完美课堂高中数学选修-高中数学老师用书那本好
2019年全国高中数学联赛四川省预赛
学校:___________姓名:___
________班级:___________考号:___________
uuuruuuruuuruuur
1
.设正六边形
ABCDEF
的边长为
1
,则
(AB?DC)?(AD?BE)?
______ .
?<
br>x
2
y
2
2
.双曲线
2
?
2
?1
的右焦点为
F
,离心率为
e
,过点
F
且倾斜
角为的直线与该双
3
ab
曲线交于点
A
、
B
,若<
br>AB
的中点为
M
,且
|FM|
等于半焦距,则
e?<
br>_____ .
3
.满足
(a+bi)
6
=a
-<
br>bi(
其中
a
,
b
∈
R
,
i
2
=
-
1)
的有序数组
(a
,
b)
的组
数是
_____ .
4
.已知正四棱锥
?
的高为
3
,侧面与底面所成角为
?
,先在
?
内放入一个内切球
O
1
,
3
然后依次放入球
O
2
,O
3
,O4
,L
,使得后放入的各球均与前一个球及
?
的四个侧面均相
切
,则放入所有球的体积之和为
_____ .
5
.设一个袋子里有红、黄、蓝色小球
各一个现每次从袋子里取出一个球
(
取出某色球的
概率均相同
)
,确
定颜色后放回,直到连续两次均取出红色球时为止,记此时取出球的
次数为
ξ
,则ξ
的数学期望为
_____ .
6
.已知
a
为实数,
且对任意
k
∈
[
-
1
,
1]
当
x
∈
(0
,
6]
时,
6lnx+x
2
-8x+a≤kx
恒成立,则
a
的最大值是
_____ .
n*
7
.已知数列
{a
n
}
满足:
a
n
?
?
(2?5)?
n
?
n?N
,其中
[x]表示不超过实数
x
的
2
??
?
1
?
?
?
最大整数
.
设
C
为实数,且对任意的正整数
n
,
都有
1
?
C
,则
C
的最小值是
_____ . <
br>?
aa
k?1
kk?2
n
8
.若正整数
n<
br>使得方程
x
3
?y
3
?z
n
有正整数解(x
,
y
,
z)
,称
n
为
“
好数
”.
则不超过
2019
的
“
好数
”
个
数是
_____ .
9
.
3)
,
C
为圆
O:x
2
?y
2
?25
上的两动点,设点
A
的坐标
为
(0
,点
B
、满足∠
BAC=90°
,
求△ABC
面积的最大值
.
10
.设
a
,
b,
c
∈
(0
,
1]
,
?
为实数,使得
立,求
?
的最大值
.
11
.已知函数
f(x)=
xlnx
-
ax
2
,
a
∈
R.
3
…
1?
?
?
1?a
??
1?b
??
1?
c
?
恒成
a?b?c
f(x)?ax
2
?x?21
?
2
; (
1
)证明:当
1
(3?x
)e
x
e
试卷第1页,总2页
(
2
)设函
数
F(x)=|f(x)|(x
∈
[1
,
e])
有极小值,
求
a
的取值范围
.
试卷第2页,总2页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
参考答案
1
.-
3
【解析】
【分析】
【详解】
如图所示,建立平面直角坐标
系设
C(1
,<
br>0)
,则
B
?
?
?
1
?
13
??
13
?
3
??
13
?
,A?,D,?,E?
,?
.
,
???????
???????
2
??
22
??
22
??
22
??
2
,
uuur
uuur
?
13
??
33
?
于是
AB?DC?(1
,0)?
?
?
2
,
2
?
?
?
?<
br>?
2
,
2
?
?
,
????
uuu
ruuur
AD?BE?(1,?3)?(?1,?3)?(0,?23)
,
uuuruuuruuuruuur
?
33
?
于是
(AB?DC
)?(AD?BE)?
?
?
2
,
2
?
?
?
(0,?23)??3
.
??
故答案为:
?3
.
2
.
