北师大版高中数学课本一共有多少-高中数学平面向量的会考题及答案
2012各省数学竞赛汇集
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70分)
f(x)?|x
3
?3x|
的最大值为__18___.
uuur
uuuruuuruuur
2、在
?ABC
中,已知
AC?BC?12,AC
?BA??4,
则
AC?
___4____.
1、当
x?[?3,
3]
时,函数
3、从集合
?
3,4,5,6,7,8
?
中随
机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为
_____
3
______
_.
10
2
4、已知
a
是实数,方程
x
,则?(4?i)x?4?ai?0
的一个实根是
b
(
i
是虚部单位
)
|a?bi|
的值为_____
22
___.
x
2y
2
5、在平面直角坐标系
xOy
中,双曲线
C:
??
1
的右焦点为
F
,一条过原点
O
且
124
倾斜角为
锐角的直线
l
与双曲线
C
交于
A,B
两点.若
?F
AB
的面积为
83
,则直线的斜
1
率为_______.
2
6、已知
a
是正实数,
k?a
lga
的取值范围是___
[1,??)
_____.
7、在四面体
ABCD
中,
A
B?
体积为_____
5
8、已知
AC?AD?DB?5
,
BC?3
,
CD?4
该四面体的
3
_______.
等差
数列
?
a
n
?
和等比数列
?
b
n
?
满足:
a
1
?b
1
?3,a
2
?b2
?7,
a
3
?b
3
?15,a
4
?
b
4
?35,
则
a
n
?b
n
?
_
__
3
n?1
?2n
___.
(
n?N
)
*
71,75
这
7
个数排成一列,使任意连续
4
个数的和
为
3
的倍数,9、将
27,37,47,48,55,
则这样的排列有___
144_____种.
10、三角形的周长为
31
,三边
a,b,c
均为整数,且
a?b?c
,则满足条件的三元数组
(a,b,c)
的个数为
__24___.
1
二、解答题(本题80分,每题20分)
11、在
?ABC
中,角
A,B,C
对应的边分别为
a,b,c
,证明:
(1)
bcosC?ccosB?a
(2)
cosA?cosB<
br>?
a?b
2sin
2
c
C
2
<
br>12、已知
a,b
为实数,
a?2
,函数
a
f(x)
?|lnx?|?b(x?0)
x
.若
f(1)?e?1,f(2)?
(1)
求实数
a,b
;
(2)求函数
e
?ln2?1
.
2
f(x)
的单调区间;
(3)若实数
c,d
满足
c?d,cd?1
,求证:
f(c)?f(d)
2
13、如图,半径为
1
的圆
O
上有一定点
M
为圆
O
上的动点.在射线OM
上有一动点
B
,
AB?1,OB?1
.线段
AB
交圆
O
于另一点
C
,
D
为线段
的
OB
中点.求线段
CD
长的取值范围.
3
14、设是
a,b,c,d正整数,
a,b
是方程
x
长是整数且面积为
ab
的直角
三角形.
2
?(d?c)x?cd?0
的两个根.证明:存在边
4
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高一年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的
评阅,
只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)
1.已知集合
A?{x|x?a},B?{x|x?b},a,b?
N,且
A
?B?
N
?{1}
,则
a?b?
1 .
2.已
知正项等比数列
{a
n
}
的公比
q?1
,且
a2
,a
4
,a
5
成等差数列,则
a
1
?a
4
?a
7
3?5
.
?
a
3
?a
6
?a
9
2
3.函数
f(x)?
6
x
?1
[0,]
. 的值域为
x
2
?4x?7
6
3(
sin
?
?cos
?
)
2
?2(sin
?
?cos
?
)
2
?1
,4.已知
3sin
2
?
?2sin
2
?
?1
,则
cos2(
?
?
?
)?
?
1
.
3
5.已知数列
{a
n
}
满足:
a
1
为正整数,
a
n?1<
br>?
a
n
?
,a
n
为偶数,
?
?2
?
?
3a
n
?1,a
n
为奇数,
如果
a
1
?a
2
?a
3
?29
,
则
a
1
?
5 .
6.在△
ABC
中,
角
A,B,C
的对边长
a,b,c
满足
a?c?2b
,且<
br>C?2A
,则
sinA?
7
.
4
5
7.在△
ABC
中,
AB?BC?2
,<
br>AC?3
.设
O
是△
ABC
的内心,若
AO?pAB
?qAC
,
则
3
p
的值为.
q
2
55<
br>?x
3
8.设
x
1
,x
2
,x
3<
br>是方程
x
3
?x?1?0
的三个根,则
x
1
5
?x
2
的值为 -5 .
