全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容

全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容
一、平面几何
1、 数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。
2、 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-- 费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--
重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。了解下述定理：
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。
二、代数

1、 在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、 第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。 函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、 圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负
最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何
1、多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。 3、体积证法。 4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何
1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。 3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。 5、圆的幂和根轴。
五、其它
抽屉原理。 容斤原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。

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数学竞赛中涉及的重要定理
1、 第二数学归纳法：
有一个与自然数n有关的命题，如果：
（1）当n＝1时，命题成立；
（2） 假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。那么，命题对于一切自然数n来说都
成立。
2、
3、
棣美弗定理：
无穷递降法：
设复数z=r(cosθ+isinθ)，其n次方z^n = r^n (cos(nθ)+isin(nθ))，其中n为正整数。
证明方程无解的一种方法。其步骤为：
假设方程有解，并设X为最小的解。从X推出一个更小的解Y。从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无 解。
4、
同余
：
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作 a ≡ b (mod m) ，
读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。 比如 26 ≡ 14 (mod 12)
【定义】设ｍ是大于1的正整数，a,b是整数,如果m|(a-b)，则称 a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m),读作
a同余于b模m.。有如下事实：
(1)若a≡0(mod m)，则m|a； (2)a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同.
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、欧几里得除法
：
即辗转相除法。 详见高中数学课标人教B版必修三
6
、完全剩余类：

从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。例如，
一个数除以4的余数只能是0，1，2，3，{0，1，2，3}和{4，5，-2，11}是模4的完 全剩余系。可以看出0
和4，1和5，2和-2，3和11关于模4同余，这4组数分别属于4个剩余类 。
7、
高斯函数：

f(x)=ae-(x-b)^2c^2 其中a、b与c为实数常数 ，且a > 0.
8、费马小定理：
假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡１（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p
的余数恒等。
9、欧拉函数：
φ函数的值：通式：φ(x)=x(1-1p1)(1-1p2)(1-1p 3)(1-1p4)…..(1-1pn)，其中p1, p
2
…pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。
若n是质数p的k次幂 ，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明于上述类似。
10、孙子定理：
此定理的一般形式是设m = m1 ，… ，mk 为两两互素的正整数，m＝m1，…mk ，m＝miMi，i＝1，2，… ，
k 。则同余式组x≡b1(modm1)，…，x≡bk(mo dmk)的解为x≡M'1M1b1＋…＋M'kMkbk （modm）。式中M'iMi≡1
（modmi），i＝1，2，…，k 。
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11、裴蜀定理
：
对任何整数a、b和它们的最大公约



数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：若 a,b是整数,且(a,b)=d,那么对于任意的整数
x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地 ,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。
它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.
11、梅涅劳斯定理：
如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、
BDCEAF
??
DCEAFB
=1 E、F且D、E、F三点共线，则
12、梅涅劳斯定理的逆定理
：
如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上
BDCEAF
??
有 点D、E、F，且满足
DCEAFB
=1，则D、E、F三点共线。
13、塞瓦定理：
设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、
AMBNCP
???1
MBNCPA
M，则
14、塞瓦定理的逆定理：
设M、N、P分别在△ABC的
AMBNCP
???1
MBNCPA
边AB、BC、CA上，且满足，则AN、BP、CM相交于一点。
15、广勾股定理的两个推论
：
推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。
推论2：设△ABC三边长分别为a、 b、c，对应边上中线长分别为m
a
、
m
b
、
m
c
111
2b
2
?2c
2
?a
2
2a
2
?2c
2
?b
2
2a
2
?2b
2?c
2
则：m
a
=
2
；m
b
=
2
；m
c
=
2

16、三角形内、外角平分线定理
：
BDAB
?
AC
内 角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有
DC
外角平分线定理：如图，AD是△ABC中∠ A的外角平分线交BC的延长线与D，
BDAB
?
AC
则有
DC

17、托勒密定理
：
四边形ABCD是圆内接四边形，则有AB·CD+AD·BC=AC·BD



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—
18、三角形位似心定理：
如图，若△ABC与△DEF位似，则通过对应点的三直线AD、BE、CF共点于P
19、正弦定理、
abc
???2R
sinAsinBsinC
在 △ABC中有（R为△ABC外接圆半径）
余弦定理
：
a、b、c为△ABC的边，则有：
a
2
=b
2
+c
2
-2bc·cosA; b
2
=a
2
+c
2
-2ac·cosB; c
2
=a
2
+b
2
-2ab·cosC;
20、西姆松定理：
点P是△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥ AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，
此直线称为西姆松线。
21、欧拉定理：
△ABC的外接圆圆心为O，半径为R，内切圆圆心为I，半径为r,记OI=d,则有：d
2
=R
2
-2Rr.
22、巴斯加线定理
：
圆内接六边形 ABCDEF（不论其六顶点排列次序如何），其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点
P、Q、R共线。
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