2
【解析】
【分析】
【详解】
22
x
1
2
y
1
2<
br>x
2
y
2
设点
A
?
x
1
,
y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?,M
?
x
0
,y
0
?
,则
2
?
2
?1,
2
?
2
?1
.
abab两式相减,得
?
x
1
?x
2
??
x
1
?x
2
?
?
?
y
1
?y
2
??
y
1
?y
2
?
?0
,
a
2
b
2
y
1
?y
2
b
2
x
0
?
2
?3
.
所以
AB
的斜率为
k?
x
1
?x
2
ay
0
答案第1页,总10页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
?
33<
br>?
c,c
?
又
|FM|?c,?xFM?
,所以
M<
br>点的坐标为
?
??
.
22
3
??
?
b
2
所以
2
?
a
3y
0
cb
2
?1
,所以
e??1?
2
?2
.
x
0
aa
故答案为:
2
.
3
.
8
【解析】
【分析】
【详解】
令
z=a+bi
,则
z
6
?z
,从而
|z|?|z|?|z|
.
于是
|z|?0
或者
|z|?1
.
当
|z|?0
时,
z=0
,即
a=b=0
,显然
(0
,
0)
符合条件;
当
|z|?1
时,由
z
6
?z<
br>知
z?z?z?|z|?1
,
注意到
z
7
=1有
7
个复数解
.
即有
7
个有序实数对
(a,
b)
符合条件
.
综上可知,符合条件的有序实数对
(a
,
b)
的对数是
8.
故答案为:
8
.
4
.
72
6
18
?
13
【解析】
【分析】
【详解】
设
侧面与底面所成角为
?
.
记球
O
i
的半径为
ri
,体积为
V
i
,
i=1
,
2
,3
,
….
因为
cos
?
?
r
11<
br>,故
h?
1
?r
1
?3r
1
,即
r
1
?h?1
.
2cos
?
3
2)
,所以
3
?
r
n
?r
n?1
?
?2r
n
, 定义
s
n
?r
1
?r
2
?L?rn
,由于
3r
n
?h?2s
n?1
(n…
1<
br>?
1
?
即
r
n?1
?r
n
,所以<
br>r
n
?
??
3
?
3
?
n?1
.
答案第2页,总10页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
n
43
3
?
1
?
故
?
V
i
??
?
r
i
?
?
?
?
??
4<
br>i?1
?
3
?
i?1i?1
3
n
nn
3i?3
,
所以
lim
n??
?
V
i
?
i?1
18
?
.
13
故答案为:
5
.
12
【解析】
【分析】
【详解】
18
?
.
13<
br>设所求数学期望为
E
,第一次取出的球的颜色分别为红、黄、蓝的取法的次数
?
的数学期望
为
E(a)
、
E(b)
、
E(c).<
br>则
E(b)=E(c).
因为第一次取出的球的颜色为红、黄、蓝的概率是相同的,所
以
E?
E(a)?2E(b)
,①
3
先考虑第一次取出的球是红色
的,若第二次取出的球是红色的,则操作结束;若不然,第一
个为红球,第二个球的颜色为黄或蓝,忽略
第一个球,剩下的取球方式可以视为一种新的取
法
(
即第一个球的颜色是黄或蓝
)
,则
E(a)?
12
?2?(1?E(b))
②
33
再考虑第一次取出的球的颜色是黄或蓝,忽略第一个球,剩下的取球方式可以视为一种新的
取法
,则
E(b)?E?1
③
由①、②、③,解得
E=12.
故答案为:
12
.
6
.
6
-
6ln6
【解析】
【分析】
【详解】
由题意,对k
∈
[
-
1
,
1]
,
k…
6
lnxa
??x?8
在
x
∈
(0
,
6]
时
恒成立,
xx
答案第3页,总10页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
所以,
?
1…
6lnxa
??x?8
在
x
∈
(0
,
6]
时恒成立,
xx
即
a≤
-
x
2
-<
br>6lnx+7x
在
x
∈
(0
,
6]
时恒成立
.
