关键词不能为空

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2019年全国高中数学联赛四川省预赛-附答案解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 13:05
tags:全国高中数学竞赛

完美课堂高中数学选修-高中数学老师用书那本好

2020年9月21日发(作者:萧同兹)


2019年全国高中数学联赛四川省预赛
学校:___________姓名:___ ________班级:___________考号:___________


uuuruuuruuuruuur
1
.设正六边形
ABCDEF
的边长为
1
,则
(AB?DC)?(AD?BE)?
______ .
?< br>x
2
y
2
2
.双曲线
2
?
2
?1
的右焦点为
F
,离心率为
e
,过点
F
且倾斜 角为的直线与该双
3
ab
曲线交于点
A

B
,若< br>AB
的中点为
M
,且
|FM|
等于半焦距,则
e?< br>_____ .
3
.满足
(a+bi)
6
=a
-< br>bi(
其中
a

b

R

i
2
=

1)
的有序数组
(a

b)
的组 数是
_____ .
4
.已知正四棱锥
?
的高为
3
,侧面与底面所成角为
?
,先在
?
内放入一个内切球
O
1

3
然后依次放入球
O
2
,O
3
,O4
,L
,使得后放入的各球均与前一个球及
?
的四个侧面均相
切 ,则放入所有球的体积之和为
_____ .
5
.设一个袋子里有红、黄、蓝色小球 各一个现每次从袋子里取出一个球
(
取出某色球的
概率均相同
)
,确 定颜色后放回,直到连续两次均取出红色球时为止,记此时取出球的
次数为
ξ
,则ξ
的数学期望为
_____ .
6
.已知
a
为实数, 且对任意
k

[

1

1]

x

(0

6]
时,
6lnx+x
2
8x+a≤kx
恒成立,则
a
的最大值是
_____ .
n*
7
.已知数列
{a
n
}
满足:
a
n
?
?
(2?5)?
n
?
n?N
,其中
[x]表示不超过实数
x

2
??
?
1
?
? ?
最大整数
.

C
为实数,且对任意的正整数
n
, 都有
1
?
C
,则
C
的最小值是
_____ . < br>?
aa
k?1
kk?2
n
8
.若正整数
n< br>使得方程
x
3
?y
3
?z
n
有正整数解(x

y

z)
,称
n


好数
”.
则不超过
2019


好数

个 数是
_____ .
9

3)

C
为圆
O:x
2
?y
2
?25
上的两动点,设点
A
的坐标 为
(0
,点
B
、满足∠
BAC=90°

求△ABC
面积的最大值
.
10
.设
a

b
c

(0

1]

?
为实数,使得
立,求
?
的最大值
.
11
.已知函数
f(x)= xlnx

ax
2

a

R.
3

1?
?
?
1?a
??
1?b
??
1? c
?
恒成
a?b?c
f(x)?ax
2
?x?21
?
2
; (
1
)证明:当
1时,
(3?x )e
x
e
试卷第1页,总2页



2
)设函 数
F(x)=|f(x)|(x

[1

e])
有极小值, 求
a
的取值范围
.

试卷第2页,总2页


本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
参考答案
1
.-
3
【解析】

【分析】

【详解】

如图所示,建立平面直角坐标
系设
C(1
,< br>0)
,则
B
?
?
?
1
?
13
??
13
?
3
??
13
?
,A?,D,?,E? ,?
.

???????
???????
2
??
22
??
22
??
22
??
2
,
uuur uuur
?
13
??
33
?
于是
AB?DC?(1 ,0)?
?
?
2
,
2
?
?
?
?< br>?
2
,
2
?
?

????
uuu ruuur
AD?BE?(1,?3)?(?1,?3)?(0,?23)

uuuruuuruuuruuur
?
33
?
于是
(AB?DC )?(AD?BE)?
?
?
2
,
2
?
?
? (0,?23)??3
.
??
故答案为:
?3

2

2

【解析】

【分析】

【详解】

22
x
1
2
y
1
2< br>x
2
y
2
设点
A
?
x
1
, y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?,M
?
x
0
,y
0
?
,则
2
?
2
?1,
2
?
2
?1
.
abab两式相减,得
?
x
1
?x
2
??
x
1
?x
2
?
?
?
y
1
?y
2
??
y
1
?y
2
?
?0

a
2
b
2
y
1
?y
2
b
2
x
0
?
2
?3
.
所以
AB
的斜率为
k?
x
1
?x
2
ay
0
答案第1页,总10页


本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
?
33< br>?
c,c
?

|FM|?c,?xFM?
,所以
M< br>点的坐标为
?
??
.
22
3
??
?
b
2
所以
2
?
a
3y
0
cb
2
?1
,所以
e??1?
2
?2
.
x
0
aa
故答案为:
2

3

8
【解析】

【分析】

【详解】


z=a+bi
,则
z
6
?z
,从而
|z|?|z|?|z|
.
于是
|z|?0
或者
|z|?1
.

|z|?0
时,
z=0
,即
a=b=0
,显然
(0

0)
符合条件;

|z|?1
时,由
z
6
?z< br>知
z?z?z?|z|?1

注意到
z
7
=1
7
个复数解
.
即有
7
个有序实数对
(a
b)
符合条件
.
综上可知,符合条件的有序实数对
(a

b)
的对数是
8.
故答案为:
8

4

72
6
18
?

