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高中数学专题——二项分布

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 13:39
tags:高中数学专题

高中数学必修一基础概念-高中数学文科如何拿高分

2020年9月21日发(作者:贾成祥)


二项分布
【知识网络】
1、条件概率的概念、公式、性质,并能运用它们计算事件的概率;
2、两个事件相互独立的概念,判断两个事件是否是相互独立事件;
3、理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题。
【典型例题】
例1:(1)将三颗骰子各掷一次,设事件A=“三个点数都不相同”,B=“至少出现一个6点”,
则概率
P(AB)
等于 ( )
601591
A、
91
B、
2
C、
18
D、
216

答案:A。
P(B)?
60P(AB)60
??????,P(AB)????3?,?P(A|B)??
666666216666216P(B )91
解析:。
(2)某人射击命中目标的概率为0.6,每次射击互不影响,连续 射击3次,至少有2次命中
目标的概率为 ( )
84813627
A.
125
B.
125
C.
125
D.
125

3281
3
3
3
C
5
2
()
2
??C
3
()?
555125
。 答案:B。解析:
1
(3)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率是7
,现在甲、乙两人从
袋中轮流摸出1球,甲先取,乙后取,取后不放回,直到两人中有一 人取到白球时即终止,
每个球每一次被取到的机会是等可能的,那么甲取到白球的概率是 ( )
36122
A、
7
B、
35
C、
35
D、
35

2
C
n
答案:D。解析:设白球有n个,
C
2
7< br>?
1
,n?3,
7
3433432122
????????< br>7765765435
。 ∴P甲=
(4)某气象站天气预报准确率是80%, 5次预报中至少有4次准确的概率是______(精确
到0.01) 。
4455
P(A)?C?0.8?0.2?C?0.8?0.74

55
答案:0.74。解析:
(5)在10个球中有6个红球,4个白球(各 不相同),不放回的依次摸出2个球,在第
一次摸出红球的条件下,第2次也摸出红球的概率是 。
5
答案:
9
。解析:设“第一次摸到红球”为事件A,“第二次摸到红球 ”为事件B,则


P(A)?
66?5
,P(AB)?
1010 ?9
,∴
P(A|B)?P(AB)P(A)?59

例2:甲乙两人独立 解出某一道数学题的概率依次为
P
1
,P
2
?
P
1
?P
2
?
,已知该题被甲或
乙解出的概率为
0.8
,甲乙两人同时解出该题的概率为
0.3
,求:
(1)
P
1
, P
2
;
(2)解出该题的人数
X
的分布列及
EX
.
答案:解:( 1)设甲乙两人解出该数学题分别为事件
A

B
,则
P(A)?P< br>1
,P(B)?P
2

?
?
PA?B?PA?B? P
?
A?B
?
?0.8
?
?
1?P
?1
?
?P
2
?
?
1?P
2
?
?P
1
?P
1
?P
2
?0.8
?
?
PA?B?0.3
??
?
?
P?P?0.3
所以
?
,即
?
12

解之得
(2
?? ??
P
1
?0.6,P
2
?0.5


P (X?0)?0.4?0.5?0.2

P(X?1)?0.6?0.5?0.4?0.5?0 .5

P(X?2)?0.6?0.5?0.3

列出分布列:
X
P
0
0.2
1
0.5
2
0.3
所以
EX?0?0.2?0.5?1?0.3?2?1.1

例3:高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下
1
发芽成功的概率为
3
,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.
(Ⅰ)第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验(每次均种下一粒种子),求他们的实
验至少有3次发芽成功的概率;
(Ⅱ)第二小组做了若干次发芽实验(每次均种下一粒种子),如果在一次实验中种子发
芽成功就停止实验,否则将继续进行下次实验,直到种子发芽成功为止,但实验的次数最多
不超过5次,求第二小组所做种子发芽试验的次数
?
的概率分布列和数学期望.
答案:解(Ⅰ)至少有3次发芽成功,即有3次、4次、5次发牙成功
设5次试验中发芽成功的次数为随机变量X,则
2401210
3
1
3C
5
()?()
2
?P(X?4)?C
5
4
( )
4
??
33243

33243
P(X=3)=




1
5
1
5
2
P(X?5)?C
5
()??
33243

所以至少有3次发芽成功的概率
P?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)



?
4010151
???
243243243243

(Ⅱ)随机变量
?
的可能取值为1,2,3,4,5
1212214
P(< br>?
?2)???P(
?
?3)?()
2
??
3

339

3327

218216
P(
?
?4)?()
3
??P(
?
?5)?()
4
?1?
3381

381

P(
?
?1)?





