熊斌高中数学竞赛-高中数学二杠三
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域
内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字
体工整,笔
迹清楚
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;
在草稿纸、试卷上答题无效
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合
题目要求的。
1.
3?i
?
( )
1?i
A.
1?2i
B.
1?2i
C.
2?i
D.
2?i
2.
设集合
??
?
1,2,4
?
,
??xx?4x?m?0.若
?I??
?
1
?
,则
??
( )
2
??
A.
?
1,?3
?
B.
?
1,0
?
C.
?
1,3
?
D.
?
1,5
?
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题
:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共
灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂
了381盏灯,且相邻两层中的
下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A.1盏 B.3盏 C.5盏
D.9盏
4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一
平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( )
A.
90
?
B.
63
?
C.
42
?
D.
36
?
<
br>?
2x?3y?3?0
?
5.设
x
,
y
满足
约束条件
?
2x?3y?3?0
,则
z?2x?y
的最小值是(
)
?
y?3?0
?
A.
?15
B.
?9
C.
1
D.
9
6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成
,则不同的安排
方式共有( )
A.12种
B.18种 C.24种 D.36
种 <
br>7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位
优秀
,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲
对大家说:我还是
不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图,如果输入的
a??1
,则输出的
S?
(
)
A.2 B.3 C.4
D.5
x
2
y
2
2
9.若双曲线
C:
2
?
2
?1
(
a?0
,
b?0
)
的一条渐近线被圆
?
x?2
?
?y
2
?4
所截得的
ab
弦长为2,则
C
的离心率为( )
A.2
B.
3
C.
2
D.
23
3
10.已知直三棱柱
??C??
1<
br>?
1
C
1
中,
???C?120
o
,
???2
,
?C?CC
1
?1
,则异面直
线
??
1
与
?C
1
所成角的余弦值为( )
A.
33
1510
B.
C. D.
23
55
2x?1`
11.若<
br>x??2
是函数
f(x)?(x?ax?1)e
的极值点,则
f(x)
的极小值为( )
A.
?1
B.
?2e
?3
C.
5e
?3
D.1
12
.已知
?ABC
是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则
PA?(PB?
PC)
的最小
值是( )
A.
?2
B.
?
uuuruuuruuur
D.
?1
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
34
C.
?
23
13.一批产品的二等
品率为
0.02
,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取
100
次,<
br>?
表示抽到的二等品件数,则
D??
.
14.
函数
f
?
x
?
?sin
2
x?3cosx?
3
?
?
?
(
x?
?
0,
?
)的
最大值是 .
4
?
2
?
15.等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,
a
3
?3
,
S
4
?10
,则
2<
br>1
?
.
?
S
k?1
k
n
16.已知
F
是抛物线
C:
y?8x
的焦点,若
??
是
C
上一点,
F?
的延长线交
y
轴于点?
.
为
F?
的中点,则
F??
.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17
~21题为必做题,
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
?ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,已知
sin(A?C)?8sin
2
(1)求
cosB
(2)若
a?c?6
,
?ABC
面积为2,求
b.
B
.
2
18.(12分)
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100
个
网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg)某频率直方图如下:
(1)
设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:旧养殖法的箱产量低于50kg,
新
养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率;
(2)
填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
旧养殖法
新养殖法
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
(3)
根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)
P(错误!未找到引用
源。)
0.050
3.841
0.010
6.635
0.001
10.828
k
2
n(ad?bc)
2
K?
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
19.(12分)
如图,四
棱锥
P
-
ABCD
中,侧面
PAD
为等比三角形且垂直于底
面
ABCD
,
AB?BC?
1
AD,?BAD??ABC?90o
,
E
是
PD
的中点.
2
(1)证明:直线
CE
平面
PAB
(2)点
M
在棱
PC
上,且直线<
br>BM
与底面
ABCD
所成锐角为
45
o
,求二面角
M
-
AB
-
D
的
余弦值
20. (12分)
x
2
?y
2
?1
上,过
M
做
x
轴的垂线,垂足为
N
,点
P
设
O
为坐标原点,动点
M
在椭圆
C
:
2
u
uuruuuur
满足
NP?2NM
.
(1)
求点
P
的轨迹方程;
uuuruuur
(2) 设点
Q
在
直线
x
=-3上,且
OP?PQ?1
.证明:过点
P
且垂直
于
OQ
的直线
l
过
C
的左
焦点
F
.
21.(12分)
已知函数
f(x)?ax?ax?xlnx,
且
f(x)?0
.
(1)求
a
;
(2)证明:
f(x)
存在唯一的极大值点
x
0
,且
e
?2
3
?f(x
0
)
?2
?3
.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如
果多做,按所做的第一
题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系
xOy
中,以坐标原点为极点,
x
轴的正半轴为极
轴建立极坐标系,曲线
C
1
的
极坐标方程为
?
cos
?
?4
.
