高中数学小专题(精品)39

数学小专题


微专题39
传统不等式的解法
一、基础知识
1、一元二次不等式：
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?

可考虑将左边视为一个二次函数
f
?
x
?
?ax
2
?bx?c
，作出图像，再找出
x
轴上方的部分
即可——关键点：图像与
x
轴的交点
2、高次不等式
（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于
x
的表达式为
f
?
x
?
，不等式为
f
?
x
?
?0
）
①求出
f
?
x
?
?0
的根
x
1
,x
2
,L

② 在数轴上依次标出根
③ 从数轴的右上方开始，从右向左画。如同穿针引线穿过每一个根
④ 观察图像，
f
?
x
?
?0?
寻找
x
轴上方的部分

f
?
x
?
?0?
寻找
x
轴下方的部分
（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项
为 零时是否符合不等式
3、分式不等式
（1）将分母含有
x
的表达式称为分 式，即为
f
?
x
?
的形式
g
?
x
?
（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即
g
?
x
?
?0

（3）对形如
f
?
x
?
?0
的 不等式，可根据符号特征得到只需
f
?
x
?
,g
?
x
?
同号即可，所以将
g
?
x
?
?
?< br>f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
分式不等式转化为
?
（化商为积），进而转化为整式不等式求解
gx?0
?
?
??
4、含有绝对值的不等式
（1）绝对值的属性：非负性
（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对 绝对值内部符号进行分类讨论
（常用）；二是通过平方
（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：
①
f
?< br>x
?
?g
?
x
?
的解集与
f
?x
?
?g
?
x
?
或
f
?
x< br>?
??g
?
x
?
的解集相同
②
f
?
x
?
?g
?
x
?
的解集与
?g
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x< br>?
的解集相同
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（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体 问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨
论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理
5、指对数不等式的解法：
（1）先讲一个不等式性质与函数的故事
在不 等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：
a?b?a?c?b?c
，
可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上
c
），将相同的变换视为一个函数，即设
f
?
x
?
?x?c
，则
a?c?f
?
a
?
,b?c?f
?
b
?
，因为
f
?
x
?
?x?c
为增函数，所以可得：
?
c?0,ac?bc
，
a?b?f
?
a
?
?f
?
b
?，即
a?b?a?c?b?c
成立，再例如：
a?b?
?
?c?0,ac?bc
可设函数
f
?
x
?
?cx
，可知
c?0
时，
f
?
x
?
为增函数，
c ?0
时，
f
?
x
?
为减函数，即
?
?c?0,f
?
a
?
?f
?
b
?
a?b ?
?

?
?
c?0,f
?
a
?
? f
?
b
?
由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的 性质，可将变换视为一个函
数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。增函数→不变号 ，减函数→变
号
在这种想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如：< br>a?b
，则
系如何？设
f
?
x
?
?
11
,
的关
ab
1
，可知
f
?
x
?
的单调减区间为
?
??,0
?
,
?
0,???
，由此可判断出：当
a,b

x
11
同号时，
a?b??

ab
（2）指对数不 等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对
数变换的过程中，不等号的 方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是
y?a
还
是
y?log
a
x
?
a?0,a?1
?
，其单调性只与底数
a< br>有关：当
a?1
时，函数均为增函数，当
x
0?a?1
时，函 数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与1的大小，
规律如下：

a?1
时，
x?y

?a
x
?a
y
?log
a
x?log
a
y(x,y?0)
?a
x
?a
y

0?a?1
时，
x?y

?log
a
x?log
a
y(x,y?0)

进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了
（3）对于对数的两个补充
① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，
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?
f
?
x
?
?0
?
如当
a?1
时，
log
a
f
?
x
?
?log
ag
?
x
?
?
?
g
?
x
??0

?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
② 如何将常数转化为某个底的对数。可活用“1”：因为
1?log
a
a
，可作为转换的桥梁
例如：
2.5?log
2
??
？
2.5?2.5?1 ?2.5?log
2
2?log
2
2
2.5
?log
2
32

