高中数学专题突破重点考点(教师版)

2020年9月21日发(作者：叶志翔)

高考数学专题整合突破
专题一 函数与导数、不等式
第1讲 函数图象与性质及函数与方程

一、选择题
1．(2017·北京朝阳期末考试)函数f(x)＝
A．[0，＋∞)
C．[0,1)∪(1，＋∞)
?
?
x－1≠0，
解析 由题意知
?

?
?
x≥0，
∴f(x)的定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．
答案 C
2．(2017·新课标全国卷Ⅱ改编)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2 对称，f(3)＝3，
则f(－1)＝
A．1
C．3

B．－1
D．－3
( )．
1
＋x的定义域为
x－1
( )．
B．(1，＋∞)
D．[0,1)

解析 因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋
x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3 )＝3.
答案 C
3．(2017·天津卷)函数f(x)＝log
1
( x
2
－4)的单调递增区间为
2
( )．
A．(0，＋∞)
C．(2，＋∞)
B．(－∞，0)
D．(－∞，－2)
解析 由x< br>2
－4>0，得x<－2或x>2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，

1

＋∞)，又y＝x
2
－4的减区间为(－∞，0)， ∴函数f(x)＝log
1
(x
2
－4)的增区间为
2
(－ ∞，－2)，故选D.
答案 D
4．(2017·济南模拟)函数f(x)＝(x－1)ln|x|的图象可能为 ( )．

解析 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，可排除B.当x∈(0,1) 时，x－
1＜0，ln x＜0，所以(x－1)ln x＞0，可排除D；当x∈(1，＋∞)时，x－1＞0，
ln x＞0，所以(x－1)ln x＞0，可排除C.故只有A项满足，选A.
答案 A
2
?
－x＋2x， x≤0，
5．(2016·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝
?
若|f(x)|≥ ax，则a
?
ln?x＋1?，x>0.

的取值范围是
A．(－∞，0]
C．[－2,1]

B．(－∞，1]
D．[－2,0]
( )．
解析 当x≤0时，f(x)＝－x
2＋2x＝－(x－1)
2
＋1≤0，所以|f(x)|≥ax化简为
x
2
－2x≥ax，即x
2
≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a ≥－2；
当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)>0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1) ≥ax恒成立，由
函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立， 故选
D.
答案 D
二、填空题
6．已知函数f(x)是定义在R上的偶 函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实
数a满足f(log
2
a)＋f(log
1
a)≤2f(1)，则a的取值范围是________．
2

2

解析 ∵f(x)在R上是偶函数，
?< br>1
?
∴f
?
loga
?
＝f(－log
2< br>a)＝f(log
2
a)，
?
2
?
由题设，得2f (log
2
a)≤2f(1)，即f(log
2
a)≤f(1)，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
1
∴|log
2
a|≤1，解之得
2
≤a≤2.
?
1
?
答案
?
2
，2
?
??
7．(2017·广州测试)已知函数f(x)＝2ax
2
＋2x－3.如果 函数y＝f(x)在区间[－1,1]上
有零点，则实数a的取值范围为____________．
解析 若a＝0，则f(x)＝2x－3.
3
f(x)＝0?x＝
2
?[－1,1]，不合题意，故a≠0.
下面就a≠0分两种情况讨论：
(1)当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－1, 1]上至少有一个零点，即(2a－5)(2a－1)≤0，
15
解得
2
≤a ≤
2
.
(2)当f(－1)·f(1)＞0时，f(x)在[－1,1]上有零点的 条件是
?
?
?
－1＜－
2
1
a
＜1，?
?
f?－1?·f?1?＞0，
?
1
?
答案
?
2
，＋∞
?

??
?
1
??< br>1
?
f
?
－
2a
?
f?1?≤0或f
?
－
2a
?
f?－1?≤0，
????

5
?
1
?
解得a＞
2
.综上，实数a的取值范围为?
2
，＋∞
?
.
??
8．已知函数y＝f(x)是R 上的偶函数，对?x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当
f?x
1
? －f?x
2
?
x
1
，x
2
∈[0,2]，且x1
≠x
2
时，都有<0，给出下列命题：
x
1
－x
2

3

①f(2)＝0；
②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－4,4]上有四个零点；
④f(2 014)＝0.
其中所有正确命题的序号为________．
解析 令x＝－2，得f(－2＋4)＝f( －2)＋f(2)，解得f(－2)＝0，因为函数f(x)
为偶函数，所以f(2)＝0，①正确；因 为f(－4＋x)＝f(－4＋x＋4)＝f(x)，f(－4
－x)＝f(－4－x＋4)＝f(－x )＝f(x)，所以f(－4＋x)＝f(－4－x)，即x＝－4是函
f?x
1
?－ f?x
2
?
数f(x)的一条对称轴，②正确；当x
1
，x
2
∈[0,2]，且x
1
≠x
2
时，都有
x
1－x
2
<0，说明函数f(x)在[0,2]上是单调递减函数，又f(2)＝0，因此函 数f(x)在[0,2]
上只有一个零点，由偶函数知函数f(x)在[－2,0]上也只有一个零点， 由f(x＋
4)＝f(x)，知函数的周期为4，所以函数f(x)在(2,4]与[－4，－2)上也 单调，因
此，函数在[－4,4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，
即有 f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(2 014)＝0，④正确．
答案 ①②④
三、解答题
1
9．已知函数f(x)＝2
x
，g(x)＝
2
|x|
＋2.
(1)求函数g(x)的值域；
(2)求满足方程f(x)－g(x)＝0的x的值．
1
?
1
?
解 (1)g(x)＝
2
|x|
＋2＝
?
2
?
|x|
＋2，
??
?
1< br>?
因为|x|≥0，所以0＜
?
2
?
|x|
≤1，
??
即2＜g(x)≤3，故g(x)的值域是(2,3]．
1
(2)由f (x)－g(x)＝0，得2
x
－
2
|x|
－2＝0，

4

当x≤0时，显然不满足方程，
1
当x＞0时，由2
x
－
2
x
－2＝0，
整理得(2
x
)
2
－2·2
x
－1＝0，(2
x
－1)
2
＝2，
故2
x
＝1±2，因为2
x
＞0，
所以2
x
＝1＋2，
即x＝log
2
(1＋2)． ?
f?x?，x＞0，
10．已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋1(a＞0)，F(x )＝
?
若f(－1)＝0，
?
－f?x?，x＜0.
2

且对任意实数x均有f(x)≥0成立．
(1)求F(x)的表达式；
(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．
解 (1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，
∴b＝a＋1，
∴f(x)＝ax
2
＋(a＋1)x＋1.
∵f(x)≥0恒成立，
?
a＞0，
∴
?

2
?
Δ＝?a＋1?< br>－4a≤0，
?
a＞0，
即
?

2
?
?a－1?≤0.
∴a＝1，从而b＝2，
∴f(x)＝x
2
＋2x＋1，
2
?
x＋2x＋1 ?x＞0?，
∴F(x)＝
?
2

?
－x－2x－1 ?x＜0?.



(2)由(1)知，g(x)＝x
2
＋ 2x＋1－kx＝x
2
＋(2－k)x＋1.
∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，
k－2k－2
∴
2
≤－2或
2
≥2，
解得k≤－2或k≥6.
所以k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．

5

11．(2017·绵阳模拟)已知函数f(x)＝log
4(4
x
＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
?x
4
?
2－
3
a
?
，(2)设g(x)＝lo g
4
?
a·
若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求
??
实数a的取值范围．
解 (1)由函数f(x)是偶函数可知，f(x)＝f(－x)，
所以log
4
(4< br>x
＋1)＋kx＝log
4
(4
－
x
＋1)－kx，
4
x
＋1
1
所以log
4
－
x
＝ －2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，所以k＝－
2
.
4＋1
1
(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log
4
(4x
＋1)－
2
x＝
1
?
x
4
?
x
4
2－
3
a
?
有且只有一个实根，即方程2
x
＋
x
＝a·log
4
?
a·
2－
3
a有且只有一个实
2
??
根．
4
令t＝2
x
＞ 0，则方程(a－1)t
2
－
3
at－1＝0有且只有一个正根．
3
①当a＝1时，则t＝－
4
不合题意；
3
②当a≠1时，Δ＝0，解得a＝
4
或－3.
31
若a ＝
4
，则t＝－2，不合题意；若a＝－3，则t＝
2
；
－1
③若方程有一个正根与一个负根，即＜0，
a－1
解得a＞1.
综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．


第2讲 不等式及线性规划

一、选择题
1．(2017·广州综合测试)已知x＞－1，则函数y＝x＋
1
的最小值为 ( )．
x＋1

6

A．－1
C．1
解析 ∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴y＝x＋
1
x＋1
＝(x＋ 1)＋
1
x＋1
－1，
B．0
D．2
≥2
1
?x＋1?·－1＝1，
x＋1
1
x＋1
，即x＝0时取等号． 当且仅当x＋1＝
答案 C
2．(2017·安徽“江南十校”联考)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b ，
32
若x，y均为正数，则
x
＋
y
的最小值是
5
A.
3

C．8
解析 ∵a∥b，∴3(y－1)＋2x＝0，
即2x＋3y＝3.
∵x＞0，y＞0，
32
?
32
?
1
∴
x
＋
y
＝< br>?
x
＋
y
?
·(2x＋3y)
??
39y4x
?
11
?
＝
3
?
6＋6＋
x
＋
y
?
≥
3
(12＋2×6)＝8.
??
当且仅当3y＝2x时取等号．
答案 C
8
B．
3

D．24
( )．
?x＋y－2≥0，
3．(2017·天津卷)设变量x，y满足约束条件
?
x－y －2≤0，
?
y≥1，
2y的最小值为
A．2



则目标函数z＝x＋

B．3
7
( )．

C．4 D．5
解析 根据约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．

1z
由z＝x＋2y，得y＝－
2
x＋
2
. < br>11
先画出直线y＝－
2
x，然后将直线y＝－
2
x进行平移 ．
当直线过点A时，z取得最小值．
?
?
y＝1，
由
?
得A(1,1)，故z
最小值
＝1＋2×1＝3.
?
?
x＋y－2＝0
答案 B
4．已知关于x的不等式2x＋
小值为
A．1
C．2
解析 2 x＋
2
x－a
＝2(x－a)＋
2
x－a
2
≥7在 x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最
x－a

3
B．
2

5
D．
2

＋2a
( )．

≥2·
2
2?x－a?·＋2a＝4＋2a，
x－a
33
由题意可知4＋2a≥7，得a≥
2
，即实数a的最小值为
2
，故选B.
答案 B
5．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若对任意x＞2，不等式(x－a )?x≤a＋2都

8

成立，则实数a的取值范围是
A．[－1,7]
C．(－∞，7]

B．(－∞，3]
( )．
D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
解析 由题意得(x－a)?x＝(x－a)(1 －x)，故不等式(x－a)?x≤a＋2可化为(x
－a)(1－x)≤a＋2，化简得x
2
－(a＋1)x＋2a＋2≥0.
故原题等价于x
2
－(a＋1)x＋2a＋2≥0在(2，＋∞)上恒成立，
a＋1
由二次函数f(x)＝x－(a＋1)x＋2a＋2的图象，知其对称轴为x＝，讨论
2
2
?
a＋1
≤2，
得
?
2
?
f ?2?≥0
答案 C
二、填空题

?
或
?
?< br>a＋1
?
?
f
?
?
2
?
?
≥0，
a＋1
2
>2，

解得a≤3或3a
2
＋b
2
6．(2017·潍坊一模)已知a＞b＞0，ab＝1，则的最小值为________．
a－b
解析 ∵a＞b＞0，ab＝1，
a
2
＋b
2a－b
?a－b?
2
＋2ab
a－b
?a－b?
2＋2
a－b
2
a－b
∴＝＝＝(a－b)＋≥22.当且仅当：a－b＝
2时取等号．
答案 22
7．(2017·吉林省实验中学)若直线2ax－by ＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x
2
＋y
2
＋2x－
11
4y＋1＝0截得的弦长为4，则
a
＋
b
的最小值是________．
解析 易知圆x
2
＋y
2
＋2x－4y＋1＝0的半径为2，圆心为 (－1,2)，因为直线
2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x
2
＋y2
＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，所
以直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞ 0)过圆心，把圆心坐标代入得：a＋b＝1，

9

11
?
11
?
baba
所以
a
＋
b
＝
?
a
＋
b
?
(a＋b)＝2＋
a
＋
b
≥4，当且仅当
a
＝
b
，a＋b＝1，即a＝b＝
??
1
2
时等号成立．
答案 4
8．已知x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy， 且不等式(x＋y)
2
－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则
实数a的取值范围是___ _____．
解析 要使(x＋y)
2
－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则有(x＋ y)
2
＋1≥a(x＋y)，
即a≤(x＋y)＋
1
x＋y
恒成立．
?
x＋y
?
2
?
， 由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝ xy≤
?
2
??
即(x＋y)
2
－4(x＋y)－12≥0 ，解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．设t＝x＋y，
则t≥6，(x＋y)＋
1
x＋y
11
＝t＋
t
.设f(t)＝t＋
t
，则在t≥6 时，f(t)单调递增，所以
113737
f(t)＝t＋的最小值为6＋＝，所以a≤，即实 数a的取值范围是
t666
37
??
－∞，
?
.
6
?
??
37
??
答案
?
－∞，
6
?

??
三、解答题
2x
9．已知函数f(x)＝
2
.
x＋6
(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；
(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．
解 (1)f(x)>k?kx
2
－2x＋6k<0.
由已知{x|x<－3，或x>－ 2}是其解集，得kx
2
－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.
22
由根 与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝
k
，即k＝－
5
.

10

(2)因为x>0，f(x)＝
2x226
＝≤＝6
26
6
，当且仅当x＝6时取等号．由已
x
2
＋6< br>x＋
x
6
?
6
?
知f(x)≤t对任意x>0恒成立 ，故t≥
6
，即t的取值范围是
?
，＋∞
?
.
?
6
?
10．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面， 单
位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx
1
－< br>20
(1＋k
2
)x
2
(k>0)表示的曲线上，其中k与发 射方向有关．炮的射程是指炮
弹落地点的横坐标．

(1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的
横坐标a不超 过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解 (1)令y＝0，得
1
kx－
20
(1＋k
2
)x
2
＝0，
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝
20k2020
＝
1
≤
2
＝10，
1＋k
2
k＋
k
当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a>0，
所以炮弹可击中目标?存在k>0，
1
使3.2＝ka－
20
(1 ＋k
2
)a
2
成立?关于k的方程a
2
k
2
－20ak＋a
2
＋64＝0有正根
?判别式Δ＝(－20a)
2
－4a
2
(a
2
＋64)≥0?a≤6.
所以当a不超过6千米时，可击中目标．
11．已知函数f(x)＝x
2
＋ bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．
(1)证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)
2
；

11 < /p>

(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c
2< br>－b
2
)恒成立，求M
的最小值．
(1)证明 易知f′(x)＝2 x＋b.由题设，对任意的x∈R，2x＋b≤x
2
＋bx＋c，即
b
2x＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)－4(c－b)≤0，从而c≥
4
＋1，于
22
是c≥1，
且c≥2
b
2
4
×1＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.
故当 x≥0时，有(x＋c)
2
－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.即当x≥0时， f(x)≤(x
＋c)
2
.
f?c?－f?b?c
2
－b
2
＋bc－b
2
c＋2b
(2)解 由(1)知c≥|b|.当c＞|b|时，有M≥
2
＝＝.
c－b
2
c
2
－b
2
b＋c
c＋2b
b1
令t＝
c
，则－1＜t＜1，＝2－.
b＋c1＋t
而函数g(t)＝2－
3?
1
?
(－1＜t＜1)的值域是
?
－∞，
2
?
.
??
1＋t
?
3
?
因此，当c＞|b|时， M的取值集合为
?
2
，＋∞
?
.
??
当c＝|b |时，由(1)知b＝±2，c＝2.此时f(c)－f(b)＝－8或0，c
2
－b
2
＝0，从而
3
f(c)－f(b)≤
2
(c
2
－ b
2
)恒成立．
3
综上所述，M的最小值为
2
.
第3讲 导数与函数的单调性、极值与最值
的基本问题

一、选择题
1
1．函数f(x)＝
2
x
2
－ln x的单调递减区间为
A．(－1,1]
C．[1，＋∞)
B．(0,1]
D．(0，＋∞)
( )．

12

1
解析 由题意知，函数的 定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－
x
≤0，解得
0答案 B
?
1
?
2.已知 函数y＝
?
2
?
f
′
(x)
的图象如图所示，则函 数f(x)的单调递增区间为 ( )．
??

