高中数学-数列专题

数列专题

【考点例题解析】
考点1求通项公式
1、公式法：已知数列｛ a
n
2
为等差或等比数列，根据通项公式 a
n
=a
i
+(n-1)d 或a
n
=a
i
q
n-1
进行求解 例1 ：
已知｛ a
n
2
是一个等差数列，且 a
2
=1,a
5
=-5，求｛ a
n
2
的通项公式
变式
已知等差数列 a
n
中，a
10
28, S
6
51,求数列
a
n
的通项公式















2、前n项和法：已知数列


an
2
的前n项和Sn的解析式，求 a
n
，求通项a
n
.
例2 :已知数列｛
an
2
的前n项和Sn=2n-1














变式
已知下列各数列
｛a
n
｝< br>的前n项和
S
n
的公式为s.
=
3n
2
2n(n N )
，求
｛a
.
｝
的通项公式
1

3、sn与an的关系式法：已知数列｛
例3 :已知数列｛ an 的前n项和sn满足an+1=sn
an 的前n项和sn与通项an的关系式，求 an
，其中 a1=1，求an.
变式
已知
｛
an
｝

中,
a
n

,
— a
n
，且
ai 2
，求数列
｛
an
｝
n 2
的通项公式
4、累加法：当数列
an
2
中有an- an-1=f(n)，即第n项与第n-1项的差是个有规律的数时，就可以用这种方法
例 4 : a1=0, an+仁an+2(n-1) ，求通项 an
变式
｛
a
｝
a
i n
已知数列的首项
1

,且
3
n
3
n 1
3(n 2)
，则
a


5、累乘法：当数列
an
2
中有，即第
n项与第n-1项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法
例 5 : a1=1,an=a
n-1
(n),求通项 an
6、构造法:
(1)、配常数法：在数列｛ an
2
中有an=kan-1+b
(k,b均为常数且k工0)，从表面形式上来看 an是关于an-1的
2

“一次函数”的形式，这时用下面的方法
：
一般化方法：设 an +m=k(an-1+m) 则｛an +m｝成等比数列
例 6 :已知 a1=1,an=2an-1+1(n2), 求通项 an
(2 )配一次函数法：在数列 ｛an｝中有an=kan-1+bn+c ( k,b,c均为常数且k工0)，这时用下面的方法
一般化方法：设 an+t n+u=k(a n-1+t( n-1)+u) 则｛an+t n+u｝成等比数列
例 7 :已知 a1=1,an=2an-1+3n-2 (n2),求通项 an
(3)、取倒数法：这种方法适用于 an= , (n2) ( k,m,p均为常数 m工0)，两边取倒数后得到一个新的特殊
数列或类似于 an=kan-1+b 的式子.
例8 :已知 a1=2,an= (n2), 求通项 an
(4)取对数法：一般情况下适用于( k,l为非零常数)
例9 :已知a1=3,an (n2) 求通项an
3

等差或等比
)

(

考点
2
数列求和
（一）倒 序相加法：将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于
Sn

n(a
1
a
n
)
2
求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式

的推导。
｛
a bn
｝
（二）错位相减法：这是推导等比数列的前
｛
n
项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
的前
n
项
和，其中
｛
弘
｝
、
b
n
｝
分别是等差数列和等比数列。
（三）分组求和法 所谓分组求 和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。
例3 .已知数列
｛
an
｝
满足
a
门
（
1
）
n 1
2

，求其前
n
项和
Sn
。
（四）公式法（恒等式法）：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式，再如
n(n


2
1
2
2
2
3
2
n
2

〔
n(n 1)(2n
6
1）
等公

（五）拆项（裂项）相消法：若数列
｛
an
｝
能裂项成
3
n

f（n
1
）
f

（n）
，即所裂两项具有传递性（即关于
门
的相邻
项，使展开后 中间项能全部消去）。
a
n ----------------------
例5 ?已知数列
｛
an
｝
1
满足
n
（
n 1
）
，求数列
｛
an
｝

的前
n
项和
Sn


（六）通项化归法：即把数列的通项公式先求岀来，再利用数列的特点求和。
1
」
,,
例.求数列
12123

n
的前
n
项和
S
n
和为常数时，可用并项法，但要注意
n
的
若岀现相邻两项（或有一定规律的两项）

（七）并项法求和：在数列求和中,
奇偶性。
（
1
）

（
2n 1
）S
100
｛
an
｝
n
，求数列

的前
项和

n
例7 .已知数列％
（八）奇偶分析项：当数列中的项有符号限制时，应分
n 1
为奇数、偶数进行讨论
例8 ?若
an

（
1
）

（
4n 3
）
，求数列
｛
an
｝

的前
n
项和

（其中

（九）利用周期性求和： 若数列
｛
an
｝
，都有
a
n T
a
n
n

N
,
N
为给定的自然数，
T 0
），则称数列
°o
｛
an
｝

为周期数列，其中
T
为其周期。［来源:学科网］
4

a
l
例9 ?已知数列W中,
2
、

a
n 1
a
n
，求其前
31
项的和
S
3n
.
（十）导数法：利用函数的求导来计算数列的和
｛
a
｝
例10 ? 求数列
n
前
n
项和
S
n
，其中
a
n

nsin nx
（十一）待定系数法：若数列的和是一个多项式，可以考虑用待定系数法。
例 11 .求
1 33 5
,

,
5 77 9
,

,
(2n 1)(2n 1)
的和
S
n
【课后作业】
1、设数列
｛
an
｝
满足
a1

a
n
-^(n a
n
3
*
N
)
，则
a
n
=
｛
a
｝< br>n
n
2、已知数列
的前项和
S
n

｛
a
｝
n
3、已知数列
的首项
｛
a
｝
n
a
n
3 2
n
，则
-
n
a
n
2a
n 1
3(n 2)
则
a
n
4、已知数列

的
a
1

1
a
2

2
且
a
n 2
2a
n 1
5、已知等差数列
中，
a
10
28,S
6
51
、求数列
a
n
的通项公式
6、已知数列
a
n
满足务务
1
2n 1 a
1
1
，求数列
a
n
的通项公式
7、数列｛an｝的前n项和
Sn=3 2n-3,求数列的通项公式










8、已知数列｛an｝的前n项和Sn=10n+1 ，求通项公式 an
5