某些不等式虽然表面形式复杂，但如果把其中一部分视为一个整体 ，则可对表达式进行简
化，进而解决问题，例如：
2
??
x
2
x
可将为
2
x
视为一个整体，令
t?2
，则
t? 0
，
?3?2
x
?4?0
，
则不等式变为
t
2
?3t?4?0?
?
t?4
??
t?1
?
?0 ?t?4
，
?2
x
?4
，两边可同取以2为底
对数
x?log
2
4?2

6、利用换元法解不等式
（1）换元：属 于化归时常用的一种方法，本质是研究对象的选取，不受题目所给字母的限制，
而是选择合适的对象能把 陌生问题进行化归，转化为能够解决的问题。如上一个例子中，通
过将
2
x
视 为整体，从而将不等式转化为一元二次不等式进行求解
（2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字 母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而
要先了解新字母的取值范围。即若换元，则先考虑新元的初 始范围
（3）利用换元法解不等式的步骤通常为：
①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个
整体
②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式
③解出新元的范围
④在根据新元的范围解
x
的范围
二、典型例题：
例1：解下列一元二次不等式：
（1）
x?3x?4?0
（2）
x?4x?1?0

（3）
x?4x?5?0
（4）
?x?4x?3?0

解（1）
x?3x?4?0
?
?
x?4
??
x?1
?
?0

2
22
22
-1 4
即
f
?
x
?
?x?3x?4
与
x
轴的交点为
x??1,x?4
< br>2
由图像可得满足
f
?
x
?
?0
的
x
的范围为
?1?x?4

?
不等式的解集为
?
?1,4
?

2
（2） 令
f< br>?
x
?
?x?4x?1
，则
f
?
x
?
?0
可解得：
x?
4?23
?2?3

2
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作图观察可得：
x?2?3
或
x?2?3

?
不等式的解集为
??,2?3U2?3,??

（3）令
f
?
x
?
?x
2
?4x?5
，则
f
?
x?
?0
中，
??0

则
f
?
x?
与
x
轴无公共点，即恒在
x
轴上方，
?x?R

注：由（1）（2）我们发现，只要是
a?0
，开口向上的抛物线与
x
轴相交，其图像都是类似
的，在小大根之间的部分
f
?
x
?
?0
，在小大根之外的部分
f
?
x
?
?0
，发现这个规律，在解一
元二次不等式时便有了更为简便的口诀
① 让最高次项系数为正
② 解
f
?
x
?
?0
的方程，若方程有解，则f
?
x
?
?0
的解集为小大根之外，
f
?x
?
?0
的解集为
小大根之间，若方程无解，则作出图像观察即可
（4）解：先将最高次项系数变为正数：
?x?4x?3?0?x?4x?3?0
< br>方程
x?4x?3?0
的根为
x?
2
22
????< br>?4?27
??2?7

2
?
不等式的解集为
??,?2?7U?2?7,??


例2：解下列高次不等 式：（1）
?
x?1
??
x?2
??
x?3
??0

（2）
?
x? 1
??
x?2
?
（1）解：
f
?
x
??
?
x?1
??
x?2
??
x?3
?

则
f
?
x
?
?0
的根
x
1
?1,x
2
?2,x
3
?3

作图可得：
1?x?2
或
x?3

1
2
2
????
?
x?3
?
?0

?
不等式的解集为
?
1,2
?
U
?
3,??
?

（2）思路：可知
?
x?2
?
?0
，所以只要
x?2
，则
?
x?2
?
恒正，所以考虑先将恒正恒负的
因式 去掉，只需解
?
22
?
?
x?1
??
x?3
?
?0
?
x?2?0
，可得
?1?x?3
且
x?2

?
不等式的解集为
?
?1,2
?
U
?
2,3
?

