f(x)
在
(??,?? )
至多存在1个零点，不合题意.
e
?
ii
?
若
a?
1
，则
f(lna)?0
.
e
由于
f(?2 )?e
?2
?0
，所以
f(x)
在
(??,lna)
存在唯一零点.
由(1)知，当
x?2
时，
e
2
?x? 2?0
，所以当
x?4
且
x?2ln
?
2a
?时，
24

f(x)?e?e?a(x?2)
?e
ln
?
2a
?
x
2
x
2
?
x
?
?
?
?2
?
?a(x?2)

?
2
?
?2a

?0
.
故
f( x)
在
(lna,??)
存在唯一零点.从而
f(x)
在
( ??,??)
有两个零点.
?
1
?
综上，
a
的取 值范围是
?
,??
?
.
?
e
?
解析：
44.答案：(1)由题设得
A(?a,0),B(a,0),G(0,1)
. 1),GB?(a,?1)
.由
AG?GB?8
得
a
2
?1?8
，即
a?3
. 则
AG?(a,
x
2
所以
E
的方程为?y
2
?1.
9
(2)设
C
?
x
1
,y
1
?
,D
?
x
2,y
2
?
,P(6,t)
.
若
t?0
，设直 线
CD
的方程为
x?my?n
，由题意可知
?3?n?3
.
tt
由于直线
PA
的方程为
y?(x?3)
，所以
y
1
?
?
x
1
?3
?
.
99< br>tt
直线
PB
的方程为
y?(x?3)
，所以
y2
?
?
x
2
?3
?
.
33
可得
3y
1
?
x
2
?3
?
?y
2
?
x
1
?3
?
.
2
?
x?3< br>??
x
2
?3
?
，可得
27yy??x?3x?3< br>，即
x
2
2
2
由于
?y
2
??< br>2
?1
，故
y
2
?
1
??
2
?
12
9
9
?
27?m
?
yy
2
12
?m(n?3)
?
y
1
?y
2
?
? (n?3)
2
?0
.①
x
2
将
x?my?n代入
?y
2
?1
得
9
?
m
2
?9
?
y
2
?2mny?n
2
?9?0
. 2mnn
2
?9
所以
y
1
?y
2
??
2
.
,y
1
y
2
?
2
m?9m ?9
代入①式得
27?m
2
n
2
?9?2m(n?3)mn ?(n?3)
2
m
2
?9?0
.
解得
n??3
(舍去)，
n?
3
.
2
3
?
3
?
，即直线
CD
过定点
?
,0
?
.
2
?
2
?
??????
故直线
C D
的方程为
x?my?
25

?
3
?
若
t?0
，则直线
CD
的方程为
y?0
，过点
?
,0
?
.
?
2
?
?
3
?
综上，直线
CD
过定点
?
,0
?
.
?
2
?
解析：
?
x?cos
4
t,45.答案：(1)当
k?1
时，
C
1
:
?
消 去参数
t
得
x
2
?y
2
?1
，故曲线C
1
是圆心为坐标
4
?
y?sint,
原点，半径为1 的圆.
?
x?cos
4
t,
(2)当
k?4
时，
C
1
:
?
消去参数
t
得
C
1的直角坐标方程为
x?y?1
,
4
y?sint,
?
C
2
的直角坐标方程为
4x?16y?3?0
.
1
?x?,
?
?
?
x?y?1,
?
4
由
?
解得
?

1
4x?16y?3?0
?
?
?
y?.
?
?4
11
故
C
1
与
C< br>2
的公共点的直角坐标为
(，)
.
44
解析：
46.答案：(1)由题设知
1
?
?x?3，(x??),
?3
?
1
?
f(x)?
?
5x?1，(??x?1)，< br>
3
?
(x?1).
?
x?3，
?
?
y?f(x)
的图像如图所示.
26

(2) 函数
y?f(x)
的图像向左平移1个单位长度后得到函数
y?f( x?1)
的图像.

?
711
?
y?f(x)
的 图像与
y?f(x?1)
的图像的交点坐标为
?
?,?
?
.
?
66
?
7
由图像可知当且仅当
x??
时，
y?f
?
x
?
的图像在
y?f
?
x?1
?
的图像上方.
6
7
??
故不等式
f
?
x
?
?f
?
x?1
?
的解集为
?
??,?
?
.
6
??
解析：



27