2018-2019学年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题+Word版含答案

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2018-2019学年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题
一、填空题(共8小题每小题8分,满分64分)
1. 集合
P?{x|x
2
?5x?6?0}
，
M?{x|mx?1?0}
，且
M?P
,则满足条件的实数
m
组
最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十 足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
成的集
合为 ．
2.函数
f(x)?x?1
?3?x
的值域是 ． 2
|2x|
?2018x
3
?1
3已知函数
f(x)?
在
R
上的最大值为
M
,最小值为
m
,
|x|
4?1
则
M?m?
．
4.已知四面体
ABCD
中,
AB?CD?5
,
AD?B C?34
,
AC?BD?41
,则该四面体
的体积
为 ．
32
5.已知关于
x
的方程
x?ax?bx
?a?b? 1?0
有两个根分别在
(0,1),(1,??)
内,
则
2a?b?1
的取值范围是 ．
a?1
22
6.在直线
x?3
上任取一点
P
,过点
P
向圆x?(y?2)?4
作两条切线,其切点分别为
A,B
,
则直线
AB

经过一个定点，该定点的坐标为 ．
7.已知
? A
为锐角,则
sin
4
A?1?cos
4
A?4
的 最小值为 ．
8.甲乙两人打乒乓球,甲每局获胜的概率为
数为
2
,当有一人领先两局的时候比赛终止比赛的总局
3
x
i
(i?N
+
)
的概率为
p
i
,这里要求
x
i
?x
I?1
(i?N)
,则
S?
?
x
i
p
i
?
．
i?1
??
二、
(1)证明对于任意的正实数
a,b
都有:
a?b?2ab

(2)已知正数
x,y
满足:
x?y?1
，求
三、
14
?
的最小值.
xy< br>设锐角
?ABC
边
BC,CA,AB
上的垂足分别为
D,E, F
,直线
EF
与
?ABC
的外接圆的一个交
点为
P
,直线
BP
与
DF
交于点
Q
.证明:
AP?AQ
.

四、
已知实数
x,y
满足:
x
2
?y
2
?2(x?1)(1?y)
，求
xy< br>的最小值.
1?cos(x?y?1)?
x?y?1
2
五、
设
S,T
是两个非空集合若存在一个从
S
到
T
的函数y?f(x)
满足:
(i)
T?{f(x)|x?S}
；
(ii)
?x
1
,x
2
?S
,当
x1
?x
2
时,恒有
f(x
1
)?f(x
2)
.
那么称这两个集合“保序同构”.
证明: (1)
A?(0,1),B?R
是保序同构的；
(2)判断
A?Z,B?Q
是不是保序同构的，若是，请给出一个函数的表达式；若不是，请说明
理由.

2018年全国高中数学联赛河南省预赛高一参考答案
一、填空题
1.
{,,0}
.
2.
[2,2]
.
3.
2
.
4.
20
.
5.
(0,2)
.
6.
(,2)
.
7.
10
.
8.
11
23
4
3
18
.
5
二、
(1)由
a?b?2ab
?(a?b)
2
?0
，故
a?b? 2ab

(2)
1414
??(?)(x?y)

xyxy
y4x
?

xy
?1?4?
?5?2
y4x
??9

xy
12
,y?
处取到，故最小值为
9
.
33
等号在
x?
三、

如上图 所示,由于
D,E,F
是垂足,则
?BFC??BEC?90
,
故
B,F,E,C
四点共圆，从而
?AFE??ACB

?
而
?
?
?BFD =?FQB??FBQ

?
?BCA??PCB??PCA
??FQB?
?PCB??PAF

故
A,F,P,Q
四点共圆
??AQP??AFE??ACB??APQ

?AP?AQ

四、
x
2
?y
2
?2(x?1)(1?y)(x
2
?y
2
?2xy)?2(x?y)?1?1

?
1?cos(x?y?1 )?
x?y?1x?y?1
2
1
(x?y?1)
2
?1
??
x?y?1?
x?y?1
x?y?1
由于
0?1 ?cos
(x?y?1)?2
，故
x?y?1?0
，从而
x?y?1 ?
2
1
?2

x?y?1
?
1?cos
2
(x?y?1)?2

?
?
?
x?y?1?1
?
cos
2
(x?y?1) ?1

?
?
?
x?y
?
x?y?1?k
?
,k?Z

?
?
?
x?y

?x?y?
故
(xy)
min
五、
1?k
?
1?k
?
2
1
)?,k?Z
，
k?Z?xy?
(
224
1
?
.
4
1
)
?
](x?A)
，
2
(1)令< br>f(x)?tan[(x?
则
f(x)
单调增,且其值域为
R
,因此
A
和
B
是保序同构的；
(2)集合
A?Z,B?Q
不是保序同构的.
事实上上若集合
A?Z,B?Q
是保序同构的.
则存在函数
y?f (x)
,使得
f(1)?a,f(2)?b
,其中
a,b?Q,a?b
.
考察数
c?
a?b
?Q
，则
a?c?b
,由 于
A
和
B
是保序同构的,则存在
x?Z
使
f(x) ?c
，
2
结合
y?f(x)
单调递增,则
1?x?2
,矛盾.