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2020年全国高中数学联赛山西赛区预赛试卷

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 13:04
tags:全国高中数学竞赛

高中数学抽签法的优缺点-高中数学必修四辅助角练习题

2020年9月21日发(作者:殷善)


2020年全国高中数学联赛山西赛区预赛试卷
(2020年9月2日上午8:30——11:30)

一、选择题(每题7分共35分)
1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有[ ]个
A.360 B.252 C.720 D.240
412
解:末位 是0的数共有个
A
5
-
A
4
,末位是2或4的数共有2(< br>A
4
A
4
-
A
3
A
3
)个 .
313
412
由加法原理,共有
A
5
-
A4
+2(
A
4
A
4
-
A
3
A
3
)=252个.
313
2.已知数列{
a
n
} (n≥1)满足
a
n?2
=
a
n?1
-
a
n
,且
a
2
=1,若数列的前2020项之和为2020,则
前20 20项的和等于[ ]
A.2020 B.2020 C.2020 D.2020
解:
a
n?3
=
a
n?2
-
a
n?1
=(
a
n?1
-
a
n
)-a
n?1
=-
a
n
,
因此,对n≥1,
a< br>n
+
a
n?1
+
a
n?2
+
an?3
+
a
n?4
+
a
n?5
=0,
从而数列中任意连续6项之和均为0.
2020=334×6+1,2020=334×6+ 2,所以前2020项之和为
a
1
,即
a
1
=2020,
于是前2020项的和等于
a
1
+
a
2
=2020 .所以选(C).
3.有一个四棱锥,底面是一个等腰梯形,并且腰长和较短的底长都是1,有一个底 角是
60

又侧棱与底面所成的角都是
45
,则这个棱锥的体积是[ ]
A.1 B.
3
C.
0
0
33
D.
42
解:这个体积是 底边和高均为1的正六棱锥的体积的一半,因此
V?
4.若
(2x?4)
2n
1133
??6??

2344
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
???a
2n
x
2n< br>(n∈N
+
), 则
a
2
?a
4
???a< br>2n
被3除的余
数是
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
解:
a
0
?a
2
?a
4
???a
2n
=
a
2
?a
4???a
2n
(B).
11
2n
2n2n
2n
[
(2?4)?(?2?4)
]=[
6?2
]
22
2n ?12n
(3?1)?4
2n
?
(?1)
2n?1
?1?1
2n
=-2
?
1(mod3).所以选=
2
5.在边长为1 2的正三角形中有n个点,用一个半径为
3
的圆形硬币总可以盖住其中的2
个点,则n 的最小值是[ ]
A.17 B.16 C.11 D.10
解:如图(1),作一个分割,在每个交叉点上置一个点,这时任意两点间距离不小于4,< br>4>2
3
(硬币直径),故这时硬币不能盖住其中的两个点,说明n=10是不够的.
如图(2),另作一个分割,得到16个全个等的边长为3的正三角形,其中“向上”的三角形
共有10个,它们的外接圆的半径正好是
3
.
借助图(3)可以证明:只要图(2) 中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖,则三角形ABC
完全被覆盖,这时若在三角形ABC内置1 1个点,则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个
点.
故n的最小值是11,所以选(C).
A
A



B
BC
C
二、填空题(每题8分共40分)
(3)
(2)
(1)


6.盒子里装有大小相同的球8个,其中三个1号球,三个2号球,两个 3号球.第一次从盒
子中先任取一个球,放回后第二次再任取一个球,记第一次与第二次取到的球上的号 码的积
为随机变量ξ,则ξ的数学期望Eξ=
解:ξ可能取的值是1,2,3,4,6,9
3?33?3?23?2?23?3
, P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,
222
2
888
8< br>3?2?2
2?2
P(ξ=6)=,P(ξ=9)=,
2
2
8
8
3?33?3?23?2?23?33?2?2
2?2
27
E ξ=
2
×1+×2+×3+×4+×6+×9==3.375.
222
2< br>2
8
8888
8
8
P(ξ=1)=
7.在锐角三角形 ABC中,设tanA,tanB,tanC成等差数列且函数f(x)满足
f(cos2C)=cos(B+C-A),则f(x)的解析是为 解:tanA=-tan(B+C),tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tan A+tanC=2tanB,
于是有3tanB=tanAtanBtanC,因为B为锐角,所以t anB≠0,所以tanAtanC=3,
令cos2C=x,则
cosC
=
2
9
1?x
2
,所以
tanA
==
2
2
tanC
2
9
1
cos
2
C
9(1?x)

1?x
?1
=
所以cos(B+C-A)=cos(
?< br>-2A)=-cos2A=1-2
cosA
=1-
即f(x)=
100
2
4?5x
=,
2
5?4x
1?tanA
4?5x
.
5?4x
8 .
?
[(10i?1)(10i?3)(10i?7)(10i?9)]
的末三位数是 _______
i?1
22
解:(10i+1)(10i+3)(10i+7)(1 0i+9)=[100
i
+100i+9][100
i
+100i+21]
2
2
=10000
i
(i?1)
+3000i(i+1)+ 189
?
189(mod1000).
100
所以
?
[( 10i?1)(10i?3)(10i?7)(10i?9)]
?
?
189
= 189×100
?
900(mod1000).
i?1i?1
100
所以末三位是900
9.集合A中的元素均为正整数, 具有性质:若
a?A
,则12-
a?A