二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分)
29.已知正项数列
{a
n
}
满足
a
n
a
n?1
?a
n
a
n?2
?4a
n
a
n?
1
?a
n?1
?3a
n
a
n?1
且
a1
?1
,
a
2
?8
,求
{a
n
}
的通项公式.
解 在已知等式两边同时除以
a
n
a
n
?1
,得
1?
a
n?2
a
?41?
n?1
?3
,
a
n?1
a
n
所以
1?
an?2
a
?1?4(1?
n?1
?1)
.
a
n?1
a
n
------------------------
------------------4分
令
b
n
?1?
数列<
br>a
n?1
?1
,则
b
1
?4,b
n?1?4b
n
,即数列
{b
n
}
是以
b
1
=4为首项,4为公比的等比
a
n
,所以
b
n
?b
1
?4
n?1
?4
n
.
------------------------------------------8分 <
br>所以
1?
a
n?1
?1?4
n
a
n
,即
a
n?1
?[(4
n
?1)
2
?1]an
.
------------------------------------------12分
于是,当
n?1
时,
a
n
?[(4
n?1
?1)
2
?1]a
n?1
?[(4
n?1
?1)
2
?1]?[(4
n?2
?1)
2
?1]a
n?2
???
?
[(4
k?1
n?1
k?
1
?1)?1]a
1
?
2
?
[(4
k?1
n?1
k?1
?1)
2
?1]
,
因此,
n?1,
?
1,
?
n?1
a
n
?
?
[(4
k?1
?1)
2
?1],n?2.
?
?
k?1
?
----------------
--------------------------16分
10.已知正实数
a,b
满足
a
2
?b
2
?1
,且
a3
?b
3
?1?m(a?b?1)
3
,求
m
的
最小值.
解 令
a?cos
?
,b?sin
?
,
0?
?
?
33
?
2
,则
cos
?
?sin
?
?1
(cos
?
?sin
?
)(co
s
2
?
?cos
?
sin
?
?sin
2<
br>?
)?1
m??
.-------------------------(cos
?
?sin
?
?1)
3
(cos
?<
br>?sin
?
?1)
3
6
---------------5分
令
x?cos
?
?sin
?
,则
x?2sin(
?
?
?
4
)?(1,2]
,且
x
2
?1.------------------------------10分
cos
?
sin
?
?
2
于是
x
2
?1
x(1?)?1
2?3x?x
3
2?x?x
2
2?x31
2
. -----------------
m??????
2(x?1)2(x?1)2
(x?1)
3
2(x?1)
3
2(x?1)
2
-------------15分
因为函数
f(x)?<
br>因
f(2)?
31
?
在
(1,2]
上单调递减,所以
f(2)?m?f(1)
.
2(x?1)2
此,
m
的最小值为
32?4
.
------------------------------------------20分
2
11.设
f(x)?log
a
(x?2a)?log<
br>a
(x?3a)
,其中
a?0
且
a?1
.若在区间<
br>[a?3,a?4]
上
f(x)?1
恒成立,求
a
的取值范围
.
5a
2
a
2
)?]
. 解
f(x)?lo
g
a
(x?5ax?6a)?log
a
[(x?
24
22<
br>由
?
5a
?
x?2a?0,
3
得
x?3a<
br>,由题意知
a?3?3a
,故
a?
,从而
(a?3)?
2
2
?
x?3a?0,
数
3
?(a?2)?0
,
2
调递增. 故函
5a
2
a
2
g(x)?(x?)?
24
在区间
[a?3,a?4]
上单
----
--------------------------------------5分
(1)若<
br>0?a?1
,则
f(x)
在区间
[a?3,a?4]
上单调递
减,所以
f(x)
在区间
[a?3,a?4]
上
的最大值为
f(a?3)?log
a
(2a
2
?9a?9)
.
在区间
[a?3,a?4]
上不等式
f(x)?1
恒成立,等价于不等式
l
og
a
(2a
2
?9a?9)?1
成立,
从而
2a
2
?9a?9?a
,解得
a?
结
5?75?7
或<
br>a?
.
22
合
0?a?1
0?a?1
.
------------------------------------------10分
得
(2)若
1?a?
3
,则
f(x)
在区间
[a?
3,a?4]
上单调递增,所以
f(x)
在区间
[a?3,a?4]
2
上的最大值为
f(a?4)?log
a
(2a
2
?12a
?16)
.
在区间
[a?3,a?4]
上不等式
f(x)?1恒成立,等价于不等式
log
a
(2a
2
?12a?16)?1
成立,
7
从而
2a
2
?12a?16?a
,即
2a
2
?13a?16?0
,解得
易知
13?4113?41
.
?a?
44
13?413
,所以
?
42
合.
