1995年全国高中数学联赛试题及详细解析

一、选择题(每小题6分，共36分)
1． 设等差数列{
an
}满足3
a
8
=
5
a
13
且
a
1
>0，
S
n
为其前项之和，则
S
n
中最大的是( )
(
A
)
S
10
(
B
)
S
11
(
C
)
S
20
(
D
)
S
21

2． 设复平面上单位圆内接正20边形的 20个顶点所对应的复数依次为
Z
1
，
Z
2
，…，
Z
20
，
则复数
Z
1995
1
，
Z
1995
2
，…，
Z
20
所对应的不同的点的个数是( )
1995
(
A
)4 (
B
)5 (
C
)10 (
D
)20
6． 设
O是正三棱锥
P
—
ABC
底面三角形
ABC
的中心，过< br>O
的动平面与
PC
交于
S
，与
PA
，
PB
的延长线分别交于
Q
，
R
，则和式++
PQPRPS
(
A
)有最大值而无最小值 (
B
有最小值而无最大值
(
C
)既有最大值又有最小值，两者不等 (
D
)是一个与面
QPS
无关的常数
二、填空题(每小题9分，共54分)
1． 设α，β为一对共轭复数，若|α－β|
=
23，且
α
2
为实数，则|α|
=
．
β
111
2． 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为．
2
3． 用[
x
]表示不大于实数
x
的最大整数， 方程lg
x
－[lg
x
]－2
=
0的实根个数是．
y
≤3
x
，
x
4． 直角坐标平面上，满足不等式组
y
≥，
的整点个数是．
?
?
3
?
x
+
y
≤100
5． 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5
种颜色可使用，那么不 同的染色方法的总数是．
6． 设
M=
{1，2，3，…，1995}，
A
是
M
的子集且满足条件：当
x
∈
A
时，15
x
?
A
，则
A
中元素的个数最多是．

第二试
2
一、(25分) 给定曲线族2(2sinθ－cosθ+ 3)
x
－(8sinθ+cosθ+1)
y=
0，θ为参数，求该
曲 线在直线
y=
2
x
上所截得的弦长的最大值．





32
二、(25分) 求一切实数
p
，使得 三次方程5
x
－5(
p
+1)
x
+(71
p
－1)
x
+1
=
66
p
的三个根均为
正整数．




[来源:Z|xx|]





四、(35分) 将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。证明：存在这样两 个相似的三角
形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．

1995年全国高中数学联赛一试(解答)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1． 设等差数列{
a
n
} 满足3
a
8
=
5
a
13
且
a
1< br>>0，
S
n
为其前项之和，则
S
n
中最大的是( )
(
A
)
S
10
(
B
)
S
11
(
C
)
S
20
(
D
)
S
21

【答案】C
【解析】3(
a
+7
d
)
=
5(
a
+12
d
)，?
d=
－
222
a
，令
a
n
=a－
a
(
n
－1)≥0，
a
n
+1
= a
－
an
<0，得
393939
n=
20．选
C< br>．


3． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙， 在100个小伙子
中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小 伙子最
多可能有( )

4． 已知方程|
x
－2
n
|
=kx
(
n
∈N*)在区间(2
n
－1，2< br>n
+1]上有两个不相等的实根，则
k
的取值范围是( )
1
(
A
)
k
>0 (
B
)0<
k
≤
2
n
+1
11
(
C
)<
k
≤ (
D
)以上都不是
2
n
+1
2
n
+1
【答案】B
【解析】由|
x
－2
n
|≥0，故
k
≥0，若
k=
0，可知在所给区间上只有1解．故
k
>0．
1
由图象可 得，
x=
2
n
+1时，
kx
≤1．即
k
≤ ．故选
B
．
2
n
+1
22222
又解：
y=
(
x
－2
n
)与线段
y=kx
(2< br>n
－1<
x
≤2
n
+1)有两个公共点．
x
－(4
n
+
k
)
x
+4
n=
0有
222222
(2
n
－1，2
n
+1]上有两个根．故△
=
(4
n
+
k
)－16
n
>0．且(2
n< br>－1)－(4
n
+
k
)(2
n
－1)+4
n
>0，
1
2
1
222
(2
n
+1)－(4
n
+
k
)(2
n
+1)+4
n
≥0，2< br>n
－1<2
n
+
k
<2
n
+1．?
k
≤．
2
2
n
+1

6． 设
O
是正三棱锥
P
—
ABC
底面三角形ABC
的中心，过
O
的动平面与
PC
交于
S
， 与
PA
，
111
PB
的延长线分别交于
Q
，
R
，则和式++
PQPRPS
(
A
)有最大值而无最小值 (
B
)有最小值而无最大值
(
C
)既有最大值又有最小值，两者不等 (
D
)是一个与面
QPS
无关的常数