(1)
M
为曲线
C
1
上的动
点,点
P
在线段
OM
上,且满足
|OM|?|OP|?16
,求点
P
的轨迹
C
2
的直角坐标方程;
(2)设点
A
的极坐标为
(2,
?
3
)
,点
B
在曲
线
C
2
上,求
?OAB
面积的最大值.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知
a?0,b?0,a?b?2
,证明:
33
(1)
(a?b)(a?b)?4
;
(2)
a?b?2
.
33
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案
一、选择题
1.D 2.C 3.B
4.B 5.A 6.D
7.D 8.B 9.A
10.C 11.A 12.B
二、填空题
13. 1.96
14. 1 15.
三、解答题
17.解:
(1)由题设及
A?B?C?
?
得sinB?8sin
sinB?(41-cosB)
上式两边平方,整理得
17cosB-32cosB+15=0
解得
cosB=1(舍去),c
osB=
(2)由
cosB=
2
2n
16. 6
n?1
2
?
2
,故
15
17
15814
得sinB?
,故
S
?ABC
?acsinB?ac
1717217
17
又
S
?ABC
=2,则ac?
2
由余弦定理及
a?c?6
得
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
2
?(a+c)?2ac(1?cosB
)
1715
?36?2??(1?)
217
?4
所以b=2
18.解:
(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于
50kg
”
,
C
表示事件“新养殖法的箱产量不
低于
50kg
”
由题意知
P
?
A
?
?P
?
BC
?
?P
?
B
?
P
?
C
?
旧养殖法的箱产量低于
50kg
的频率为
(0.040?0.034?0.024?0.014?0.012)?5=0.62
故
P
?
B
?
的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于
50kg
的频率为
(0.068?0.046?0.010?0.008)?5=0.66
故
P
?
C
?
的估计值为0.66
因此,事件A的概率估计值为
0.62?0.66?0.4092
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
旧养殖法
新养殖法
箱产量
?50kg
62
34
2
箱产量
≥50kg
38
66
K
2
?
200?
?
62?66?34?38
?
100?100?
96?104
?15.705
由于
15.705?6.635
故有
99%
的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于
50kg
的直方图面积为
?
0.004?0.020?0.044
?
?5?0.34?0.5
,
箱产量低于
55kg
的直方图面积为
?
0.004?0.02
0?0.044+0.068
?
?5?0.68?0.5
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
50+
0.5-0.34
.
≈52.35(kg)
0.068
19.解:
(1)取
PA
中点
F
,连结
EF
,
BF
.
因为<
br>E
为
PD
的中点,所以
EFPAD
,
EF=
又
BC?
1
AD
,由
?BAD??ABC?90?
得
BC∥AD
,
2
1
AD
2
所以
EF<
br>∥
BC
.四边形
BCEF
为平行四边形,
CE∥BF
.
又
BF?平面PAB
,
CE?平面PAB<
br>,故
CE∥平面PAB
(2)
uuur
uuur
由已知得BA?AD
,以A为坐标原点,
AB
的方向为x轴正方向,
AB
为单位长,建立如
图所示的空间直角坐标系A-xyz,则
1,3)
, 则
A(0,0,0)
,
B(1,0,0)
,
C(1,1,0)
,
P(0,
uuuruuur
PC?(1,0,?3)
,
AB?(1,0,0
)
则
uuuuruuuur
BM?(x?1,y,z),PM?(x,y?1,z?3)
因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而
n?(0,0,1)
是底面ABCD的
法向量,所
以
uuuur
cosBM,n?sin45
0
,
z
(x?1)
2
?y
2
?z
2
?
2
2
即(x-1)?+y?-z?=0
uuuuruuur
又M在棱P
C上,设
PM?
?
PC,
则
x?
?
,y?1,z?3?3
?
??
2
?
x=1+
?
x=1-
2
??
??
y=1(舍去)
,
??
y=1
由①,②得
??
6
?
z??
?
z?
??
2
??
2
2
6
2
uuuur
??
26
?
26
?
所以M
?
1-,1,
?
,从而
A
M?
?
1-,1,
?
???
2222
?
????
设
m=
?
x
0
,y
0
,z
0
?
是平面ABM的法向量,则
uuuur
?
?
?
m
g
AM?0
?
2-2x
0
?2y
0
?
即
?
r
?
uuu
?
?
?
m
g
AB?0
?
x
0
?0
??
6z
0
?0
所以可取
m<
br>=(0,-
6
,2).于是
cos
m,n?
10
5
mgn
?
mn
10
5
因此二面角M-
AB-D的余弦值为
20.解
uuuruuuur
(1)设P(x,y),M(x<
br>0
,y
0
),设N(x
0
,0),
NP?
?
x?x
0
,y
?
,NM?
?
0,y
0<
br>?
uuur
由
NP?
uuuur
2NM
得
x
0
=x,y
0
?