------------------------------------------15分
不符
综上可知:
a
的取值范围为
(0,1)
.
------------------------------------------20分
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
(高二年级)
说明:评阅试卷时
,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,
只要思路合理、步骤正确,在评卷时
可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)
1.函数
f(x)?
x?1
的值域为________________.
x
2
?4x?7
2.已知
3sin
2
?
?
2sin
2
?
?1
,
3(sin
?
?cos
?
)
2
?2(sin
?
?cos
?
)
2
?1
,则
cos2(
?
?
?
)?
____
___________.
3.已知数列
{a
n
}
满足:
a
1
为正整数,
a
n?1
?
a
n
?
,a
n
为偶数,
?
?
2
如果
a
1
?a
2
?a
3
?29
,
?
?
3a
n
?1,a
n
为奇数,
则
a
1
?
.
4.设集合
S?{1,2,3,?,12}
,
A?{a
1
,a
2
,a
3
}
是
S
的子集,且满足
a
1
?a
2
?a
3
,
a
3
?a2
?5
,
那么满足条件的子集
A
的个数为
.
x
2
y
2
5.过原点
O
的直线
l与椭圆
C
:
2
?
2
?1(a?b?0)
交于<
br>M,N
两点,
P
是椭圆
C
上异
ab
于
M,N
的任一点.若直线
PM,PN
的斜率之积为
?
______
_________.
1
,则椭圆
C
的离心率为
3
6.在
△
ABC
中,
AB?BC?2
,
AC?3
.设
O<
br>是△
ABC
的内心,若
AO?pAB?qAC
,
则
p
的值为_______________.
q
7.在长方体
ABCD?A<
br>1
B
1
C
1
D
1
中,已知
AC?1
,B
1
C?2,AB
1
?p
,则长方体的体积最大
时,p
为_______________.
2012?2
k
]?
. 8.设
[x]
表示不超过
x
的最大整数,则
?
[
k?1
2
k?0
2012
二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,
第10题20分,第11题20分)
2
9.已知正项数列
{a
n
}
满足
a
n
a
n?1
?a
n
a
n?
2
?4a
n
a
n?1
?a
n?1
?3a
n
a
n?1
且
a
1
?1
,
8
a
2
?8
,求
{a
n
}
的通项公式.
10.已知正实数
a,b
满足
a
2
?b
2
?1
,且
a
3
?b
3
?1?m(a?b?1)<
br>3
,求
m
的取值范围.
11.已知点
E(m,n)
为抛物线y
2
?2px(p?0)
内一定点,过
E
作斜率分别为
k
1
,k
2
的两条
直线交抛物线于
A,B,C,D
,且
M,N
分别是线段
AB,CD
的中点.
(1)当
n?
0
且
k
1
?k
2
??1
时,求△
EMN<
br>的面积的最小值;
(2)若
k
1
?k
2
?
?
(
?
?0,
?
为常数),证明:直线
MN
过定点
.
9
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高二年级)
说明:评
阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,
只要思路合理、步骤正确,
在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)
1.函数
f(x)?
6
x?1
[0,]
. 的值域为
2
x?4x?7
6
3(sin
?
?cos
?
)<
br>2
?2(sin
?
?cos
?
)
2
?1,2.已知
3sin
2
?
?2sin
2
?
?1
,则
cos2(
?
?
?
)?
?
1
.
3
3.已知数列
{a
n
}
满足:
a
1
为正整数,
a
n?1
?
a
n
?
,an
为偶数,
?
?
2
?
?
3a
n
?1,a
n
为奇数,
如果
a
1
?a
2
?a
3
?29
,则
a
1
?
5
.
4.设集合
S?{1,2,3,?,12}
,
A?{a
1
,a
2
,a
3
}
是
S
的子集,且满足
a
1
?a
2
?a
3
,
a
3
?a2
?5
,
那么满足条件的子集
A
的个数为 185
.
x
2
y
2
5.过原点
O
的直线
l与椭圆
C
:
2
?
2
?1(a?b?0)
交于<
br>M,N
两点,
P
是椭圆
C
上异
ab
6
1
于
M,N
的任一点.若直线
PM,PN
的斜率之积为
?
,则椭圆
C
的离心率为.
3
3
6.在△
ABC<
br>中,
AB?BC?2
,
AC?3
.设
O
是△
ABC
的内心,若
AO?pAB?qAC
,
则
3
p
的值为.
q
2
10
7.在长方体<
br>ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
已知
AC?1,B
1
C?2,AB
1
?p
,则长方体的体积
最大
时,
p
为
1?
23
.
3
2012
2012?2
k
]?
2012
. 8.设
[x]
表示不超过
x
的最大整数,则
?
