2020年全国高二数学 联合竞赛预赛试题(湖北省)新人教版

2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）
说明：评阅试卷时，请 依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只
要思路合理、步骤正确，在评卷时可参 考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
uuuruuuru uuruuur
1．已知P是△ABC所在平面上一点，满足
PA?PB?2PC?3AB，则△ABP与△ABC的面
积之比为
1:2
．
a
1
?2,a
2
?1,a
n
a
n?1
a
n?2
?a
n
?a
n?1
?a
n?2
(n?N
*
)
，2．已知数列
{a
n
}
满足：则
a
1
?a
2
?L?a
2011
?

4022 ．
3．已知
?
?R
，如果集合
{sin
?
,cos2
?
}?{cos
?
,sin2
?
}
，则所有符合要求的角
?
构成的
集合为
{
?
|
?
?2k
?
,k?Z}
．
4．满足方程
x
2
?8xsin(xy) ?16?0
（
x?R,y?[0,2
?
)
）的实数对
(x, y)
的个数为 8 ．
1
5．设
z
是模为2的复数， 则
|z?|
的最大值与最小值的和为 4 ．
z
3
6．对一切满足
|x|?|y|?1
的实数
x,y
，不等式
|2x? 3y?|?|y?1|?|2y?x?3|?a
恒成
2
立，则实数
a
的最小值为
23
2
．
7．设集合
A?{0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9}
.如果方程
x
2
?mx?n?0
（
m,n ?A
）至少有一个根
x
0
?A
，就称该方程为合格方程，则合格方程 的个数为 23 ．
8．已知关于
x
的方程
|x?k|?
的取值范围是
0?k?1
2
kx
在区间
[k?1,k?1]
上有两个不相等的实根，则实数
k
2
．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
19．已知二次函数
y?f(x)?x
2
?bx?c
的图象过点（1，13 ），且函数
y?
f(x?)
是偶函
2
数.
（1）求
f(x)
的解析式；

（2）函数
y?f( x)
的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全
平方数？如果存在，求 出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.
为
1
解 （1）因为函数
y?f(x?)
是偶函数，所以二次函数
f(x)?x
2
?bx?c
的对称轴方程
2
1
，故.
x??
b?1
2
------------------------------------------4分
又因为二次函数
f(x)?x
2
?bx?c
的图象过点（1，13） ，所以
1?b?c?13
，故
c?11
.
因此，
f(x)
的解析式为
f(x)?x
2
?x?11
.
------------------------------------------8分 < br>（2）如果函数
y?f(x)
的图象上存在符合要求的点，设为P
(m,n2
)
，其中
m
为正整数，
n
为自然数，则
m< br>2
?m?11?n
2
，从而
4n
2
?(2m?1)< br>2
?43
，即
[2n?(2m?1)][2n?(2m?1)]?43
.
------------------------------------------12分
注意到43是质数，且
2n?(2m?1)?2n?(2m?1)
，
2n?( 2m?1)?0
，所以有
?
2n?(2m?1)?43,
?
m?10 ,
解得
??
?
2n?(2m?1)?1,
?
n?11.< br>因此，函数
y?f(x)
的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，
12 1）.---------------------16分
2
a
n
110．已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?,an?1
?a
n
?
2
(n?N
*
)
.证 明：对一切
n?N
*
，有
3n
（1）
a
n
?a
n?1
?1
； （2）
a
n
?
11
?
．
24n
2
a
n
解 （1）显然，
a
n
?0
，所以
a
n?1
?a
n
?
2
?a
n
（
n?N
*
）.
n
2
a
k
1
111
??
2
. ，
a
k?1
?a
k
?
2
?a
k
?< br>2
a
k
a
k?1
，所以
a
k
ak?1
k
kk
所以，对一切
k?N
------------- -------5分
所以，当
n?2
时，
*
n?1n?1
11
n?1
111
n?1
1111
??
?
(?) ??
?
2
?3?[1?
?
]?3?[1?
?
(?) ]

a
n
a
1
k?1
a
k
ak?1
a
1
k?1
kk
k?2
k(k?1)
k ?2
k?1

?3?[1?1?
1n
]??1
，
n?1n?1
所以
a
n
?1
.
又
a1
?
1
?1
，故对一切
n?N
*
，有
a
n
?1
.因此，对一切
n?N
*
，有
a
n
?a
n?1
?1
.
3
-------------10分
2
a
k
a
k
k
2
1111
a
k?1
，（2）显然
a
1
????
.由
a
n
?1
，知
a
k?1< br>?a
k
?
2
?a
k
?
2
，所以a
k
?
2
kkk?1
3424
所以
2
a
k
1k
2
1
111
?
2
a
k ?1
?a
k
?
2
?a
k
?
2
a< br>k
?
2
a
k?1
?a
k
?
2
a
k
a
k?1
，所以
?
，
a
k
a
k?1
k?1
kkk?1k?1
------------------ ------------------------15分
所以，当
n?N
*
且
n?2
时，
n?1n?1< br>11
n?1
111
n?1
1111
??
?
( ?)??
?
2
?3?
?
?3?
?
(?)

