2017年全国高中数学联赛甘肃赛区试题

2017-2018学年度全国高中数学联赛甘肃赛区试卷
一、填空题（每题7分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1.已知函数
f
?
x?1
?
为奇函数，函数
f
?
x?1
?
为偶函数，且
f
?
0
?
?2
，则
f
?< br>4
?
?
．
?
x?1
?
2.已知
a?0
，
x,y
满足约束条件
?
x?y?3，若
z?2x?y
的最小值为1，则
?
y?ax?3
??
?
a?
．
??
?
m
??
?
?
22
3. 已知向量< br>a?
?
?
?2,
?
?cos
?
?
, b?
?
m,?sin
?
?
，其中
?
,m,
?
为实数，若
a?2b
，则
m
?
2
?
的取 值范围是 ．
4.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学 竞赛（每人被选中的机会
均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是 ．
5.若
a
0
?a
1
?
2x?1
??a
2
?
2x?1
?
?a
3
?
2x? 1
?
?a
4
?
2x?1
?
?a
5
?
2x?1
?
?x
5
，则
a
2
?
．
2345
6.已知
?PAD
所在平面与矩形
ABCD
所 在平面互相垂直，
PA?PD?AB?2,?APD?60?
，
若点
P,A, B,C,D
都在同一个球面上，则此球的表面积为 ．
7.已知正数
a,b
满足
2a?b?1
，则
4a
2
?b
2
?4ab
的最大值为 ．
8.设复数
z
1
??3?3i,z
2
?3?i
，
z?3sin
?
? i
是 ．
9. 已知
a?R,b?R
?
，< br>e
为自然对数的底数，则
?
e
a
?lnb
?
?
?
a?b
?
的最小值为 ．
2
2< br>?
3cos
?
?2
，则
z?z
1
?z?z< br>2
的最小值
?
x
2
y
2
10.已知双曲线< br>2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
，
A
1
,A
2
是实轴顶点，
F
是右焦点，
B
?
0,b
?
是虚轴端
ab
,2
?
，点，若在线段< br>BF
上（不含端点）存在不同的两点
P
使得
?PA
1
A
2
i
?
i?1
i1
A
2
?
i? 1,2
?
构成以
A
为斜边的直角三角形，则双曲线离心率
e
的取值范围是 ．
二、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
11. 在
?ABC
中，角
A,B,C
的对边分为
a,b,c
，且a
2
?
?
b?c
?
?2?3bc
，
2
??
sinAsinB?cos
2
C
，
BC
上的中 线
AM
的长为
7
.
2

（1）求角
A
和角
B
的大小；
（2）求
?ABC
的面积.
12. 在一次全省科普知识竞赛中，某市3000名参赛选手的初赛成绩统计如图所示.

（1）求
t
的值，并估计该市选手在本次竞赛中，成绩在
?
80,90
?上的选手人数；
（2）如果在本次竞赛中该市计划选取1500人入围决赛，那么进入决赛选手的 分数应该如何
制定？
（3）如果用该市参赛选手的成绩情况估计全省参赛选手的成绩情况，现 从全省参赛选手中
随机抽取4名选手，记成绩在80（含80）分以上的选手人数为
?
，试求
?
的分布列和期望.
1
??
13.已知在数列
?< br>a
n
?
中，
a
1
?1
，当
n?2< br>时，其前
n
项和
S
n
满足
S
n
2< br>?a
n
?
?
S
n
?
?
.
2
??
（1）求
S
n
的表达式；
（2）设
b
n
?
S
n
1
，数列
?
b
n< br>?
的前
n
项和为
T
n
，证明
T
n< br>?
.
2n?12
14.如图，将边长为4的等边三角形
?ABC沿与边
BC
平行的直线
EF
折起，使得平面
AEF?
平 面
BCFE
，
O
为
EF
的中点.

（1）求二面角
F?AE?B
的余弦值；
（2）若
BE?
平面
AOC
，试求折痕
EF
的长.
??
15. 设向量
i,j
为平面直角坐标系中
x,y
轴正 方向上的单位向量，若向量
??
??
a?
?
x?2
?
i?yj,b?
?
x?2
?
i?yj
，且
a?b?2.