A．(－∞，1)
B．(－∞，0)和(2，＋∞)
C．R
D．(1,2)
?
1
?
x
?
1
?
??
解析 因为 函数y＝
2
是R上的减函数，所以f′(x)＞0的充要条件是0＜
?
2?
????
f
′
(x)
?
1
?
＜1， f′(x)＜0的充要条件是
?
2
?
f
′
(x)
＞ 1.由图象，可知当x∈(－∞，0)∪(2，
??
?
1
?
＋∞)时 ，0＜
?
2
?
f
′
(x)
＜1，即f′(x)＞0 .所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，
??
0)和(2，＋∞)．
答案 B
3．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e
x
－1)(x－1)
k
(k＝1,2)，则 ( )．
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
解析 当k＝1时，f′(x)＝e
x
·x－1，f′(1)≠0，
∴f(1)不是极值，故A，B错；
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xe
x
＋e
x
－2)，

13

显然f′(1)＝0，且x在1的左侧附近f′(x)<0，
x在1的右侧附近f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.
答案 C
4．设函数f(x)的定义域为R，x
0
(x
0
≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的
是
A．?x∈R，f(x)≤f(x
0
)
B．－x
0
是f(－x)的极小值点
C．－x
0
是－f(x)的极小值点
D．－x
0
是－f(－x)的极小值点
解析 A错，因为极大值未必是最大 值；B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－
x)的图象关于y轴对称，－x
0
应是f(－x)的极大值点；C错，函数y＝f(x)与函
数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x< br>0
应为－f(x)的极小值点；D正确，函数y
＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关 于原点对称，－x
0
应为y＝－f(－x)的极小值点．
答案 D
二、填空题
1
5．(2017·盐城模拟)已知f(x)＝
2
x< br>2
＋2xf′(2 014)＋2 014ln x，则f′(2 014)＝_____.
2 014
解析 因为f′(x)＝x＋2f′(2 014)＋
x
，
2 014
所以f′(2 014)＝2 014＋2f′(2 014)＋
2 014
，
即f′(2 014)＝－(2 014＋1)＝－2 015.
答案 －2 015
x
6．函数f(x)＝2mcos
2

2
＋1的导函数的最大值等于1，则实数m的值为________．
x
解析 显然m≠0，所以f(x)＝2mcos
2

2
＋1
( )．

14

??
2
x
＝m
?
2cos
2
－1
?
＋m＋1＝mcos x＋m＋1，
??
因此f′(x)＝－msin x，其最大值为1，故有m＝±1.
答案 ±1
7．已知函数f(x)＝x
2
－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x
2
－aln x在(1,2)上
为增函数，则a的值等于________．
解析 ∵函数f(x)＝x
2
－ax＋3在(0,1)上为减函数，
a
∴≥1，得a≥2.
2
a
又∵g′(x)＝2x－
x< br>，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x
2
≥a在x∈(1,2)< br>上恒成立，有a≤2，∴a＝2.
答案 2
8．(2017·绍兴模拟)若a>0， b>0，且函数f(x)＝4x
3
－ax
2
－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．
解析 依题意知f′(x)＝12x
2
－2ax－2b，
∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.
?
a＋b
?
2
?
＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值又a>0，b>0，∴ab ≤
?
?
2
?
为9.
答案 9
三、解答题
9．设f(x)＝a(x－5)
2
＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y
轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解 (1)因f(x)＝a(x－5)
2
＋6ln x，
6
故f′(x)＝2a(x－5)＋
x
.

15

令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－16a＝(6－8a)(x－1)，
1
由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝
2
.
1
(2)由(1)知，f(x)＝
2
(x－5)
2
＋6ln x(x>0)，
6
?x－2??x－3?
f′(x)＝x－5＋
x
＝.
x
令f′(x)＝0，解得x＝2或3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当2故f(x)在(2,3)上为减函数．
9
由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝
2
＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)
＝2＋6ln 3.
10．(2017·新课标全国卷Ⅱ 节选)已知函数f(x)＝e
x
－e
－
x
－2x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值．
解 (1)f′(x)＝e
x
＋e
－
x
－2≥0，等号仅当 x＝0时成立．
所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
(2)g(x)＝f(2x)－ 4bf(x)＝e
2x
－e
－
2x
－4b(e
x
－ e
－
x
)＋(8b－4)x，
g′(x)＝2[e
2x
＋ e
－
2x
－2b(e
x
＋e
－
x
)＋(4 b－2)]
＝2(e
x
＋e
－
x
－2)(e
x< br>＋e
－
x
－2b＋2)．
①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当 x＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)
单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x )>0；
②当b>2时，若x满足2x
＋e
－
x
<2 b－2，即02
－2b)时g′(x)<0.
而g(0)＝0，因此当02
－2b)时，g(x)<0.
综上，b的最大值为2.
e
x
?
2
?
11．(2017·山东卷)设函数f(x)＝
x
2
－k
?
x
＋ln x
?
(k为常数，e＝2.718 28…是自然对
??

16

数的底数)．
(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．
解 (1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．
x
2
e
x
－2 xe
x
?
21
?
f′(x)＝－k
?
－
x
2
＋
x
?

x
4
??
xe
x
－2e
x
k?x－2?
＝
x
3
－
x< br>2

?x－2??e
x
－kx?
＝.
x
3
由k≤0可得e
x
－kx>0，
所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．
所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)由(1)知，k≤0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，
故f(x)在(0,2)内不存在极值点；
当k>0时，设函数g(x)＝e
x
－kx，x∈(0，＋∞)．
因为g′(x)＝e
x
－k＝e
x
－e
ln k
，
当0当x∈(0,2)时，g′(x)＝e
x
－k>0，y＝g(x)单调递增．
故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；
当k>1时，
得x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数y＝g(x)单调递减；
x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)>0，函数y＝g(x)单调递增．
所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)．
函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，
?
g?ln k?<0，
当且仅当
?
g?2?>0，
?
0
g?0?>0，

e
2
解得e2
，
17

2
?
e
?
综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值 范围为
?
e，
2
?
.
??



第4讲 利用导数求参数的取值范围

一、选择题
1
1．已知函数f(x)＝mx
2
＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是
2

A．[－1,1]
C．[1，＋∞)

B．[－1，＋∞)
D．(－∞，1]
( )．
1
解析 f′(x)＝mx＋
x
－2≥0对一切x＞0恒成立，
?
1
?
2
∴m≥－
?
x
?
2＋
x
.
??
1
?
1
?
2
令 g(x)＝－
?
x
?
2
＋
x
，则当
x＝1，即x＝1时，函数g(x)取最大值1.故m≥1.
??
答案 C
2． (2017·广州调研)函数f(x)＝x
3
－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取 值范围是

A．[0,1)
1
??
C.
?
0，
2
?

??
解析 f′(x)＝3x
2
－3a＝3(x
2
－a)．
当a≤0时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值．
当a＞0时，f′(x)＝3(x－a)(x＋a)．
当x∈(－∞，－a)和(a，＋∞)时，f(x)单调递增；

B．(－1,1)
D．(0,1)
( )．

18

当x∈(－a，a)时，f(x)单调递减．
所以当a＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0,1)内有最小值．
答案 D
1
3．已知函数f(x)＝
3
x
3
－2x
2
＋3m， x∈[0，＋∞)，若f(x)＋5≥0恒成立，则实数
m的取值范围是 ( )．


?
17
?
A.
?
9
，＋∞
?

??
C．(－∞，2]
?
17
?
B．
?
9
，＋∞
?

??
D．(－∞，2)
解析 f′(x)＝x
2
－4x，由f′(x)>0，得x>4或x<0.
∴f(x)在( 0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增，∴当x∈[0，＋∞)时，f(x)
min
＝f(4 )．∴
17
要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥
9
.
答案 A
1
4．已知函数f(x)＝
3
x
3
＋ax
2
＋3x＋1有两个极值点，则实数a的取值范围是 ( )．
A．(3，＋∞)
C．(－3，3)
解析 f′(x)＝x
2
＋2ax＋3.
由题意知方程f′(x)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4a
2
－12＞0，
解得：a＞3或a＜－3.
答案 D
二、填空题
5．已知函数f(x)＝x
2
＋mx＋ln x是单调递增函数，则m的取值范围是________．
2x
2
＋mx＋1
解析 依题意知，x＞0，f′(x)＝.
x

19
B．(－∞，－3)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

令g(x)＝2x
2
＋mx＋1，x∈(0，＋∞)，
m
当－
4
≤0时，g(0)＝1＞0恒成立，∴m≥0成立；
m< br>当－
4
＞0时，则Δ＝m
2
－8≤0，∴－22≤m＜0.
综上，m的取值范围是m≥－22.
答案 [－22，＋∞)
1
6．若函数f(x)＝－
2
x
2
＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是______．
2
?x－1??x－3?
3
－x＋4x－3
解析 对f(x)求导， 得f′(x)＝－x＋4－
x
＝＝－.由
xx
f′(x)＝0得函数f(x) 的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间
(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t ，t＋1]上就不单调，所以t<1解得0答案 (0,1)∪(2,3)
7．(2017·浙江考试院抽测)已知m∈R，若函数f( x)＝x
3
－3(m＋1)x
2
＋12mx＋1在
[0,3]上无极 值点，则m的值为________．
解析 f′(x)＝3x
2
－6(m＋1)x ＋12m＝3(x－2)(x－2m)．由于f(x)在[0,3]上无极
值点，则2m＝2，所以m＝ 1.
答案 1
1
8．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x
2
－2ax＋4，若任意x
1
∈[0,1]，存在x
2
∈[1,2]，
x＋1
使f(x
1
)≥g(x
2
)，则实数a的取值范围是____ __．
解析 由于f′(x)＝1＋
1
?x＋1?
2
>0，因此函 数f(x)在[0,1]上单调递增，所以x∈
[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.根据 题意可知存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x
2
－2ax＋
x5x5
4≤ －1，即x－2ax＋5≤0，即a≥
2
＋
2x
能成立，令h(x)＝
2
＋
2x
，则要使a≥h(x)
2

20

x5
在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，又函数h(x)＝
2< br>＋
2x
在x∈[1,2]上单调递
99
减(可利用导数判断)，所以h (x)min＝h(2)＝
4
，故只需a≥
4
.
?
9
?
答案
?
4
，＋∞
?

??
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x
2
＋2aln x.
(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，为求实数a的值；
2< br>(2)若函数g(x)＝
x
＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
2
2a
2x＋2a
解 (1)f′(x)＝2x＋
x
＝
x
.
由已知f′(2)＝1，解得a＝－3.
222a
(2)由g(x)＝
x
＋x
2
＋2aln x，得g′(x)＝－
x
2
＋2x＋
x
.
由函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
22a
即－
x
2
＋2x＋
x
≤0在[1,2]上恒 成立，
1
即a≤
x
－x
2
在[1,2]上恒成立．
1
令h(x)＝
x
－x
2
，
1
?
1
?
在[1,2]上h′(x)＝－
x
2
－2x＝－
?< br>x
2
＋2x
?
＜0，
??
7
所以h(x) 在[1,2]上为减函数，h(x)
min
＝h(2)＝－
2
.
7
所以a≤－
2
.
a
10．(2017·北京西城区一模)已知函数f(x)＝ln x－
x
，其中a∈R.
(1)当a＝2时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)如果对于任意x∈(1，＋∞)，都有f(x)＞－x＋2，求a的取值范围．
212
解 (1)由f(x)＝ln x－
x
，得f′(x)＝
x
＋
x
2
，

21

所以f′(1)＝3.又因为f(1)＝－2，
所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－5＝0.
a
(2)由f(x)＞－x＋2，得ln x－
x
＞－x＋2，
即a＜xln x＋x
2
－2x.
设函数g(x)＝xln x＋x
2
－2x，
则g′(x)＝ln x＋2x－1.
因为x∈(1，＋∞)，
所以ln x＞0,2x－1＞0，
所以当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝ln x＋2x－1＞0，
故函数g(x)在x∈(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞g(1)＝－1.
因为对于任意x∈(1，＋∞)，都有f(x)＞－x＋2成立，
即对于任意x∈(1，＋∞)，都有a＜g(x)成立，
所以a≤－1.
xln?x－1?
11．(2017·山西临汾四校联考)已知函数f(x)＝.
x－2
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设g(x)＝x
2
＋2x＋3，证明：对任意x
1
∈(1,2)∪(2，＋∞)，总存在x
2
∈R，
使得f(x
1
)＞g(x
2
)．
(1)解 f′(x)＝
[xln?x－1?]′?x－2?－xln?x－1?

?x－2?< br>2
1
x－1
－2ln?x－1?＋x－1－
＝
?x－2?2
，
1
，
x－1
设h(x)＝－2ln(x－1)＋x－1 －
?x－1?
2
－2?x－1?＋1?x－2?
2
则h′(x)＝＝ ≥0，
?x－1?
2
?x－1?
2
∴h(x)在(1，＋∞)上是 单调递增函数，又h(2)＝0，
∴当x∈(1,2)时，h(x)＜0，则f′(x)＜0，f(x)是单调递减函数；
当x∈(2，＋∞)时，h(x)＞0，则f′(x)＞0，f(x)是单调递增函数．

22

综上知：f(x)在(1,2)上是单调递减函数；
在(2，＋∞)上是单调递增函数．
(2)证明 对任意x
1
∈(1,2) ∪(2，＋∞)，总存在x
2
∈R，使得f(x
1
)＞g(x
2)恒成
xln?x－1?
立等价于f(x)＞g(x)
min
恒成立，而 g(x)
min
＝2，即证f(x)＞2恒成立，即证
x－2
－2＞0恒成立 ，
也就是证
4
?
x
?
?
ln?x－1?＋
x
－2
?
＞0，
?
x－2
?
414
设 G(x)＝ln(x－1)＋－2，G′(x)＝－
2

x
x－1
x
?x－2?
2
＝≥0，
?x－1?x
2
∴G(x)在(1，＋∞)上是单调递增函数，又G(2)＝0，
∴当x∈(1,2)时，G(x)＜0，则
4
?
x
?
?< br>ln?x－1?＋
x
－2
?
＞0，
?
x－2
?
当x∈(2，＋∞)时，G(x)＞0，则
4
?
x
?
?
ln?x－1?＋
x
－2
?
＞0 ，
?
x－2
?
综上可得：对任意x
1
∈(1,2)∪(2 ，＋∞)，总存在x
2
∈R，
使得f(x
1
)＞g(x
2
)．


第5讲 导数与不等式的证明及函数零点、
方程根的问题

一、选择题 < br>1．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e
x
·f(x)>e
x
＋1的解集为
A.
{
x|x>0
}

B.
{
x|x<0
}


23
( )．

C.
{
x|x<－1，或x>1
}

D.
{
x|x<－1，或0}

解析 构造函数g (x)＝e
x
·f(x)－e
x
，因为g′(x)＝e
x
· f(x)＋e
x
·f′(x)－e
x
＝e
x
[f(x)＋f′(x)]－e
x
>e
x
－e
x
＝0，所以g(x )＝e
x
·f(x)－e
x
为R上的增函数．又因为g(0)
＝e< br>0
·f(0)－e
0
＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x> 0.
答案 A
2．已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对
任意的0A．af(b)≤bf(a)
C．af(a)≤f(b)

B．bf(a)≤af(b)
D．bf(b)≤f(a)
( )．
解析 因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，
xf′?x?－f?x?－2f?x ?
?
f?x?
?
所以
?
x
?
′＝≤
x
2
≤0，
x
2
??
f?x?
则函数
x
在(0，＋∞)上单调递减．
f?a?f?b?
由于0a< br>≥
b
，即af(b)≤bf(a)．
答案 A
3．(2017·汕 头模拟)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝e
x
＋x－2的零点为a，
函数g (x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是
A．f(a)＜f(1)＜f(b)
C．f(1)＜f(a)＜f(b)
B．f(a)＜f(b)＜f(1)
D．f(b)＜f(1)＜f(a)
( )．
解析 由题意，知f′(x)＝e
x
＋1＞0恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增
的，而f(0)＝e
0
＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e
1
＋1－2＝e－1＞0，所以函数f(x)的
零点a∈(0,1)；
1
由题意，知g′(x)＝
x
＋1＞0，所 以g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，又g(1)
＝ln 1＋1－2＝－1＜0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2＞0，所以函数g(x)的零点b∈

24

(1,2)．
综上，可得0＜a＜1＜b＜2.
因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)＜f(1)＜f(b)．
答案 A
4．(2016·安徽卷)若函数f(x)＝x
3
＋ax
2
＋bx＋c有极 值点x
1
，x
2
，且f(x
1
)＝x
1
， 则
关于x的方程3(f(x))
2
＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是
A．3
C．5
B．4
D．6
( )．
解析 因为函数f(x)＝x
3
＋ax
2
＋bx＋c有两个极值点x
1，x
2
，可知关于导函数
的方程f′(x)＝3x
2
＋2ax＋ b＝0有两个不等的实根x
1
，x
2
，则方程3(f(x))
2＋2af(x)
＋b＝0有两个不等的实根，即f(x)＝x
1
或f(x)＝x< br>2
，原方程根的个数就是这两
个方程f(x)＝x
1
和f(x)＝x< br>2
的不等实根的个数之和，若x
1
2
，作y＝x
1
，y＝x
2
与f(x)＝x
3
＋ax
2
＋bx＋ c有三个不同交点如图1.