[
k?1
2
k?0
二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,
第11题20分)
2
9.已知正项数列
{a
n
}
满足a
n
a
n?1
?a
n
a
n?2
?4a
n
a
n?1
?a
n?1
?3a
n
a
n?1
且
a
1
?1
,
a
2
?8
,求
{a
n
}
的通项公式.
解 在已知等式两边同时除以
a
n
a
n?1
,得
1?
a
n?2
a
?41?
n?1
?3
,
a
n?1
a
n
所以
1?
a
n?2
a
?1?4(1?
n?1
?1)
.
a
n?1
a
n
---------------------------
---------------4分
令
b
n
?1?
数列
a
n?1
?1
,则
b
1
?4,b
n?1
?
4b
n
,即数列
{b
n
}
是以
b
1
=4为首项,4为公比的等比
a
n
,所以
b
n
?b
1
?4
n?1
?4
n
.
------------------------------------------8分 <
br>所以
1?
a
n?1
?1?4
n
a
n
,即
a
n?1
?[(4
n
?1)
2
?1]an
.
------------------------------------------12分
于是,当
n?1
时,
a
n
?[(4
n?1
?1)
2
?1]a
n?1
?[(4
n?1
?1)
2
?1]?[(4
n?2
?1)
2
?1]a
n?2
???
?
[(4
k?1
n?1
k?
1
?1)?1]a
1
?
2
?
[(4
k?1
n?1
k?1
?1)
2
?1]
,
因此,
n?1,
?
1,
?
n?1
a
n
?
?
[(4
k?1
?1)
2
?1],n?2.
?
?
k?1
?
----------------
--------------------------16分
10.已知正实数
a,b
满足
a
2
?b
2
?1
,且
a3
?b
3
?1?m(a?b?1)
3
,求
m
的
取值范围.
解 令
a?cos
?
,b?sin
?
,
0?
?
?
?
2
,则
11
cos
3
?
?sin
3
?
?1
(cos
?
?sin
?
)(cos
2
??cos
?
sin
?
?sin
2
?
)?1.-------------------------
m??
(cos
??sin
?
?1)
3
(cos
?
?sin
?<
br>?1)
3
---------------5分
令
x?cos
?
?sin
?
,则
x?2sin(
?
?
?
4
)?(1,2]
,且
x
2
?1.------------------------------10分
cos
?
sin
?
?
2
于是
x
2
?1
x(1?)?1
2?3x?x
3
2?x?x
2
2?x31
2
. -----------------
m??????
332
2(x?1)2(x?1)2
(x?1)2(x?1)2(x?1)
-
------------15分
因为函数
f(x)?
又
m?[
3
1
?
在
(1,2]
上单调递减,所以
f(2)?m?f(1)
.
2(x?1)2
f(1)?
132?4
,f(2)?
42,所以
32?41
,)
.
--------------------------------------20分
24
11.已知点
E(m,n)
为抛物线
y
2<
br>?2px(p?0)
内一定点,过
E
作斜率分别为
k
1
,k
2
的两条
直线交抛物线于
A,B,C,D
,且
M,N
分别是线段
AB,CD
的中点.
(1)当
n?0
且
k
1
?k
2
??1
时,求△
EMN
的面积的最小
值;
(2)若
k
1
?k
2
?
?
(
?
?0,
?
为常数),证明:直线
MN
过定点.
解 <
br>AB
所在直线的方程为
x?t
1
(y?n)?m
,其中
t
1
?
1
,代入
y
2
?2px
中,得
k
1
y
2
?2pt
1
y?2pt
1
n?2pm?0
,
设
A(x
1
,y
1
),B(
x
2
,y
2
)
,则有
y
1
?y
2
?2pt
1
,从而
x
1
?x
2
?t1
(y
1
?y
2
?2n)?2m?t
1
(2p
t
1
?2n)?2m
.
2
则
M(pt
1
?nt
1
?m,pt
1
)
.
其中
t
2<
br>?
CD
所在直线的方程为
x?t
2
(y?n)?m
,
1
2
,同理可得
N(pt
2
?nt
2
?m
,pt
2
)
.
k
2
-----------------
------------------
-------5分
22
(1)当
n?0
时,
E(m,0)
,
M(pt
1
?m,pt
1
)
,
N(pt
2
?m,pt
2
)
,|EM|?|pt
1
|1?t
1
2
,
2
|EN
|?|pt
2
|1?t
2
.
又
k
1
?k
2
??1
,故
t
1
?t
2
??1
,于是△
EMN
的面积
12
11<
br>2
p
2
22
S?|EM|?|EN|?|pt
1
t<
br>2
|(1?t
1
)(1?t
2
)??2?t
1
2
?t
2
2
222
p
2
??4?p
2
,
2
当且仅当
|t
1
|?|t
2
|?1
时等号成立.