设
h(x)=
-
x
2
-
6lnx+7
x
,
x
∈
(0
,
6]
,则
a
ma
x
?h(x)
min
.
所以
h(x)??2x?
?
6?(2x?3)(x?2)
.
?7?
xx
?
3
?
,2
?
时,
h'(x
)>0
,
h(x)
为增函数;
2
??
因为
x>0
,所以当
x?
?
当
x
∈
?
0,
?
和
(2
,
6]
时
h'(x)<0
,
h(x
)
为减函数
.
?
?
3
?
2
?
所
以
h(x)
的最小值为
h
?
?
3
?
?和
h(6)
中的较小者
.
2
??
939
?<
br>3
?
h
??
?h(6)??6ln?6ln6??12ln2?0,
424
?
2
?
所以
h(x)
min
?h(6)?6?6ln6
,从而
a
的最大值是
6
-
6l
n6.
故答案为:
6?6ln6
.
7
.
1
288
【解析】
【分析】
【详解】
n
记
x
1
?2?5,x
2
?2?5
,则
a
n
?
?
x
1
?
n
?
.
2
??
?
1
?
记
T
n
?x
1?x
2
,则
T
n?2
?
?
x
1
?x
2
?
T
n?1
?x
1
x
2
T
n
?4T
n?1
?T
n
,
nn
22<
br>而
T
1
?x
1
?x
2
?4,T
2<
br>?x
1
?x
2
?
?
x
1
?x
2
?
?2x
1
x
2
?18
,
2
因此,对任意的正整数
n
,
T
n
∈
Z.
又注意到
?
11111
n
?2?5?0
,从而
x<
br>2
?
,于是
?1?
n
??
n
?x
2
?
n
.
22222
答案第4页,总10页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
因此,
x
1
?x
2
?1?x
1
?
nn
nnn
1
?
11
?
n
n
n
?x??1??1
?
x
1
n
?x
2
?1
.
?1?a?x?
1
?
n1
n
?
nn
2
?
22
?nn
nn
又注意到
x
1
?x
2
?1,a
n
,x
1
?x
2
?1
均为整数,故
a
n
?x
1
?x
2
.
于是
a
n?2
?4a
n?1
?a
n
,且
a
1
?4,a
2
?18
.
4a
k?1
111
a
k?2
?
a
k
????
又
a
k
a
k?2
4ak
a
k?1
a
k?2
4a
k
a
k?1
a
k?2
1
?
11
?
?
?
??
,
4
?
a
k
a
k?1
a
k?1
a
k?2
?
11
11
n
?
11?
1
?
11
?
??
?
?
?
?
?
故
?
?
?
??
2884aa
.
aa4
aaaa4aaaa
n?1n?2
k?1
kk?2
k?1
?
kk?1k?1k?2
?
n?1n?2
??
12
n
4
n?2
a
2
(n2)
, 显然
a
n
>0
,于是
a
n?2
?4a
n?1
,从而
a
n
厖
故
lim
1
?0
.
n??
a
n?1<
br>a
n?2
n
?
n
11
1
?
1
?
lim?
.
因此,
?
,且
?
?
?<
br>n??
aa288
k?1
kk?2
?
k?1
a
k
a
k?2
?
288
所以,常数
C
的最小值为<
br>故答案为:
8
.
1346
【解析】
【分析】
【详解】
首先易知若
n
为
“
好数
”
,则
n+3
也是
“
好数
”
又显然
1
、
2
是
“
好数
”
,从而当n?1,2(mod3)
时,
n
均为
“
好数
”. 333
由费马
(Fermat)
大定理知:
x?y?z
无正整数
解,即
3
不是
“
好数
”.
1
.
288
1
.
288
于是
n=3k(k
∈
N
*
)
都不是
“
好数
”.
否则,存在
k<
br>∈
N
*
,使得
3k
是
“
好数
”,即方程
x?y?z
333
正整数解
(x
,
y
,
z
0
)
,从而
x?y?z
有正整数解
x
0
,y
0
,z
0
,矛盾!