（1）求满足上述条件的点
P
?
x,y
?
的轨迹方程； < br>（2）设
A
?
?1,0
?
,F
?
2,0的结论.
16.已知函数
f
?
x
?
?
?，问是否存在常数
?
?
?
?0
?
，使得
?PF A?
?
?PAF
恒成立？证明你
lnx
,g
?
x< br>?
?e
x
.
x
（1）若关于
x
的不等式< br>f
?
x
?
?mx?g
?
x
?
恒成立 ，试求实数
m
的取值范围；
22
（2）设
x
1
? x
2
?0
，试证：
?
xfx?xfxx?x?2x
2
?
x
1
?x
2
?
.
?
????
112212
??
??

试卷答案
一
、
填空题

1.
?2
2.
1
3
3.
?
?6,1
?
4.
2
5
5.
5

16
6.
?
5?1
?
281
2,
?
7.
2?
8.
2?23
9. 2 10.
??
??

2
32
??
二、解答题 11.解：（1）由
a
2
?
?
b?c
?
?2? 3bc
，得
a
2
?b
2
?c
2
??3bc
，
b
2
?c
2
?a
2
3
??
∴
cosA?
，又
0?A?
?
，∴
A?.
2bc2
6
2
??
由
sinAsinB?cos< br>2
C11?cosC
，得
sinB?
，
222
5
?
，
6
即
sinB?1?cosC，则
cosC?0
，即
C
为钝角，∴
B
为锐角，且B?C?
?
?
2
?
?
?
5
?
??
?C
?
?1?cosC
，化简得
cos
?
C?
?
??1
，解得
C?
则
sin
?
，∴B?
.
3
?
36
?
6
??
ab2
b
2
?
a
?
2
（2） 由（1）知，
a?b
，由余弦定理得
AM?b?
??
?2b??cosC?b???242
?
2
?
22
2
??
7
，
2
解得
b?2
，
故
S
?ABC
?
11 3
absinC??2?2??3
.
222
12. 解：（1）依题意，< br>?
2t?3t?6t?7t?2t
?
?10?1
，所以
t?0 .005
；
而成绩在
?
80,90
?
上的频率为0.3， 故所求选手人数为
3000?0.3?900
（人）.
（2）要选取1500人入围决赛，就是要求改组数据中的中位数：
70?
0.5?0.1?0.151
?77?77.14

0.0357
所以，进入决赛选手的分数应该制定为77.14分.
?
2< br>?
k
?
2
??
3
?
（3）依题意，
?
～B
?
4,
?
，所以
?
的分布列为
P< br>?
?
?k
?
?C
4
????
?
5< br>?
?
5
??
5
?
k4?k
,
?k?0,1,2,3,4
?
；
或
?
的分布列：

故
E
?
?
?
?4?
28
?
.
55
1
??
13. 解：（1）∵
S
n
2
?a
n
?
S
n
?
?
，
a
n
?S
n
?S
n?1
?
n?2
?
，
2< br>??
1
??
∴
S
n
2
?
?
S
n
?S
n?1
?
?
S
n
?
?< br>，即
2S
n?1
S
n
=S
n?1
?S
n
，
?
*
?

2
??
11
?2
， 由题意得
S
n?1
? S
n
=?0
，
?
*
?
两边同除以
S
n?1
?S
n
，得
?
S
n
S
n?1?
1
?
11
∴数列
??
是首项为
??1
，公差为2的等差数列.
S
1
a
1
?
S
n?
∴
1
1
?1?2
?
n?1
?
?2n ?1
，∴
S
n
?
.
S
n
2n?1
S
n
11
?
11
?
??
?
?
?
，
2n?12n?12n?12
?
2n?12n?1
?
（ 2）证明∵
b
n
?
∴
T
n
?b
1
?b
2
?
?
?b
n
?
1
?
n1< br>1?
?
1
??
11
?
1
?
?
1
?
?
1
?1???
1????
?
??
??
??????
?
2
?
?
2n?12n?1
?< br>?
2
?
2n?1
?
2n?12
?
?
3
??
35
?
，
14. 解：（1）取
BC
中点
G
，连接
OG
.
由题设知四边形
EFCB
是等腰梯形，所以
OG?EF
.
由已知
AO?
平面
EFCB
.又
OG?
平面
EFC B
，所以
OA?OG
.
如图建立空间直角坐标系
O?xyz
，设
EF?2a
，则
E
?
a,0,0
?
,A0, 0,3a,B2,3
?
2?a
?
,0
，
????????< br>EA??a,0,3a
，
BE?a?2,3
?
a?2
?
,0
.
????
????