所以,△
EMN
的面积的最小值为
p
2
.
------------------------------------------10分
(2)
k
MN
?
p(t
1
?t
2
)
p(t
1
?t
2
)?n(t
1
?t
2<
br>)
22
?
1
n
(t
1
?t
2
)?
p
1
n
p
,
MN
所在直线的方程为
y?pt
1
??[x?(pt
1
?nt
1
?m]
,
2
(t
1
?t
2
)?
即
y(t
1
?t
2
?
n
)?pt
1
t
2
?x?m
.
------------------------------------------15分
p
又
k
1
?k
2
?
t?t
n
t?
t
11
即
t
1
t
2
?
12
,代入
上式,得
y(t
1
?t
2
?)?p?
12
?x?m
,
??
?
,
t
1
t
2
?
p
?
pny
即
(t
1
?t
2
)(y?)?x??m
.
?
p
p
?
y?
?
ny
p
?
当
y?
?0
时,有
x??m?0
,即
?
为方程的一组解,
np
?
?
x?m?
?
?
所
(m?
以直线
MN
恒过定点
??
n
p
,)
.
------------------------------------------20分
13
14
15
16
17
18
19
2012年上海市高中数学竞赛
一、填空题(本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分)
1.如图,正六
边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
的边长为1,它的6条对角线又
围成一个正六边形
A
2
B
2
C
2
D
2
E
2
F
2
,如此继续下去,则所有这些
六边形的面积和是 .
2.已知正整数
a
1
,a
2
,L,a
10
满足:
B1A2
F2
A1
F1
B2
E2
a
j
3
?,1?i?j?10
,则
a
10
a
i2
C2
C1
D2
E1
的最小可能值是
.
174
3.若
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
,
cot
?
?cot
?<
br>?cot
?
??
,
cot
?
cot
?
65
17
?cot
?
cot
?
?cot
?
cot
?
??
,则
tan
?
?
??
?
?
?
?
.
5
4.已知关于
x
的方程
lg
?
kx
?
?2lg?
x?1
?
仅有一个实数解,则实数
k
的
取值范围是
.
5.如图,
?AEF
是边长为
x
的正方形
ABCD
的内接三角形,已知
B
A
D1
D
F
E
C
?AEF?90?
,
AE?a,EF?b,a?b
,则
x?
.
6.方程
2
m
?3
n
?3
n?1
?2
m
?13
的非负整数解
?
m,n
?
?
.
7.一个口袋里有5个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一
个是黑色的,依次从中摸
出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率
是 .(用数字作答) 8.数列
?
a
n
?
定义如下:
a
1
?
1,a
2
?2,a
n?2
?
2
?
n?1
?
n
a
n?1
?a
n
,n?1,2,
L
.若
n?2n?2
a
m
?2?
2011
,则正整数
m
的最小值为 .
2012
20
二、解答题
9.(本题满分14分)如图,在平行四边形ABCD中,
AB?x
,
BC?1,对角线
AC与BD的夹角
?BOC?45?
,记直线AB与CD的距离为
h(x)
.
求
h(x)
的表达式,并写出x的取值范围.
10.(本题满分14分)给定实数
a?1
,求函数
f(x)?
值.
11.(本题满分16分)正实数
x,y,z
满足
9x
yz?xy?yz?zx?4
,求证:
(1)
xy?yz?zx?
A
D
C
O
B
(a?sinx)(4?sinx)
的最小
1?
sinx
4
;
3
(2)
x?y?z?2
.
21
<
br>12.(本题满分16分)给定整数
n(?3)
,记
f(n)
为集合<
br>?
1,2,L,2
n
?1
?
的满足如下
两个条件的子
集A的元素个数的最小值:
(a)
1?A,2
n
?1?A
;
(b) A中的元素(除1外)均为A中的另两个(可以相同)元素的和.
(1)求
f(3)
的值;
(2)求证:
f(100)?108
.
22
2012年上海市高中数学竞赛答案
1、
93
2、92
4
3、11
4、
?
??,0
?
U
?
4
?
5、
a
2
a?(a?b)
22
6、
?
3,0
?
,
?
2,2
?
2
7、 8、4025
5
9.解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
11
①
OB
2
?OC
2
?(AB
2
?BC
2
)?(x
2
?1)
.
22
…………………(2分)
在△OBC中,由余弦定理
BC
2
?OB
2
?OC
2
?2OB?OCcos?BOC
,
所以
OB
2
?OC
2
?2OB?OC?1
,
②
x
2
?1
由①,②得
OB?OC?