二、填空题(每小题9分，共54分)
1． 设α，β为一对共轭复数，若|α－β|
=
23，且
【答案】2
【解析】 设α
=x
+
yi
，(
x
，
y
∈R)，则| α－β|
=
2|
y
|．∴
y=
±3．
设 argα
=
θ，则可取θ+2θ
=
2π，(因为只要求|α|，故不必写出所 有可能的角)．θ
=
π，于是
x=
±1．|α|
=
2．



2
3
α
2
为实数，则|α|
=
．
β

3． 用[
x
]表示不大于实数
x
的最大整数， 方程lg
x
－[lg
x
]－2
=
0的实根个数是．
【答案】3

2
【解析】令lg
x=t
，则得
t
－2
=
[
t
]．作图象，知
t=
－1，
t =
2，及1<
t
<2内有一解．
1
当1<
t
<2 时，[
t
]
=
1，
t=
3．故得：
x=
，
x=
100，
x=
10
3
，即共有3个实根．
10
2

5． 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端 点异色，如果只有5
种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是．
【答案】420
【解析】顶点染色，有5种方法，
[来源:]
底面4个顶点，用4种颜色染，
A
4
=
24种方法，用3种颜色，选 1对顶点
C
2
，这 一对顶
点用某种颜色染
C
4
，余下2个顶点，任选2色染，
A
3
种，共有
C
2
C
4
A
3
=
4 8种方法；用2种颜
色染：
A
4
=
12种方法；
∴共有5(24+48+12)
=
420种方法．

6． 设M=
{1，2，3，…，1995}，
A
是
M
的子集且满足条件 ：当
x
∈
A
时，15
x
?
A
，则
A
中元素的个数最多是．
2
12112
41

第二试
2
一、(25分) 给定曲线族2(2sinθ－cosθ+3)
x
－(8sinθ+cosθ+1)
y=
0，θ为参数，求该
曲线在直线
y=
2
x
上所截得的弦长的最大值．
【解析】以
y=
2
x
代入曲线方程得
x=
0，
x=
8sinθ+cosθ+1
．
2sinθ－cosθ+3
?
8sinθ+cosθ+1
?5．故只要求|
x
|的最大值即可． ∴ 所求弦长
l=
??
?
2sinθ－cosθ+3
?
由(2
x
－8)sinθ－(
x
+1)cosθ
=
1－3
x
．?(2
x
－8)+ (
x
+1)≥(1－3
x
)，即
x
+16
x
－16
≤0．
解之得，－8≤
x
≤2．即|
x
|≤8( 当sinθ
=
±
最大弦长为85．

[来源:]
2222
247
，cosθ
=
?时即可取得最大值)．故得
2525

三、(35分) 如图，菱形
ABCD
的内切圆
O
与 各边分别切于
E
，
F
，
G
，
H
，在弧EF
与
GH
上分
别作圆
O
的切线交
AB
于
M
，交
BC
于
N
，交
CD
于
P
，交
DA
于
Q
，求证：
MQ
∥
NP．
分析 要证
MQ
∥
NP
，因
AB
∥
DC
，故可以考虑证明∠
AMQ=
∠
CPN
．现∠
A=< br>∠
C
，故可证Δ
AMQ
∽Δ
CPN
．于是要证明AM
∶
AQ=CP
∶
CN
．


四、(35分) 将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色．证明：存在这样两个相似的
三角 形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．
AB
边上的分点共有n
+1个，由于
n
为奇数，故必存在其中两个
相邻的分点同色，(否则任 两个相邻分点异色，则可得
A
、
B
异
色)，不妨设相邻分点
E
、
F
同色．考察
E
、
F
所在的小矩形的
另两个顶点
E
?、
F
?，若
E
?、
F
?异 色，则△
EFE
?或△
DFF
?为三个顶
点同色的小直角三角形．若
E
?、
F
?同色，再考察以此二点为顶
D
A
GM
E'
E
F
B
点而在其左边的小矩形，…．这样依次考察过去， 不妨设这一
N
HF'
行小矩形的每条竖边的两个顶点都同色．
C
P
Q
同样，
BC
边上也存在两个相邻的顶点同色，设为
P
、< br>Q
，
则考察
PQ
所在的小矩形，同理，若
P
、
Q
所在小矩形的另一横边两个顶点异色，则存在三
顶点同色的小直角三角形．否则，
PQ
所在列的小矩形的每条横边两个顶点都同色．



[来源:学。科。网]
[来源:]