16全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线(练习题)

最新高中数学奥数竞赛试题直线和圆，圆锥曲线

课后练习
1．已 知点A为双曲线
x
2
?y
2
?1
的左顶点，点B和点C在双 曲线的右支上，
?ABC
是等
边三角形，则
?ABC
的面积是
333
（B） （C）
33
（D）
63

32
54
2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线
y?x?
的距离中的最小值是
35
3434
1
1
（A） （B） （C） （D）
17085
20
30
（A）
3．若实数x, y满足(x + 5)
2
+(y – 12)
2
=14
2
， 则x
2
+y
2
的最小值为
(A) 2 (B) 1 (C)
3
(D)
2

x
2
y
2
xy
??1
相交于 A，4．直线
??1
椭圆B两点，该圆上点P，使得⊿PAB面积等于3，
16943
这样的点P共有
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
5．设a，b∈R，ab≠0，那么直 线ax－y＋b＝0和曲线bx
2
＋ay
2
＝ab的图形是

y
x
y
x
y
x
y
x

A B C D
6．过抛物线y
2
＝8(x＋2)的 焦点F作倾斜角为60
o
的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，
弦AB的中垂线 与x轴交于P点，则线段PF的长等于
A．
16

3
B．
8

3
C．
163

3
D．
83

x
2
y
2
??1
表示的曲线是 7．方程
sin2?sin3cos2?cos3
A. 焦点在x轴上的椭圆
C. 焦点在y轴上的椭圆
B. 焦点在x轴上的双曲线
D. 焦点在y轴上的双曲线
8．在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
中，记左焦点为F，右顶点为 A，短轴上方的端点为B。
x
2
y
2
ab
若该椭圆的离心率 是
5?1
，则
?ABF
= 。 < br>2
x
2
y
2
9．设F
1
，F
2是椭圆
??1
的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF
1
|
:
|PF
2
|＝2
:
1，则
94
三角形
?
PF
1
F
2
的面积等于______________．

10．在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移 动，
当
?MPN
取最大值时，点P的横坐标为__________________ _。
11．若正方形ABCD的一条边在直线
y?2x?17
上，另外两个顶点在抛 物线
y?x
上.则该
正方形面积的最小值为 .
12．已知
C
0
：
x?y?1
和
C
1
：
2< br>?
2
?1(a?b?0)
。试问：当且仅当a,b满足什么
22
2
x
2
y
2
ab
条件时，对
C
1
任意一点P，均存在以P为顶点、与
C
0
外切、与
C
1
内 接的平行四边形？并证
明你的结论。





x
2
2
13． 设曲线C
1
:
2
?y?1
(a为正常数)与C
2
:y
2
=2(x+m)在x轴上方公有一个公 共点P。
a
（1）实数m的取值范围（用a表示）；
（2）O为原点，若C
1
与x轴的负半轴交于点A，当01
时，试求⊿OAP的面积的最大值
2
（用a表示）。






2< br>14．已知点
A(0,2)
和抛物线
y?x?4
上两点
B,C
使得
AB?BC
，求点
C
的纵坐标的取
值范围．





15．一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA＝a. 拆叠纸片，使圆周上某一点
A

刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线 折痕，当A

取遍圆周上所有点时，
求所有折痕所在直线上点的集合．

16．（04，14）在平面直角坐标系x oy中，给定三点
A(0,),B(?1,0),C(1,0)
，点P到直线
BC的距 离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线L经 过
?ABC
的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的
斜率k的取 值范围。

















2
1 7．过抛物线
y?x
上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交
x
轴于D ，交
y
轴于B.点C
在抛物线上，点E在线段AC上，满足
4
3AEBF
?
?
1
;点F在线段BC上，满足
?
?
2
，且
ECFC
?
1
?
?
2
?1
，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.