13
【解析】

【分析】

【详解】

设 侧面与底面所成角为
?
.
记球
O
i
的半径为
ri
,体积为
V
i

i=1

2
3

….
因为
cos
?
?
r
11< br>,故
h?
1
?r
1
?3r
1
,即
r
1
?h?1
.
2cos
?
3
2)
,所以
3
?
r
n
?r
n?1
?
?2r
n
, 定义
s
n
?r
1
?r
2
?L?rn
,由于
3r
n
?h?2s
n?1
(n…
1< br>?
1
?

r
n?1
?r
n
,所以< br>r
n
?
??
3
?
3
?
n?1
.
答案第2页,总10页


本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
n
43
3
?
1
?

?
V
i
??
?
r
i
?
?
?
?
??
4< br>i?1
?
3
?
i?1i?1
3
n
nn
3i?3

所以
lim
n??
?
V
i
?
i?1
18
?
.
13
故答案为:
5

12
【解析】

【分析】

【详解】

18
?

13< br>设所求数学期望为
E
,第一次取出的球的颜色分别为红、黄、蓝的取法的次数
?
的数学期望

E(a)

E(b)

E(c).< br>则
E(b)=E(c).
因为第一次取出的球的颜色为红、黄、蓝的概率是相同的,所 以
E?
E(a)?2E(b)
,①
3
先考虑第一次取出的球是红色 的,若第二次取出的球是红色的,则操作结束;若不然,第一
个为红球,第二个球的颜色为黄或蓝,忽略 第一个球,剩下的取球方式可以视为一种新的取

(
即第一个球的颜色是黄或蓝
)
,则
E(a)?
12
?2?(1?E(b))

33
再考虑第一次取出的球的颜色是黄或蓝,忽略第一个球,剩下的取球方式可以视为一种新的
取法 ,则
E(b)?E?1

由①、②、③,解得
E=12.
故答案为:
12

6

6

6ln6
【解析】

【分析】

【详解】

由题意,对k

[

1

1]

k…
6 lnxa
??x?8

x

(0

6]
时 恒成立,
xx
答案第3页,总10页


本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
所以,
? 1…
6lnxa
??x?8

x

(0

6]
时恒成立,
xx

a≤

x
2
-< br>6lnx+7x

x

(0

6]
时恒成立
.

h(x)=

x
2

6lnx+7 x

x

(0

6]
,则
a
ma x
?h(x)
min
.
所以
h(x)??2x?
?
6?(2x?3)(x?2)
.
?7?
xx
?
3
?
,2
?
时,
h'(x )>0

h(x)
为增函数;
2
??
因为
x>0
,所以当
x?
?

x

?
0,
?

(2

6]

h'(x)<0

h(x )
为减函数
.
?
?
3
?
2
?
所 以
h(x)
的最小值为
h
?
?
3
?
?
h(6)
中的较小者
.
2
??
939
?< br>3
?
h
??
?h(6)??6ln?6ln6??12ln2?0
424
?
2
?
所以
h(x)
min
?h(6)?6?6ln6
,从而
a
的最大值是
6

6l n6.
故答案为:
6?6ln6

7

1

288
【解析】

【分析】

【详解】

n

x
1
?2?5,x
2
?2?5
,则
a
n
?
?
x
1
?
n
?
.
2
??
?
1
?

T
n
?x
1?x
2
,则
T
n?2
?
?
x
1
?x
2
?
T
n?1
?x
1
x
2
T
n
?4T
n?1
?T
n

nn
22< br>而
T
1
?x
1
?x
2
?4,T
2< br>?x
1
?x
2
?
?
x
1
?x
2
?
?2x
1
x
2
?18

2
因此,对任意的正整数
n

T
n

Z.
又注意到
?
11111
n
?2?5?0
,从而
x< br>2
?
,于是
?1?
n
??
n
?x
2
?
n
.
22222
答案第4页,总10页


本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
因此,
x
1
?x
2
?1?x
1
?
nn
nnn
1
?
11
?
n
n
n
?x??1??1
? x
1
n
?x
2
?1
.
?1?a?x?
1
?
n1
n
?
nn
2
?
22
?nn
nn
又注意到
x
1
?x
2
?1,a
n
,x
1
?x
2
?1
均为整数,故
a
n
?x
1
?x
2
.
于是
a
n?2
?4a
n?1
?a
n
,且
a
1
?4,a
2
?18
.
4a
k?1
111
a
k?2
? a
k
????

a
k
a
k?2
4ak
a
k?1
a
k?2
4a
k
a
k?1
a
k?2
1
?
11
?
?
?
??