a
n
a
1
k?1
a
k
a
k?1< br>a
1
k?1
k?1k(k?1)kk?1
k?1k?1
12n ?1
，
?3?(1?)?
nn
所以
a
n
?
n1111
????
2n?122(2n?1)24n
.
------------------------------------------20分
21
x
2
y
2
,?)
而不过点Q
(2,1 )
的动直线
l
交椭圆C于A、
?1
，11．已知椭圆C：
?
过点P
(
33
42
B两点.
（1）求∠AQB；
（2）记△QAB的面积为
S
，证明：
S?3
．
解 （ 1）如果直线
l
的斜率存在，设它的方程为
y?kx?b
，因为点P在直线< br>l
上，所以
12
1
??k?b
，故
b??(2k?1 )
.
33
3
联立直线
l
和椭圆C的方程，消去
y
，得
(2k
2
?1)x
2
?4kbx?2b
2?4?0
.
2b
2
?4
4kb
设A
(x1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
，则
x
1
?x
2
??
2
，
x
1
x
2
?
2
，
2k?1
2k?1

4k
2
b2b
y
1
?y
2
?k( x
1
?x
2
)?2b??
2
?2b?
2
，
2k?12k?1
2b
2
?44kb
y
1
?y2
?(kx
1
?b)(kx
2
?b)?kx
1
x
2
?kb(x
1
?x
2
)?b?k?
2
?kb?(?
2
)?b
2

2k?12k?1
222
b
2
?4k
2
?
2k
2
?1

------------------------------------------6分 < br>uuuruuur
因为
QA?(x
1
?2,y
1
?1 )
，
QB?(x
2
?2,y
2
?1)
，所以 uuuruuur
QA
g
QB?(x
1
?2,y
1?1)
g
(x
2
?2,y
2
?1)?(x
1< br>?2)(x
2
?2)?(y
1
?1)(y
2
?1)< br>
?x
1
x
2
?2(x
1
?x
2< br>)?2?y
1
y
2
?(y
1
?y
2
)?1

2b
2
?44kbb
2
?4k
2
2b
?
2
?2?(?
2
)?2???1

2k?1 2k?12k
2
?12k
2
?1
2k?1
112
?
2
[(2k?1)
2
?2k
2
?(2k?1)(22k?1 )?1]

2k?133
?
1
2
[3b
2
?2k
2
?2b(22k?1)?1]

＝0，
uuuruuur
QA?QB
所以，显然A、Q、B三点互不相同，所以∠AQB＝90°.
如果直线
l
的斜率不存在，则A、B两点的坐标为
(
成立.
因此，∠AQB＝90°
217
,?)
，容易验证∠AQB＝90°也
33
.
------------------------------------------12分
（2）由（1）知∠AQB＝90°，所以△QAB是直角三角形.
如果直线QA或QB的斜率不存在，易求得△QAB的面积为
S?22?3
.
如果直线QA和QB的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为
y?m(x?2)?1
，代入椭 圆C
的方程，消去
y
，得
(2m
2
?1)x
2?4m(2m?1)x?2(2m?1)
2
?4?0
，则
4m(2m? 1)
2
2(2m?1)
2
?48?|2m?1|
2
. |QA|?m?1?[]?4??m?1?
222
2m?12m?12m?1
2< br>又QB⊥QA，所以，同理可求得

|QB|?(?
1
2
)?1?
m
8?|2?(?
1
)?1|
8?|2?m|
m
?m
2
?1?
2
1
2
m?2
2(?)?1
m
.
--------------------------16分
于是，△QAB的面积为
S?
118?|2m?1|8?|2?m|
2|QA|
g
|QB|??m
2
?1??m?1?

22
222m?1m?2
1?m
2
m
|2?
2
?
2
|
2
|2m?1|?|2?m||2(1?m)?m|
22
m? 1m?1
.
?4?
?4?(m?1)??4?(m?1)?
22222m
(2m?1)(m?2)2(m?1)?m
2?(
2
)
2m?1
1
|2cos
?
?sin
?
|
2
1?m2m
2
?cos
?
,
2
?sin
?
，则
S?4?
令
2
.
1
m?1m?1
2?si n
2
?
4
1113
1
注意到
|2cos
?
?sin
?
|?2??|sin(
?
?
?
)|?2 ??
，
2?sin
2
?
?2
，且等号不能
2442
4
同时取得，所以
3
S?4?
2
?3
2
.
------------------------------------------20分