2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案

2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案

一、填空题（每小题8分，满分64分）
1、已知
sin
?
?co s
?
,cos
?
?sin2
?
，则
sin
2
?
?cos
2
?
?
_______.
解：0或
.

已知两式平方相加，得
sin
2
?< br>?0
或
cos
2
?
?
3
2
1
.

4
3
sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
2
?
?
0或
.

2

2、不等式
x
6
?(x?2)?(x?2)
3
?x
2
的解集为_________.
解：
(??,?1)?(2,??).

原不等式等价于
x
6
?x
2
?(x?2)
3
?(x?2).

设f(x)?x
3
?x
，则
f(x)
在R上单调增.
所 以，原不等式等价于
f(x
2
)?f(x?2)?x
2
?x?2?x ??1或x?2.


3、已知错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。表示不 超过x的最大整数)，设
方程
1
?2012x?{x}
的两个不同实数解为< br>x
1
,x
2
，则
2013
2
?(x
1
?x
2
)?
__________.
2013
解：
?2011
.
11
1
?x?.

?(0,1)
，所以
2012x ?(?1,1)??
由于
{x}?[0,1),
20122012
2013< br>11
?x?0
时，原方程即
?2012x?1?x?2013
2
x
1
??2012
； 当
?
20122013
11
?2012x?x?2013
2
x
2
?1
. 当
0?x?
时，原方程即
20122013

4、在平面直角坐标系 中，设点
A(x,y)(x,y?N
*
)
，一只虫子从原点O出发，沿
x
轴
正方向或
y
轴正方向爬行（该虫子只能在整点处改变爬行方向），到达 终点A的不同路线
数目记为
f(x,y)
. 则
f(n,2)?
_______.
解：
1
(n?1)(n?2).

2
111
f(1 ,2)?3??2?3,f(2,2)?6??3?4,f(3,2)?10??4?5.

222
1
(n?1)(n?2)
，可归纳证明.
2
猜测
f(n,2)?

5、将一只小球放入一个长方体容器内，且 与共点的三个面相接触．若小球上一点P到
这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径为__ _________.
解：3或11.

分别以三个面两两的交线为
x
轴、
y
轴、
z
轴，建立空间直角坐标系.
设点P坐标为
(4,5,5)
，小球圆心O坐标为
(r,r,r).

222
所以，
(r?4)?(r?5)?(r?5)?r?r?3或11.


6、将
2013
n?1
(n?N
*
)
型 分数的乘积的不同方法数是________.（其中表示成两个
2012
n
ab与
ba
是同一种表示方法）
解：24.
设
p,q
是正整数，满足
2013p?1q?12012?2013
???p?2012?.

201 2pqq?2012
2012?2013?2
2
?3?11?61?503
的 正因数的个数为
(1?2)?(1?1)
4
?48
.
注意到
(p,q)(p?q)
与
(q,p)
是相同的表示方法，故所求的方法数为
24
.

7、设E为正方形ABCD边AB的中点，分别在边AD、BC上任取两点 P、Q，则∠PEQ
为锐角的概率为__________.
解：
3?ln4
.

4
设正方形边长为1，
AP?x,BQ?y
.
????????? ???????????????????????????????
1
则
EP?EQ ?(EA?AP)?(EB?BQ)?EA?EB?AP?BQ?xy??0.

4
1
从而，
xy?
. 又
0?x?1,0?y?1
.
4
1
故所求概率为两直线
x ?1,y?1
及曲线
xy?
所围成图形的面积与边长为1的正方形
4
1
1
??
33ln4
2
的面积之比，即
?
?1?< br>?
1
:1??.

?
44x44
?
4
?

8、已知实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
有实根，则使得
(a?b )
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
?ra
2
成立的正实数
r
的最大值为____________.
2
9
.

8
2
不妨设
a?1
，方 程
x?bx?c?0
的两实根为
x
1
,x
2
. < br>解：
r
max
?
由韦达定理，
b??x
1
? x
2
,c?x
1
x
2
.