4
?
a
k
a
k?1
a
k?1
a
k?2
?
11
11
n
?
11?
1
?
11
?
??
?
?
?
? ?

?
?
?
??
2884aa
.
aa4 aaaa4aaaa
n?1n?2
k?1
kk?2
k?1
?
kk?1k?1k?2
?
n?1n?2
??
12
n
4
n?2
a
2
(n2)
, 显然
a
n
>0
,于是
a
n?2
?4a
n?1
,从而
a
n


lim
1
?0
.
n??
a
n?1< br>a
n?2
n
?
n
11
1
?
1
?
lim?
.
因此,
?
,且
?
?
?< br>n??
aa288
k?1
kk?2
?
k?1
a
k
a
k?2
?
288
所以,常数
C
的最小值为< br>故答案为:
8

1346
【解析】

【分析】

【详解】

首先易知若
n


好数

,则
n+3
也是

好数

又显然
1

2


好数

,从而当n?1,2(mod3)
时,
n
均为

好数
”. 333
由费马
(Fermat)
大定理知:
x?y?z
无正整数 解,即
3
不是

好数
”.
1
.
288
1

288
于是
n=3k(k

N
*
)
都不是

好数
”.
否则,存在
k< br>∈
N
*
,使得
3k


好数
,即方程
x?y?z
333
正整数解
(x

y

z
0
)
,从而
x?y?z
有正整数解
x
0
,y
0
,z
0
,矛盾!
333k

?
k
?
答案第5页,总10页


本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
故当且仅当
n
满足
n?1,2(mod3)
时,
n


好数
”.
所以,不超过
2019


好数

个数是
2019?
故答案为:
1346

9

2
?1346
.
3
25?341

2
【解析】

【分析】

【详解】

如图 所示,设
B
?
x
1
,y
1
?
,C
?
x
2
,y
2
?

P(x

y)
为线段
BC
的中点
.

22

x
1
?y
1
?25

22
x
2
?y
2
?25

x
1
x
2
?
?
y
1
?3
??
y
2
?3
?
?0

x
1
?x
2
?2x,y
1
?y
2
?2y

2
3
?< br>?
41
?
?
2
22
.
由①、②、③、④可 知:
x?y?3y?8
,即
x?
?
y?
?
?
??
??
2
?
?
2
?
?
2
3< br>?
?
41
?
?
2
.
所以,线段
B C
的中点
P
的轨迹是⊙
O
1
,其方程为:
x??
y?
?
?
??
??
22
??
??< br>于是
|AP|?AO
1
?O
1
P?
2
2341

?
22
从而△
ABC
面积
S?11
|AB|?|AC|?|AB|
2
?|AC|
2

24
??
答案第6页,总10页


本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
?
31
41
?
25?341
22
?|BC|?|AP|
?< br>?
??

?
?
2
?
4
22
??
2
?
3?41
?
当点
P
的坐标为
?
?
0,
2
?
?
时,上式可取到等号
.
??
所以,△
ABC
面积的最大值是
25?341
.
2
10

64

27
【解析】

【分析】

【详解】

一方面,取
a?b?c?
164
.
时,得
?
?< br>427
另一方面,
?
?
64
364
满足条件,即
1?(1?a)(1?b)(1?c)
.
27
27
a?b?c
3
?
a?b?c
?

事实上,注意到:
(1?a)(1?b)(1?c)
?
?
1?
?
3
??

a+b+c=3x
2
,其中
x>0< br>,则
0164
1?1?x
2
只须证
…< br>x27
??
3
?
1?x64
…(1?x)
3
(1?x)
3

x27
64
?1…x(1?x)
2
(1?x)
3

*

27
由均值不等式知:
?
?
x?1
?
?
x?2(1?x)?3
3
??
?
27
?
3
??
?
?
232
?
1?x
?
.
x(1?x)(1?x)?27x(1?x)
??
?< br>27
?
6
??
64
?
3
?
????
于是
6
646427
x(1?x)
2
(1?x)< br>3
???1
,故
(*)
成立
.
272764
64
.
27
综上可知,
?
的最大值是
答案第7页,总10页


本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
11
.(
1
)证明见解析(
2

0?a?
【解析】

【分析】

【详解】

1
1
1

?a?

e
e2
2?< br>(
1
)设
g(x)?f(x)?ax?x?2?xlnx?x?2
,则
g(x)?lnx
.