. ③
22
…………………(5分)
1
所以
S
ABCD
?4S
?OBC
?4?OB?OCsin?BOC
2
x
2
?1
?2OB?OC
?
,
2
x
2
?1
故
AB?h(x)
?
,
2
x
2
?1
所以
h(x)?
. …………………(10分)
2x
由
③可得,
x
2
?1?0
,故
x?1
.
因为
OB
2
?OC
2
?2OB?OC
,结合②,③可得
23
1
2
x
2
?1
(x?1)?2?
,
2
22
解得(结合
x?1
)
1?x?2?1
.
x
2
?1
综上所述,
h(x)?
,
1?x?2?1
.
…………………(14分)
2x
10.解
f(x)?
当
1?a?
(a?sinx)(4?sinx)3(a?1)
?1?sinx??a?2
.
1?sinx1?sinx
7
时,
0?3(a?1)?2
,此时
3
3(a?1)
f(x)?1?sinx??a?2?23(a?1)?a?2
,
1?sinx
且当
sinx?3(a?1)?1
?
?
?
?1,1
?
?
时不等式等号成立,故
f
min
(
x)?23(a?1)?a?2
.
…………………(6分)
73(a?1)
当
a?
时,
3(
a?1)?2
,此时“耐克”函数
y?t?
在
0,3(a?1)
?<
br>?
3t
内是递减,故此时
3(a?1)5(a?1)
.
f
min
(x)?f(1)?2??a?2?
22
?
7
?23(a?1)?a?2,1?a?;
?
?
3
…………………(14分) 综上所述,
f
min
(x)?
?
7
?
5(a?1)
,a?.
?
3
?
211.证 (1)记
t?
xy?yz?zx
,由平均不等式
3
xyz?
?
3
(xy)(yz)(zx)
?
3
2
?
xy?yz?zx
?
?
??
.
3
??
32
3
2
…………………(4分)
于是
4?9xyz?xy?yz?zx?9t?3t
,
所以
?
3t?2
?
3t?3t?2?0
,
2
??
2
,从而
3
4
xy?yz?zx?
. …………………(10分)
3
(2)又因为
而
3t?3t?2?0
,所以
3
t?2?0
,即
t?
2
(x?y?z)
2
?3(xy?yz
?zx)
,
24
所以
(x?y?z)?4
,
故
x?y?z?2
. …………………(16分)
2
12.解 (1)设集合
A?
?
1,2,L,2
3
?1
?
,且A满足(a),(b).则
1?A,7?A
.由
于?
1,m,7
??
m?2,3,L,6
?
不满足(b),故A?
3.
又
?
1,2,3,7
?
,
?
1,2,4,
7
?
,
?
1,2,5,7
?
,
?
1,2,
6,7
?
,
?
1,3,4,7
?
,
?
1,
3,5,7
?
,
?
1,3,6,7
?
,
,故A?4.
?
1,4,5,7
?
,
?
1,4,
6,7
?
,
?
1,5,6,7
?
都不满足
(b)
而集合
?
1,2,4,6,7
?
满足(a),(b),所以
f(3)?5
.
…………………(6分)
(2)首先证明
f(n?1)?f(n)?2,n?3,4,L
.
①
事实上,若
A?
?
1,2,L,2
n
?1
?<
br>,满足(a),(b),且A的元素个数为
f(n)
.
令
B?AU<
br>?
2
n?1
?2,2
n?1
?1
?
,由于<
br>2
n?1
?2?2
n
?1
,故
B?f(n)?2.
又
2
n?1
?2?2(2
n
?1),2
n
?1
?1?1?(2
n?1
?2)
,所以,集合
B?
?1,2,L,2
n?1
?1
?
,
且B满足(a),(b).从而
f(n?1)?B?f(n)?2
.
…………………(10分)
其次证明:
f(2n)?f(n)?n?1,n?3,4,L
.
②
事实上,设
A?
?
1,2,L,2
n
?1
?<
br>满足(a),(b),且A的元素个数为
f(n)
.令
B?AU
?<
br>2(2
n
?1),2
2
(2
n
?1),L,2
n
(2
n
?1),2
2n
?1
?
,
由于
2(2
n
?1)?2
2
(2<
br>n
?1)?L?2
n
(2
n
?1)?2
2n
?1
,
所以
B?
?
1,2,L,2
2n
?1?
,且
B?f(n)?n?1
.而
2
k?1
(2n
?1)?2
k
(2
n
?1)?2
k
(2n
?1),k?0,1,L,n?1
,
2
2n
?1?2
n
(2
n
?1)?(2
n
?1)
,
从而B满足(a),(b),于是
25
f(2n)?B?f(n)?n?1
.
