2017-2018学年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题 Word版含答案

2017-2018学年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题：本大题共6个小题,每小题5分,共30分.在每小题给出 的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.集合
A?
?
x? Zlog
2
x?2
?
的真子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
2.三棱锥
P?ABC
的底 面
?ABC
是边长为3的正三角形，
PA?3,PB?4,PC?5
，则三棱 锥
P?ABC
的体积为（ ）
A．3 B．
10
C．
11
D．
23

3.已知函数
f
?
x
?
满足 ：
f
?
1
?
?
（ ）
A．
1
，
4f
?
x
?
f
?
y
?
?f< br>?
x?y
?
?f
?
x?y
??
x,y?R< br>?
，则
f
?
2019
?
?
4
111 1
B．
?
C． D．
?

2244
sinx
，则对
?x?R
，下列说法中错误的是（ ）
2?cosx
4.已知
f
?
x
?
?
31
A．
f
?
x
?
?sinx
B．
f
?
x
?
?x
C．
f
?
x
?
?

3
3< br>D．
f
?
?
?x
?
?f
?
?
?x
?
?0

2
?
?
x
5.已知f
?
x
?
（ ）
?1
?
2
2< br>x
?x
?1
在
?
?2018,0
?
?
?
0,2018
?
上的最大值为
M
，最小值为
N
，则
M?N?
A．3 B．2 C．1 D．0
6.设
x?0,y?0,z?0
，满足
x?y?xy,x?y?z?xyz< br>，则
z
的取值范围是（ ）
4
??
4
?
?
C．
?
1,3
0,
A．
0,3
?
B． D．
??
1,
?

?
??
3< br>???
3
?
??
第Ⅱ卷（共120分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
7.函数
y?
?
x?3
?
?log
2
?
?2
?
的定义域 为 ．
?
x?1
?
x
2
?6x?8< br>1
8.已知圆
C
的方程为
x
2
?y
2
?8x?15?0
，若直线
y?kx?2
?
k?R
?
上至 少存在一点，使得以该
点为圆心，1为半径的圆与圆
C
有公共点，则
k
的最大值等于 ．

9.如图，在直角三角形
ABC
中，
?ACB?
?
2
,AC?BC?2
，点
P
是斜边
AB
上一点，且
BP?2PA
，则
CP?CA?C P?CB?
．

10.已知点
P
在直线x?2y?1?0
上，点
Q
在直线
x?2y?3?0
上，
PQ
的中点为
M
?
x
0
,y
0
?
，
且
y
0
?x
0
?2
，则
y
0
的取值范围是 ．
x
0
?
a?b?2?0a?2b
?
11.若实数
a,b
满足条件
?
b?a?1 ?0
，则的最大值等于 ．
2a?b
?
a?1
?
12.在数列
?
a
n
?
中，若
a
n2
?a
n?1
2
?p
(
n?2,n?N
*,p
为常数)，则称
?
a
n
?
为“等方差数列”.下< br>列是对“等方差数列”的判断：
①数列
?
?1
?
?
n
?
是等方差数列；
??
② 若
?
a
n
?
是等方差数列，则
a
n
2
是等差数列；
③ 若
?
a
n
?是等方差数列，则
?
a
kn
?
(
k?N
*,k
为常数）也是等方差数列；
④ 若
?
a
n
?
既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.
其中正确命题序号为 ．(将所有正确的命题序号填在横线上）
三、解答题 （本大题共4小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
7
?
?
13.已知函数
f
?
x
?
?4c osx?sin
?
x?
6
?
?
?
?a
的最 大值为2.
?
（1）求
a
的值及
f
?
x
?
的最小正周期；
（2）求
f
?
x
?
的单调递减区间.
14.数列
?
a
n
?
为等差数列，且满足
3a
5
?8 a
12
?0
，数列
?
b
n
?
满足
b
n
?a
n
?a
n?1
?a
n?2
n?N
*
，
?
b
n
?
的前
n
项和记为< br>S
n
，问：
n
为何值时，
S
n
取得最大值， 说明理由.
?
1
?
15.已知抛物线
y?ax
2
过点
P
?
?1,1
?
，过点
Q
?
?,0< br>?
作斜率大于0的直线
l
交抛物线于
M,N
两
?2
?
??

点（点
M
在
Q,N
之间），过点
M
作
x
轴的平行线，交
OP
于
A
，交
ON
于
B
，
?PMA
与
?OAB
的面积分别记为
S
1
,S
2
，比较
S
1< br>与
3S
2
的大小，说明理由.

16.设
x,y, z?0
，且至多有一个为0，求
f
?
x,y,z
?
?
最小值.
















x
2
? 256yz
?
y
2
?z
2
2
y
2
?256zxz25?6xy
的
?
222
z?
2
xx?y< /p>

试卷答案
一、选择题
1-6: CCBABD
二、填空题
7.
?
1,2
?
?
?
4,5
?
8.
11.
4
?
11
?
9. 4 10.
?
?,?
?

3
?
25
?
7
12. ①②③④
5
三、解答题
7
?
?
13. 解：（1）
f?
x
?
?4cosx?sin
?
x?
6
???
31
?
?a
?4cosx?
?
?
?
?
2
sinx?
2
cosx
?
?
?a

?
??
??23sinxcosx?2cos
2
x?1?1?a?? 3sin2x?cos2x?1?a

?
??
??2sin
?
2x?
?
?1?a
，
6
??
?
??
因 此，当
sin
?
2x?
?
??1
时，
f
?
x
?
取得最大值
2?1?a?1?a
，
6
??< br>又因为
f
?
x
?
的最大值为2，所以
1?a?2，即
a?1
.
2
?
?
?
.
2< br>?
??
（2）由（1）得
f
?
x
?
??2s in
?
2x?
?