?
设平面
AEB< br>的法向量为
n?
?
x,y,z
?
，

?????
?
?
n?EA?0
?
?ax?3az?0,?
则
?
????
，即
?
?
?
??
n?BE?0
?
?
a?2
?
x?3a?2y?0.< br>?
令
z?1
，则
x?3,y??1
，于是
n?
?
3,?1,1
.
?
???
??
???
n?p 5
平面
AEF
的法向量为
p?
?
0,1,0
?.所以
cosn,p?
??
.
?
??
5
np
5
.
5
????????
（2）因为
BE?
平面
AOC
，所以
BE?OC
， 即
BE?OC?0
，
由题知二面角
FAEB
为钝角，所以它的余弦 值为
?
????????
因为
BE?a?2,3
?
a?2< br>?
,0,OC??2,3
?
2?a
?
,0
，
????
????????
????????
48
2
所以
BE?OC??2
?
a?2
?
?3
?
a?2
?.由
BE?OC?0
且
0?a?2
，解得
a?
，所以< br>EF?
.
33
??
22
15. 解：（1）由条件
a?b?2
得
?
x?2
?
?y
2
?
?x?2
?
?y
2
?2

y
2
从而得，
P
点的轨迹为
x??1
?
x?0
?
.
3
2
（2）在第一象限内作
PF?x
轴，则
P
?
2, 3
?
，此时
?PFA?90?,?PAF?45?,
?
?2
，
下面证明
PF
与
x
轴不垂直时，
?PFA?2?PAF
恒成立，
设
P
?
x
1
,y
1
?
，由于
k
PA
?
tan2?PAF?
2k
PA1?
?
k
PA
?
2
y
1
y
, k
PF
?
1

x
1
?1x
1
?2
?
2
?
x
1
?1
?
y
1
?
x
1
?1
?
2
?y
1
2
，又< br>y
1
2
?3x
1
2
?1?3
?
x< br>1
?1
??
x
1
?1
?
，
??< br>从而
tan2?PAF??
y
1
y
,tan?PFA??k< br>PF
??
1
，
x
1
?2x
1
?2
故
?PFA?2?PAF
恒成立.
16. 解：（1）∵对任意
x ??
，不等于
f
?
x
?
?mx?g
?
x< br>?
恒成立，
?
e
x
?
lnxe
x
?
lnx
?
∴
2
?m?
在
x??
上恒成立 ，进一步转化为
?
2
?
?m?
??
，
xx
?
x
?
max
?
x
?
min
设
h
?
x
?
?
lnx1?2lnx
?
，，
hx?
??
x
2
x
3
当
x?0,e
时，< br>h
?
?
x
?
?0
，当
x?
∴当x?e
时，
?
?
h
?
x
?
?
?
max
?
???
e,??
时，
h
?
?< br>x
?
?0
，
?
1
.
2e

x
xe
x
?e
x
e
?
x?1
?
e
x
?
设
?
?
x
?
?
，则
?
?
?
x
?
?，当
x?
?
0,1
?
时，
?
?
?x
?
?0
，
x
2
x
2
x
当
x?
?
1,??
?
时，
?
?
?
x
?
?0
，所以
x?1
时，
?
?
?
?
x
?
?
?
min
?e
，
综上知
1
?
1
?
?m?e
，所以实数
m
的取值范围为< br>?
,e
?
.
2e
?
2e
?
22< br>（2）当
x
1
?x
2
?0
时，要证明
??
x
1
f
?
x
1
?
?x
2< br>f
?
x
2
?
?
?
x
1
?x
2
?2x
2
?
x
1
?x
2
?，
??
即证
lnx
1
?lnx
2
?
2x
2
?
x
1
?x
2
?
x
12
?x
2
2
，即证
ln
x
1
??0< br>，
x
2
?
x
?
2
1
??
?1
?
x
2
?
2?
x
1
?2
x< br>2
t
2
?1t
2
?2t?1
x
1
2 t?2
?1
，设
u
?
t
?
?lnt?
2< br>令
t?
，则
u
?
?
t
?
?
，
2
2
x
2
t?1
tt?1
???
?< br>?
?
∵当
t?
?
1,??
?
时，
t
2
?1?0,t
2
?2t?1?0
，∴
u
?
?
t
?
?0
，
2?
x
1
?2
x
2
∴
u
?
t
?
在
?
1,??< br>?
上单调递增，∴
u
?
t
?
?u
?
1
?
?0
，故
ln
x
1
??0
，
x
2
?
x
?
2
1
??
?1
?< br>x
2
?
22
即
?
?
x
1
f
?
x
1
?
?x
2
f
?
x
2
?
?
?
x
1
?x
2
?2x
2< br>?
x
1
?x
2
?
.
??