…………………(14分)
由①,②得
f(2n?1)?f(n)?n?3
.
③
反复利用②,③可得
f(100)?f(50)?50?1?f(25)?25?1?51
?f(12)?12?3?77?f(6)?6?1?92
?f(3)?3?1?99?108
.
…………………(16分)
2012年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
一、单项选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
1、设集合
S?x|
x
2
?5x?6?0
,
T?x|x?2|?3
,则
S?T<
br>=( )
A、
{x|?5?x??1}
B、
{x|?5?x?5}
C、
{x|?1?x?1}
D
、
{x|1?x?5}
2、正方体
ABCD?A
1
B<
br>1
C
1
D
1
中
BC
1
与截面
BB
1
D
1
D
所成的角是( )
A、
??
??
??
??
B、 C、 D、
6432
2
3、已知
f(x)?x?2x?3
,
g(x)?kx?1
, <
br>则“
|k|?2
”是“
f(x)?g(x)
在
R
上恒
成立”的( )
A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
4、设正三角形
?
1
的面积为
S1
,作
?
1
的内切圆,再作内切圆的内接正三角形,设为
?2
,面
积为
S
2
,如此下去作一系列的正三角形
?3
,?
4
,L
,其面积相应为
S
3
,S
4
,L
,
设
S
1
?1
,
T
n
?S
1
?S
2
?L?S
n
,则
limT<
br>n
=( )
n???
A 、
643
B 、 C、 D 、2
532
2
5、设抛物线
y?4x
的焦点为
F
,顶点为
O
,
M
是抛物线上的动点,则
为( )
A
、
|MO|
的最大值
|MF|
323
4
B 、 C、 D 、
3
33
3
6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半
径为
r
的一
26
个实心球,此时球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为( )
A、
r
B、
2r
C、
3
12r
D、
3
15r
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
A
B
7、如图,正方形
ABCD
的边长为3,
E
为
DC
的
D
F
E
C
uuur
uuur
中点,
AE
与
BD
相交于
F
,则
FD?DE
的值是 .
8、
(x?x?)
的展开式中的常数项是
.(用具体数字作答)
2
1
x
6
(a
n
?1)<
br>2
9、设等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为<
br>S
n
,满足
S
n
?
,则
S
20的值为 .
4
10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为
.
11、已知锐角
A,B
满足
tan(A?B)?2tanA
,则
tanB
的最大值是 .
12、从1,2,
3,4,5组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数
abcde
,
满足条件“
a?b?c?d?e
”的概率是
.
三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分)
13、设函数
f(x)?sinx?3cosx?1
,
(I)求函数
f(x)
在
[0,
?
2
]
上的最大值与最小值;
bcosc
的值.
a
(II)若实数
a,b,c
使得af(x)?bf(x?c)?1
对任意
x?R
恒成立,求
27
14、已知
a,b,c?R
,满足
abc(a?b?c)?1
,
(I)求
S?(a?c)(b?c)
的最小值;
(II)当
S
取最小值时,求
c
的最大值.
1
5、直线
y?kx?1
与双曲线
x?y?1
的左支交于
A
、
直线
l
经过点
(?2,0)
和
AB
B
两
点,
的中点,求直线
l
在
y
轴的截距
b
的取值范围
.
n2
16、设函数
f
n
(x)?x(1?x)
在
[,1]
上的最大值为
a
n
(
n?1,2,3,L
).
?
22
1
2
(I)求数列
{a
n
}
的通项公式;
28
(II)求证:对任何正
整数
n(n?2)
,都有
a
n
?
1
成立;
2
(n?2)
(III)设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,求证:对任意正整数
n
,都有
Sn
?
2012
7
成立.
16
年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
参考解答
一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
1、C 2、A
3、A 4、B 5、B 6、D
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
7、
?
2
32
8、
?5
9、0
10、14 11、 12、
4
215
三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分)
13
、解:(I)由条件知
f(x)?2sin(x?
由
0?x?
?
3<
br>
)?1
,
(5分)
5
?
1
?
,于是
?sin(x?)?1
233623
?
1
所以
x?
时,
f(x)
有最小值
2??1?2
;
22
?
知,
?
?x?<
br>?
?
当
x?
?
6
时,
f(x)
有最
大值
2?1?1?3
.
(10分)
(II)由条件可知
2asin(x?)?2bsin(x??c)?a?b?
1
对任意的
x?R
恒成立,
33
∴
2asin(x???
?
)?2bsin(x?)?cosc?2bcos(x?)?sinc?(a?b?
1)?0
333
??
∴
2(a?bcosc)?sin(x??
)?2bsinc?cos(x?)?(a?b?1)?0
33
?
