北京门头沟高中数学培训-招聘高中数学老师的提问
2020年全国高中数学联赛河南省预赛试题
本试卷满分140分
一、填空题（满分64分）
1、在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够
被3整除，则不用的取法种
数为_________________.
2、将长为的线段任
意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为_________________.
3、在
?ABC
中，
?C?，?B?
，
AC?2
，
M
为
AB
中点，将
?ACM
沿
CM
26
??
折
起，使
A,B
之间的距离为
2
4、若锐角
2
，则点
M
到面
ABC
的距离为_________________.
?
满足
1
tan
?
2
?23tan10?tan
o
?
2
，则角
?
的度数为
_________________. 5、函数
?
|log
2
x|,0?x?4
?
f(x)?
?
2
2
70
x?8x?,x?4
?
3
?<
br>3
，若
a,b,c,d
互不相同，且
f(a)?f(b)?f(c)?
f(d)
，则
abcd
的取值范围是_________________.
6、各项均为正数的等比数列
_________________.
7、一只蚂蚁
由长方体
ABCD?
?
a
n
?
中，
2a
4
?a
3
?2a
2
?a
1
?8
，则
2a
8
?a
7
的最小值为
A
1
B
1
C
1
D
1
顶点
A
出发，沿着长方体的表面达到顶点
C
1
的最
超过实数
短距离为6，则长方体的体积最大值为________
______.
8、
?
x
?
表示不
x
的最大整数
，则
?
log
2
1
?
?
?
log
2
2
?
?
?
log
2
3
?
?L?
?
log
2
2012
?
?_________.
二、（本题满分16分）如图，已知四棱锥
E?ABCD
的地面为菱形，且
?
ABC?
?
3
,
AB?EC?2
,
AE?BE?2
.
（1）求证：平面
EAB?ABCD
平面；
（2）求二面角
A?EC?D
的余弦值.
三、（本题满分20分）已知函数
（1）当时
x?0
，求证：
f(x)?
ln(1?x)
x
（2）当
x
??1
且
x?0
时，不等式
f(x)?
1?kx
成立，求实数的值.
1?x
1
四、（
本题满分20分）数列
?
x
n
?
中，
x
1
?1
且
x
n?1
?1?
x
n
?1
（1）设
a
n
?
1
，求数列
?
a
n?
的通项公式.
x
n
?2
，数列（2）设
b
n
?x
n
?2
?
b
n
?
的前
n<
br>项的和为
S
n
，证明：
S
n
?
2
2
.
x
2
五、（本题满分20分） 已知椭圆过
P
点<
br>?y
2
?1
，
P
是圆
x
2
?y2
?16
上任意一点，
4
uuuruuur
作椭圆的切线
PA,PB
，切点分别为
A,B
，求
PA?PB
的最大值和最小值
.
2020年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题
一、选择题(满分36分，每小题只有一个正确
答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1
页指定地方，答对得6分，答错或不答均记0分)
2+x x＞0
1.｛5 x=0
则f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值为
x
2 x＜0
（A） 8. （B） 11. （C）13·14 （D）15·12
2.
一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax?+bx+c的不同的两个根，则a、b、c之间的关
系是
(A) b?=a?-4ac (B) b?=a?+4ac (C) b?=a?-2ac
(D) b?=a?+2ac
3.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x∈
[0,2]时，f(x)=x?-2x，则f(x)在x∈
[-4,-2]上的最小值为
（A）-19 （B）-13 （C）13 （D）19
++
4. 定义在正整数集Z上的函数f,对于每一个n∈Z和无理数π=3....满足
f(n)= { k?的末位数字, (π的小数点后第n位数字k≠0)
3 (π的小数点后第n位数字k=0)
若函数f(f(n)的值域记为M
，则
A 1M B 5M C 6M D 9M
5.如图
，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，以C为圆心，CB为
半径作圆交AB边于M，交AC边
于N，P为CM与BN的交点，若AN=1，
则S△CPN-S△BPM等于
（A）18
（B）√38 (C)14 (D) √34
6.定义在
(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x-y1-xy),且当x∈(-1,0)时，f
(x)＞0，若
P=f(14)+f(15),Q=f(16),R=f(0)；则P，Q，R的大小关
系为
（A）R＞P＞Q. (B)R＞Q＞P. (C)P＞R＞Q.
(D)Q＞P＞R.
二、填空题(满分64分，每小题8分，请将答案填入第1页指定地方)
1、求log
2
sin(π3)+log
2
tan(π6)+log
2
cos(π4)的值
2.
已知f(x)是四次多项式,且满足f(i)=1i ,i=1,2,3,4,5,求f(6)的值
3.若[x]表示不超过x的最大整数，求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2020的自然数n
的值
4、如图,半径为1的两个等圆相交，在圆的公共部分作
一内接正方形ABC
D。如果圆心距O
1
O等于1，试求正方
形ABCD的面积.
5.求
的值
6
.在单位正方形ABCD中，分别以A、B、C、D四点为圆心，以
半径画弧，如右图所示.交点为M，
N，L，K，求阴影部分的面
1为
积.
7、已知二次函数f(x)满足f(-10)=9，f(-6)=7,f(2
)=-9,求f(100)的值
8、上底BC=2，下底AD=3的梯形ABCD的对角线
相交于点O，彼此外切于点O的两个圆分别切
直线AD于点A和D，交BC分别于点A和D，交BC分别交于点K和L，求AK?+DL?的值