所以
?
的分布列为
?

1
1
3

2
2
9

3
4
27

4
8
81

5
16
81

P


124816211
E
?
?1??2??3??4??5??< br>?
的数字期望
3927818181

例4:设飞机A有两个发动机 ,飞机B有四个发动机,如有半数或半数以上的发动机没有故障,
p?1?e
?
?t
p
t
飞机就能安全飞行。现设各发动机发生故障的概率是 的函数,其中
t
为发
动机启动后所经历的时间,
?
为正常数,试论证飞机A与飞机B哪一 个更安全(这里不考虑其
他故障)。
1
,飞机B能安全飞行的概率为
P
2
,则 答案:解:设飞机A能安 全飞行的概率为
P
1222
P?Cp(1?p)?C(1?p)?1?p
12 2

3344
P
2
?1?C
4
p(1?p)?C< br>4
p?1?4p
3
(1?p)?p
4
?1?4p
3< br>?3p
4

1
P
2
?P
1
?3p< br>4
?4p
3
?p
2
?p
2
(3p
3
?4p?1)?p
2
(3p?1)(p?1)?3p
2
(p?)(p ?1)
3


p?1?e
?
?
t
2P
2
?P
1
?3(1?e
?
?
t
)< br>2
?e
?
?
t
?(e
?
?
t
?)
3
所以
t?

1
?
1
ln
32
0?e
?
?
t
?
2
时,
3< br>,
P
2
?P
1
?0

P
2
?P
1

32
e
?
?
t
?
2< br>时,
3

P
2
?P
1
?0

P
2
?P
1

32
e
?
?
t
?
2
时,
3

P
2
?P
1
?0

P
2
?P
1

t?

?
1
ln
t?

?
ln


t?
故当
1
?
ln
31313
t?lnt?ln
2
时 ,
?
2
时,
?
2
时,飞机A安全;当飞机A与飞机B一样安 全;当
飞机B安全。
【课内练习】
65
1.在4次独立试验中,事件A出 现的概率相同,若事件A至少发生1次的概率是
81
,则事
件A在一次试验中出现的概 率是 ( )
1252
A、
3
B、
5
C 、
6
D、
3

答案:A。解析:设A发生概率 为P,
1?(1?P)
4
?
651
,P?
813

2.把一枚硬币抛掷两次,事件A=“第一次出现正面”,事件B=“第二次出现反面”,则
等 于 ( )
P(BA)
111
A .
2
B .
4
C .
3
D . 1 P(A)?
P(AB)
111
,P(AB)?,P(B|A)??
24P (A)2
答案:A。解析:。
3.甲、乙两人独立解同一个问题,甲解决这个问题的概率是
p
1
,乙解决这个问题的概率是
p
2

那么恰好有 一人解决这个问题的概率是 ( )
A、
p
1
p
2
B、
p
1
(1?p
2
)?p
2
(1?p
1
)
C、
1?p
1
p
2
D、
1?(1?p
1
)(1?p
2
)

答案:B。 解析:恰好有一人解决这个问题是指甲解决且乙未解决,与乙解决且甲未解决这两
个互斥事件有一个发生 。
4.一袋中装有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次取出一个,记下球的颜色,然后放回,直到红球出现10次停止,用X表示取球的次数,则
P(X?12)?

2
?
5
??
3
?
2
?
5??
3
?
C
11
C
11
????????P(X?12)?
88
????
。解析:
?
8
??8
?
。 答案:
210210
5.抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下, 则第二次掷得向上一面
点数也是偶数的概率为 。
答案:
12
。 解析:设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为A,第二次掷得向上一面点数是
偶数的事件为B,在第 一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数也是
P(BA)?
偶数的概率 为
P(AB)
936
1
??
P(A)18362


6.已知每个人的血清中含有乙型肝炎病毒的概率为3‰,混合100人的血清,则混合血清中
有乙型肝炎病毒的概率约为 。
(参考数据:0. 996100≈0.6698,0.997100≈0.7405,0.998100≈0.8186)
100
??
1?0.003
答案:0.2595。解析:P=1-≈0.2595。
7.一张储蓄卡的密码共6位数字,每位数字都可从0到9中任选一个,某人在银行自动提款
机 上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,则(1)任意按一位数字,不超过2次就按对的概
率为 ;(2)如果他记得密码的最后一位数字是偶数,不超过两次就按对的概率
为 。 < br>1219?1114?12
;P???P???
551010?9555?45
。 答案:。解析:(1),(2)
P(X?1)?
8.设随机变量X—B(2,P),Y—B (3,P),若
7
16
,则P(Y=2)= .
971?P(X?1)?1?P(X?0)?1?(1?P)
2
P?
4
, 答案 :
64
.解析:
16
,解得
139
P(Y?2)?C
3
2
?()
2
??
4464
。 故
9.一高考考 生咨询中心有A、B、C三条咨询热线。已知某一时刻热线A、B占线的概率均为
0.5,热线C占线的 概率为0.4,各热线是否占线相互之间没有影响,假设该时刻有
?
条热线
占线,试求 随机变量
?
的分布列和它的期望。
答案:解:随机变量
?
可能取的值为0,1,2
依题意,得P(
?
=0)=0.15, P(
?
=1)=0.4,P(
?
=2)=0.35,P(
?
=3)=0.1