课后练习答案
1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.90? 9.
23

3
10. 设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a＝3，b＝2，c＝
5
，
故，|PF
1
|＋|PF
2
|＝2a＝6，又已知[PF
1
|：|PF
2
|＝2：1，故可得|PF
l
|＝4，|PF2
|＝2．在△PF
l
F
2
中，三边之长分别为2，4，25
，而2
2
＋4
2
＝(2
5
)
2，可见△PF
l
F
2
是直角三角形，且两直
角边的长为2和4， 故△PF
l
F
2
的面积＝4．
11. 解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为
S（a，3－a），则圆S的方程为：
(x?a)?(y?3?a)?2(1?a)

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当
?MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a
22
2 22
值必须满足
2(1?a)?(a?3),
解得 a=1或a=－7。
即对应的切点分别为
P(1,0)和P(?7,0)
，而过点M，N，
p'
的 圆的半径大于过点M，
'
N，P的圆的半径，所以
?MPN??MP'N
，故 点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标
为1。
12.解：设正方形的边AB在直线
y?2x?17
上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为
C(x
1
,y
1
)
、
D(x
2
,y
2
)
，则CD所在 直线
l
的方程
y?2x?b,
将直线
l
的方程与抛物线方程
联立，得
x?2x?b?x
1,2
?1?b?1.

令正方 形边长为
a,
则
a?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?5(x
1
?x
2
)?20(b?1 ).
①
在
y?2x?17
上任取一点（6，,5），它到直线
y? 2x?b
的距离为
a,?a?
2222
2
|17?b|
5< br>②.
①、②联立解得
b
1
?3,b
2
?63.?a ?80,
或
a?1280.?a
min
?80.


13.利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为
222
1
?
2
?
cos
2
?
a
2
?
sin
2
?
b
2
------（1）
显知此 平行四边形ABCD必为菱形，设A
(
?
1
,
?
)
，则B
(
?
2
,90??
?
)

代入（1 ）式相加：
1
?
1
2
?
1
?
2
2
?
1
a
2
?
1
b
2

由于该菱形必与单位圆相切，故原点到AB的距离为1，

∴
?
1
?
1
?1?
?
1
?
?
2
，从 而
22
1
?
1
2
?
1
?
2
2
?1
，∴
1
a
2
?
1
b
2< br>?1

?
x
2
2
?
2
?y?1
14. 解：(1)由
?
a
消去y得：
x
2
?2a
2< br>x?2a
2
m?a
2
?0
①
?
y
2
?2(x?m)
?
设
f(x)?x
2
?2a
2
x?2a
2
m?a
2
，问题( 1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．
只需讨论以下三种情况：
a
2
?1
1°△＝0得：
m?
，此时x
p
＝－a
2
，当且仅当－a＜－a
2
＜a，即0＜a＜1时适
2
合；
2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；
3°f (－a)＝0得m＝a，此时x
p
＝a－2a
2
，当且仅当－a＜a －2a
2
＜a，即0＜a＜1时适
合．
f (a)＝0得m＝－a ，此时x
p
＝－a－2a
2
，由于－a－2a
2
＜－a，从 而m≠－a．
a
2
?1
综上可知，当0＜a＜1时，
m?
或－a＜m≤a；
2
当a≥1时，－a＜m＜a．
(2)△OAP的面积
S?
∵0＜a＜
1
ay
p

2
1
，故－a＜m≤a时， 0＜
?a
2
?aa
2
?1?2m
＜a，
2
由唯一性得
x
p
??a
2
?aa
2
?1?2m

显然当m＝a时，x
p
取值最小．由于x
p
＞0，从而y< br>p
＝
1?
x
2
p
a
2
取值最大，此 时
y
p
?2a?a
2
，∴
S?aa?a
2
．
1
a
2
?1
当
m?
时，x
p
＝－a
2
，y
p
＝
1?a
2
，此时
S?a1?a
2
．
2
2
1
下面比较
aa?a
2
与
a1?a
2
的大小：
2
11
令
aa?a
2
?a1?a
2
，得
a?