1时,
g'(x)>0< br>,因此,
g(x)

(1

3)
上单调递增,所以,
g(x)?g(1)?1

x?x

h(x)?(3?x)e,则
h(x)?(2?x)e
.

1时,
h'(x)>0


2时,
h'(x)<0
因此,
h(x)

(1

2)
上单调递增,在
(2

3)
上单调递减
.
所以,
h(x)
的最大值为
h

2

=e
2
,即
0<(3

x)e
x≤e
2
.
11

?0
.
所以
x2
(3?x)ee
2
f(x)?ax?x?21
?
2
. 又因为
f(x)+ax
2

x+2>1
,所以
x
(3?x)ee
2

2

F(x)?|f(x)|?x
l nx
?a,x?[1,e]
.
x

t(x)?
lnx1?lnx
.
?a,x?[1,e ]
,则
t
?
(x)?
2
xx

x

[1

e]
时,
t'(x)≥0
,故
t(x)< br>在
[1

e]
上单调递增
.
t(x)
于是
t

1

≤t(x)≤t(e)
,即
?a剟
1
?a
.
e
(i)
当-
a≥0
,即
a ≤0
时,
t(x)≥0
,于是
F(x)?xlnx?ax
2
,x?[1,e]


F(x)?lnx?1?2ax?0
,从而
F(x)

[1

e]
上单调递增
.
所以,F(x)

[1

e]
上无极值点
.
(ii )

?
1
1
?a?0
,即
a?
时,
t(x)<0
,于是
F(x)?ax
2
?xlnx,x?[1,e]
.
e
e
答案第8页,总10页


本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
?
F(x)?2ax?lnx?1

F(x)?2a?
??
1
?< br>1
?
1
,因为
?
?
,1
?
x
?
e
?
x
1
①当
2a≥1
,即a…
时,
Fx)≥0
,故
F'(x)

[1

e]
上单调递增
.
2
又因为
F'

1< br>)
=2a

1≥0
,故
F(x)

[1
e]
上单调递增,所以,
F(x)

[1

e]
上无极值点
.
②当
1111
?a?
时,由
F
??
(x)?2a?…0

剟xe
.
e2x2a
?
1
?
?
1
?
,e
?
上单调递增
.
上单调递减,在
?
?
2a
2a
??
??
于是
F'(x)

?
1,
又因为
F'

1

=2a

1<0

F'(e)=2ae
2>0
,故存在
x
0
?(1,e)
,使得
F
?
?
x
0
?
?0
.
因此,
F(x)

?
1,x
0
?
上单调递减,在
?
x
0
,e
上单调递增
.
所以,
F(x)

[1

e]
上有一个极小值点
(iii)

a?
?
1
221e
???
时 ,
F(x)?x?lnx?1
,由
F(x)???0

x?
.
e
eex2
?
e
?
??
?
e
?
?
?
于是
F'(x)

?
1,
?
上单调递减,在
?
,e
?
上单调递增
.
22

F(1)?
?
2
?1?0,F
?
(e)?0
,从而
F'(x)≤0

[1

e]
上恒成立
.
e
所以,
F(x)

[1

e]
上无极值点
(iv)

0?a?
lnx
0
1
?a
.
时,因为
t(x)

[1

e]
上单调递增,于是 存在
x
0

(1

e)
,使得
x
e
0
因此,当
x?1,x
0
时,
t(x)≤0
;当
x?x
0
,e
时,
t(x)≥0.
??
???
ax
2
?xlnx,1剟xx
0
F(x)?
从而 < br>?
2
xlnx?ax,x?x
?
e
0
?
于是
F
?
(x)?
?
2
xx
0
?
2a x?1?lnx,1剟

lnx?1?2ax,x?x
?
e
0
?
?

k(x)?ax?xlnx,x?[1,e]
,则
k(x) ?2ax?lnx?1
.
下面证明
k'(x)≤0
,即证
2ax≤ lnx+1
,即
2a
?
lnx?1
.
x
答案第9页,总10页


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?
2?
lnx?1
?
lnx?1lnx
??
?
.

?
?
?
??
2
?0
,故
?
xe
??
x
min
?
x
?
即证
a?
1
,所以结论成立,即
k'(x)≤0.
e
注意到
?
1,x
0
?
?[1,e]
,故
F(x)

?
1, x
0
?
上单调递减,在
?
x
0
,e
上单调 递增
.
因此,
x
0

F(x)
的极小值点 综上所述,当
0?a?
?
1
1
1

?a?时,
F(x)

[1

e]
上有极小值点
.
e
e2
答案第10页,总10页

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