?
的分布列如下表:
?

0 1 2 3
P 0.15 0.4 O.35 0.1
∴它的期望为E
?
=0< br>?
0.15+1
?0.4?2?0.35?3?0.1
=1.4。
1 0.某校要组建明星篮球队,需要在各班选拔预备队员,规定投篮成绩A级的可作为入围选
手,选拔过程 中每人投篮5次,若投中3次则确定为B级,若投中4次及以上则可确定为A
级,已知某班同学阿明每次 投篮投中的概率是0.5.
(1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率;
(2)设阿明投篮投中次数为X,求X的分布列及期望;
(3)若连续两次投篮不中则停止投篮,求阿明不能入围的概率.
1113
P?C< br>3
2
()
2
???
22216
. 答案:解:(1)阿明投篮4次才被确定为B级的概率


1
(5,)
(2)由已知X—B
2
,X的分布列为:
X
P
E(X)?
5
2

0
1
32

1
5
32

2
10
32

3
10
32

4
5
32

5
1
32


(3)若连续两次投篮不中则停止投篮,阿明不能入围这一事件有如下几种情况:
3
21
5
P(3)?C()?
2
4
C
216
; < br>4
①5次投中3次,有种投球方式,其概率为
②投中2次,分别是中中否否、中否中否否 、否中中否否、否中否中否,概率是
115
P(2)?()
4
?3?()< br>5
?
2232

113
P(1)?()
3
?()
4
?
2216
; ③投中1次分别有中否否、否中否否,概率为
11
P(0)?()
2
?
24
; ④投中0次只有否否一种,概率 为
P?P(3)?P(2)?P(1)?P(0)?
所以阿明不能入围这一事件的概率是
25
32





【作业本】
A组
1.在10支铅笔中,有8支正品,2支次品,从中任取2支,则在第一次抽的是次品的 条件下,
第二次抽得是正品的概率是 ( )
1884
A、
5
B、
45
C、
9
D、
5

答案:C。解析:第一次抽次品后余下9件,其中有8件正品,∴
2 .设每门高射炮命中飞机的概率是0.6,今有一架飞机来犯,问需要多少门高射炮射击,才
能以至少9 9%的概率命中它 ( )
A、3 B、4 C、5 D、6
n
答案:D。解析:
1?(0.4)?99%
,n>5,n=6。
P?
8
9

3.坛子中放有3个白球,2个黑球,从中进行不放回 地摸球,用A表示第一次摸得白球,B
表示第二次摸到白球,则A与B是 ( )


A、互斥事件 B、相互独立事件 C、对立事件 D、不相互独立事件
答案:D。解析:A与B相互有影响且可以同时发生。
42
4 .某地区气象台统计,该地区下雨的概率是
15
,刮风的概率是
15
,既刮风 又下雨的概率是
1
P(BA)P(AB)
10
,设A=“刮风”,B=“下雨 ”,= ;= 。
33
,
48
。 解析:答案:
P
?
AB
?
?
3
8
241< br>P
?
A
?
?,P
?
B
?
?,P?
AB
?
?
151510
?
P
?
AB
?
P(BA)
=
P
?
A
?
?
3< br>4

P(AB)
=
P
?
B
?