图1 图2
即方程3(f(x))
2
＋2af(x)＋b＝0有三个不同的实根．
若x
1
>x
2
，如图2同理方程3(f(x))
2
＋2af(x )＋b＝0有三个不同实根．
答案 A
二、填空题
1
5．函数f(x) ＝
3
x
3
－x
2
－3x－1的图象与x轴的交点个数是__ ______．
解析 f′(x)＝x
2
－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数 在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是

25

增函数，在(－1,3 )上是减函数，由f(x)
极小值
＝f(3)＝－10＜0，f(x)
极大值
＝f(－1)
2
＝
3
＞0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.
答案 3
6．(2017·温州模拟)关于x的方程x
3
－3x
2
－a＝0有三个不同的实数解，则实数a
的取值范围是________．
解析 由 题意知使函数f(x)＝x
3
－3x
2
－a的极大值大于0且极小值小于0即
可，又f′(x)＝3x
2
－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x
1
＝0，x
2
＝2.当x＜0时，
f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′ (x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0
时，f(x)取得极大值，即f(x)
极大值
＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，
?
?
－a＞ 0，
即f(x)
极小值
＝f(2)＝－4－a，所以
?
解得－4＜a ＜0.
?
?
－4－a＜0，
答案 (－4,0)
7．(2017 ·洛阳模拟)已知函数f(x)＝e
x
－2x＋a有零点，则a的取值范围是________ ．
解析 函数f(x)＝e
x
－2x＋a有零点，即方程e
x
－2 x＋a＝0有实根，即函数g(x)
＝2x－e
x
，y＝a有交点，而g′(x)＝2 －e
x
，易知函数g(x)＝2x－e
x
在(－∞，
ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－e
x
的值域为(－∞，2ln 2
－2]，所以要使函数g(x)＝2x－e
x
，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可．
答案 (－∞，2ln 2－2]
14
8．(2017·邯郸质检) 已知函数f(x)＝
3
x
3
－x
2
－3x＋
3，直线l：9x＋2y＋c＝0，若当
x∈[－2,2]时，函数y＝f(x)的图象恒在直线l下 方，则c的取值范围是________．
149cc1
解析 根据题意知
3
x
3
－x
2
－3x＋
3
＜－
2
x－2
在x∈[－2,2]上恒成立，则－
2
＞
3
34
x< br>3
－x
2
＋
2
x＋
3
，
134< br>设g(x)＝
3
x
3
－x
2
＋
2
x ＋
3
，

26

3
则g′(x)＝x－2x＋
2
，
2
则g′(x)＞0恒成立，所以g(x)在[－2,2]上单调递增，
所以g(x)
max
＝g(2)＝3，则c＜－6.
答案 (－∞，－6)
三、解答题
9．(2016·北京卷)已知函数f(x)＝x
2
＋xsin x＋cos x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
解 由f(x)＝x
2
＋xsin x＋cos x，
得f′(x)＝x(2＋cos x)，
(1)∵y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切．
∴f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)，
则a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f′(x)＝0，得x＝0.
∴当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)递增．
当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．
∴f(x)的最小值为f(0)＝1.
由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，
所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．
综上所述，如果曲线 y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围
是(1，＋∞)．
10．(2017·昆明调研测试)已知函数f(x)＝ln x－e
x
＋
a
.
(1)若x＝1是f(x)的极值点，讨论f(x)的单调性；
(2)当a≥－2时，证明：f(x)＜0.
1
x
＋
a
(1)解 f′(x)＝
x
－e(x＞0)，
∵x＝1是f(x)的极值点，∴f′(1)＝1－e
1
＋
a
＝0，
1
∴a＝－1，此时f′(x)＝
x
－e
x
－
1< br>，

27

当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)在(0,1)内单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(1，＋∞)内单调递减．
(2)证明 当a≥－2时，e
x
＋
a
≥e
x
－
2
，f (x)＝ln x－e
x
＋
a

≤ln x－e
x
－
2
，只需证g(x)＝ln x－e
x
－
2
＜0即可，
1
x
－
2
g′(x)＝
x
－e，
1由g′(x)＝0，得
x
＝e
x
－
2
，由图象法知方程 有唯一解x
0
∈(1,2)且
ln x
0
＝－x
0
＋2，
当x∈(0，x
0
)时，g ′(x)＞0，g(x)在(0，x
0
)内单调递增，
当x∈(x
0
，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)在(x
0
，＋∞)内单调递减，
∴g(x)
max
＝ln x
0
－
11
＝－x0
＋2－
x
，由x
0
∈(1,2)知x
0
＋< br>x
＞2
00
0
1
＝
x
，
0
1
x
0
·
x
＝2，
0
1
g(x)
max
＝－x
0
＋2－
x
＜0.
综上，当a≥－2时，f(x)＜0.
m
11．(2017·陕西卷)设函数f(x)＝ln x＋
x
，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
x
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－
3
零点的个数；
f?b?－f?a?
(3)若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．
b－a
e
解 (1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋
x
，
x－e
则f′(x)＝
x
2
，
∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，
当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
e
∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋
e
＝2，
∴f(x)的极小值为2.
x1mx
(2)由题设g(x)＝f′(x)－
3
＝
x
－
x
2
－
3
(x＞0)，

28

1
3
令g(x)＝0，得m＝－
3
x＋x(x＞0)．
1
设φ(x)＝－
3
x
3
＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x
2
＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点．
2
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝
3
.
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，
可知
2
①当m＞
3
时，函数g(x)无零点；
2
②当m＝
3
时，函数g(x)有且只有一个零点；
2
③当0＜m＜
3
时，函数g(x)有两个零点；
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
2
综上所述，当m＞
3
时，函数g(x)无零点；
2
当m＝
3
或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
2
当0＜m＜
3
时，函数g(x)有两个零点．
f?b?－f?a?
(3)对任意的b＞a＞0，＜1恒成立，
b－a
等价于f(b)－b＜f(a)－a恒成立．(*)
m
设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋
x
－x(x＞0)，

29

∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
1m< br>由h′(x)＝
x
－
x
2
－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
11
得m≥－x
2
＋x＝－(x－
2
)
2
＋
4
(x＞0)恒成立，
111
∴m≥
4
(对m＝
4
，h′(x)＝0仅在x＝
2
时成立)，
1
∴m的取值范围是[
4
，＋∞)．


专题二 三角函数与平面向量
第1讲 三角函数的图象与性质

一、选择题
5π
??
sin
?
1．(2017·吉林省实验中学一模)函数f(x)＝cos 2x＋是
2
＋x
?
??
A．非奇非偶函数
B．仅有最小值的奇函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值又有最小值的偶函数
?
5π
?
解析 f(x)＝cos 2x＋sin
?
2
＋x
?
＝cos 2x＋cos x＝2cos
2
x＋cos x－1，易知函数
??
1
f(x)是偶函数，且当cos x＝1时取最大值，cos x＝－
4
时取最小值．
答案 D
π
??
2．将函数f(x)＝3sin 2x－cos 2x的图象向左平移|m|的 个单位
?
m＞－
2
?
，若所得
??
π
的图 象关于直线x＝
6
对称，则m的最小值为
π
A．－
3

π
B．－
6

( )．
( )．

30

C．0
π
D．
12

π
??
解析 f(x)＝3sin 2x－cos 2x＝2sin
?
2x－
6
?
，
??
将f(x)的图象向左平移|m|个单位，得到函数g(x)＝
ππ
? ???
2sin2
?
x－
12
＋|m|
?
＝2si n
?
2x－
6
＋2|m|
?
，
????
πππ
则：2×
6
－
6
＋2|m|＝
2
＋kπ(k ∈Z)，
π
1
解得|m|＝
6
＋
2
kπ(k∈Z)，
π
当k＝0时，|m|＝
6
，
ππ
又因为m＞－
2
，所以m的最小值为－
6
.
答案 B
?
πxπ
?
3．(2017·北京东城区质量调研)函数 y＝2sin
?
6
－
3
?
(0≤x≤9)的最大值与最小值
??
之差为
A．2＋3
C．3

B．4
D．2－3
( )．
ππxπ7π
解析 因为0≤x≤9，所以－< br>3
≤
6
－
3
≤
6
，
πxππ?
πxπ
?
因此当
6
－
3
＝
2
时，函数y＝2sin
?
6
－
3
?
取最大值，
??
πxππ
即y
max
＝2×1＝2，当
6
－
3
＝－
3
时，
?
πxπ
?
函数y＝2sin
?
6
－
3
?
取最小值，
??
?
π?
即y
min
＝2sin
?
－
3
?
＝ －3，
??
?
πxπ
?
因此y＝2sin
?
6< br>－
3
?
(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为2＋3.
??
答案 A

31

π
??
4 ．(2017·北京顺义区统练)已知函数f(x)＝cos
?
2x＋
3
?< br>－cos 2x，其中x∈R，给出
??
下列四个结论：
①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；
2π
②函数f(x)图象的一条对称轴是x＝
3
；
?
5π
?
③函数f(x)图象的一个对称中心为
?
12
，0
?；
??
π2π
??
④函数f(x)的递增区间为
?
k π＋
6
，kπ＋
3
?
(k∈Z)．
??
则正确结论的个数是
A．1
C．3

B．2
D．4
( )．
π
?
ππ
?
解析 由已知得，f(x)＝cos
?
2x＋
3
?
－cos 2x＝cos 2xcos
3
－sin 2xsin
3
－cos 2x
??π
??
＝－sin
?
2x＋
6
?
.f(x)不 是奇函数，故①错；
??
2π
?
2π
??
4ππ
?
??
当x＝
3
时，f
3
＝－sin
?
3
＋
6
?
＝1，故②正确；
????
5π
?
5π
?
当x＝
12
时，f
?
12
?
＝－ sin π＝0，故③正确；
??
ππ3π
令2kπ＋
2
≤2x＋
6
≤2kπ＋
2
(k∈Z)，
π2π
得kπ＋
6
≤x≤kπ＋
3
(k∈Z)，故④正确．综上，正确的结论个数为3.
答案 C
5．(2017·济宁一模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(0＜φ＜π)的图象如图 所示，若f(x
0
)
?
π5π
?
＝3，x
0
∈
?
3
，
6
?
，则sin x
0
的值为
??
( )．


32

43－3
A.
10

33＋4
B.
10

C.
43＋1
10

33＋3
10
D.
T
4ππ
解析 由图象知A＝5，
2
＝
3
－
3
＝π，
2π
∴T＝2π，∴ω＝
2π
＝1，
ππ
且1×
3
＋φ＝2kπ＋
2
，
π
又0＜φ＜π，∴φ＝
6
，
?
π
?
∴ f(x)＝5sin
?
x＋
6
?
.
??
π
3
由f(x
0
)＝3，得sin(x
0
＋)＝，
65
313
即
2
sin x
0
＋
2
cos x
0
＝
5
，①
π
?
π
??
π5π
?
又x
0
∈
?
3
，
6
?
，∴x
0
＋
6
∈?
2
，π
?
，
????
π
?
4314
?
∴cos
?
x
0
＋
6
?
＝－
5
，即
2
cos x
0
－
2
sin x
0
＝－
5
，②
??
33＋4
由①②解得sin x
0
＝
10
.
答案 B
二、填空题
π
??
6．(2017·安徽卷)若将函数 f(x)＝sin
?
2x＋
4
?
的图象向右平移φ个单位，所得图象
??
关于y轴对称，则φ的最小正值是________．

33

π
?
右平移φ
π
?
π
????
解 析 f(x)＝sin
?
2x＋
4
?
――→g(x)＝sin
?
2?x－φ?＋
4
?
＝sin
?
2x＋
4－2φ
?
，
??????
关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，
ππ
k
π
则
4
－2φ＝kπ＋
2
，∴φ＝ －
2
π－
8
(k∈Z)，
ππ3π
显然，k＝－1时，φ 有最小正值
2
－
8
＝
8
.
3π
答案
8

7．(2017·江苏五市联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0 ，ω＞0,0≤φ＜2π)在R上的
部分图象如图所示，则f(2 014)的值为________．

解析 根据题意，由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π )在R上
2ππ
的部分图象可知周期为12，由此可知T＝
ω
＝12，ω＝< br>6
，A＝5，将(5,0)代入
π
?
5π
?
可知，5 sin
?
6
＋φ
?
＝0，可知φ＝
6
，
??
π
?
5
?
π
×2 014＋
?
所以f(2 014)＝5sin
?
6
＝－
6
?
2
.
?
5
答案 －
2

8．(2017·北京卷)设函数f(x )＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)
?
ππ
??
π
??
2π
??
π
?
在区间
?6
，
2
?
上具有单调性，且f
?
2
?
＝f
?
3
?
＝－f
?
6
?
，则f(x)的 最小正周期为
????????
________．
T
ππ
?
ππ
?
解析 由f(x)在
?
6
，
2
?
上具有单调性，得
2
≥
2
－
6
，
??
π2π
2
＋
3
7π2π
?< br>π
??
2π
?
即T≥
3
；因为f
?
2
?
＝f
?
3
?
，所以f(x)的一条对称轴为x＝
2
＝
12
；又因为
????

34

ππ
＋
62
ππ
π
1
7ππ
????
f
?
2
?
＝－f
?
6
?
，所以f(x)的 一个对称中心的横坐标为
2
＝
3
.所以
4
T＝
12
－
3
＝
????
π
4
，即T＝π.
答案 π
三、解答题
1
9．(2017·福建卷)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－
2
.
π
2
(1)若0<α<
2
，且sin α＝
2
，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
1
解 f(x)＝sin xcos x＋cos
2
x－
2
1＋cos 2x
11
＝
2
sin 2x＋－
2

2
11
＝
2
sin 2x＋
2
cos 2x
＝
π
?
2
?
si n
?
2x＋
4
?
.
2
??
π
2
π
(1)因为0<α<
2
，sin α＝
2
，所以α＝
4
，
π
?
2
?
2
3π
1
从而f(α)＝
2
sin
?
2α＋4
?
＝
2
sin
4
＝
2
.
??
2π
(2)函数f(x)的最小正周期T＝
2
＝π.
πππ
由2kπ－
2
≤2x＋
4
≤2kπ＋
2
，k ∈Z，
3ππ
得kπ－
8
≤x≤kπ＋
8
，k∈Z. < br>3ππ
??
所以f(x)的单调递增区间为
?
kπ－
8
，kπ＋
8
?
，k∈Z.
??
3
?
π
?
10．(2017·济宁一模)已知函数f(x)＝sin xcos
?
x＋
3
?
＋
4
.
??
?
ππ
?
(1)当x∈
?
－
3
，
6?
时，求函数f(x)的值域；
??

35

π
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移
3
个单位后，再将得到的图象上各点的横 坐
1
标变为原来的
2
倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝g(x)的图象， 求函数g(x)
的表达式及对称轴方程．
3
?
π
?
解 (1)f(x)＝sin xcos
?
x＋
3
?
＋
4

??
ππ
?
3
?
＝sin x
?
cos xcos
3
－sin xsin
3
?
＋
4

??
133
＝sin xcos x－sin
2
x＋
224
13
1－cos 2x
3
＝
4
sin 2x－
2
×＋
24

π
?
131
?
＝
4
sin 2x＋
4
cos 2x＝
2
sin
?
2x＋
3
?
.
??< br>ππππ2π
由－
3
≤x≤
6
，得－
3
≤2 x＋
3
≤
3
，
π
?
3
?
所以－
2
≤sin
?
2x＋
3
?
≤1，
??< br>π
?
131
?
－
4
≤
2
sin?
2x＋
3
?
≤
2
，
??
?
31
?
所以f(x)∈
?
－，
?
.
?
42
?
π
?
1
?
π
(2)由(1)知f(x)＝< br>2
sin
?
2x＋
3
?
，将函数y＝f(x)的图象 向右平移
3
个单位后，
??
1
??
π
?
π
?
x－
?
＋?
得到函数y＝
2
sin
?2
?
?
?
3
?
3
?
π
?
1
?
＝
2
sin
?
2x－
3
?
的图象，
??
1
再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的
2
倍( 纵坐标保持不变)，得到函数
π
?
π
?
1
?
1?
4x－4x－
???
y＝
2
sin.
3
?
的图象，所以g(x)＝
2
sin
?
3
?
??ππ
当4x－
3
＝kπ＋
2
(k∈Z)时，g(x)取最值，
kπ
5π
所以x＝
4
＋
24
(k∈Z)，

36

kπ
5π
所以函数g(x)的对称轴方程是 x＝
4
＋
24
(k∈Z)．
11．(2017·西安第一中学模拟)设函数f(x)＝2cos
2
x＋sin 2x＋a(a∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
π
? ?
(2)当x∈
?
0，
6
?
时，f(x)的最大值为2，求 a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对
??
称轴方程．
解 (1)f(x)＝2cos
2
x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a
π
??
＝2sin
?
2x＋
4
?
＋1＋a ，
??
2π
则f(x)的最小正周期T＝
2
＝π，
ππ π
且当2kπ－
2
≤2x＋
4
≤2kπ＋
2
(k∈ Z)时f(x)单调递增，
3ππ
??
即
?
kπ－
8，kπ＋
8
?
(k∈Z)为f(x)的单调递增区间．
??
π
?
ππ7π
?
0，
?
(2)当x∈
?
时， 则≤2x＋
6
?
44
≤
12
，
?
π?
πππ
?
当2x＋＝，即x＝时sin
?
2x＋
4< br>?
＝1.
428
??
所以f(x)
max
＝2＋1＋a＝2?a＝1－2.
ππ
kπ
π
由2x＋
4
＝kπ＋
2
(k∈ Z)，得x＝
2
＋
8
(k∈Z)，
kπ
π
即x＝
2
＋
8
(k∈Z)为f(x)的对称轴．



第2讲 解三角形问题

一、选择题
1．(2017·西安模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
b
asin Asin B＋bcos
2
A＝2a，则
a
＝ ( )．

