1981年-2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：解析几何(解析版)

1981年-2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：
解析几何
（解析版）
2019A 4、设
A,B
为椭圆的长轴顶点，
E,F
为的两个焦点，
AB?4
,
满足
PE?PF?2
，则
?PEF
的面积为 ．
AF?2?3
,
P
为上一点，
答案：
1

解析：设椭圆
x
2
y
2
的方程为
2
?2
?1
（
a?b?0
），则
2a?4,a?a
2
?b
2
?2?3
，
ab
可知
a?2,b?1
，< br>EF?23
,所以
PE?PF?4
，又
PE?PF?2
， < br>所以
PE?PF?
?
PE?PF
22
?
2
? 2PE?PF?12?EF
，即
?EPF
为直角，进而
2
?PEF< br>得面积为
1
PE?PF?1
。
2
2019A 10、在平面 直角坐标系
xoy
中，圆
?
与抛物线
?:y
2
?4 x
恰有一个公共点，
且圆
?
与
x
轴相切于?的焦点
F
．求圆
?
的半径．
解析：易知
?
的焦点
F的坐标为
?
1,0
?
．设圆
?
的半径为
r(
r?0
) ．由对称性，
22
不妨设
?
在
x
轴上方与
x
轴相切于
F
，故
?
的方程为
?
x?1
?
?
?
y?r
?
?r
2
① ，将
?
y
2
?
2
y?4x
代入消去
x得
?
?1
?
?y
2
?2ry?0
，显然
y?0
，所以
?
4
?
2
?
?
y
2
?4
?
1
?
?
y
2
?
② r?
?
?
?1
?
?y
2
?
?
2y
?
?
432y
?
?
??
2
2
由于圆
?
与
x
轴相切于
?
的焦点
F
．则② 恰有一个正数解，由于
r?
?
y
2
?4
?
2
32y
?
2
444
?
?
y???
?
23
4
43
333
?
当且仅当
y
2
?
，即
y?
时取等号，接
?
?
?
3
3
32y 9
2

?
23
??
23
?
下来，当< br>y?
?
及时，
r?
0,,??
???
????
3
??
3
??
r?
43
符合。
9
?< br>y
2
?4
?
32y
2
产生不唯一解，所以仅有

2019B 7. 在平面直角坐标系中，若以
?
r?1,0
?
为圆心、
r
为半径的圆上存在一点
?
a,b
?
满足
b
2
?4a
，则
r
的最小值为 ．
答案：
4

解析：由条件知
?
a?r?1
??b
2
?r
2
，故
4a?b
2
?r
2
?
?
a?r?1
?
?2r
?
a?1
??
?
a?1
?
，
即
a
2
?2
?
r?1
?
a?2r?1?0
有解，所以
??
?
?
2
?
r?1
?
?
?
?4
?
2r ?1
?
?4r
?
r?4
?
?0
，解
得r?4
。
经检验，当
r?4
时，
a?3,b?23
时 满足条件，所以
r
的最小值为
4
。

2019B 9. （本题满分16分）在椭圆
?
中，
F
为一个焦点，
AB
为 两个顶点．若
2
222
AF?3
,
BF?2
，求
A B
的所有可能的值。
x
2
y
2
解析：不妨设平面直角坐标 系中椭圆?的标准方程为
2
?
2
?1
（
a?b?0
），并
ab
记
c?a
2
?b
2
．由对称性，可设< br>F
为
?
的右焦点．知
F
到椭圆
?
的左顶点的 距离
为
a?c
，到椭圆
?
的右顶点的距离为
a?c
，到上下顶点的距离均为
a
，
⑴A,B分别为左、右顶点．此时
a?c?3 ,a?c?2
，故
AB?2a?5
；
⑵A为左顶点，B为上顶点或下顶点． 此时
a?c?3,a?2
，
c?1,b
2
?3
，故
AB?a
2
?b
2
?7
；⑶A为上顶点或下顶点，B为右顶点．此时
a?3,a?c?2
，
c?1,b
2
?8
，故
AB ?a
2
?b
2
?17
；
综上
AB
的所有可能的值为
5,7,17
。