5.设某批产品有4%是废品,而合格品中的75%是一等品,任取一件产品是一等品的
概率是 。
答案:0.72。解析:设A=“任取一 件产品为一等品”,B=“任取一件产品为合格品”,所求概
率为
P(A)?P(B)?P(A |B)?(1?0.04)?0.75?0.72

6.已知甲、乙、丙三名射击运动员集中 目标的概率分别是0.7,0.8,0.85,若他们分别向目
标各发一枪,命中弹数记为X,求X的分 布列及期望.
答案:X的分布列:
X
P
0
0.009
1
0.108
2
0.407
3
0.476
EX=2.35。
7.现有甲、乙两个盒子,甲盒中装有4个白球和4个红球,乙盒中 装有3个白球和若干个红
13
球,若从乙盒中任取两个球,取到同色球的概率是
28< br>.
(1)求乙盒中红球的个数;
(2)若从甲盒中任取两个球,放入乙盒中 均匀后,再从乙盒中任意取出2个球放回到甲盒
中,求甲盒中白球没有增加的概率;
(3 )从甲、乙两个盒子中各任取两个球进行交换,若交换后乙盒子中的白球数和红球数相
等,就说这次交换 是成功的,试求当进行150次交换(都从初始状态交换)时,大约有多少
次是成功的.
2< br>C
3
2
?C
n
13
?
2
28
C
n?3
答案:解:(1)设乙盒中有n个红球,由已知可得,解的n=5,即乙盒中含有5
个红球.
(2)若甲盒中白球增加了,则有以下两种情况:
从甲盒中取出了 两个红球,放入乙盒中均匀后从乙盒中取出两个白球或一个白球一个红球放
11
2
C< br>3
2
?C
3
C
7
C
4
4
P
1
?
2
??
2
35

CC
81 0
入甲盒中,此时的概率是


从甲盒中取出一个红球和一个白球,放入乙盒中均匀 后从乙盒中取出2个白球放入甲盒中,
112
C
4
C
4
C< br>4
8
P
2
???
22
105

C C
810
此时概率是
48417
??
所以甲盒中白球增加了的概率是
3510521
,所以甲盒中白球没有增加的概率是
21
.
(3)从甲乙两个盒中各取2个球交换后乙盒中白球数和红球数相等的情况有以下两种:
一是 从甲盒中取2个白球与乙盒中取1个白球、一个红球进行交换;二是从甲盒中取出1个
白球、1个红球与 乙盒中取出2个红球进行交换;
P?
2
C
4
所以概率是
C
2
8
?
11
C
3
C
5
C
2
8
?
11
C
4
C
4
C
2
8
?
C
5
2
C
2
8
?
125< br>347
.∴
150?
125
?54
347
(次), 即大约有54次是成功的。
8.在2006年多哈亚运会中,中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛,根据以
3
往战况,中国女排每一局赢的概率为
5
。已知比赛中,第一局日本女排先胜一局,在这 个条
件下,
(Ⅰ)求中国女排取胜的概率;
(Ⅱ)设决赛中比赛总局数?
,求
?
的分布列及
E
?
。((Ⅰ)(Ⅱ)均用分数作 答)
答案:(Ⅰ)解:中国女排取胜的情况有两种:
①中国女排连胜三局;
②中国女排在第2局到第4局中赢两局,且第5局赢。
故中国女排取胜的概率为
297
?
3
??
3
?
23
2716229 7
p?
??
?C
3
2
??
??
????
5
??
5
?
55

125625625

?
所求概率为
625

32
(Ⅱ)比赛局数
?

451
?
2
??
3
?
1
232
P(
?
?3)?
??
?P(
?
?4)?C
2
????
??
?
25
555
?
5
?
125

?
5
?

P(
?
?5)

1
?C
3
22
2
?
3
?
2232 7054
2
?
3
?
??
??
??C
3?
??
???
5
?
5
?
5555625125

??
22

?
的分布列为:
?

3 4 5

4
54
51

P

125
25125


E
?
?3?
451 54534
?4??5??
25125125125











B组
1.在某一试验中事件A出现的概率为
p
,则在
n
次试验中
A
出现
k
次的概率为( )
kn?k
kk
k
n?k
??
C1?pp
p
????
1?p p1?p
n
A、1- B、 C、1- D、
k
kn?k
??
C1?pp
n
n
答案:D。解析:设在次试验中
A
出 现X次,则X~B(n,1-p),P(X=k)=。
k
P(A)?
2.已知
31
,P(BA)?,则P(AB)
42
等于 ( )
2315
A、
3
B、
8
C 、
3
D、
8

P
?
AB
?
?P
?
A
?
P
?
BA
?
?
313
??
428
。 答案:B。解析:
3.接处某疫苗 后,出现发热反应的概率为0.80。现有5人接种该疫苗,至少有3个出现发热
反应的概率为(精确到 0.001) ( )
A、0.942 B、0.205 C、0.737 D、0.993
3324455
P?C?0.8?0.2?C?0.8?0.2?C?0.8 ?0.942