2
3
111
故当0＜a≤时，
aa?a
2
≤
a1?a
2
，此时
S
max
?a1?a
2
．
2
32
111
当
?a?
时，
a a?a
2
?a1?a
2
，此时
S
max
?aa?a
2
．
2
32
2
15.解：设
B
点坐标 为
(y
1
?4,y
1
)
，
C
点坐标为(y?4,y)
．
2

2
显然
y
1?4?0
，故
k
AB
?
y
1
?2
1< br>?

2
y
1
?4
y
1
?2
由于
AB?BC
，所以
k
BC
??(y
1
?2)< br>
2
?
?
y?y
1
??(y
1
?2 )[x?(y
1
?4)]
从而
?
，消去
x
，注意到
y?y
1
得：
2
?
?
y?x?4
(2? y
1
)(y?y
1
)?1?0
?
y
1
2< br>?2(2?y)y
1
?(2y?1)?0

由
??0
解得：
y?0
或
y?4
．
当< br>y?0
时，点
B
的坐标为
(?3,?1)
；当
y?4
时，点
B
的坐标为
(5,?3)
，均满足是题
意．故点C
的纵坐标的取值范围是
y?0
或
y?4
．
16.解 ：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a，0)．设折叠时，
⊙O上点A

(
Rcos
?
,Rsin
?
)与点A重合，而折痕 为直线MN，则 MN为线段AA

的中垂线．设
P(x，y)为MN上任一点，则｜P A

｜＝｜PA｜ 5分
∴
(x?Rcos
?
)2
?(y?Rsin)
2
?(x?a)
2
?y
2

即
2R(xcos
?
?ysin
?
)?R
2
?a
2
?2ax
10分
∴
xcos
?
?ysin
?
x?y
22
?
R
2
?a< br>2
?2ax
2Rx?y
22
22

可得：
sin(
?
?
?
)?
R
2
?a
2
?2ax
2Rx?y
(sin
?
?
x
x?y
22
,cos
?
?
y
x?y
22
)

∴
R
2
?a
2
?2ax
2Rx?y
22
≤ 1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15分
a
2
)
y
2
2
?
平方后可化为 ≥1，
R
2
R
2
a
2
()()?()
2 22
a
(x?)
2
y
2
2
?
即所求点的集合为椭圆圆＝1外(含边界)的部分．
R
2
R
2
a< br>2
()()?()
222
分
(x?
17. 解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为
y?
20
44
点
P (x,y)
(x?1),y??(x?1),y?0
。
33
11
到A B、AC、BC的距离依次为
d
1
?|4x?3y?4|,d
2
?| 4x?3y?4|,d
3
?|y|
。依设，
55
d
1
d
2
?d
3
2
,得|16x
2
?(3y?4)< br>2
|?25y
2
，即
16x
2
?(3y?4)
2
?25y
2
?0,或16x
2
?(3y?4)
2
?25y
2
?0
，化简得点P的轨迹方程为

圆S：
2x?2y?3y?2?0与双曲线T:8x?17y?12y?8?0

（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分
圆S：
2x?2y?3y?2?0

与双曲线T：
8x?17y?12y?8?0

22
22
2222
①
②
因为B（－1，0）和C（1， 0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且
点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、 C两点。
1
由
d
1
?d
2
?d
3
，解得
D(0,)
，且知它在圆S上。
?ABC
的内心D也是适合题设条件 的点，
2
直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为
1
y?kx?

2
③
（i）当k=0时，L与圆S相切 ，有唯一的公共点D；此时，直线
y?
1
平行于x轴，表明L
2
与双 曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分
（ii） 当
k?0
时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能
有两种情况：
情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率
k??
1
， 直线L的方程为
x??(2y?1)
。
2
代入方程②得
y(3y?4 )?0
，解得
E(,)或F(-,)
。表明直线BD与曲线T有2个交
点B、 E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。
故当
k??