小炼有话说：在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可。
穿根法的原理：它的实质是利用图像帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图
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像中的数轴分为上下两个部分，上面为
f
?
x
?
?0
的部分，下方为
f
?
x
?
?0
的部分。以例 2
（1）为例，当
x?3
时，每一个因式均大于0，从而整个
f
?< br>x
?
的符号为正，即在数轴的上方
（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时 一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时
，当经过
x?3
时，
?
x?3
?
由正变负，而其余的式子符号未变，所以
f
?
x
?
的符号一定为正）
f
?
x
?
的符号发生一次改变，在图像上 的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，
f
?
x
?
的
符 号再次发生改变，曲线也就跑到
x
轴上方来了。所以图像的“穿根引线”的实质是
f
?
x
?
在
经历每一个根时，式子符号的交替变化。
x
2
?4x?3
2x?1
?0
例3：解下列分式不等式：（1）
?0
（2）
2
x?6x?8
x?3
解：（1）不等式等价于
?
?
?
2x?1
? ?
x?3
?
?0
?
x?3?0
?
1
??x?
?
,??
?
U
?
??,3
?

?
2
?
?
1
?
?
不等式的解集为
?
,??
?
U
?
??,3
?

?
2
?

22
?
x?4x?3x?6x?8
?
?0
?
?
x?1
??
x?3
??
x? 2
??
x?4
?
?0
???
?
（2）不等式等价于
?

?
?
2
?
x?2且x?4
?
?
x?6x?8?0
?
1?x?2或3?x?4
解得：
?

x?2且x?4
?

?
不等式的解集为
?
1,2< br>?
U
?
3,4
?

2
2x?1
?1
（2）
x??2

x?3
x?1
x
（3）
2
?1

x?6x?12
例4：（1）
分式不 等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等
号方向是否改变），通 常是通过移项，通分，将其转化为
f
?
x
?
?0
再进行求解
g
?
x
?
解：（1）
2x?12x?1
?1??1 ?0

x?3x?3
?
?
?
x?4
??
x ?3
?
?0
x?4
?0?
?
?x?4
或
x ?3

x?3
?
x?3?0
?
不等式的解集为
?< br>??,3
?
U
?
4,??
?

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（2）
x?
2
?2

x?1
x
?
x?1
??
x?2
??
x?1
?
?2
2x
2
?x
?x?2??0??0??0??0

x?1x?1x?1x?1?
x
?
x?1
??
x?1
?
?0
?< br>?1?x?0或x?1

?
?
?
?
x??1
x?1?0
?
?
?
不等式的解集为
?
?1,0
?
U
?
1,??
?

（3）思路：观察发现分母
x
2
?6x?12?
?
x?3
?
?3?0
很成立，所 以考虑直接去分母，不
等号的方向也不会改变，这样直接就化为整式不等式求解了
解：
2
x
?1?x?x
2
?6x?12

2
x?6x?12
?x
2
?7x?12?0?
?
x?3??
x?4
?
?0

?3?x?4

?
不等式的解集为
?
3,4
?

例5：解不等式：
（1）
x
2
?x?3x
（2）
解：（1）方法一：
2
?
?
x?x??3x
?x??4orx?0
?
?
所解不等式可转化为
?3x?x?x?3x?< br>?
2

0?x?2
?
?
?
x?x?3x< br>2
x?2x?2
?

xx
?0?x?2

方法二：观察到若要使得不等式
x
2
?x?3x
成立，则
3x?0? x?0
，进而
x
2
?x
内部恒
为正数，绝对值直接去掉，即 只需解
x?x?3x
即可。解得
0?x?2

2
?
不等式的解集为
?
0,2
?

（2 ）思路：观察可发现不等号左右两端式子相同，一个数的绝对值大于它本身，则这个数一
定是负数，所以 直接可得：
x?2
?0?0?x?2

x
?
不等式的解集为
?
0,2
?