37

A.2
C.3
B．22
D．23
解析 因为asin Asin B＋bcos
2
A＝2a，所以由正弦定理，得sin Asin Asin B
b
2
＋sin B
1－sin A
＝2sin A，即sin B＝2sin A，所以
a
＝2.
()
答案 A
2．(2017·益阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asin A
＋bsin B－csin C＝3asin B，则角C等于
π
A.
6

π
C.
3

π
B．
4

5π
D．
6

( )．
解析 由正弦定理，得a
2
＋b
2
－c
2
＝3ab，
a
2
＋b
2
－c
2
3
π
所以cos C＝
2ab
＝
2
，又0＜C＜π，所以C＝
6
.
答案 A
3．(2017·吉林省实验中学一模)在△ABC中，sin(A＋B)·sin (A－B)＝sin
2
C，则此
三角形的形状是
A．等腰三角形
C．等边三角形

B．直角三角形
D．等腰直角三角形
( )．
解析 因为sin(A＋B)sin(A－B)＝sin
2
C，所以sin (A－B)＝sin C，又因为A，
B，C为△ABC的内角，所以A－B＝C，所以A＝90°，所 以△ABC为直角三角
形．
答案 B
π
4．(2017·福州模拟)在△ ABC中，BC＝1，B＝
3
，△ABC的面积S＝3，则sin C
＝
13
A.
13


3
B．
5

( )．

38

4
C.
5

239
D．
13

π
1
解析 因为在△ABC中， BC＝1，B＝
3
，△ABC的面积S＝3，所以S
△
ABC
＝2
13
BC×BAsin B＝3，即
2
×1×BA×
2
＝3，解得BA＝4.又由余弦定理，得
BAAC
AC
2
＝BC
2
＋BA
2
－2BC·BAcos B，即得AC＝13，由正弦定理，得
sin C
＝
sin B
，
239
解得sin C＝
13
.
答案 D
5．(2017·重庆卷)已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝ sin(C
1
－A－B)＋
2
，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为 A，B，C所对的边，
则下列不等式一定成立的是
A．bc(b＋c)>8
C．6≤abc≤12

B．ab(a＋b)>162
D．12≤abc≤24
( )．
1
解析 由sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，
2
得2sin A·cos A＋sin(C－B)·cos A＋cos (C－B)·
1
sin A＝sin(C－B)·cos A－cos (C－B)·sin A＋
2
，
1
即2sin A[cos A＋cos C·cos B＋sin C·sin B]＝
2
，
1
即2sin A[－cos (B＋C)＋cos B·cos C＋sin C·sin B]＝
2
，化简，
1
得sin A·sin B·sin C＝
8
，
8S
3
1
23
由面积公式，得＝，所以(abc)＝64S∈[64,512]，即abc∈[8,162 ]，从
2
?abc?
8
而可以排除选项C和D；对于选项A：bc(b＋c)>bca≥8， 即bc(b＋c)>8，故
A正确；对于选项B：ab(a＋b)＞abc≥8，即ab(a＋b)＞8 ，故B错误，故选
A.

39

答案 A
二、填空题
6．(2017·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23， 则△ABC的面积等
于________．
解析 由余弦定理得，BC
2
＝ AB
2
＋AC
2
－2AB·AC·cos A，
∴12＝AB
2
＋16－2×AB×4×cos 60°，解得AB＝2，
11
∴S
△
ABC
＝
2
·AB·AC·sin A＝
2
×2×4×sin 60°＝23.
答案 23
7．(2017· 天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－
1
c＝
4
a,2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．
3
解析 ∵2sin B＝3sin C，由正弦定理得2b＝3c，∴b＝
2
c，
1
又b－c＝
4
a，∴a＝4(b－c)，∴a＝2c.
9
222
b＋c－a
4
c＋c－4c
1
∴cos A＝＝＝－
2bc3
2
4
.
2·
2
c
222
1
答案 －
4

8．(2017·江苏卷)若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小
值是________．
解析 ∵sin A＋2sin B＝2sin C.
a＋2b
由正弦定理可得a＋2b＝2c，即c＝
2
，
?
a＋2b
?
2
?
a＋b－
?
a
2
＋b2
－c
2
2
??
cos C＝
2ab
＝ 2ab
22
3a
2
＋2b
2
－22ab26ab－22 ab6－2
＝≥＝
4
，
8ab8ab

40

< p>
a2
当且仅当3a
2
＝2b
2
即
b
＝ 时等号成立．
3
6－2
∴cos C的最小值为
4
.
答案
6－2
4

三、解答题
π
9．(2017 ·北京卷)如图，在△ABC中，∠B＝
3
，AB＝8，点D在BC边上，且CD
1< br>＝2，cos∠ADC＝
7
.

(1)求sin ∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
1
解 (1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝
7
，
43
所以sin ∠ADC＝
7
.
所以sin ∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin ∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin ∠B
4311333
＝< br>7
×
2
－
7
×
2
＝
14
.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
33
8×
14
AB·sin ∠BAD
BD＝＝＝3.
sin ∠ADB
43
7
在△ABC中，由余弦定理得

41

< p>
AC
2
＝AB
2
＋BC
2
－2AB·BC·c os B
1
＝8
2
＋5
2
－2×8×5×
2＝49.所以AC＝7.
2π
10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是 a，b，c，B＝
3
，b＝3，
求a＋c的范围．
2ππ
解 法一 由B＝
3
，得A＋C＝
3
.
ππ
?
π
???
所以sin A＋sin C＝sin A＋sin
?
3
－A
?
＝sin A＋
?
sin
3
cos A－cos
3
sin A
?
＝
????
13
sin A＋
22
cos A＝
π
?
πππ2π
?
sin
?
A＋
3
?
.又0 ＜A＜
3
，所以
3
＜A＋
3
＜
3
. ??
π
?
3
?
3
?
?
所以
2
＜sin
?
A＋
3
?
≤1.所以sin A＋sin C∈
?
，1
?
.
??
?
2
?
acb
由正弦定理，得
sin A
＝
sin C
＝
sin B
＝
3
2π
＝2，
sin
3
所以a＋c＝2sin A＋2sin C＝2(sin A＋sin C)．
所以a＋c∈(3，2]．
2π
法二 由余弦定理，得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos
3
＝(a＋c)
2
－2ac＋ac＝(a＋c)
2
－
2< br>?
a＋c
?
2
3?a＋c?
?
＝ac≥(a＋c)－
?
4
，当且仅当a＝c时，取等号．
?
2
?
2
所以(a＋c)
2
≤4，故a＋c≤2.
又a＋c＞b＝3，所以3＜a＋c≤2，即a＋c∈(3，2]．
11.如图，游客从某旅 游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A
沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到 B，然后从B沿直线步行
到C. 现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 mmin.
在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速
步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 mmin，山路AC长为1 260 m，
123
经测量，cos A＝
13
，cos C＝
5
.

42

(1)求索道AB的长；
(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制
在什么范围内？
123
解 (1)在△ABC中，因为cos A＝
13
，cos C＝
5
，
54
所以sin A＝
13
，sin C＝
5
.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
5312463
＝
13< br>×
5
＋
13
×
5
＝
65
.
ABAC
由正弦定理
sin C
＝
sin B
，得

AC1 2604
AB＝
sin B
·sin C＝
63
×
5
＝1 040(m)．
65
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，
乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得
12
d
2
＝(100＋50t)
2＋(130t)
2
－2×130t×(100＋50t)×
13

＝200(37t
2
－70t＋50)，
1 040
因0≤t≤
130
，即0≤t≤8，
35
故当t＝
37
(min)时，甲、乙两游客距离最短．
BCACAC1 2605
(3)由正弦定理
sin A
＝
sin B
，得BC＝
sin B
·sin A＝
63
×
13
＝500(m)．
65

43

乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达
C.
5007101 250
设乙步行的速度为v mmin，由题意得 －3≤
v
－
50
≤3，解得
43
625
≤v≤14
，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行
?
1 25 0625
?
的速度应控制在
?
43
，
14
?
(单位：mmin)范围内．
??


专题三 数列
第1讲 数列的通项与求和问题

一、选择题
1．在等差数列{a
n
}中 ，若a
2
＋a
3
＝4，a
4
＋a
5
＝6， 则a
9
＋a
10
等于
A．9
C．11
B．10
D．12
( )．
解析 设等差数列{a
n< br>}的公差为d，则有(a
4
＋a
5
)－(a
2
＋a< br>3
)＝4d＝2，所以d
1
＝
2
.又(a
9
＋a
10
)－(a
4
＋a
5
)＝10d＝5，所以a
9
＋a
10
＝(a
4
＋a
5
)＋5＝11.
答案 C
2．(2017·嘉兴教学测试)在各项均为正数的等比数列{a
n
}中，a
3
＝2－1，a
5
＝2
＋1，则a
2
3
＋2a
2
a
6
＋a
3
a
7
＝
A．4
C．8

B．6
D．8－42
( )．
22
解析 在等比数列{a
n
}中，a
3
a
7
＝a
2
5
，a
2
a
6
＝a
3< br>a
5
，所以a
3
＋2a
2
a
6
＋a
3
a
7
＝a
3
＋
2
2a
3
a
5
＋a
5
＝(a
3
＋a
5
)
2
＝(2－1＋2＋1)
2
＝(22)
2
＝8.
答案 C
1111
3．已知数列1
2
，3
4
，5
8
，7
16
，…，则其前n项和S
n
为

44
( )．

1
A．n＋1－
2
n

2
1
B．n＋2－
2
n

2
1
C．n
2
＋1－
n
－
1

2
1
解析 因为a
n
＝2n－1＋
2
n
，
D．n
2
＋2－
2
n
－
1
1
1
?
1
?
1－
?
·
n?1＋2n－1?
?< br>2
n
?
?
2
1
2
则S
n
＝ ＋＝n＋1－
212
n
.
1－
2
答案 A
S
2 012
4．(2017·烟台一模)在等差数列{a
n
}中， a
1
＝－2 012，其前n项和为S
n
，若
2 012
S
10
－
10
＝2 002，则S
2 014
的值等于
A．2 011
C．2 014

B．－2 012
D．－2 013
( )．
n?n－1?
S
n
?
S
n
?
d
解析 等差数列中，S
n
＝n a
1
＋
2
d，
n
＝a
1
＋(n－1)2
，即数列
?
n
?
是首项
??
dS
2 012
S
10
为a
1
＝－2 012，公差为
2
的等差数列；因为
2 012
－
10
＝2 002，所以，(2 012
dd
－10)
2
＝2 002，
2
＝1，所以，S
2 014
＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1]＝2 014，
选C.
答案 C
a
n
＋
1
－1
5．(2017·合肥质量检测)数列{a
n
} 满足a
1
＝2，a
n
＝，其前n项积为T
n
，则
a
n
＋
1
＋1
T
2 014
＝
1
A.
6

C．6

1
B．－
6

D．－6
( )．
a
n
＋
1
－11＋a
n
解析 由a
n
＝，得a
n
＋
1
＝.
a
n
＋
1
＋11－a
n

45

11
∵a
1
＝2，∴a
2
＝－3，a
3＝－
2
，a
4
＝
3
，a
5
＝2，a< br>6
＝－3.
故数列{a
n
}具有周期性，周期为4，∵a
1
a
2
a
3
a
4
＝1，
∴T
2 014
＝T
2
＝a
1
a
2
＝2×(－3)＝－6.
答案 D
二、填空题
a
n
－
1
a
n< br>1
6．(2017·衡水中学调研)已知数列{a
n
}满足a
1
＝
2
，a
n
－
1
－a
n
＝(n≥2)， 则
n?n－1?
该数列的通项公式a
n
＝________.
解析 ∵a
n
－
1
－a
n
＝(n≥2)，
n?n－1?
a
n
－
1
－a
n
11111
∴＝，∴a
－＝－
n
，
n
a
n
－
1
n－1a
n
－
1
a
n
n?n－1?
1
∴< br>a
－
a
＝
1
－
2
，
a
－< br>a
＝
2
－
3
，…，
a
－＝－
n，
2132n
a
n
－
1
n－1
111111
∴
a
－
a
＝1－
n
，又∵a
1
＝
2
，∴
a
＝3－
n
，
n1n
n
∴a
n
＝.
3n－1
答案
n

3n－1
a
n
－
1
a
n7．设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，S
m
－< br>1
＝－2，S
m
＝0，S
m
＋
1
＝3，则m 等于
________．
解析 由S
m
－
1
＝－2，S< br>m
＝0，S
m
＋
1
＝3，得a
m
＝2，a< br>m
＋
1
＝3，所以d＝1，
m?m－1?m－1
因为Sm
＝0，故ma
1
＋d＝0，故a
1
＝－
2
，
2
因为a
m
＋a
m
＋
1
＝5，
故a
m
＋a
m
＋
1
＝2a
1
＋(2m－1 )d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.
答案 5

46

8．(2017·广东卷)若等比数列{a
n
}的各项均为正数，且a
10
a
11
＋a
9
a
12
＝2e
5
， 则ln a
1
＋ln a
2
＋…＋ln a
20
＝________.
解析 ∵a
10
a
11＋a
9
a
12
＝2a
10
a
11
＝2 e
5
，∴a
10
·a
11
＝e
5
，
ln a
1
＋ln a
2
＋…＋ln a
20
＝10ln(a
10
·a
11
)＝10·ln e
5
＝50.
答案 50
三、解答题
9．(2017·北京卷 )已知{a
n
}是等差数列，满足a
1
＝3，a
4
＝12， 数列{b
n
}满足b
1
＝4，
b
4
＝20，且{b
n
－a
n
}为等比数列．
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式；
(2)求数列{b
n
}的前n项和．
解 (1)设等差数列{a
n
}的公差为d，由题意得
d＝
a
4
－a
1
12－3
3
＝
3
＝3.
所以a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．
设等比数列{b
n
－a
n
}的公比为q，由题意得
b4
－a
4
20－12
q
3
＝＝＝8，解得q＝2. < br>b
1
－a
1
4－3
所以b
n
－a
n
＝(b
1
－a
1
)q
n
－
1
＝2
n
－
1
.
从而b
n
＝3n＋2
n
－
1
(n＝1,2，…)．
(2)由(1)知b
n
＝3n＋2
n
－
1
(n＝1 ,2，…)．
n
1－2
3
－
数列{3n}的前n项和为
2
n(n＋1)，数列{2
n1
}的前n项和为＝2
n
－1.
1－2
3
所以，数列{b
n
}的前n项和为
2
n(n＋1 )＋2
n
－1.
10．(2017·江西卷)已知首项都是1的两个数列{a
n
}，{b
n
}(b
n
≠0，n∈N
*
)满足a
n
b
n
＋
1
－a
n
＋
1
b
n
＋2b
n
＋
1
b
n
＝0.
n
a
n
(1)令c
n
＝
b
，求数列{c
n
}的通项公式；
(2)若b
n
＝3
n
－
1
，求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
解 (1)因为a
n
b
n
＋
1
－a
n
＋
1
b
n
＋2b
n
＋
1
b
n
＝0，b
n
≠0(n∈N
*
)，

47

所以
a< br>n
＋
1
a
n
－＝2，即c
n
＋
1< br>－c
n
＝2.
b
n
＋
1
b
n所以数列{c
n
}是以首项c
1
＝1，公差d＝2的等差数列，故cn
＝2n－1.
(2)由b
n
＝3
n
－
1< br>知a
n
＝c
n
b
n
＝(2n－1)3
n－
1
，
于是数列{a
n
}前n项和S
n
＝1 ·3
0
＋3·3
1
＋5·3
2
＋…＋(2n－1)·3n
－
1
，
3S
n
＝1·3
1
＋3· 3
2
＋…＋(2n－3)·3
n
－
1
＋(2n－1)·3< br>n
，
相减得－2S
n
＝1＋2·(3
1
＋3
2
＋…＋3
n
－
1
)－(2n－1)·3
n
＝－ 2－(2n－2)3
n
，
所以S
n
＝(n－1)3
n
＋1.
1
11．(2 017·烟台一模)已知数列{a
n
}前n项和为S
n
，首项为a
1
，且
2
，a
n
，S
n
成等
差数列．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
?
1
?
(2 )数列{b
n
}满足b
n
＝(log
2
a
2n＋
1
)×(log
2
a
2n
＋
3
)， 求数列
?
b
?
的前n项和．
?
n
?
11
解 (1)∵
2
，a
n
，S
n
成等差数列，∴2a
n
＝S
n
＋
2
，
11
当n＝1时，2a
1
＝S
1
＋
2
，∴a
1
＝
2
，
11
当n≥2时，S
n
＝2a
n
－
2
，S
n
－
1
＝2a
n
－
1
－
2
，
a
n
两式相减得：a< br>n
＝S
n
－S
n
－
1
＝2a
n－2a
n
－
1
，∴＝2，
a
n
－
1
1
所以数列{a
n
}是首项为
2
，公比为2的等比数列，
1
即a
n
＝
2
×2
n
－
1
＝2
n
－
2
.
(2)∵b
n
＝(log
2
a
2n
＋
1
)×(log
2
a
2n< br>＋
3
)＝(log
2
2
2n
＋
1
－
2
)×(log
2
2
2n
＋
3
－
2
)＝(2n－1)(2n＋
1)，
1
?
1111
?
1
－
??
， ∴
b
＝×＝
n
2n－12n＋1
2
?
2n－12n＋1
?
?
1
?
∴数列
?
b
?
的前
?
n
?
1111
n项和T
n
＝
b
＋
b
＋
b
＋…＋
b
＝
123n
1
??1
??
11
?
1
?
?
?
1
? ?
1－
3
?
＋
?
3
－
5
?
＋…＋
?
2n－1
－
2n＋1
??

