2019年全国高中数学联合竞赛A卷试题(含答案)

2019年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)
一 、填空题：本大题共8小題，每小题8分，满分64分。
1.已知正实数a满足a
a
=(9a)
8a
,则log
a
(3a)的值为_
2.若实数集合{1，2,3,x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为

3.平面直角坐标系中， 是单位向量， 向量 满足 · =2,且



2
≤5



对任意实数t成立，
则



的取值范是
4.设A,B为椭圆Γ的长轴顶点。E,F为Γ的两个焦点，



=4,



＝2+

,P为Γ上一点，
满足







=2,则△PEF的面积为
5.在1，2，3,…,10中随 机选出一个数a,在-1,-2,-3,…,-10中随机选出一个数b,则a
2
+b被3整< br>除的概率为
6.对任意闭区间I,用M
I
表示函 数y=sinx在I上的最大值。若正数a满足M
[0
，
a]
=2M
[a,2a]
，则a
的值为
7.如图，正方体ABCD-EFGH的一个截面经过顶点AC及
棱EF上一点K,且将正方体分成体积比为3:1的两部分，
则
的值为_


8.将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8 位数(首位不为0),则产生的不同
的8位数的个数为
二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9.（本题满分16分）在△ABC中，BC＝a,CA=b,A B=c.若b是a与c的等比中项， 且sinA是
sin(B-A)与sinC的等差中项，求cosB的值。
10.（本题 满分20分）在平面直角坐标系xOy中，圆Ω与抛物Γ：y
2
=4x恰有一个公共点，
且圆Ω与x轴相切于Γ的焦点F.求圆Ω的半径
11.（本题满分20分）称一个复数列{ Z
n
}为“有趣的”，若




=1,且对于任 意正整数n，均有
4Z
n+1
2
+2Z
n
Z
n+1
+Z
n
2
=0 . 求最大的常数C,使得对一切有趣的数列{ Z
n
}及任意正整数m，均有
|Z
1
+Z
2
:+…+Z
m
|≥C。

2019年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)

一、(本题满 分40分)如图，在锐角△ABC中，M是BC边的中点。点P在△ABC内，使得AP
平分∠BAC. 直线MP与△ABP,△ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D,E.证明：若
DE=MP,则 BC=2BP
(答题时请将图画在答卷纸上)


二、(本题满分40分 )设整数a
1
,a
2
…,a
2019
,满足1=a
1
≤a
2
≤…≤a
2019
=99记f=(a
1
2
+a
2
2
+…
+a
2019
2
)-(a< br>1
a
3
+a
2
a
4
+a
3
a
5
+…+a
2017
a
2019
).
求f的最 小值f
0
·并确定使f=f
0
成立的数组(a
1
,a
2
,…,a
2019
)的个数

三、(本題满分50分)设m为整数，



≥2.整数数列a1
,a
2
,…满足：a
1
,a
2
不全为零，且 对任
意正整数n,均有a
n+2
=a
n+1
-ma
n
.
证明：若存在整效r,s(r>s≥2)使得a
r
=a
s
,= a
1
,则r-s≥



.

四、(本 题满分50分)设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面。某些点之
间连有线段，记 E为这些线段构成的集合。试求最小的正整数n,满足条件：若E至少有n
个元素，则E一定含有908 个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任
意两个二元子集的交为空集