小炼有话说：含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法
例6：解不等式：（1）
x?1?x?2?5
（2）
2x?1?x?2?0

解：（1）含多个绝对值的问题，可通过“零点分段法”来进行分类讨论
令两个绝对值分别为 零，解得：
x??2,x?1
，作出数轴，将数轴分为三部分，分类讨论
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①
x?1
不等式变为
x?1?x?2?5?x?2

?1?x?2

②
?2?x?1
时，不等式变为
1?x?x?2?5?3?5

??2?x?1
时不等式均成立
③
x??2
不等式变为
1?x?x?2?5?x??3

??3?x??2

综上所述：不等式的解集为
?
?3,2
?

小炼有话说： 零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需
要进行分类讨论，对学生书 写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些
细节部分均要做好，才能保证答案的正确 性
（2）思路：本题依然可以仿照（1）的方式进行零点分段，再解不等式，但从另一个角度观
察，所解不等式为
2x?1?x?2
，两边均是绝对值（非负数），所以还可以考虑两边平方 （所
用不等式性质：
a?b?0?a?b
）一次将两个绝对值去掉，再进行求解。
解：
2x?1?x?2

22
?
?
2x?1
?
?
?
x?2
?
?4x
2
?4x?1?x
2
?4x?4

?3x
2
?3??1?x?1

?
不等式的解集为
?
?1,1
?

例7：解下列不等式：
22
?
1
?
（1）
??< br>?
2
?
x
2
?3
?2
?2x
（2）
?
0.2
?
x
2
?2x?1
?0.04

（3）
log
2
x
2
?2x?3
（4）
log
?
x?1
?
x
2
?x?2?1

????
?
1
?
解：（1）
??
?
2
?

?2
3?x
2
x
2
?3?2
?2
2
?2x
?2x
（2）
?
0.2
?
x
2
?2x?1
?0.04

?0.2
2

?
?
0.2
?
2
x
2
?6x?5

?3?x??2x

?x?6x?5?2


?x?2x?3?0

?x?6x?7?0


?x?3
或
x??1

??1?x?7

22
?
不等式的解集为
?
??, ?1
?
U
?
3,??
?

?
不等式的解集为
?
?1,7
?

（3）
log
2
x?2x?3

2
2< br>?
?
?
x?2x?8??2?x?4
?
log
2?
x?2x
?
?log
2
8

?
?

?
?
2

2
?
?
x?2x?0?x?0或x?2
?
?
x?2x?0
?
2?
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??2?x?0
或
2?x?4
< br>?
不等式的解集为
?
?2,0
?
U
?
2,4
?

（4）
log
?
x?1
?
x
2
?x?2?1

??
?log
?
x?1
??
x
2
?x?2
?
?log
?
x?1
?
?
x?1
?

?
x
2
?x?2?x?1
?
x
2
?x?2?x?1
??
?
?
x?1 ?1
或
?
?
0?x?1?1

?
x
2< br>?x?2?0
?
x
2
?x?2?0
??
?
可解得：
x?3

?
不等式的解集为
?
3,??
?

例8：解下列不等式：
（1）
9?4?3?12?0
（2）
log
?
x?1
?
xx
1
?log
1
?
x?1
?
?1

4
2
（3）
2
2x?1
?
1
?
?6?
??
?
2?
x
1?x
?8
（4）
x
2
?3x?3?1

，从而可将
3
视为一 个整体，则所解不等式可看做关于
3
的二次不等
xx
（1）思路：
9 ?3
x
??
x
2
式，解出
3
的范围，再反求
x
的范围即可
解：
9?4?3?12?0


3xx
??
x
2
?4?3
x
?12?0
令
t?3
x
,t?0


?t?4t?12?0?0?t?6

x
即
0?3?6?x?log
3
6

2
?
不等式的 解集为
?
??,log
3
6
?