2
?
????
???

48

1< br>?
1
?
n
＝
2
?
1－
2n＋1?
＝.
??
2n＋1



第2讲 数列的综合问题

一、选择题
1．(2017·杭州质量检测)设S
n< br>为等差数列{a
n
}的前n项和．若a
4
＜0，a
5
＞|a
4
|，
则使S
n
＞0成立的最小正整数n为
A．6
C．8
解析 ∵a
4
＜0，a
5
＞|a
4
|，
∴a
4
＋a
5
＞0，
8?a
4
＋a5
?8?a
1
＋a
8
?
∴S
8
＝＝＞ 0.
22
∴最小正整数为8.
答案 C
?n＋1?π
2．(2 017·广州综合测试)在数列{a
n
}中，已知a
1
＝1，a
n< br>＋
1
－a
n
＝sin
2
，记S
n
为 数列{a
n
}的前n项和，则S
2017
＝
A．1 006
C．1 008
B．1 007
D．1 009
( )．
B．7
D．9
( )．
?n＋1?π?n＋1?π
解析 由a
n
＋
1
－a
n
＝sin
2
?a
n
＋
1
＝a
n
＋sin
2
，所以a
2
＝a
1
＋sin π＝1
3π
＋0＝1，a
3
＝a
2
＋sin
2
＝1＋(－1)＝0，a
4
＝a
3
＋sin 2π＝0＋ 0＝0，a
5
＝a
4
＋
5π
sin
2
＝0 ＋1＝1，∴a
5
＝a
1
，如此继续可得a
n
＋
4
＝a
n
(n∈N
*
)，数列{a
n
}是一个以
49

4为周期的周期数列，而2 014＝4×503＋2，因此S
2 014
＝503×(a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
)＋a
1
＋a
2
＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1 008.
答案 C
?
1
?
3．(2017·吉林省实验中学模拟)a
n
＝
?
n
(2x ＋1)dx，数列
?
a
?
的前项和为S
n
，数列{b
n
}
??
n
?
0
的通项公式为b
n
＝n －8，则b
n
S
n
的最小值为
A．－3
C．3
B．－4
D．4
( )．
1
解析 a
n＝
?
n
(2x＋1)dx＝n
2
＋n＝n(n＋1)，所以a
＝
n
?
0
n?n－8?
11n9
－，所以 S＝，所以bS＝＝n＋1＋－10≥－4，当且
nnn
n
n＋1n＋1n＋1n＋1
仅当n＋1＝
答案 B
4．已知各项都为正的等比数列{a
n
}满 足a
7
＝a
6
＋2a
5
，存在两项a
m
， a
n
使得
14
a
m
·a
n
＝4a1
，则
m
＋
n
的最小值为
3
A.
2

25
C.
6


5
B．
3

4
D．
3

( )．
9
n＋1
，即n＝2时等号成立，所以b
n
S
n的最小值为－4.
解析 由a
7
＝a
6
＋2a
5，得a
1
q
6
＝a
1
q
5
＋2a1
q
4
，整理有q
2
－q－2＝0，解得q＝
2或q＝ －1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由 a
m
·a
n
＝4 a
1
，
2m
＋
n
－
2
得a
ma
n
＝16a
2
＝16a
2
1
，即a
1
2
1
，即有m＋n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么
141
?14
?
1
?
4mn
?
1
?
?
m
＋
n
?
＝
?
n
＋
m
＋5
?
≥
?
2
＋＝(m＋n)
mn6
??
6
??
6
?
n3
，m＋n＝6，即n＝2m＝4时取得最小值
m2.
答案 A

50
4m
4mn
?
3?
＝，当且仅当＝
·＋5
n
nm
?
2

< br>二、填空题
5．(2016·辽宁卷)已知等比数列{a
n
}是递增数列，S
n
是{a
n
}的前n项和．若a
1
，
a
3
是方程x
2
－5x＋4＝0的两个根，则S
6
＝________.
解析 ∵a
1
，a
3
是方程x
2
－5x＋4＝0的 两根，且q＞1，
∴a
1
＝1，a
3
＝4，则公比q＝2，
1×?1－2
6
?
因此S
6
＝＝63.
1－2
答案 63
6．(2017·江苏五市联考)各项均为正数的等比数列{a< br>n
}中，a
2
－a
1
＝1.当a
3
取最小< br>值时，数列{a
n
}的通项公式a
n
＝________.
解析 根据题意，由于各项均为正数的等比数列{a
n
}中，
a
2
－a
1
＝1，所以q＞1.
a
2
1
∵
a
＝q，∴a
1
(q－1)＝1，a
1
＝， < br>1
q－1
q
2
?q－1?
2
＋2?q－1?＋1q－1
＋2≥2
∴a
3
＝＝
q－1
＝q－1＋
1

q－1
1
?q－1?·＋2＝4，
q－1
当且仅当q ＝2时取得等号，故可知数列{a
n
}的通项公式a
n
＝2
n
－
1
.
答案 2
n
－
1

7．(2017·咸阳一模)已知函数f(x)＝x＋sin x，项数为19的等差数列{a
n
}满足a
n
?
ππ
?
∈
?
－
2
，
2
?
，且公差d≠0.若f(a
1
)＋f(a
2
)＋…＋f(a
18
)＋f(a
19
)＝0，则当k＝
??
________时，f(a
k
)＝0.
解析 因为函数f(x)＝x＋sin x是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原
?
ππ
?
点．而等差数列{a
n
}有19项，a
n
∈
?
－
2
，
2
?
，若f(a
1
)＋f(a
2< br>)＋…＋f(a
18
)＋f(a
19
)
??
＝0，则 必有f(a
10
)＝0，所以k＝10.

51

答案 10
8．(2016·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a
n}的前n项和为S
n
，已知S
10
＝0，S
15
＝25 ，
则nS
n
的最小值为________．
10×9
?
?
S
10
＝10a
1
＋
2
d＝0，
由已知< br>?
15×14
?
?
S
15
＝15a
1
＋
2
d＝25，
解析

2
解得a
1
＝ －3，d＝
3
，那么nS
n
2
n?n－1?
n
3< br>10n
2
x
3
10x
2
20
2
＝n a
1
＋
2
d＝
3
－
3
，由于函数f(x) ＝
3
－
3
(x＞0)在x＝
3
处取得
极小值也是最 小值，因而检验n＝6时，6S
6
＝－48，而n＝7时，7S
7
＝－49.
答案 －49
三、解答题
9．已知数列{a
n
}是各项均为正数 的等比数列，a
3
＝4，{a
n
}的前3项和为7.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若a
1
b1
＋a
2
b
2
＋…＋a
n
b
n
＝(2n－3)2
n
＋3，设数列{b
n
}的前n项和为S
n，求
1111
证：
S
＋
S
＋…＋
S
≤ 2－
n
.
12n
2
?
a
1
q＝4，
(1)解 设数列{a< br>n
}的公比为q，由已知得q>0，且
?
∴
a＋aq＋4＝7，
?
11

?
a
1
＝1，
?

?
q＝2.
∴数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2
n
－
1
.
(2)证明 当n＝1时，a
1
b
1＝1，且a
1
＝1，解得b
1
＝1.
当n≥2时，a
n
b
n
＝(2n－3)2
n
＋3－(2n－2－3)2
n< br>－
1
－3＝(2n－1)·2
n
－
1
.
∵ a
n
＝2
n
－
1
，∴当n≥2时，b
n
＝ 2n－1.
∵b
1
＝1＝2×1－1满足b
n
＝2n－1， ∴数列{b
n
}的通项公式为b
n
＝2n－1(n∈N
*
)．
∴数列{b
n
}是首项为1，公差为2的等差数列．
11
∴S
n
＝n
2
.∴当n＝1时，
S
＝1＝2－
1< br>.
1


52

11111
当n≥ 2时，
S
＝
n
2
<＝－
n
.
n?n－1 ?n－1
n
111111111
∴
S
＋
S
＋…＋< br>S
≤2－
1
＋
1
－
2
＋…＋－
n< br>＝2－
n
.
n－1
12n
10．(2017·四川卷)设等 差数列{a
n
}的公差为d，点(a
n
，b
n
)在函数f( x)＝2
x
的图象
上(n∈N
*
)．
(1)若a
1
＝－2，点(a
8,
4b
7
)在函数f(x)的图象上，求数列{ a
n
}的前n项和S
n
；
1
(2)若a
1
＝1，函数f(x)的图象在点(a
2
，b
2
)处的切线在x轴上的截距为 2－
ln 2
，
?
a
n
?
求数列
?
b
?
的前n项和T
n
.
?
n
?

1
它在x轴上的截距为a
2
－
ln 2
.
11
由题意知，a
2
－
ln 2
＝2－
ln 2
，解得a
2
＝2.
所以，d＝a
2
－a
1＝1.从而a
n
＝n，b
n
＝2
n
，
n－1
n123
所以T
n
＝
2
＋
2
2
＋
2
3
＋…＋
n
－
1
＋
2
n
，
2
123n
2T
n
＝
1
＋
2
＋
2
2
＋…＋
n
－
1
.
2
1 11n
因此，2T
n
－T
n
＝1＋
2
＋
2
2
＋…＋
n
－
1
－
2
n

2
n
2
＝2－
n
－
1
－
2
n< br>＝
2
1
n
＋
1
－n－22
n
＋1
－n－2
.所以，T
n
＝.
2
n
2
n
11．数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1，且对任意正整数n，点(a
n
＋
1
，S
n
)在直线< br>2x＋y－2＝0上．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；

53

(2)是否存在实数
?
λ
?
?
λ，使得数列
S
n
＋λn＋
2
n
?
为等差数列？ 若存在，求出
??
λ的值；
若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意，可得2a
n
＋
1
＋S
n
－2＝0.①
当n≥2时，2a
n
＋S
n
－
1
－2＝0.② < br>a
n
＋
1
1
①－②，得2a
n
＋
1
－2a
n
＋a
n
＝0，所以
a
＝
2
(n≥2)．
n
1
因为a
1
＝1,2a
2
＋a
1
＝2，所以a
2
＝
2
.
1
所以{a
n
}是首项为1，公比为
2
的等比数列． ?
1
?
所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝
?
2
?
n
－
1
.
??
1
1－
2
n
1
(2)由(1)知，S
n
＝＝2－.
1
2
n
－
1
1－
2
?
λ
???
S＋λn＋
若
n
则
2
n
?
为等差 数列，
?
λλλ
S
1
＋λ＋
2
，S
2＋2λ＋
2
2
，S
3
＋3λ＋
2
3
成 等差数列，
9λ
?
3λ25λ3λ725λ
??
39λ
?< br>则2
?
S
2
＋
4
?
＝S
1
＋
2
＋S
3
＋
8
，即2
?
2
＋< br>4
?
＝1＋
2
＋
4
＋
8
，解得λ＝ 2.
????
2
又λ＝2时，S
n
＋2n＋
2
n
＝2n＋2，
显然{2n＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2，
λ
使得数列{S
n
＋λn＋
2
n
}成等差数列．


专题四 立体几何
第1讲 立体几何的基本问题(计算与位置
关系)


54

一、选择题
1．(2017·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l
1
，l
2
，l
3
，l
4
，满足l
1⊥l
2
，l
2
⊥l
3
，
l
3
⊥l
4
，则下列结论一定正确的是
A．l
1
⊥l
4

B．l
1
∥l
4

C．l
1
与l
4
既不垂直也不平行
D．l
1
与l
4
的位置关系不确定
解析 构造如图所示的 正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
，取 l
1
为AD，l
2
为AA
1
，l
3
为A< br>1
B
1
，当取l
4
为B
1
C
1时，l
1
∥l
4
，当取l
4
为BB
1
时，l
1
⊥l
4
，故排除A、B、C，
选D.
( )．

答案 D
2．(2017·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )．

A．54
C．66
解析 还原为如图所示的直观图，S
＋
B．60
D．72
表
＝S
△
ABC
＋S< br>△
DEF
＋S
矩形
ACFD
＋S
梯形
ABE D

55

1111
S
梯形
CBEF
＝
2
×3×4＋
2
×3×5＋5×3＋
2
×(2＋5)× 4＋
2
×(2＋5)×5
＝60.

答案 B
3．(2017·安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )．

23
A.
3

C．6
47
B.
6

D．7
解析 如图，由三视图可知，该 几何体是由棱长为2的正方体右后和左下分
别截去一个小三棱锥得到的，其体积为
1123
V＝2×2×2－2×××1×1×1＝.
323

答案 A

56

4．(2017·潍坊一模)三棱锥S－ABC的所有顶 点都在球O的表面上，SA⊥平面
ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，则球O的表面积为
3
A.
2
π
C．3π
3
B.
2
π
D．12π
( )．
解析 如 图，因为AB⊥BC，所以AC是△ABC所在截面圆的直径，又因为SA
⊥平面ABC，所以△SAC 所在的截面圆是球的大圆，所以SC是球的一条直径．

由题设SA＝AB＝BC＝1，由勾股定理可求得：AC＝2，SC＝3，
3
所以球的半径R＝
2
，
?
3
?
所以球的表面积为4π×
??
2
＝3π.
?
2
?
答案 C
二、填空题
5．(2017·金丽衢十 二校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
为________．

解析 由题意可得，几何体相当于一个棱长为2的正方体切去一个角，角的

57 < /p>

222
相邻三条棱长分别是1,2,2，所以几何体的体积为8－
3＝
3
.
22
答案
3

6．(2017·山 东卷)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧
棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ________．
解析 设棱锥的高为h，
113
则V＝
3
× S
底
·h＝
3
×6×
4
×2
2
×h＝23 ，
∴h＝1，由勾股定理知，侧棱长为2
2
＋1＝5，
?5?
2
－1
2
＝2， ∵六棱锥六个侧面全等，且侧面三角形的高 为
1
∴S
侧
＝
2
×2×2×6＝12.
答案 12
7．(2017·武汉调研测试)已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面
积为________．

解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为1，高为3，母线长 为2的圆
锥的一半，其表面积是整个圆锥表面积的一半与轴截面的面积之和．
1111
3π
所以，S＝
2
×
2
×2π×1×2＋
2
×π ×1
2
＋
2
×2×3＝
2
＋3.
答案
3π
3＋
2

58

8．正方体 ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为线 段B
1
D
1
上的一个动点，则下列结论中正
确的是________ (填序号)．
①AC⊥BE；
②B
1
E∥平面ABCD；
③三棱锥E－ABC的体积为定值；
④直线B
1
E⊥直线BC
1
.
解析 因AC⊥平面BDD
1
B
1
，故①正确；易得②正确；记正方体的体积为V，
1
则V
E
－
ABC
＝V为定值，故③正确；B
1
E与BC1
不垂直，故④错误．
6
答案 ①②③
三、解答题
9.如 图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线
段CD上的一点， 将△ADE沿DE折起到△A
1
DE的位置，使A
1
F⊥CD，如
图 2.

(1)求证：DE∥平面A
1
CB；
(2)求证：A
1
F⊥BE.
证明 (1)因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC.又因为DE?平面A
1
CB，
BC?平面A
1
CB，所以DE∥平面A
1
CB.
(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.
所以DE⊥A
1
D，DE⊥CD，又A
1
D∩CD＝D，
所以DE⊥平面A
1
DC.而A
1
F?平面A
1
DC，
所以DE⊥A
1
F.又因为A
1
F⊥CD，DE∩CD＝D，
所以A
1
F⊥平面BCDE.
又∵BE?平面BCDE，所以A
1
F⊥BE.

59

10．(2017·威海一模)如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰< br>梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为
A B，CB的中点，M为底面△OBF的重心．

(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；
(2)求证：PM∥平面AFC；
(3)求多面体CD－AFEB的体积V.
(1)证明 ∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABEF，
又AF?平面ABEF，所以CB⊥AF，
又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝3，
∴AF
2
＋BF
2
＝AB
2
，得AF⊥BF，
BF∩CB＝B，
∴AF⊥平面CFB，
又∵AF?平面ADF；
∴平面ADF⊥平面CBF.
(2)证明 连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，
∴PH∥CF，又∵CF?平面AFC，PH?平面AFC，
∴PH∥平面AFC，
连接PO，则PO∥AC，
又∵AC?平面AFC，PO?平面AFC，
PO∥平面AFC，PO∩PH＝P，
∴平面POH∥平面AFC，
又∵PM?平面POH，
∴PM∥平面AFC.

60

(3)解 多面体CD－AFEB的体积可分成三棱锥C－BEF与四棱锥F－ABCD
的体积之和
3< br>在等腰梯形ABEF中，计算得EF＝1，两底间的距离EE
1
＝
2
.
11133
所以V
C
－
BEF
＝
3
S△
BEF
×CB＝
3
×
2
×1×
2
× 1＝
12
，
1133
V
F
－
ABCD
＝
3
S
矩形
ABCD
×EE
1
＝
3
×2×1×
2
＝
3
，
53
所以V＝V
C
－
BEF
＋V
F
－
ABCD
＝
12
. < br>11．(2017·衡水调研考试)如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，
F 分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－
B.