2
y
2x
2
y
2
因为M(x
0
,y
0
)在C
上,所以
??1
22
因此点P的轨迹方程为
x
2
?y
2
?2
(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则
uuuruuuru
uuruuur
OQ?
?
?3,
t
?
,PF?
?<
br>?1?m,?n
?
,OQ
g
PF?3?3m?tn
,
uuuruuur
OP?
?
m,n
?
,PQ?
?
?3?m,t?n
?
,
uuuruuur
由
OP
g
PQ?1
得
-3m?m
2
?tn?n
2
?1,又由(1)知
m
2
+n
2
=2
,故
3+3m-tn=0
uuuruuur
uuuruuur
所以
OQ
g
PF?0
,即
OQ?PF
.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所
以过点P且垂直于
OQ的直线l过C的左焦点F.
21.解:
+?
?
(1)
f
?
x
?
的定义
域为
?
0,
设
g
?
x
?
=ax-a-ln
x
,则
f
?
x
?
=xg
?
x
?<
br>,f
?
x
?
?0
等价于
g
?
x?
?0
因为
g
?
1
?
=0,g?
x
?
?0,故g'
?
1
?
=0,而g'?
x
?
?a?
若
a
=1,则
g'
?<
br>x
?
=1?
1
,g'
?
1
?
=a?
1,得a?1
x
1
.当0<x<1时,
g'
?
x
?
<0,g
?
x
?
单调递减;当x>1时,
g'<
br>?
x
?
>0,
x
g
?
x
?
单调递增.所以x=1是
g
?
x
?
的极小值点,故
g
?
x
?
?g
?
1
?
=0
综上,a=1
(2)由(1)知
f
?
x
?
?
x
2
?
x
?
x
lnx
,
f
'(
x
)?2
x
?2?ln
x
设
h
?
x
?
?2
x
?2?ln
x
,则
h
'(
x
)?2?
?
?
1
?
2
?
?
1
?
2
1
x
?
?
?
?
1
?
2
?
当
x
?
?
0,
?
时,
h
'
?
x
?
<0
;当
x
?
?
,+?
?
时,
h
'
?
x
?
>0
,所以
h
?
x
?
在
?
0,
?
单调递减,
在
?
,
+?
?
单调递增
?
?
1
?
2
?
又
he
?2
>0,
h
??
<0,
h
?1
?
?0
,所以
h
?
x
?
在
?
0,
?
有唯一零点x
0
,在
?
,+?
?
有唯一零
??
?
1
?
?
2
?
?<
br>?
1
?
2
?
?
1
?
2
?<
br>?
h
?
x
?
>0
;
h
?
x
?
<0
,
h
?
x
?
>0
. 点1,且当
x
?
?
0,
x
0
?
时,当
x
?
?
x
0
,1
?
时,当
x?
?
1,+?
?
时,
因为
f
'
?x
?
?
h
?
x
?
,所以x=x
0是f(x)的唯一极大值点
由
f
'
?
x
0
?
?0得ln
x
0
?2(
x
0
?1),故
f
?
x
0
?
=
x
0
(1?
x
0
)
由
x
0
?
?
0,1
?<
br>得
f
'
?
x
0
?
<
1
<
br>4
因为x=x
0
是f(x)在(0,1)的最大值点,由
e
?
1
?
?
0,1
?
,
f
'
e
?1<
br>?0
得
??
f
?
x
0
?
>
fe
?1
?
e
?2
所以
e
?2
<
f
?
x
0
?
<2
-2
22.解:
(1)设P的极坐标为
?
,
?
??
?
??
?
>0
?
,M的极坐标为
?
?
,
?<
br>??
?
>0
?
,由题设知
11
OP=
?
,OM=
?
1
=
4
cos
?
由
OMgOP=16
得
C
2
的极
坐标方程
?
=4cos
??
>0
2
因此
C
2
的直角坐标方程为
?
x
?2
?
?
y<
br>?4
?
x
?0
?
2
??
(2)设
点B的极坐标为
?
B
,
?
???
?
>0
?
,由题设知
B
OA=2,
?
B
=4cos
?,于是△OAB面积
S
=1
OA
g
?
B
g
sin?
AOB
2<
br>?
?
?
?4cos
?
g
sin
?
?
?
?
3
??
?
?
?
3
?2sin
?
2
?
?
?
?
3
?
2
?
?2?
当
?
=-
?
12
3
时,S取得最大值
2+3
所以△OAB面积的最大值为
2+3
23.解:
(1)
?
a?b
?
?
a
5
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每项建议案实施完毕,实施部门应根据结果写
出总结报告,实事求是的说明产生的经济效益或者其他积极效果,呈报总经办。
总经办应将实施完毕的
建议案提交给评委会进行效果评估,确定奖励登记,对符合条件的项目,应整理材料,上报总经理审批后给建议人
颁发奖励。
总经办应做好合理化建议的统计记录及资料归档管理。
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