（2）思路：观 察到不等式左侧的两项存在真数底数互换位置的特点，联想到对数公式：
log
a
b?
1
1
，从而选择一项进行变形（比如选择
log
?
x?1< br>?
)，再将
log
1
?
x?1
?
视为一个< br>log
b
a
4
2
2
整体解不等式，解出
lo g
1
?
x?1
?
的范围后进而求出
x
的范围 解：
log
?
x?1
?
1
?log
1
?
x?1
?
?1

4
2
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??
??
?
x?1?0
?
x?1
??

?
?
x?1?1?
?
x?2
??
12
?< br>?log
1
?
x?1
?
?1
?
?log1
?
x?1
?
?1
logx?1logx?1
????
?
1
?
1
22
?
4
?
2
令
t?log
1
?
x?1
?

t?0

2
2t
2
?t?2
?0?t
?
t?2
??
t?1
?
?0
不等式转化为：
?t?1?0?
ttt??2
或
0?t?1
，即
log
1
?
x?1
?
??2
或
0?log
1
?
x?1
??1

22
可解得：
x?5
或
2x?1
3?x?2

2
1?x
（3）
2
?
1
?
?6?
??
?
2
?
?8

2
2
2x
1
??6?2
x?1
?8?
?
2
x
?
?3?2
x
?8

22
?
?
2
x
2
?
?6?2
x
?16?0

2
令
t?2,t?0
不等式转化为：
t?6t?16?0?0?t?8

x
即
0?2?8?x?3

x
?
不等式的解集为
?
??,3
?

（ 4）思路：所解不等式等价于
?1?x?3x?3?1
，本题可以考虑对
x
的 符号进行讨论，从
而去掉绝对值解出不等式。但从另一方面，可发现
x?x
，从而所解 不等式转化为：
2
?
x?3x?3??1
?
，将
x
视为一个整体，先解出
x
范围，进而解出
x
的范围
?
2
?
?
x?3x?3?1
2
2
2
解：
x?3 x?3?1??1?x?3x?3?1

2
2
?
x?3x?3??1
?
?
t?3t?3??1
?
令
t?x?0
，所解不等式转化为
?
2

?
?2
?
?
t?3t?3?1
?
?
x?3x?3?1
22
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数学小专题

3
数学小专题


?
2
3?17
3?173?17
?
t?3t?2?0?t?
??t?4?x?4
即
?
即
2
22
?
t
2
?3t?4?0?0?t?4
?< br>??4?x??
3?173?17
?x?4
或
22
?
3?17
??
3?17
?
?
不等式的解集为
?
? 4,?,4
?

?
U
?
2
??
2
??
例9：已知不等式
log
2
ax
2
?3x?6?2< br>的解集为
?
??,1
?
U
?
b,+?
?，则
a?
___，
b?
____
2
2
??
?
ax?3x?6?0
?
ax?3x?6?0
思路：所解不等 式
?
，即
?
2
，
22
logax?3x?6?lo g4?ax?3x?6?4
?
2
?
?
ax?3x?2?0
?
?
2
?
??
观察可得只要
x
让第二个不等式成立， 则第一个一定成立。所以只需解
ax?3x?2?0
。由
已知可得此不等式的解集为< br>?
??,1
?
U
?
b,+?
?
，则
x?1,x?b
为
ax?3x?2?0
的两根，代
2
2
入< br>x?1
解得
a?1
，再解得
b?2

答案：
a?1,b?2

小炼有话说：解多个同时成立的不等式时，不妨观 察它们之间是否存在“替代”关系，从而
简化所解不等式的个数
例10：已知不等式
log
2
ax
2
?2x?5?1
的解集为
R
，则< br>a
的取值范围是________
2
?
?
ax?2x?5? 2
2
思路：所给条件等价于
?
2
的解集为
R
，即< br>ax?2x?3?0
的解集为
R
，由此
?
?
ax?2 x?5?0
??
可得：
?
?
a?0
1
解得：
0?a?

3
?
??4?12a?0
1

3
答案：
0?a?

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