(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求棱锥E－DFC的体积；
BP
(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP ⊥DE？如果存在，求出
BC
的值；如
果不存在，请说明理由．
解 (1)AB∥平面DEF，理由如下：
在△ABC中，由E，F分别是AC，BC的中点，得EF∥AB.
又AB?平面DEF，EF?平面DEF.∴AB∥平面DEF.
(2)∵AD⊥CD，BD ⊥CD，将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，∴AD
⊥BD，∴AD⊥平面BCD.
取CD的中点M，这时EM∥AD，
∴EM⊥平面BCD，EM＝1.
1
?
1
3
?
V
E
－
DFC
＝
3×
?
2
S
△
BDC
?
×EM＝
3.
??
(3)在线段BC上存在点P，使AP⊥DE.

61

BC
证明如下：在线段BC上取点P，使BP＝
3
，
过P作PQ⊥CD于Q.
∵AD⊥平面BCD，PQ?平面BCD，
∴AD⊥PQ.又∵AD∩CD＝D，∴PQ⊥平面ACD，
23
3
DC2 3DQ3
∴DQ＝
3
＝
3
，∴tan∠DAQ＝
AD
＝
2
＝
3
，
∴∠DAQ＝30°，在等边△ADE中，∠DAQ＝30°，
∴AQ⊥DE，∵PQ⊥平面ACD，DE?平面ACD，
∴PQ⊥DE，AQ∩PQ＝Q，∴DE⊥平面APQ，
BCBP1
∴AP⊥DE. 此时BP＝
3
，∴
BC
＝
3
.




第2讲 立体几何中的向量方法

一、选择题
→
3
→
1
→
1
→
1 ．已知平面ABC，点M是空间任意一点，点M满足条件OM＝
4
OA＋
8
O B＋
8
OC，
则直线AM
A．与平面ABC平行
C．是平面ABC的垂线
( )．
B．是平面ABC的斜线
D．在平面ABC内
解析 由已知得M，A，B，C四点共面，所以AM在平面ABC内，选D.
答案 D
2.如图所 示，正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为a，M、N分别为A
1
B和AC上的
2
点，A
1
M ＝AN＝
3
a，则MN与平面BB
1
C
1
C的位置关系是 ( )．

62

A．垂直
C．相交
B．平行
D．不能确定
解析 分别以C
1
B
1、C
1
D
1
、C
1
C所在直线为x，y，z轴，建立空 间直角坐标
系，如图所示．

2a
?
2
2
??< br>2
?
∵A
1
M＝AN＝
3
a，∴M
?
a，
3
a，
3
?
，N
?
3
a，
3
a，a
?
，
????
2
?
→
?
a
－，0，
∴MN＝
?
3
.
3
a
?< br>??
→
又C
1
(0,0,0)，D
1
(0，a,0) ，∴C
1
D
1
＝(0，a,0)，
→→→→
∴MN·C< br>1
D
1
＝0，∴MN⊥C
1
D
1
.
→
又∵C
1
D
1
是平面BB
1
C
1C的法向量，且MN?平面BB
1
C
1
C，∴MN∥平面BB
1
C
1
C.
答案 B
3．(2017·新课标全国卷Ⅱ)直三棱柱 ABC－A
1
B
1
C
1
中，∠BCA＝90°，M，N分别
是A
1
B
1
，A
1
C
1
的中点， BC＝CA＝CC
1
，则BM与AN所成角的余弦值为 ( )．
1
A.
10

30
C.
10

2
B.
5

2
D.
2

解析 建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，

63

→→
A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以BM＝(1， －1,2)，AN＝(－1,0,2)，故
→→
|BM·AN|330
→→
cos〈BM，AN〉＝＝＝
10
.
→→
6×5
|BM|·|AN|

答案 C
4．(201 7·四川卷)如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，点O为线段BD的中点．设
点P在线段CC
1
上，直线OP与平 面A
1
BD所成的角为α，则sin α的取值范
围是 ( )．

?
3
?
A.
?
，1
?

?
3
?
?
622
?
?
C.
?
，
3
??
3
?
6
?
B.
?，1
?

?
3
?
?
22
?
?
D.
?
，1
?
3
?
解析 以D为原点，以DA、DC、DD
1
为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体 的棱长为2，则有A(2,0,0)，O(1,1,0)，P(0,2，m)(0≤m≤2)，C
1(0,2,2)．易
→→
知面A
1
DB的一个法向量为AC
1< br>＝(－2,2,2)，OP＝(－1,1，m)，
→→
2＋m
AC
1
·OP
∴sin α＝＝，
→ →
2
3·2＋m
|AC
1
||OP|
令2＋m＝t，∴m＝ t－2(2≤t≤4)，

64

∴sin α＝＝，
4 6
3·t－4t＋6
3·1－
t
＋
t
2
2
t1
由二次函数的值域求解方法可知，y＝
?
6
?
α∈
?< br>，1
?
.故选B.
?
3
?
答案 B
46
?
23
?
1－
t
＋
t
2
的值域为 y∈
?
，
?
，∴sin
3
??
2
5．( 2017·北京东城区模拟)如图，点P是单位正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中异于A
→→
的一个顶点，则AP·AB的值为 ( )．

A．0
C．0或1
→
解析 AP可为下列7个向量：
→→→→→→→
AB，AC，AD，AA
1
，AB
1
，AC
1
，AD
1
.
→→→→
2
其中一个与AB重合，AP·AB＝|AB|＝1；
→→→→→ →
AD，AD
1
，AA
1
与AB垂直，这时AP·AB＝0； π
→→→→→
AC，AB
1
与AB的夹角为45°，这时AP·AB＝2 ×1×cos
4
＝1，
1
→→
最后AC
1
·AB ＝3×1×cos∠BAC
1
＝3×＝1，故选C.
3
答案 C
二、填空题
6．在一直角坐标系中，已知A(－1,6)，B(3，－8)，现沿x轴将坐标 平面折成60°
的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为________．
B．1
D．任意实数

65

解析 如图为折叠后的图形，其中作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，

则AC＝6，BD＝8，CD＝4，
两异面直线AC，BD所成的角为60°，
→→→→
故由AB＝AC＋CD＋DB，
→→→→
得|AB|
2
＝|AC＋CD＋DB|
2
＝68，
→
∴|AB|＝217.
答案 217
7．在四棱锥P－ABCD中，底 面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB
＝PD＝a，点E为侧棱PC的中点，又作DF⊥ PB交PB于点F，则PB与平
面EFD所成角为______．
解析 建立如图所示的空间 直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，则P(0,0，
→
a)，B(a，a,0)，PB＝( a，a，－a)，

aa
?
→
?
0，
?
又DE＝，
2
，
2
?
??
a
2
a
2
→→
PB ·DE＝0＋
2
－
2
＝0，

66

所以PB⊥DE，由已知DF⊥PB，且DF∩DE＝D，
所以PB⊥平面EFD，所以PB与平面EFD所成角为90°.
答案 90°
8 ．(2017·孝感模拟)如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，点P在直线BC
1
上运
动时，有下列三个命题：① 三棱锥A－D
1
PC的体积不变；②直线AP与平面
ACD
1
所成角 的大小不变；③二面角P－AD
1
－C的大小不变．其中真命题的
序号是______ __．

解析 ①中，∵BC
1
∥平面AD
1
C，∴BC
1
上任意一点到平面AD
1
C的距离相等，
所以体积不变，正确；② 中，P在直线BC
1
上运动时，直线AB与平面ACD
1
所成角和直线AC< br>1
与平面ACD
1
所成角不相等，所以不正确；③中，P在直
线BC< br>1
上运动时，点P在平面AD
1
C
1
B中，即二面角P－AD
1
－C的大小不受
影响，所以正确．
答案 ①③
三、解答题 < br>9．(2017·烟台一模)在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，E是线
段AD的中点．如图所示，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，使得平面
BC′D⊥平面ABD .

(1)求证：C′D⊥平面ABD；

67

(2)求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．
(1)证明 平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，沿直线BD将△
BCD翻折成△BC′D，
可知C′D＝CD＝6，BC′＝BC＝10，BD＝8，
即BC′
2
＝C′D
2
＋BD
2
∴C′D⊥BD.
又∵平面BC′D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD＝BD，
C′D?平面BC′D，∴C′D⊥平面ABD.

(2)解 由(1)知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D－xyz.
则D(0,0,0)，A(8,6,0)，B(8,0,0)，C′(0,0,6)．
∵E是线段AD的中点，
→
∴E(4,3,0)，BD＝(－8,0,0)．
→→
在平面BEC′中，BE＝(－4,3,0)，BC′＝(－8,0,6)，
设平面BEC′法向量为n＝(x，y，z)，
→
?
?
BE·n＝ 0，
∴
?
→
?
n＝0，
?
BC′·

?
－4x＋3y＝0，
即
?

?
－8x＋6z＝0，

令x＝3，得y＝4，z＝4，故n＝(3,4,4)．
设直线BD与平面BEC′所成角为θ，则
→
|n·BD|341
→
sin θ＝|cos 〈n，BD〉|＝＝
41
.
→
|n||BD|
341
∴直 线BD与平面BEC′所成角的正弦值为
41
.

68

10．(2017·新课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为矩形，PA
⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设二面角D-AE- C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD体积．
(1)证明 连接BD交AC于点O，连接EO.
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO?平面AEC，PB?平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)证明 因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
→→
如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的 正方向，|AP|为单位长，建立空
?
31
?
→
?
31?
间直角坐标系A－xyz，则D(0，3，0)，E
?
0，，
?
，AE＝
?
0，，
?
.
22
?
22
???

→
设B(m,0,0)(m>0)，则C(m，3，0)，AC＝(m，3，0)．
设n
1
＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，

69

→
?
?
n
1
·AC＝0，
则
?< br>→
?
AE＝0，
?
n
1
·

?
mx＋3y＝0，
即
?
31
?
2
y＋
2
z＝0，

?
3
?
可取n
1
＝
?
，－1，3
?
.
?
m
?
3
3＋4m
2
1
又n
2
＝(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设知|c os〈n
1
，n
2
〉|＝
2
，即
13
＝< br>2
，解得m＝
2
.
1
因为E为PD的中点，所以三棱锥E－ ACD的高为
2
，三棱锥E－ACD的体
11313
积V＝
3
×
2
×3×
2
×
2
＝
8
.
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.

(1)证明：PC⊥AD；
(2)求二面角A-PC-D的正弦值；
(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的
长．
(1)证明 如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，

70

11
依题意，得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1 ,0)，B－
2
，
2
，0，P(0,0,2)．
→→→→
易得PC＝(0,1，－2)，AD＝(2,0,0)，于是PC·AD＝0，所以PC⊥AD.
→→
(2)解 PC＝(0,1，－2)，CD＝(2，－1，0)．
设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，
→
?
?
n·PC＝0 ，
则
?
→
?
CD＝0，
?
n·

?
y－2z＝0，
即
?

?
2x－y＝0.

不妨令z＝1，可得n＝(1,2,1)．
可取平面PAC的法向量m＝(1,0,0)．
m·n16
于是cos〈m，n〉＝
|m||n|
＝＝
6
，
6
30
从而sin〈m，n〉＝
6
.
30
所以二面角A-PC-D的正弦值为
6
.
(3)解 设点E的坐标为(0,0，h)，其中h∈[0,2]．
1
?
→→
?
1
，－
?
由此得BE＝
2
.由CD＝(2，－1,0)，
2
，h
?
??
→→
BE·CD3
→→
故cos〈 BE，CD〉＝＝
2

→→
10＋20h
|BE||CD|
所以
33
＝cos 30°＝，
2
2
10＋20h
1010
解得h＝
10，即AE＝
10
.


71

专题五 解析几何
第1讲 圆与圆锥曲线的基本问题

一、选择题 < br>1．(2017·陕西长安五校联考)过P(2,0)的直线l被圆(x－2)
2
＋(y －3)
2
＝9截得的线
段长为2时，直线l的斜率为
2
A．±
4

C．±1

2
B.±
2

3
D.±
3

( )．
解析 由题意直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)， 即
kx－y－2k＝0.由点到直线的距离公式得，圆心到直线l的距离为d＝
|2k－3－2 k|
k＋1
2
＝
?
，由圆的性质可得d＋1＝r，即
?2
?
k＋1
3
222
?
?
2
＋12
＝9，解
2
k＋1
?
3
12
得k
2
＝
8
，即k＝±
4
.
答案 A
x
2< br>y
2
2．(2017·河北衡水中学调研)已知双曲线C
1
：
a
2
－
b
2
＝1(a＞0，b＞0)的焦距是实
轴长的2倍 ，若抛物线C
2
：x
2
＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C
1的渐近线的距离
为2，则抛物线C
2
的方程为
83
A．x
2
＝
3
y
C．x
2
＝8y

163
B.x
2
＝
3
y
D.x
2
＝16y
( )．
解析 ∵2c＝4a，∴c＝2 a，又a
2
＋b
2
＝c
2
，∴b＝3a，∴渐近线y＝±3 x，焦点
p
(0，
2
)，

72

p
2
d＝
2
＝2，∴p＝8，∴抛物线方程为x
2
＝16 y.
答案 D
x
2
y
2
3．(2017·菏泽一模)已 知抛物线y＝4x的准线过双曲线
a
2
－
b
2
＝1(a＞0 ，b＞0)的
2
3
左焦点且与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面 积为
2
，则
双曲线的离心率为
3
A.
2
C．3

B.4
D.2
( )．
解析 抛物线y
2< br>＝4x的准线方程为：x＝－1，由题意知，双曲线的左焦点坐
标为(－1,0)，即c＝1，
b
2
?
b
2
?
3
??
且A
?
－c，
a
?
，B
?
－c，－
a
?，因为△AOB的面积为
2
，
????
1b
2
3b< br>2
3
所以，
2
×2×
a
×1＝
2
， 即
a
＝
2
，
1－a
2
31c1
所以，< br>a
＝
2
，解得：a＝
2
，∴e＝
a
＝
1
＝2.
2
答案 D
4．(2017·辽宁卷)已知点A(－2,3) 在抛物线C：y
2
＝2px的准线上，过点A的直线
与C在第一象限相切于点B，记C 的焦点为F，则直线BF的斜率为 ( )．
1
A.
2

3
C.
4

2
B.
3

4
D.
3

解析 ∵A(－2,3)在抛物线y
2
＝2px的准线上，
p
∴－
2＝－2，∴p＝4，∴y
2
＝8x，设直线AB的方程为x＝m(y－3)－2①，将①< br>与y
2
＝8x联立，得y
2
－8my＋24m＋16＝0②，则Δ＝( －8m)
2
－4(24m＋16)＝0，

73

1
即2m－3m－2＝0，解得m＝2或m＝－
2
(舍去)，将m＝2代入①②解得2
?
8－0
4
?
x＝8，
?
即B(8,8)， 又F(2,0)，∴k
BF
＝＝
3
，故选D.
8－2
?
?
y＝8，
答案 D
二、填空题
5． (2017·新课标全国卷Ⅱ)设点M(x
0,
1)，若在圆O：x
2
＋y< br>2
＝1上存在点N，使得
∠OMN＝45°，则x
0
的取值范围是__ ______．
解析 由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x
2
＋ y
2
＝1相切
于点P(0,1)．当x
0
＝0即点M与点P重合时， 显然圆上存在点N(±1,0)符合要
求；当x
0
≠0时，过M作圆的切线，切点之一 为点P，此时对于圆上任意一
点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OM P≥45°.特别地，
当∠OMP＝45°时，有x
0
＝±1.结合图形可知，符合条 件的x
0
的取值范围为[－
1,1]．


答案 [－1,1]
x
2
y
2
6．已知P为椭圆
25
＋
16
＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)
2
＋y
2
＝ 1和圆(x－
3)
2
＋y
2
＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最 小值为________．
解析 由题意知椭圆的两个焦点F
1
，F
2分别是两圆的圆心，且|PF
1
|＋|PF
2
|
＝10，从而| PM|＋|PN|的最小值为|PF
1
|＋|PF
2
|－1－2＝7.
答案 7

74

x
2
y
27．(2017·金丽衢十二校联考)已知F
1
，F
2
分别是双曲线a
2
－
b
2
＝1(a＞0，b＞0)的
左、右焦点，点 P在双曲线上且不与顶点重合，过F
2
作∠F
1
PF
2
的角 平分线
的垂线，垂足为A.若|OA|＝b，则该双曲线的离心率为________．
解析 如图，延长F
2
A交PF
1
于B点，

依题意可得|BF
1
|＝|PF
1
|－|PF
2
|＝2a.
又点A是BF
2
的中点，
1
所以|OA|＝
2
|BF
1
|，
即b＝a，
∴c＝2a，即e＝2.
答案 2
x
2
y
2
8 ．已知F
1
，F
2
是椭圆C：
a
2
＋
b< br>2
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F
1
的直线l与
椭圆C交于A ，B两点．若|AB|∶|BF
2
|∶|AF
2
|＝3∶4∶5，则椭圆的离 心率为
________．
解析 设|AB|＝3t(t＞0)，则|BF
2
|＝4t，|AF
2
|＝5t，则|AB|＋|BF
2
|＋|AF
2
|＝12t.
1
因为|AB|＋|BF
2
|＋|AF
2< br>|＝4a，所以12t＝4a，即t＝
3
a.
51
又|F
1
A|＋|AF
2
|＝2a，所以|F
1
A|＝2a－
3a＝
3
a，
24
|F
1
B|＝
3
a ，|BF
2
|＝
3
a.
由|AB|∶|BF
2
|∶|AF
2
|＝3∶4∶5，

75

知AB⊥BF
2
，故|F
1
B|2
＋|BF
2
|
2
＝4c
2
，即
2
2
4
2
5
22
c
2
5
22
(
3
a)＋(
3
a)＝4c，得
9
a＝c.所以e＝a
2
＝
9
，
5
即e＝
3
.
5
答案
3

三、解答题
9．(2017·长沙模拟改编 )如图，已知直线l：y＝k(x＋1)(k＞0)与抛物线C：y
2
＝4x
相交于A ，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N.且|AM|
＝2|BN|，求k值．

解 设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
， y
2
)，
2
?
y＝4x，
联立方程组：
?