6
??
f
?
x
?
的最小正周期为
T?
令
2x?
??
?
?
?
?
?
??2k
?
,?2k
?
?
,k?Z
，
6
?
22
?
?
?
?
?
得
x?
?
??k
?
,?k
?
?
,k?Z
，
6
?
3
?
?
?
?
?
因此，
f
?
x
?
的单调减区间为
?
??k
?
,?k
?
?
,k?Z
.
6
?
3
?
14.解：∵
3a
5
?8a
12
?0
∴
3a
5
?8
?
a
5
?7d
?
.
解得
a
5
??
56
d?0
.
5
76
d
.
5
∴
d?0
，
a< br>1
??
故
?
a
n
?
是首项为正数的递减数列 .
?
76
?d?
?
n?1
?
d?0
?< br>?
a
n
?0
11
?
5
由
?
，即
?
，解得
15?n?16
.
55
?
a
n?1
?0
?
?
76
d?nd?0
?
?
5

即
a
16
?0,a
17
?0
，
∴
a
1
?a
2
?a
3
??a
16
?0?a
17
?a
18
?
，∴
b
1
?b
2
?b
3
??b
14
?0?b
17
?b
18
?
，
而
b
15
?a
15
a
16
a
17
?0
，
b
16
?a
16
a
17
a
18
?0
，
∴
S
14
? S
13
??S
1
，
S
14
?S
15
，
S
15
?S
16
，
S
16
?S
17
?S
18
?
.
9
?
3
?
6
又
S
16
?S
14
?b
15
?b
16
?a
16
a
17
?
a
15
?a18
?
?a
16
a
17
?
?d?d
?
?da
16
a
17
?0
.
5
?
5
?
5
所以
S
n
中
S
16
最大， 即
n?16
时，
S
n
取得最大值.
15.解：抛物线y?ax
2
过点
P
?
?1,1
?
，得
a?1
，
所以抛物线的方程为
y?x
2
.
1
??
设直线
l
的方程为
y?k
?
x?
?
(其中
k?0
)，
2
??
?1
??
?
y ?k
?
x?
?
2
?
，得
2x
2
? 2kx?k?0
. 由
?
?
?
y?x
2
?
k
设
M
?
x
1
,y
1
?
,N?
x
2
,y
2
?
，则
x
1
? x
2
，
A
?
?y
1
,y
1
?，
x
1
?x
2
?k,x
1
x
2
??
，
2
又
ON
的方程为
y?
?
yx
?
yx
y
2
x
，故
B
?
12,y
1
?
，所以
MA??y
1
?x
1
，
AB?
12
?y
1
，
y
2
x
2
?
y
2
?
有
AB?MA?
y
1
x
2
yx?2y
1
y
2
?x
1
y
2
?2y
1
?x
1
?
12

y
2
y
2
1
?
1
??
1
?
1
????
k
?
x
1
?
?
?x
2
? 2k
?
x
1
?
?
?k
?
x
2?
?
?x
1
?k
?
x
2
?
?
2
?
2
??
2
?
2
???
?
?
y
2
?
2k
?
2
1
?< br>1
?
?2k
?
x
1
x
2
?
?
k
2
?k
?
?
x
1
?x
2?
?k
2
2
?
2
?

y
2< br>1
?
1
?
k
??
?2k
?
?
?
?
?
?
k
2
?k
?
k?k
2
2
?
2
?
2
??
?0

y
2
?
2k
?
2
可得
AB?AM
.
11 13
由题意知
??x
Q
?x
1
?0
，故
y
1
?x
1
2
?
，
1?y
1
?1? ?
.
2444
又因为
S
1
?
11
AM?
?
1?y
1
?
，
S
2
?AB?y
1
，所以
S
1
?3S
2
.
22

16.解：不妨设
x?y?z
.
情形1：当
256y
3
?x
2
z
时，
3 2
x
2
?256yzx
2
z
?
256y?xz?
因为
?
2
??0
；
222
y
2< br>?z
2
y
?
y?z
?
y
32
y2
?256zxy
2
z
?
256x?yz
?
?
2
??0
；
222
z
2
?x
2
x
z?xx
??
z
2
?256xy256xyz
2
?
2
??0
.
x
2
?y
2
x?y
2
x
2
?y
2
所以
f
?
x,y,z?
?
x
2
?
y
2
y
2
256 xyxyxy

?
2
???16
222
xx?yyxx?y
2
x
2
?y
2
xyxy
??8
2
?8?3
3
64?12
，
222
xyx?yx?y
当且仅 当
x:y?2?3:1
时，且
z?0
时，
f
?
x, y,z
?
取到12；
情形2：当
256y
3
?x
2
z
时，又
x
2
z?x
2
y
，所以
256y
3
?x
2
y
，从而
256y
2
?x
2
.
故
f
?
x,y,z
?
?
x
2
?256yz
?
y
2
?z
2
y2
?256zxz
2
?256xy

?
z
2< br>?x
2
x
2
?y
2
??
?
x
2
?256yz256y
2
?256yzy
2
?yz
?0 ?0??16
2
?16?12
。
y
2
?z
2y
2
?z
2
y?z
2
综上，
f
?x,y,z
?
min
?12
.