?(a?b)< br>2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
?(1?b)
2< br>?(b?c)
2
?(c?1)
2

?(1?x
1?x
2
)
2
?(x
1
?x
2
?x1
x
2
)
2
?(x
1
x
2
? 1)
2

2
?2(x
1
2
?x
1
?1)(x
2
?x
2
?1)

13139
?2[( x
1
?)
2
?]?[(x
2
?)
2
?]? .

24248

从而，
r?
91
，当
x
1
?x
2
??
时等号成立.
82

二、解答题（第一道小题满分16分，后两道小题每题满分20分）
9、已知数列
{ a
n
}
的各项均为正数，
a
1
?1,a
2
?3
，且对任意
n?N*
，都有
2
?
，使得
an
?a
n?2
?
?
a
n?1
对任意
n ?N*
都成立？
a
n?1
?a
n
a
n?2
?2
．问：是否存在常数
2
n?1
，得
a
3
?7 .
解：在
a
n?1
?a
n
a
n?2
?2
中，令
8
若存在常数
?
使得
a
n
?an?2
?
?
a
n?1
，则
a
1
?a< br>3
?
?
a
2
?
?
?.

3
22*
∵
a
n?1
?a
n
a
n?2
?2
，∴
a
n
?a
n?1
a
n?1
?2 (n?2,n?N)
.
2222
∴
a
n?1
?a
n
?a
n
a
n?2
?a
n?1
a
n?1< br>?a
n?1
?a
n?1
a
n?1
?a
n?a
n
a
n?2
.
由于
a
n
?0< br>，上式两边同除以
a
n
a
n?1
，得
所以，
a
n?1
?a
n?1
a
n
?a
n?2
?( n?2).

a
n
a
n?1
a
n
?an?2
a
n?1
?a
n?1
a?a
3
8
????
1
?.

a
n?1
a
n
a2
3
8
即存在常数
?
?
，使得
a
n< br>?a
n?2
?
?
a
n?1
对任意
n?N*< br>都成立.
3

x
2
66
10
、已知两点< br>C(?,0),D(,0)
，设
A
，
B
，
M
是椭圆
?y
2
?1
上三点，满足
4
22
?????
3
????
4
????
OM?OA?OB
，点
N< br>为线段
AB
的中点，求
|NC|?|ND|
的值
.
55
2
x
1
2
x
2
22
解：设
A (x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)，则
?y
1
?1,?y
2
?1.

①

44
?????
3
????
4
??? ?
3434
由
OM?OA?OB
，得
M(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
5555
55
34
(x
1
?x
2
)
2
x
2
2
34
2

② ∵
M
在椭圆
? y?1
上，
55
??(y?y)?1.
12
4
455
综合①②得，
x
1
x
2
?y
1
y
2?0.

4
x
1
?x
2
y
1
?y
2
,)
，

22
又线段
AB
的中点为
N(
x
1
?x
2
2
)
2
y
1
?y
2
2
1
x
1
2
1
x2
1
xx

∴
22
2
?()?(?y
1
)?(?y
2
)?(
12
?y
1
y
2< br>)
42444424
(
111

???.
442

x
2
66
上式表明，点
N
在椭圆
?2y
2
?1
上，且该椭圆两焦点恰为
C(?,0),D(,0)
两
2
22
点
.
所以，由椭圆定义有
|NC|?|ND|?22.


11、已知< br>m?n(m,n?N
*
)
，两个有限正整数集合
A,B
满足：
|A|?|B|?n,|A?B|?m
（这里用
|X|
表示集合
X< br>的元素个数）.平面向量集
{u
k
,k?A?B}
满足
??
u
?
i
?
i?A
2
.

?
m?n
k?A?B
j?B
证明：不妨设
A?{1,2,?,n},B ?{n?m?1,n?m?2,?,2n?m}.

令
a
1
?a2
???a
n?m
?a
n?1
?a
n?2
?? ?a
2n?m
?1,

a
n?m?1
?a
n?m? 2
???a
n
?4.

?
u
?
j
?1
. 证明：
?
|u
k
|
2
?
由柯西不等式，





2n?m

i
注意到
从而，

?
a
i?1
?2(n?m)?4m?2(n?m).

2
.

m?n
k?A?B
?
?
2
2n?m
?
2
|u
k
|?
?
|u
i
|?
i?1