?
y＝k?x＋1?，

消去x得：ky
2
－4y＋4k＝0.
因为直线与抛物线相交，
①
所以有，Δ＝(－4)
2
－4×k×4k＝16(1－k
2
)＞0， (*)
4
?
?
y
1
＋y
2
＝， ②< br>k
y
1
，y
2
是方程①的两根，所以有
?
?
y
2
＝4. ③
?
y
1
·
又因为| AM|＝2|BN|，所以，y
1
＝2y
2
，
22
解由②③④组成的方程组，得k＝
3
，
2222
把k ＝
3
代入(*)式检验，不等式成立．所以，k＝
3
.


④

76

10．(2016·江苏卷)如图，在平面直角 坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－
4，设圆C的半径为1，圆心在l上．

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解 (1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，
于是切线的斜率 必存在．
设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意，得
3
0或－
4
，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)
2
＋[y－2(a－2)]
2
＝1.
设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以x
2
＋?y－3?
2< br>＝2x
2
＋y
2
，化简得x
2
＋y
2
＋2y－3＝0，即x
2
＋(y＋1)
2
＝4，所以点M在以D(0，－1 )为圆心，2为
半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点， 则|2－1|≤|CD|≤2
＋1，
即1≤a
2
＋?2a－3?
2
≤3.整理得－8≤5a
2
－12a≤0.
由5a
2
－12a＋8≥0，得a∈R；由5a
2
－12a≤0，
12
得0≤a≤
5
.
12
??
所以点C的横坐标 a的取值范围是
?
0，
5
?
.
??
11．(20 17·北京卷)已知椭圆C：x
2
＋2y
2
＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且 OA⊥OB，试
|3k＋1|
＝1，解得k＝
k
2
＋1

77

判断直线AB与圆x
2
＋y
2
＝2的 位置关系，并证明你的结论．
x
2
y
2
解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为
4
＋
2
＝1.
所以a
2
＝4，b
2
＝2，
从而c
2
＝a
2
－b
2
＝2.
c2
因此a＝2，c＝2.故椭圆C的离心率e＝
a
＝
2
.
(2)直线AB与圆x
2
＋y
2
＝2相切．证明如下：
设 点A，B的坐标分别为(x
0
，y
0
)，(t,2)，其中x
0≠0.
→→
因为OA⊥OB，所以OA·OB＝0，即tx
0
＋2y< br>0
＝0，
2y
0
解得t＝－
x
.
0t
2
当x
0
＝t时，y
0
＝－
2
，代 入椭圆C的方程，得t＝±2，
故直线AB的方程为x＝±2.圆心O到直线AB的距离d＝2.此时 直线AB与
圆x
2
＋y
2
＝2相切．
当x
0
≠t时，直线AB的方程为
y
0
－2
y－2＝(x－t)，
x
0
－t
即(y
0
－2)x－(x
0
－t)y＋2x
0
－ty0
＝0.
圆心O到直线AB的距离d＝
2y
0
2
又x
2
＋2y＝4，t＝－
00
x
，故
0
|2x
0
－ty
0
|
22
.
?y
0
－2?＋?x
0
－t?
d＝
2y
2
0
|2x
0
＋
x
|
0
＝
2
4y
0
2
x
2
0
＋y
0
＋
2
＋4
x
0
＝
42
x
0
＋8x
0
＋ 16
2x
2
0
4＋x
2
0
|
x
|
0
2.
此时直线AB与圆x
2
＋y
2
＝2相切．






78

第2讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值、
范围问题

一、选择题
x
2
y
2
1．若双曲线
a
2
－
b
2
＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝3x无交点，则离心率e的取值范
围是
A．(1,2)
C．(1，5)

B.(1,2]
D.(1，5]
( )．
b
解析 因为双曲线的渐近线为y＝±a
x，要使直线y＝3x与双曲线无交点，
b
则直线y＝3x应在两渐近线之间， 所以有
a
≤3，即b≤3a，所以b
2
≤3a
2
，
c
2
－a
2
≤3a
2
，即c
2
≤4a2
，e
2
≤4，所以1＜e≤2.
答案 B
x
2< br>y
2
2．已知椭圆
4
＋
b
2
＝1(0＜b＜ 2)，左、右焦点分别为F
1
，F
2
，过F
1
的直线l交椭
圆于A，B两点，若|BF
2
|＋|AF
2
|的最大值为5，则b的 值是
A．1
3
C.
2

B.2
D.3
( )．
解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2；由椭圆的定义， 可知|AF
2
|＋|BF
2
|
＋|AB|＝4a＝8，所以|AB| ＝8－(|AF
2
|＋|BF
2
|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆
2b
2
焦点的弦中，通径最短，即
a
＝3，可求得b
2
＝ 3，即b＝3.
答案 D
3．(2017·湖北卷)已知F
1
，F
2
是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共
π
点，且∠F
1
PF
2
＝
3
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( )．

79

43
A.
3

C．3
23
B.
3

D.2
解析 设|PF
1|＝r
1
，|PF
2
|＝r
2
(r
1
＞r
2
)，|F
1
F
2
|＝2c，椭圆长半轴长为a
1
，双曲
2
线实半轴长为a
2
，椭圆、双曲线的离心率分别为e< br>1
，e
2
，则(2c)
2
＝r
2
1
＋r
2
－
π
2
2r
1
r
2
cos
3
，得4c
2
＝r
2
1
＋r
2
－ r
1
r
2
.
??
?
r
1
＋r< br>2
＝2a
1
，
?
r
1
＝a
1
＋a
2
，
由
?
得
?

??
?< br>r
1
－r
2
＝2a
2
?
r
2
＝a
1
－a
2
，
11
a
1
＋a
2
r
1
∴
e
＋
e
＝
c
＝
c
.
12
2
r
2
4r
11
令m＝
c
2
＝
22
＝
r
1
＋r
2
－r
1
r
2

4

?
r
2
?
2
r
2
1＋
?
r
?
－
r
?
1
?
1
4
＝
r1
，
?
2< br>?
2
3
?
r
－
2
?
＋
?< br>1
?
4
r
2
11643
?
r
1?
??
当
r
＝
2
时，m
max
＝3
，∴
c
max
＝
3
，
??
11143
即
e
＋
e
的最大值为
3
.
12
答案 A
x
2
4．(2017·福建卷)设P，Q分别为圆x ＋(y－6)＝2和椭圆
10
＋y
2
＝1上的点，则
22
P ，Q两点间的最大距离是
A．52
C．7＋2

B.46＋2
D.62
( )．
解析 设圆的圆心为C，则C(0,6)，半径为r＝2，
点C到椭圆上的点Q(10cos α，sin α)的距离|CQ|＝
＝46－9sin
2
α－12sin α
?10cos α?
2
＋?sin α－6?
2

80

＝
2
??
50－9
?
sin α＋
3
?
2
≤50＝52，
??
2
当且仅当sin α＝－
3
时取等号，所以|PQ|≤|CQ |＋r＝52＋2＝62，即P，
Q两点间的最大距离是62，故选D.
答案 D
二、填空题
y
2
5．已知双曲线x－
3
＝1的左顶点为A
1
，右焦点为F
2
，P为双曲线右支上一点，
2
→→
则PA
1
·PF
2
的最小值为________．
→→
解析 由已知得A
1
(－1,0)，F
2
(2,0)． 设P(x，y)(x≥1)，则PA
1
·PF
2
＝(－1－x，
－y )·(2－x，－y)＝4x
2
－x－5.令f(x)＝4x
2
－x－5，则 f(x)在[1，＋∞)上单调递
→→
增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即PA< br>1
·PF
2
取最小值，最小值为－2.
答案 －2
xy< br>→→
6．已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足AP⊥BP.若双曲线
2－
2
＝1(a＞0，b＞0)
ab
的渐近线与动点P的轨迹没有公共点， 则双曲线离心率的取值范围是______．
解析 设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹为 (x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－
x
2
2)＝0，即x＋(y－2)＝1，它 是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线
a
2
－
22
22< br>y
2
b
b＞0)的渐近线方程为y＝±即bx±ay＝0，由题意，可得
2
＝1(a＞0，
ba
x，
＞1，即
2ac
＞1，所以e ＝＜2，又e＞1，故1＜e＜2.
ca
2a
a
2
＋b
2
答案 (1,2)
x
2
y
2
x
2
y
2
7．若椭圆
a
2
＋
b
2
＝1(a＞b＞0)与双曲线
a
2
－
b
2
＝1的离心率分别为e
1
，e
2
，则e< br>1
e
2
的取值范围为________．
2222
2
a－ba＋b
bb
2
22
解析 可知e
1
＝
a
2
＝1－
a
2
，e
2＝
a
2
＝1＋
a
2
，

81

2
所以e
2
1
＋e
2
＝2＞2e
1
e
2
?0＜e
1
e
2
＜1.
答案 (0,1)
8．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x
2
＝4y和圆x
2＋(y－1)
2
＝1从左到右的交点依次
AB
为A，B，C，D，则CD
的值为________．
?
?
3x－4y＋4＝0，
解析 由
?
得x
2
－3x－4＝0，
2
?
x
?
＝4y，
1
∴x
A
＝－1，x
D
＝4，∴y
A
＝，y
D
＝4.
4
直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)．
5
∴AF＝y
A
＋1＝
4
，DF＝y
D
＋1＝5，
AB
AF－1
1
∴
CD
＝＝
16
.
DF－1
1
答案
16

三、解答题
1
9．(2017·烟台一模)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于
2
，
它的一个顶点恰好是抛物线x
2
＝83y的焦点．


(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(2,3)，Q(2，－3)在椭圆上，点A，B是 椭圆上不同的两个动点，
且满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
x
2
y
2
解 (1)设椭圆C的方程为
a
2
＋
b
2
＝1(a＞b＞0)，

82

c1
则b＝23.由
a
＝
2
，a
2
＝c
2
＋b
2
，得a＝4，
x
2
y
2
∴椭圆C的方程为
16
＋
12
＝1 .
(2)当∠APQ＝∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，
则 PB的斜率为－k，PA的直线方程为y－3＝k(x－2)，
y－3＝k?x－2?，
?< br>?
由
?
x
2
y
2
＋＝1，
?
?
1612

整理得
(3＋4k
2
)x
2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)
2
－48＝0，
8?2k－3?k
x
1
＋2＝，
3＋4k
2
同理PB的直线方程为y－3＝－k(x－2)，
可得x
2
＋2＝
－8k?－2k－3?8k?2k＋3?
＝， 3＋4k
2
3＋4k
2
16k
2
－12－48k
∴x
1
＋x
2
＝，x－x＝，
12
3＋4k
2
3＋4k
2
y
1
－y
2
k?x
1
－2?＋3＋k?x
2
－2?－3
∴k
AB
＝＝
x
1
－x
2
x
1
－x
2
＝< br>k?x
1
＋x
2
?－4k
1
＝
2
，
x
1
－x
2
1
所以直线AB的斜率为定值
2
.
10．(2017·湖北黄冈中学等八校联考)如图所示，已知椭圆C
1
和抛物 线C
2
有公共
焦点F(1,0)，C
1
的中心和C
2
的顶点都在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛
物线C
2
分别相交于A，B两 点．

(1)写出抛物线C
2
的标准方程；

83

(2)求证：以AB为直径的圆过原点；
(3)若坐标原点O关于直线l的对 称点P在抛物线C
2
上，直线l与椭圆C
1
有
公共点，求椭圆C1
的长轴长的最小值．
解 (1)设抛物线的标准方程为y
2
＝2px(p＞0)，
由F(1,0)，得p＝2，
∴C
2
：y
2
＝4x. < br>(2)可设AB：x＝4＋ny，联立y
2
＝4x，得y
2
－4ny－ 16＝0.
2
y
2
1
y
2
设A(x
1< br>，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，则y
1y
2
＝－16，x
1
x
2
＝
16
＝1 6，
→→
∴OA·OB＝x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0，即以AB为直径的圆过原点．
(3)设P(4t
2,
4t)，则OP的中点(2t
2,
2t)在直线l上，
2t
2
＝4 ＋2nt，
?
?
∴
?
4t
得n＝±1，又∵t＜0，
2
＝－n，
?
?
4t
∴n＝1，直线l：x＝y＋4. < br>x
2
y
2
设椭圆C
1
：
a
2
＋
2
＝1，与直线l：x＝y＋4联立可得：
a－1
(2a
2< br>－1)y
2
＋8(a
2
－1)y－a
4
＋17a2
－16＝0，
34
由Δ≥0，得a≥
2
，
∴长轴长最小值为34.
11．(2017·金丽衢十二校联考)如图，过椭圆L的左顶点A (－3,0)和下顶点B(0，
－1)且斜率均为k的两直线l
1
，l
2分别交椭圆于C，D，又l
1
交y轴于M，l
2
交x轴于N，且CD与M N相交于点P.


(1)求椭圆L的标准方程；

84

→→
(2)(ⅰ)证明存在实数λ，使得AM＝λOP；
(ⅱ)求|OP|的取值范围．
解 (1)由椭圆L的左顶点为A(－3,0)，下顶点为B (0，－1)可知椭圆L的标准
x
2
2
方程为：
9
＋y＝1 .
(2)(ⅰ)证明 由(1)可设直线l
1
，l
2
的方程分别为 y＝k(x＋3)和y＝kx－1，其中
1
k≠0，则M(0,3k)，N(
k
，0)．
y＝k?x＋3?，
?
?
由
?
x
2< br>2
＋y＝1，
?
?
9

消去x得(1＋9k
2
)x
2
＋54k
2
x＋81k
2
－9＝0. < br>3－27k
2
以上方程必有一根－3，由根与系数的关系可得另一根为，故点C的
1＋9k
2
3－27k
2
6k
坐标为(，)．
1＋9k
2
1＋9k
2
y＝kx－1，
?
?
由
?< br>x
2
2
＋y＝1，
?
?
9
解得一根为

消去x得(1＋9k
2
)x
2
－18kx＝0，
18k
，
1＋9k
2
9k
2
－1
18k
故点D的坐标为(，)．
1＋9k
2
1＋9k
2
→→→→
由l
1
与l
2
平行得MP＝t MN，CP＝t CD，然后，进行 坐标运算，即可得出点
3k
?
3k
??
3
→→
?< br>3
P的坐标为
?
1＋3k
，
1＋3k
?
，而 AM＝(3,3k)，OP＝
?
1＋3k
，
1＋3k
?
.
????
→→
∴AM＝(1＋3k)OP，∴存在实数λ＝1＋3k，
→→
使得AM＝λOP.
→
?
3
，
3k
?
(ⅱ)由OP＝
?
1＋3k1＋3k
?
，
??
法一 由消参得点P的轨迹方程为x＋3y－3＝0，
310
所以|OP|的最小值为
10
；

85

31＋k
2
法二 得|OP|＝，令t＝1＋3k，
|1＋ 3k|
则|OP|＝
111
10?
t
?
2
－2?< br>t
?＋1，其中
t
≠0,1，
310310
∴|OP|的最 小值为
10
，故|OP|的取值范围为[
10
，＋∞)．


专题六 概率与统计
第1讲 统计与概率的基本问题

一、选择题
1．(2017·日照模拟)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电 视节目，
如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为
A．224
C．56
B.112
D.28
( )．
解析 根据分层抽样，应抽取男 生1名，女生2名，抽取2名女生1名男生
21
的方法有C
8
C
4< br>＝112.
答案 B
2．(2017·北京顺义区统练)某商场在国庆黄金周的促销 活动中，对10月1日9
时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10< br>时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为
A．8万元
C．12万元
B.10万元
D.15万元
( )．

86

解析 由频率分布直方图知，9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售 总
3
额为
0.1
＝30(万元)，又11时至12时的销售额的频率为0.4 ，故销售额为
0.4×30＝12万元．
答案 C
3．随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，得到如下的列联表：

爱好
不爱好
总计
附表：
P(K
2
≥k
0
)
k
0

0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
( )．
男
10
20
30
女
40
30
70
总计
50
50
100
经计算，统计量K
2
＝4.762，参照附表，得到的正确结论是
A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析 因为4.762＞3. 841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱
好该项运动与性别有关”，或者认为有95 %以上的把握认为“爱好该项运动

