高一数学专题复习资料

第二章 函数
2.1函数及映射的概念
课程引入：
初 中函数定义：设在一个变化过程中有两个变量
x,y
，如果对于
x
的每一个值 ，
y
都有唯一的值与它对应，
那么就称
y
是
x
的函 数。其中
x
叫做自变量，自变量
x
的取值范围叫做定义域；
y
叫做函数值，其取值范
围叫做值域.
必备知识：
1. 映射的定义：对于集合A 中任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应叫做
集合A到集合B的映射，记作 ：
f：A?B
,其中A中的元素叫做原象，B中的元素叫做象，
f
叫做
对应关系（或对应法则）。
2. 函数定义：对于数集A中任何一个元素在数集B中都有唯一的元素 与之对应，那么这样的对应叫做集
合A到集合B的函数，记作：
y?f(x)
，自变量
x
的取值范围叫做定义域，函数值
y
的取值范围叫
做值域，
y
与
x
之间的关系叫做对应法则。
例题讲解：
例题1（06湖北 模拟）设
f、g
都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：
表1 映射
f
的对应法则
原象
象
原象
象
则与
f
?
g(1)
?
相同的是（ ）A
A.
g
?
f(1)
?
B.
g
?
f(2)
?
C.
g
?
f(3)
?
D.
g
?
f(4)
?

1 2 3 4
1
4
2
3 4 2
表2 映射
g
的对应法则
1
4
2
3
3
1
1,2
?
，则
A?B
等于（ ）C 练习1（07北京模拟）设
f：x?x
是集合A到集合B的映射，如果
B?
?
2
1?
B.
?
C.
?
或
?
1
?
D.
?
或
?
2
?
A.
?
1,2
?
，则映射
f：A?B
的个数为 。4 例题2已知
A?
?
a,b
?
，
B?
?
练习2：
f
是从集合
A?
?
a,b,c
?
到集合
B?
?
d,e
?
的映射，则满足映射条件的“
f
” 共有（ ）D
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
例题3已知
f(x)?2x?3
，求
f(1),f(a),f(m?n),f
?
f(x)
?
.

练习3已知
f(x?1)?x?3 x?2
，求
f(x),f(2),f(x?1)



2
2.2求函数定义域
课程引入：
函数
y?
2
、y?2x?1
，求其定义域.
x?5
必备知识：
1. 定义：自变量x的取值范围（映射观点：原象的集合）
2. 常见函数定义域：（1）分母不为零（2）对数真数大于零（3）开偶次根式，被开方数大于或等于零
3. 求函数的定义域即转化为解不等式（组），可用“区间”或“集合”来表示.
例题讲解：
例题1（08全国1文）函数
y?1?x?
A．
{x|x≤1}

x
的定义域为（ ）D
D．
{x|0≤x≤1}
B．
{x|x≥0}
C．
{x|x≥1或x≤0}

练 习1：（09江西文）函数
y?
?x
2
?3x?4
的定义域为（ ）D
x
A．
[?4,1]
B．
[?4,0)
C．
(0,1]
D．
[?4,0)(0,1]

例题2（0 8江西文）若函数
y?f(x)
的定义域是
[0,2]
，则函数
g( x)?
A．
[0,1]
B．
[0,1)
C．
[0,1)
f(2x)
的定义域是（ ）B
x?1
(1,4]
D．
(0,1)

f(x< br>2
)
练习2：若函数
y?f(x)
的定义域是
?
x0 ?x?2
?
，则函数
g(x)?
的定义域为（ ）A
x?1
A.
x?2?x?
?
2且x?1
B.
x?2?x?2

?
??
C.
x0?x?2
D.
x0?x?
例题3函数
y?
??
?
2

?
kx
2
?6kx?9
的定义域为R，则
k
的取值范围是 .
?
0,1
?

2kx?8
的定义域为R，求
k
的取值范围 .
?
0,1
?

2
kx?2kx?1
?
1
?
,0
?
2
??
练习3：已知函数
f(x)?
例题4若函数
f(x)的定义域为
?
0,1
?
，求
g(x)?f(x?1)?f(2x ?1)
的定义域.
?
?