333k
有
?
k
?
答案第5页,总10页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
故当且仅当
n
满足
n?1,2(mod3)
时,
n
为
“
好数
”.
所以,不超过
2019
的
“
好数
”
个数是
2019?
故答案为:
1346
.
9
.
2
?1346
.
3
25?341
2
【解析】
【分析】
【详解】
如图
所示,设
B
?
x
1
,y
1
?
,C
?
x
2
,y
2
?
,
P(x
,
y)
为线段
BC
的中点
.
22
则
x
1
?y
1
?25
①
22
x
2
?y
2
?25
②
x
1
x
2
?
?
y
1
?3
??
y
2
?3
?
?0
③
x
1
?x
2
?2x,y
1
?y
2
?2y
④
2
3
?<
br>?
41
?
?
2
22
.
由①、②、③、④可
知:
x?y?3y?8
,即
x?
?
y?
?
?
??
??
2
?
?
2
?
?
2
3<
br>?
?
41
?
?
2
.
所以,线段
B
C
的中点
P
的轨迹是⊙
O
1
,其方程为:
x??
y?
?
?
??
??
22
??
??<
br>于是
|AP|?AO
1
?O
1
P?
2
2341
,
?
22
从而△
ABC
面积
S?11
|AB|?|AC|?|AB|
2
?|AC|
2
24
??
答案第6页,总10页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
?
31
41
?
25?341
22
?|BC|?|AP|
?<
br>?
??
,
?
?
2
?
4
22
??
2
?
3?41
?
当点
P
的坐标为
?
?
0,
2
?
?
时,上式可取到等号
.
??
所以,△
ABC
面积的最大值是
25?341
.
2
10
.
64
27
【解析】
【分析】
【详解】
一方面,取
a?b?c?
164
.
时,得
?
?<
br>427
另一方面,
?
?
64
364
满足条件,即…
1?(1?a)(1?b)(1?c)
.
27
27
a?b?c
3
?
a?b?c
?
,
事实上,注意到:
(1?a)(1?b)(1?c)
?
?
1?
?
3
??
令
a+b+c=3x
2
,其中
x>0<
br>,则
0
1?1?x
2
只须证
…<
br>x27
??
3
?
1?x64
…(1?x)
3
(1?x)
3
x27
64
?1…x(1?x)
2
(1?x)
3
(
*
)
27
由均值不等式知:
?
?
x?1
?
?
x?2(1?x)?3
3
??
?
27
?
3
??
?
?
232
?
1?x
?
.
x(1?x)(1?x)?27x(1?x)
??
?<
br>27
?
6
??
64
?
3
?
????
于是
6
646427
x(1?x)
2
(1?x)<
br>3
???1
,故
(*)
成立
.
272764
64
.
27
综上可知,
?
的最大值是
答案第7页,总10页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
11
.(
1
)证明见解析(
2
)
0?a?
【解析】
【分析】
【详解】
1
1
1
或
?a?
e
e2
2?<
br>(
1
)设
g(x)?f(x)?ax?x?2?xlnx?x?2
,则
g(x)?lnx
.
当
1
g'(x)>0<
br>,因此,
g(x)
在
(1
,
3)
上单调递增,所以,
g(x)?g(1)?1
;
x?x
设
h(x)?(3?x)e,则
h(x)?(2?x)e
.
当
1
h'(x)>0
;
当
2
h'(x)<0
因此,
h(x)
在
(1
,
2)
上单调递增,在
(2
,
3)
上单调递减
.
所以,
h(x)
的最大值为
h
(
2
)
=e
2
,即
0<(3
-
x)e
x≤e
2
.
11
…
?0
.
所以
x2
(3?x)ee
2
f(x)?ax?x?21
?
2
. 又因为
f(x)+ax
2
-
x+2>1
,所以
x
(3?x)ee
2
(
2
)
F(x)?|f(x)|?x
l
nx
?a,x?[1,e]
.
x
令
t(x)?
lnx1?lnx
.
?a,x?[1,e
]
,则
t
?