29
?
a?bcosc?0
?
∴
?
bsinc?0
,
(15分)
?
a?b?1?0
?
由
bsinc?0
知b?0
或
sinc?0
。
若
b?0
时,则由
a?bcosc?0
知
a?0
,这与
a?b?1?0
矛盾!
若
sinc?0
,则
cosc?1
(舍去),
cosc??1,
1bcosc
,c?(2k?1)
?
,所以,
??1
.
(20分)
2a
1
2
14、解:(I)因为
(a?c)(b?c)
?ab?ac?bc?c
?ab?(a?b?c)c?ab?
(5分)
ab
解得
a?b?
?2ab?
1
?2
,等号成立的条件是
ab?1
,
ab
2?1
时,
S
可取最小值2.
(10分) 当
a?b?1,c?
(II)当
S
取最小值时,
ab?
1
,从而
c(a?b?c)?1
,
2
即
c?(a?b)c
?1?0
,令
t?a?b
,则
t?2ab?2
(15分)
?t?t
2
?4?t?t
2
?4
?0
(舍去) 从
而
c?
或者
c?
22
?t?t
2
?42
故
c?
在
t?[2,??)
单减,
?
2
2
t?4?t
所以在
t?2
时,
c
有最大值
2?1
.
(20分)
?
y?kx?1
15、解:将直线
y?kx?1与双曲线
x?y?1
方程联立得
?
2
2
?<
br>x?y?1
22
化简得
(k?1)x?2kx?2?0
①
(5分)
22
?
?
??4k
2
?8(k
2
?1)?0
?
2k
?
?0
,解得
1?k?2
.由
题设知方程①有两负根,因此
?
x
1
?x
2
??
2
(10分)
k?1
?
2
?
x?x??0
122
?
k?1
?
设
A(x
1
,y
1),B(x
2
,y
2
)
,则有
x
1
?
x
2
??
2k
,
k
2
?1
30
2k
2
2
y
1
?
y
2
?k(x
1
?x
2
)?2??
2
?2
??
2
k?1k?1
k1
,?)
,
22
k?1k?1
?1?2
所以直线
l
方程为
y?
,其在轴的
截距,(15分)
(x?2)?
b
y
2k
2
?k?22k
2
?k?2
1
2
17
2
当
1?k?2时,
2k?k?2?2(k?)?
,其取值范围是
(?1,2?2)
<
br>48
?2
所以
b
?
的取值范围是
(??,?2?2)
U(2,??)
.
(20
2
2k?k?2
故
AB
的中点为
(?
分)
'n?12nn?1
16、解:(I)
f
n
(x)?nx
(1?x)?2x(1?x)?x(1?x)[n(1?x)?2x]
,
n
,
(5分)
n?2
n1111
1
当
n?1
时,
??
[,1]
,又
f
1
()?
,
f
n
(1)?
0
,故
a
1
?
;
n?23228
8
n1
1111
当
n?2
时,
??[,1]
,又
f
2()?
,
f
n
(1)?0
,故
a
2
?
;
n?22221616
n1
当
n?3
时,
?[
,1]
,
n?22
1nn
∵
x?[,)
时,
f<
br>n
'
(x)?0
;
x?(,1)
时,
f
n<
br>'
(x)?0
;
2n?2n?2
'
当
x?[,1]
时,由
f
n
(x)?0
知
x?1
或者
x?
1
2
n
n
2
2
4n
n
n
)()?
∴
f
n
(x)
在
x?
处取得最大值,即<
br>a
n
?(
n?2n?2(n?2)
n?2
n?2<
br>?
1
?
8
,(n?1)
?
综上所述,
an
?
?
.
(10分)
n
?
4n
,(n?2)
n?2
?
?
(n?2)
4n
n
1
2
n
?
(II)当<
br>n?2
时,欲证 ,只需证明
(1?)?4
(n?2)
n?
2
(n?2)
2
n
2
1
2
22n
nnn(n?1)4
?
2
?1?2?1?4
?
1?2?
2n
n01
∵
(1?)?C
n
?C
n?()?C
n
?()?L?C
n
?()
2
n
2
n
n
所以,当
n?2
时,都有
a
n?
1
成立. (15分)
2
(n?2)
(III)当
n?1,2
时,结论显然成立;
31
当
n?3
时,由(II)知
S
n
?
?
11
??a
3
?a
4
?L?a
n
816
11111
??
2
?
2
?
L<
br>?
81656(n?2)
2
11111111
??(?)?
(?)?
L
?(?)
8164556n?1n?2
1117
????
.
816416
7
所以,对任意正整数
n
,都有
S
n
?
成立.
(20分)
16
?
32
33
34
35
36
37
38
39
40