练习4：若函数
y?f(x)的定义域是
?
?2,4
?
，则函数
g(x)?f(x)?f(? x)
的定义域是（ ）B
A.
?
?4,4
?
B.
?
?2,2
?
C.
?
?4,?2
?
D.
?
2,4
?


2.3求函数值域
课程引入：
初中一次函数图像引入，
f(x)?x?1,x?
?
1 ,2
?
，
y
的取值范围？图像处理
必备知识：
1.定义：函数值
y
的取值范围叫做函数的值域.
2.求值域的常用方法：
（1） 换元法 形如：
y?ax?bx?c
求值域
ax
2
（2） 判别式法 形如：
y?
求值域，去分母转换为一元 二次方程，由
??0
求出
y
的范围
2
bx?cx?d
（3） 分离常数法 形如：
y?
cx?d
求值域
ax?b
（4） 反函数法 利用互为反函数定义域和值域互换的特点，原函数值域就是反函数定义域。
（5） 数形结合法 如：三角函数、含绝对值的函数
?
（6） 均值不等式
a?b?2aba,b?R

??
例题讲解：
例题1（09福建模拟）函数
y?x?1?2x
的值域是（ ）B
?1
?
B.
?
??，1
?
C.R D.
?
1,??
?
A.
?
??，
练习1：求函数
y?3x?


< br>例题2（08重庆文）函数f(x)=
?
3
?
2x?1
的值域 .
?
,??
?

?
2
?
x
的最大值为（ B ）
x?1
C.A.
2

5
B.
1

2
2

2
D.1

练 习2：（09东北模拟）函数
y?
3x
其中（
x
<0）的值域（ ）A
x
2
?x?1
A.
?
?3,0
?
B.
?
?3,1
?
C.
?
??,?3
?
D.
?
??,0
?

例题3求函数（09湖北文）函数
y?
1?2x1
(x?R,且x??)
的值域是（ ）B
1?2x2
A.
?
x?R,x?1
?
B.
?
x?R,x??1
?
C.
?
x?R,x??
?
D.
?
x?R,x?< br>?
?
1
?
2
?
?
?
1
?< br>?

2
?
x
2
?1
练习3：求函数
y?
2
的值域.
x?1

例题4（08四川模拟）函数
f(x)?x?1?x?1
的值域是 .
?
?2,2
?

练习4求函数
y?x?2?x?5
的值域是 .
?
?7,7
?

例题5函数
f(x)??x?4x
在
?
m,n
?
上的值域是
?
?5,4
?
，则
m?n
的取值范围是（ ）D
2
A.
?
0,6
?
B.
?
?1,1
?
C.
?
1,5
?
D.
?
1,7
?

练习5：已知函数
f(x)?






ax?b
的值域为
?
?1,4
?
，求实数
a,b
的值.
a??4,b?3

2
x?1
2.4分段函数求值
必备知识：
1.注意定义域的范围，带入相应的函数表达式求出函数值即可.
例题讲解：
?< br>3
x
,x?1,
例题1（09北京文）已知函数
f(x)?
?
若
f(x)?2
，则
x?
。
log
3
2

?
?x,x?1,
练习1：（09山东文）定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
?
( B )
x?0
?
log
2
(4?x ),
，则f（3）的值为
?
f(x?1)?f(x?2),x?0
A.-1 B. -2 C.1 D. 2
?
x
2
?4x?6,x?0
例题2（09天津文）设函数
f(x)?
?< br>则不等式
f(x)?f(1)
的解集是（ ）A
?
x?6,x?0

A
(?3,1)?(3,??)
B
(?3,1)?(2,??)
C
(?1,1)?(3,??)
D
(??,?3)?(1,3)< br>2
?
x?1,
?
1
?
?
1?x
练习 2：（08山东理）设函数f (x)=
?
2
则f
??
的值为（ ）A
f(2)
?
??
?
x?x?2,x＞1,
A.
15

16
B. -
27

16
C.
8

9
D.18 < br>例题3（08天津理）已知函数
f
?
x
?
?
?
?
?x?1
?
x?1
x?0
x?0
，则不等式
x ?
?
x?1
?
f
?
x?1
?
?1
的解集是（ ）C
?
(C)
?
x|x?

(A)
x|?1?x?2?1
(B)
?
x|x?1
?

?
2?1
(D)
x|?2?1?x?2?1

?
??