全国高中数学联赛平面几何题

全国高中数学联赛平面几何题

1.(2000) 如图，在锐角三角形A BC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，
FN⊥AC（M、N是垂足） ，延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角
形ABC的面积相等．

A



M

N


B
E F
C



D




2. (2001) 如图，△
ABC
中，
O
为外心，三条高
AD
、
BE
、
CF
交于点H
，直线
ED
和
AB
交于点
M
，
FD
和
AC
交于点
N
．
求证：(1)
OB
⊥
DF
，
OC
⊥
DE
；
(2)
OH
⊥
MN
．











3.(2002)











4.(2003) 过圆外一点P作圆的两条切线和一条 割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，
C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝ ∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．

5.(2004)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆< br>分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K。已知BC=25，BD=20，BE=7，求A K的
长。
7.(2006)以B
0
和B
1
为焦点的椭圆与 △AB
0
B
1
的边AB
i
交于点
C
i(i＝0，1). 在AB
0
的延长线上任取点P
0
，以B
0< br>为圆心，B
0
P
0
⌒
为半径作圆弧P
0
Q< br>0
交C
1
B
0
的延长线于Q
0
；以C
1
为圆心，C
1
Q
0
⌒
为半径作圆弧Q
0
P
1
交B
1
A的延长线于点P
1
；以B
1
为圆心，
⌒
B
1
P
1
为半径作圆弧P
1
Q
1
交B
1
C
0
的延长线于Q
1
；以C< br>0
为圆心，
A
P
1









6.(2005)









P
C为半径作 圆弧Q
⌒
0
Q
11
P
0
?，交AB
0的延长线于P
0
?. 试证：
⑴ 点P
⌒⌒
0
?与点 P
0
重合，且圆弧P
0
Q
0
与P
0
Q1
相内切于点P
0
；
⑵ 四点P
0
，Q
0
，Q
1
，P
1
共圆．





























C
1
C
0
Q
1
B
1
B
0
Q
0
P
0