54
33
54
33
1
时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。
2
1
情况2：直线L不经过点B和C（即
k??
），因为L与S有两个不同的交 点，所以L
2
?
8x
2
?17y
2
?12y?8? 0
?
与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组
?
有且只有一组实数解，1
?
y?kx?
?2
消去y并化简得
(8?17k)x?5kx ?
22
25
?0

4
2
该方程有唯一实数解的充要条件是
8?17k?0

或
(?5k)?4(8?17k)
22

⑤
④
25
?0

4

解方程④得
k??
2342
，解方程⑤得
k??
。
172
12342
,?,?}
。
2172
综合得直线 L的斜率k的取值范围是有限集
{0,?

18.解一：过抛物线上点A的切线斜 率为：
y
?
?2x|
x?1
?2,?
切线AB的方程为1
y?2x?1.?B、D
的坐标为
B(0,?1),D(,0),?D
是线段AB的中点.
2
AE
2
设
P(x,y)
、
C(x
0
,x
0
)
、
E(x
1
,y1
)
、
F(x
2
,y
2
)
，则由?
?
1
知，
EC
2
1?
?
1
x
0
1?
?
1
x
0
x
1
?,y
1
?;
1?
?
1
1?
?
1
2?
2
x
0
?1?
?
2
x
0
x
2
?,y
2
?.

1?
?
2
1?
?
2
BE
?
?
2
,
FC
得
∴EF所在直线方程为：
2
1?
?
1
x
0
1?< br>?
1
x
0
y?x?
1?
?
1
1?< br>?
1
?,

22
?1?
?
2
x0
1?
?
1
x
0
?
2
x
0< br>1?
?
1
x
0
??
1?
?
2
1?
?
1
1?
?
2
1?
?
1
2 2
化简得
[(
?
2
?
?
1
)x
0
?(1?
?
2
)]y?[(
?
2
?
?1
)x
0
?3]x?1?x
0
?
?
2
x
0
.
…①
22
2x
0
x?x
0
1
当
x
0
?
时，直线CD的方程为：
y?
…②
2
2x
0
?1
x
0
?1
?
x?< br>?
1
?
3
2
x
联立①、②解得
?
， 消去，得P点轨迹方程为：
y?(3x?1).

0
2
3
?
y?
x
0
?
3
?
当
x
0
?
1311311
时，EF方程为：
?y?(
?
2
??
1
?3)x??
?
2
,CD
方程为：
x?< br>，
2244242
1
??
x?,
?
2
??< br>2
?
联立解得
??
也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴
x
0
?1,?x?.

3
?
y?
1
.
?
?
12
?
??
∴所求轨迹方程为
y?
12(3x?1)
2
(x?).

33
1
2
解二 ：由解一知，AB的方程为
y?2x?1,B(0,?1),D(,0),
故D是AB的中点.
令
?
?
CDCACB
,t
1
??1?
?< br>1
,t
2
??1?
?
2
,
则
t1
?t
2
?3.
因为CD为
?ABC
的中线，
CPCECF
?S
?CAB
?2S
?CAD
?2S
?CB D
.

而

SS
t?t
1CE?CF
S
?CEF
11133
???
?CEP
?
?CFP
?(?)?
12
?,?
?
?,
t
1
t
2< br>CA?CBS
?CAB
2S
?CAD
2S
?CBD
2 t
1
?
t
2
?
2t
1
t
2
?
2t
1
t
2
?
2
?P
是
?A BC
的重心.
设
P(x,y),C(x
0
,x
0
),
因点C异于A，则
x
0
?1,
故重心P的坐标为
2 2
0?1?x
0
1?x
0
?1?1?x
0
x
0
2
1
x??,(x?),y??,
消去
x
0
,
得
y?(3x?1)
2
.

33333
3
2
故所求轨迹方程为
y?



12
(3x?1)
2
(x?).

33