这样的集合共有 个.
解:从集合A的性质可得,A必然是六个集合{1,11},{2,10},{3,9},{4, 8},{5,7},{6},
123456
中某几个的并集,因此符合要求的A共有
C
6
+
C
6
+
C
6
+
C
6
+
C
6
+
C
6
=
2
-1=63 个.
6
10.抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线x+y-1=0与抛物线相 交于A、B两点,
且|AB|=
86
.在抛物线上是否存在一点C,使△ABC为正三 角形 ,若存在,C点
11
的坐标是 .
2
解:设所求抛物线方程为
y?2px(p?0)
,由弦长|AB|=
86< br>建立关于p的方程.
11
244
2
2
x
. 解得 p=或p=-(舍去),故抛物线方程为
y?
1111
11
设AB 的中点为D(x
0
,y
0
),抛物线上存在满足条件的点C(x
3< br>,y
3
),
由于△ABC为正三角形.所以CD⊥AB,|CD|=
3123
|AB|=.
211


由CD⊥AB得
x< br>3
?y
3
?
解①②得
x
3
?
123 24
15
① 由
|CD|?

得|x
3
? y
3
?1|?
1111
11
25
10114
y
3
?或x
3
?,y??

111111
11
11425
10
但点(,?)
不在抛物线上.故抛物线上存在一点(,)
11
11
1111
三、解答题(每题25分共75分)
11.三个 等圆⊙O
1
,⊙O
2
,⊙O
3
,两两外切且均内切于⊙O, 从⊙O上任意一点向三个小圆引三条
切线,求证:其中必有一条切线长等于另两条切线长的和.
证明:设三个小圆的半径为r,大圆的半径为R,并设三个小圆切大圆于A、B、C,P 是大
圆上任意一点,由于三角形ABC是等边三角形,有PA=PB+PC(如图).
设P向 ⊙O
1
,⊙O
2
,⊙O
3
所引三条切线的切点分别是
T
A
,
T
B
,
T
C
,设线段PA,PB ,PC分别
交⊙O
1
,⊙O
2
,⊙O
3
于D,E, F,连结PO,OB,EO
2
,易得⊿POB∽⊿EO
2
B,
R?r
PE
R?r
?
PE==×PB,
PBRR
R?rR?r
同理PD=×PA, PF=×PC,
RR
R?rR?r
因此
PT
B
?PT
C
=(PB+PC)=PA =
PT
A
.
RR
log
b
a
logc
b
log
a
c
9
12.设a,b,c∈(1,+∞) ,证明:2(++)≥.
a?b
b?c
c?a
a?b?c
由此得< br>∴
A
O
O
1
C
O
O
2
3< br>P
E
B
证明:∵a,b,c∈(1,+∞),log
b
a,l og
c
b,log
a
c,都是正数,并且它们的乘积等于1,
lo g
b
a?log
c
b?log
a
c
log
b
a
log
c
b
log
a
c
3
+ +≥3
3
=,
a?b
b?c
c?a
(a?b)(b?c) (c?a)
3
(a?b)(b?c)(c?a)
又∵2(a+b+c)=(a+b)+ (b+c)+(c+a)≥3
3
(a?b)(b?c)(c?a)
,
(a? b)(b?c)(c?a)
log
b
a
log
c
b
log
a
c
9
∴++≥,
2(a?b?c)
a?b
b?c
c?a
log
b
a
log
c
b
l og
a
c
9
即 2(++)≥.
a?b
b?c
c?a
a?b?c
3

1

3
3
=,
(a?b)?(b?c)?(c?a)
2(a?b?c)
13.有5对孪生兄妹参加k 个组的活动,若规定:(1)孪生兄妹不在同一组;(2)非孪生关系
的任意两人都恰好共同参加过一个 组的活动;(3)有一个人只参加两个组的活动.求k的最小
值.
解:用A,a,B,b,C ,c,D,d,E,e表示5对孪生兄妹,首先考虑(3),不妨设A只参加两个组的
活动,要同时满足 (1)和(2),A参加的两个组必为ABCDE和Abcde.然后继续编组,考虑使同
组的人尽可能 地多,而且避免非孪生关系的任意两人重复编在同一组中,只有从B,C,D,E
和b,c,d,e各抽 一人(非孪生关系),把这两个人与a搭配,编成四组:Bac,Cab,Dae,Ead
才能保证k最 小.最后将余下的没有同组的非孪生关系的每两人编成一组,即为
Bd,Be,Cd,Ce,Db,Dc ,Eb,Ec,共8组,因此符合规定的k的最小值是14.



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