87

与性别有关”，因此，只能选A.
答案 A
4.(2017·北京 市朝阳区综合练习)如图，设区域D＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，向
区域D内随机投一 点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴
影区域M＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y ≤x
3
}的概率为 ( )．

1
A.
4

2
C.
5

解析 阴影部分的面积
1
1
11
S＝
?
1
x
3
dx＝x
4
?
＝，故P＝.
4
?
0
44
?
0
答案 A
二、填空题
5．(2017·广东卷)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七 个不同的数，则这七个数的中位
数是6的概率为________．
7
解析 十个数 中任取七个不同的数共有C
10
种情况，七个数的中位数为6，那
3
C
6
种情况，于是所求概率
3
C
6
1
P＝
C
7
＝
6
.
10
1
B.
3

2
D.
7


么6只有处在中间位置，有
1
答案
6

6．(2017· 青岛质量检测)在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，
其中程序A只能出现在第一或最 后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则
实验顺序的编排方法共有________种．
解析 设6个程序分别是A，B，C，D，E，F.先将A安排在第一或最后一步，

88

2
有A
1
2
种方法；将B和C看作一 个元素，它们自身之间有A
2
种方法，与其他
程序进行全排列，有A
4
4
种方法，由分步乘法计数原理得实验顺序的编排方法
24
共有A
1
2
A
2
A
4
＝96种．
答案 96
1
7．(2017·德州模拟)在区间[－2,3]上任取一个数a，则函数f(x)＝
3
x< br>3
－ax
2
＋(a＋
2)x有极值的概率为________．
1
解析 区间[－2,3]的长度为5，f′(x)＝x
2
－2ax＋a＋2 .函数f(x)＝
3
x
3
－ax
2
＋(a
＋2)x 有极值等价于f′(x)＝x
2
－2ax＋a＋2＝0有两个不等实根，即Δ＝4a
2
－4(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2，又∵a∈[－2,3]，∴－2≤a＜－1或2＜a≤2 ，
2
范围区间的长度为2，所以所求概率P＝
5
.
2
答案
5

8．(2017·长沙模拟)以下四个命题中：
①从匀速传递的产品生 产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行
某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
③在某项测量中，测量结 果ξ服从正态分布N(1，σ
2
)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取
值的概率为0. 4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8；
④对分类变量X与Y的随机变量K
2
的观测值k来说，k越小，判断“X与Y
有关系”的把握程度越大．
其中真命题的有____________(填序号)．
解析 ①从匀速传递的产品生产流水 线上，质检员每10分钟从中抽取一件产
品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，不是分层抽样． 故①是假命
题；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1.故②是真

89

命题；
③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ
2)(σ＞0)，则分布密度曲线
关于直线x＝1对称，所以P(0＜ξ＜1)＝P(1＜ξ＜2)， 即P(0＜ξ＜2)＝P(0＜ξ
＜1)＋P(1＜ξ＜2)＝0.4＋0.4＝0.8.故③是真命题 ；
④对分类变量X与Y的随机变量K
2
的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越小．故④是假命题．
答案 ②③
三、解答题
9．某车 间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图
所示，其中茎为十位数，叶为个 位数.

(1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的 工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间
12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
解 (1)样本平均 值为
17＋19＋20＋21＋25＋30
132
＝
6
＝22，故样 本均值为22.
6
21
(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为
6＝
3
，
1
故推断该车间12名工人中有12×＝4名优秀工人． 3
(3)设事件A：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则
1C
1
4
C
8
16
P(A)＝
C
2＝
33
.
12
16
所以恰有1名优秀工人的概率为
33
.
10．袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为

90

1的小球1个，标号为2的小球n个，已知从袋子中随机抽取1个小球， 取
1
到标号为2的小球的概率是
2
.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出小球标号为a，第二次
取出的小球标号为b.
①记“a＋b＝2”为事件A，求事件A的概率；
②在区间[0,2]内任取2个实数x，y ，求事件“x
2
＋y
2
＞(a－b)
2
恒成立”的概
率．
1C
1
n
n
解 (1)由题意可得
2
＝＝，解得n＝2.
1＋1＋n1＋1＋n
(2)①由 于是不放回抽取，事件A只有两种情况：第一次取0号球，第二次取
111
C
1
41
1
C
2
C
2
C
1
2号球；第一次取 2号球，第二次取0号球，所以P(A)＝
C
1
C
1
＋
C< br>1
C
1
＝
12
＝
3
.
4343< br>②记“x
2
＋y
2
＞(a－b)
2
恒成立”为事件B ，则事件B等价于“x
2
＋y
2
＞4恒成
立”．
(x，y )可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，
y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x， y∈R}．
4－π
而事件B构成的区域B＝{(x，y)|x
2
＋y
2
＞4，(x，y)∈Ω}，所以P(B)＝
4
＝
π
1－
4
.

11．(2017·广东卷)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日 加工零件数(单
位：件)，获得数据如下：
30,42,41,36,44,40,37,37 ,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,3 6.
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
[25,30]
(30,35]
(35,40]
(40,45]
频数
3
5
8
n
1

频率
0.12
0.20
0.32
f
1


91

(45,50] n
2
f
2

(1)确定 样本频率分布表中n
1
，n
2
，f
1
和f
2
的值；
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
(3)根据样本频率分布 直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件
数落在区间(30,35]的概率．
解 (1)根据已知数据统计出n
1
＝7，n
2
＝2；
72
计 算得f
1
＝
25
＝0.28，f
2
＝
25
＝0.08.
(2)由于组距为5，用
频率
得各组的纵坐标分别为0.024,0. 040,0.064,0.056,0.016.
组距
不妨以0.008为纵坐标的一个单位 长、5为横坐标的一个单位长画出样本频率
分布直方图如下．

(3)根据样本频率 分布直方图，以频率估计概率，则在该厂任取1人，其日加
工零件数落在区间(30,35]的频率为0 .2，估计其概率为0.2.
设所取的4人中，日加工零件数落在区间(30,35]的人数为ξ，则ξ～B(4,0.2)，
P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)
4
＝1－0.409 6＝0.590 4，所以在该厂任取4
人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,45]的概率为0.590 4.



第2讲 随机变量及其分布列

一、选择题

92

1．(2017·新课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料 表明，一天的空气质量为优
良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量 为优良，
则随后一天的空气质量为优良的概率是
A．0.8
C．0.6
B.0.75
D.0.45
( )．
解析 已知连续两天为优 良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前
提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可 根据条件概率公式，得P
0.6
＝
0.75
＝0.8.
答案 A
2．(2017·杭州模拟)在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”“剪
刀赢 布”“布赢石头”．现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中
每人等可能地独立选择一种手势． 设甲赢乙的局数为ξ，则随机变量ξ的数学
期望是
1
A.
3

2
C.
3


4
B.
9

D.1
( )．
解析 ξ的可能取值0,1,2,3.考查每一局的情况，易 知在每一局中甲赢的概率
1
为
3
.
2228
P(ξ＝0) ＝
3
×
3
×
3
＝
27
；
122 4
P(ξ＝1)＝3×
3
×
3
×
3
＝
9< br>；
1122
P(ξ＝2)＝3×
3
×
3
×
3
＝
9
；
1111
P(ξ＝3)＝
3
×
3
×
3
＝
27
.
因此可求得期望E(ξ)＝1.
答案 D

93

3
3．(2017·温州模拟) 某人射击一次击中的概率为
5
，经过3次射击，此人至少有两
次击中目标的概率为
54
A.
125

81
C.
125


27
B.
125

108
D.
125

( )．
解析 该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是
2
?
3
?
2
2
?
5
?
·， P
1
＝C
3
·
??
5
?
3
?
3
三次全部击中目标的概率是P
2
＝C
3
·
3
?
5
?
.
??
所以此人至少有两次击中目标的概率是
2
?
3
?2
2
3
?
3
?
3
?
5
?·＋C
3
?
5
?
＝P＝P
1
＋P
2< br>＝C
3
·
??
5
??
81
125
.
答案 C
4．(2017·合肥模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋 中随
机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)
等于
8
A.
5

4
C.
5


6
B.
5

2
D.
5

，满足二项分布，
3＋m
3
( )．
解析 根据题目条件，每 次摸到白球的概率都是p＝
33
则有E(X)＝np＝5×＝3，解得m＝2，那么D(X)＝ np(1－p)＝5×
5
3＋m
3
?
6
?
×
?
1－
5
?
＝
5
.
??
答案 B
二、填空题
5．(2017·绍兴质量调测)有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个 黄球，
一次摸出5个，若颜色相同则得100分；若4个球颜色相同，另一个不同，

94

则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是________分．
1
22C
4
5
C
5
解析 ∵小张得100分的概率 为
C
5
，得50分的概率为
C
5
，∴小张得分的数
1010
1
200＋100C
4
5
C
5
75
学期望为E(X)＝＝
7
(分)．
C
5
10
75
答案
7

6．(2017 ·台州模拟)有三位同学过节日互赠礼物，每人准备一件礼物，先将礼物
集中在一个袋子中，每人从中随 机抽取一件礼物，设恰好抽到自己准备的礼
物的人数为ξ，则ξ的数学期望E(ξ)＝________ __.
解析 ξ的可能取值为0,1,3，P(ξ＝0)＝
P(ξ＝1)＝
答案 1
7．(2017·金丽衢十二校联考)有甲、乙、丙三位同学，投篮命中的概率如下表：
同学
概率
甲
0.5
乙
a
丙
a
2×1
2
＝
6
；
3×2×1
3311231＝
6
；P(ξ＝3)＝＝
6
；E(ξ)＝0×
6
＋1×
6
＋3×
6
＝1.
3×2×13×2×1
7
现请 三位同学各投篮一次，设ξ表示命中的次数，若E(ξ)＝
6
，则a＝
_______ ___.
解析 ξ可取值0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝0.5×(1－a)×(1－a)＝0.5(1－a)
2
；
P(ξ＝1)＝0.5×(1－a)×(1－a)＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5(1－a
2< br>)；
P(ξ＝2)＝0.5×a
2
＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5a(2－a)；
P(ξ＝3)＝0.5×a×a＝0.5a
2
.
7
∴E(ξ)＝P (ξ＝0)×0＋P(ξ＝1)×1＋P(ξ＝2)×2＋P(ξ＝3)×3＝
6
.
71
即0.5(1－a
2
)＋a(2－a)＋1.5a
2
＝
6
，解得a＝
3
.

95

1
答案
3

8．袋中有大小、质地相同的5个球， 2白3黑，现从中摸球，规定：每次从袋
中随机摸取一球，若摸到的是白球，则将此球放回袋中，并再放 同样的一个
白球入袋；若摸到的是黑球，则将球放回袋中，并再放同样的一个黑球入袋，
连续摸 两次球且按规定操作后袋中白球的个数记为X，则X的数学期望为
__________．
解析 首先，连续摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数可能为2,3,4.
342
P(X＝2)＝P(两次都摸到黑球)＝
5
×
6
＝
5
；
231
P(X＝4)＝P(两次都摸到白球)＝
5
×
6
＝< br>5
；
2
P(X＝3)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)＝
5
.
X的分布列为
X
P
22114
E(X)＝2×
5＋3×
5
＋4×
5
＝
5
.
14
答案
5

三、解答题
9．(2017·天津卷)某大学志愿者协会有6名男同学 ，4名女同学．在这10名同学
中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相 同
的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活
动(每位同学被 选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期
望．
解 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则
2
2
5

3
2
5

4
1
5


96

03
C
1
C
2
C
7
49
3
·
7
＋C
3
·
P(A)＝＝
60
.
3
C
10
4 9
所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为
60
.
(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.
－
kk
C
4< br>·C
3
6
P(X＝k)＝
C
3
(k＝0,1,2,3 )．
10
所以，随机变量X的分布列是
X
P
0
1
6

1
1
2

2
3
10

3
1
30

11316
随机变量X的数学期望E(X)＝0×
6
＋1×
2
＋2×
10＋3×
30
＝
5
.
10．(2017·益阳模拟)甲、乙、丙 三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海
选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选 合格记1分，海选
231
不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为
3，
4
，
2
，他们海选合
格与不合格是相互独立的．
(1)求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；
(2)记在这次海选 中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ，
求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
解 (1)记“甲海选合格”为事件A，“乙海选合格”为事件B，“丙海选合
格”为事件C， “甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E，则
11123
P(E)＝1－P(A B C)＝1－
3
×
4
×
2
＝
24
.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
1
P(ξ＝0)＝P(A B C)＝
24
；
6
P(ξ＝1)＝P(A B C)＋P(A B C)＋P(A BC)＝
24
；
11
P(ξ＝2)＝P(A B C)＋P(A B C)＋P(ABC)＝
24
；
6
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝
24
.
所以ξ的分布列为

97

ξ
P
0
1
24

1
6
24

2
11
24

3
6
24

1611623
E(ξ)＝0×
24
＋1×
24
＋2×
24
＋3×
24
＝
12
.
11．(2017·潍坊模拟)某次数学测验共有1 0道选择题，每道题共有四个选项，且
其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分 ，不选或
选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题
无法确定正 确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只
能排除一个错误选项，于是该生做这4道 题时每道题都从不能排除的选项中
随机选一个选项做答，且各题做答互不影响．
(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；
(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．
解 (1)设选对一道“能排 除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除
11
1个选项的题目”为事件B，则P(A) ＝
2
，P(B)＝
3
.
该考生选择题得50分的概率为：
?
1
??
1
?
2
1
??
＝. P (A)·P(A)·P(B)·P(B)＝
?
2
?
2
·
?? ?
3
?
36
(2)考生所得分数X＝30,35,40,45,50. 1
?
1
?
1
??
?
1－
3
?
2
＝； P(X＝30)＝
?
2
?
2
·
? ???
9
1
?
1
?
2
?
2
?2
?
1
?
21
121
?
3
?
＋
?
2
?
·P(X＝35)＝C
2
?
2
?
·C
2
··＝；
??????
333
?
1
??
2
?
2
?
1
?
21
12
?
1
?
2
?
1
?
2
13
?
3
?
＋C
1
??
＝； P(X＝40)＝
?
2?
2
··C··＋
??
·
2
?
2
?< br>·
??????
2
33
?
2
??
3
?
36
?
1
?
2
?
1
?
2
?
1
?
21
121
??
＋
??
·P(X ＝45)＝C
1
C··＝；
2
?
2
?
·
???
3
??
2
?
2
336
?
1
??
1
?
2
1
??
＝. P(X＝50)＝
?2
?
2
·
???
3
?
36
所以，该考 生所得分数X的分布列为
X
P
30
1
9

35
1
3

40
13
36

98
45
1
6

50
1
36

111311115
∴E(X) ＝30×
9
＋35×
3
＋40×
36
＋45×
6< br>＋50×
36
＝
3
.



专题七 数学思想方法
第1讲 函数与方程思想、数形结合思想

一、选择题
1．已知等比数列{a
n
}中，a
2
＝1，则 其前3项的和S
3
的取值范围是
A．(－∞，－1)
C．[3，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－1]∪[3，＋∞)
( )．
1
?
1
?
解析 ∵等比数列{a
n
}中，a
2
＝1，∴S
3
＝a
1
＋a
2
＋a
3
＝a
2
?
q
＋1＋q
?
＝1＋q＋
q
.
??
1
当公比q＞0时，S
3
＝1＋q＋≥1＋2
q
1
??
?
－q－
q
?
≤1－2
??< br>答案 D
2．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－ c)＝0，
则|c|的最大值是
A.2
C.3

B.22
D.2
( )．
1
q·＝3，当公比q＜0时，S
3
＝1－
q
?
1
?
?
－
q
?
＝－ 1，∴S
3
∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． ?－q?·
??
→→→→→
解析 如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则CA＝ a－c，CB＝b－c.由题意知
→→
CA⊥CB，


99

∴O，A，C，B四点共圆．
→
∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC|＝2.
答案 A
3．若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝e
x
，则有
( )．
A．f(2)＜f(3)＜g(0)
C．f(2)＜g(0)＜f(3)
B.g(0)＜f(3)＜f(2)
D.g(0)＜f(2)＜f(3)
解析 由题意得f(x)－g(x)＝e
x，f(－x)－g(－x)＝e
－
x
，即－f(x)－g(x)＝e
－< br>x
，
e
x
－e
－
x
－e
x
＋e
－
x
e
x
－e
－
x
由此解得f(x) ＝
2
，g(x)＝，g(0)＝－1，函数f(x)＝
2
在R
2e
2
－e
－
2
上是增函数，且f(3)＞f(2)＝
2
＞0，因此g(0)＜f(2)＜f(3)．
答案 D
x
2
y< br>2
4．若a＞1，则双曲线
a
2
－＝1的离心率e的取值范围是
?a＋1?
2
A．(1，2)
C．[2，5]
B.(2，5)
D.(3，5)
( )．
22
a＋?a＋1?
c1
?
1
???
?
1＋
a
?
2
，因为当a＞1时 ，0＜＜1，所以2解析 e
2
＝
?
a
?
2
＝＝1 ＋
2
aa
????
＜e
2
＜5，即2＜e＜5.
答案 B
二、填空题
5．已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R} ，且在(0，＋∞)上单调递增，若f(1)
＝0，则满足x·f(x)＜0的x的取值范围是____ ____．
解析 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x·f(x)＜0的x的取
值范围是(－1,0)∪(0,1)．

100