(x)?
2
xx
当
x
∈
[1
,
e]
时,
t'(x)≥0
,故
t(x)<
br>在
[1
,
e]
上单调递增
.
t(x)
于是
t
(
1
)
≤t(x)≤t(e)
,即
?a剟
1
?a
.
e
(i)
当-
a≥0
,即
a
≤0
时,
t(x)≥0
,于是
F(x)?xlnx?ax
2
,x?[1,e]
,
则
F(x)?lnx?1?2ax?0
,从而
F(x)
在
[1
,
e]
上单调递增
.
所以,F(x)
在
[1
,
e]
上无极值点
.
(ii
)
当
?
1
1
?a?0
,即
a?
时,
t(x)<0
,于是
F(x)?ax
2
?xlnx,x?[1,e]
.
e
e
答案第8页,总10页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
?
则F(x)?2ax?lnx?1
,
F(x)?2a?
??
1
?<
br>1
?
1
,因为
?
?
,1
?
, x
?
e
?
x
1
①当
2a≥1
,即a…
时,
Fx)≥0
,故
F'(x)
在
[1
,
e]
上单调递增
.
2
又因为
F'
(
1<
br>)
=2a
-
1≥0
,故
F(x)
在
[1,
e]
上单调递增,所以,
F(x)
在
[1
,
e]
上无极值点
.
②当
1111
?a?
时,由
F
??
(x)?2a?…0
得
剟xe
.
e2x2a
?
1
?
?
1
?
,e
?
上单调递增
.
上单调递减,在
?
?
2a
2a
??
??
于是
F'(x)
在
?
1,
又因为
F'
(
1
)
=2a
-
1<0
,
F'(e)=2ae
-2>0
,故存在
x
0
?(1,e)
,使得
F
?
?
x
0
?
?0
.
因此,
F(x)
在
?
1,x
0
?
上单调递减,在
?
x
0
,e
上单调递增
.
所以,
F(x)
在
[1
,
e]
上有一个极小值点
(iii)
当
a?
?
1
221e
???
时
,
F(x)?x?lnx?1
,由
F(x)???0
得
x?
.
e
eex2
?
e
?
??
?
e
?
?
?
于是
F'(x)
在
?
1,
?
上单调递减,在
?
,e
?
上单调递增
.
22
又
F(1)?
?
2
?1?0,F
?
(e)?0
,从而
F'(x)≤0
在
[1
,
e]
上恒成立
.
e
所以,
F(x)
在
[1
,
e]
上无极值点
(iv)
当
0?a?
lnx
0
1
?a
.
时,因为
t(x)
在
[1
,
e]
上单调递增,于是
存在
x
0
∈
(1
,
e)
,使得
x
e
0
因此,当
x?1,x
0
时,
t(x)≤0
;当
x?x
0
,e
时,
t(x)≥0.
??
???
ax
2
?xlnx,1剟xx
0
F(x)?
从而 <
br>?
2
xlnx?ax,x?x
?
e
0
?
于是
F
?
(x)?
?
2
xx
0
?
2a
x?1?lnx,1剟
lnx?1?2ax,x?x
?
e
0
?
?
令
k(x)?ax?xlnx,x?[1,e]
,则
k(x)
?2ax?lnx?1
.
下面证明
k'(x)≤0
,即证
2ax≤
lnx+1
,即
2a
?
lnx?1
.
x
答案第9页,总10页
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?
2?
lnx?1
?
lnx?1lnx
??
?
.
又
?
?
?
??
2
?0
,故
?
xe
??
x
min
?
x
?
即证
a?
1
,所以结论成立,即
k'(x)≤0.
e
注意到
?
1,x
0
?
?[1,e]
,故
F(x)
在
?
1,
x
0
?
上单调递减,在
?
x
0
,e
上单调
递增
.
因此,
x
0
为
F(x)
的极小值点 综上所述,当
0?a?
?
1
1
1
或
?a?时,
F(x)
在
[1
,
e]
上有极小值点
.
e
e2
答案第10页,总10页