555
答案:A。解析:
4.从1,2,……,15中,甲 、乙依次任取一数(不放回),已知甲取到的数是5的倍数的条
件下,则甲数大于乙数的概率是 _________.
9
答案:
14
。解析:A=“甲数是5的倍数”,B=“甲数大于乙数”,
4?9?14
P(AB)9
P(B|A)??
15?14
?
3?14
P(A)14
15?14

5.甲、乙、丙三台机床是否需要维 修相互之间没有影响。在一小时内甲、乙、丙三台机床需
要维修的概率分别是0.1,0.2,0.3, 则一小时内至少有一台机床需要维修的概率是

答案: 0.496。解析:
P?1?(1?0.1)(1?0.2)(1?0.3)?0.496

6.袋中有分别写着“团团”和“圆圆”的两种玩具共7个且形状完全相同,从中任取2


1
个玩具都是“圆圆”的概率为
7
,A、B两人不放回从袋中轮流摸取一个 玩具,A先取,B后取,
然后A再取,……直到两人中有一人取到“圆圆”时即停止游戏.每个玩具在每 一次被取出的
机会是均等的,用X表示游戏终止时取玩具的次数.
(1)求X=4时的概率;
(2)求X的数学期望.
2
C
n
1
?
2
7

C
答案:解:(1)设袋中原有玩具“圆圆”n个由题意知:
7
所以n(n-1)=6,解得n=3(n=-2舍去).
P(X?4)?

(2)由题意可知X的可能取值为1,2,3,4,5,
4?3?2?33
?
7?6?5?435

34?324?3?36
?P(X?1)?;P(X?2)??;P(X?3)??;
77?677?6?535
4?3?2?334?3?2?1?31
P(X?4)??;P(X?5)??;
7?6?5 ?4357?6?5?4?335
32631
?E(X)?1??2??3??4??5??2 .
77353535

7.粒子A位于数轴
x?0
处,粒子B位于< br>x?2
处,这两个粒子每隔一秒向左或向右移动一个
21
单位,已知向右移动的 概率是
3
,向左移动的概率是
3
.
(1)求3秒后,粒子A在点
x?1
处的概率;
(2)求2秒后,粒子A、B同时在
x?2
处的概率.
24
11
P?C
3
??()
2
?
339
;答案:(1 )由题意知,粒子A在三次移动中有一次向左移动,故(2)由题
216
21
12P?C
2
?()
2
?C
2
??
33381. 意知,粒子A在两次移动中均向右,粒子B向左、向右移动各一次,故
8.高校招生是根据考生 所填报的志愿,从考试成绩所达到的最高第一志愿开始,按顺序分批
录取,若前一志愿不能录取,则依次 给下一个志愿(同批或下一批)录取.某考生填报了三批
共6个不同志愿(每批2个),并对各志愿的单 独录取以及能考上各批分数线的概率进行预测,
结果如表所示(表中的数据为相应的概率,a、b分别为
批次 高考上线 a b
第一、第二志愿).
第1批 0.6 0.8 0.4
(Ⅰ)求该考生能被第2批b志愿录取的概率;
第2批 0.8 0.9 0.5
(Ⅱ)求该考生能被录取的概率;
第3批 0.9 0.95 0.8
(Ⅲ)如果 已知该考生高考成绩已达到第2批分数线却
未能达到第1批分数线,请计算其最有可能在哪个志愿被录取 ?(以上结果均保留二个有效
数字)


答案:解:分别记该考生考上第1、2、 3批分数线为事件A、B、C,被相应志愿录取为事件
Ai、Bi、Ci,(i=a、b), 则以上各事件相互独立.
(Ⅰ)“该考生被第2批b志愿录取”包括上第1批分数线和仅上第2批 分数线两种情况,故
所求概率为
P
1
?P(AA
a
A
b
B
a
B
b
)?P(ABB
a
B
b)


?0.6?(1?0.8)(1?0.4)(1?0.9)?0 .5?(1?0.6)?0.8?(1?0.9)?0.5
?0.45
.
(Ⅱ)设该考生所报志愿均未录取的概率为
P
2
,则
P
2
?P(AA
a
A
b
B
a
B
b
C< br>a
C
b
)?P(ABB
a
B
b
C
a
C
b
)?P(ABCC
a
C
b
)
?P(A BC)

?0.6?(1?0.8)(1?0.4)(1?0.9)(1?0.5)(1?0. 95)(1?0.8)
?(1?0.6)?0.8?(1?0.9)(1?0.5)(1?0.95)( 1?0.8)


?(1?0.6)(1?0.8)?0.9 ?(1?0.95)(1?0.8)?(1?0.6)(1?0.8)(1?0.9)


?0.00892
.
∴该考生能被录取的概率为
P?1?P
2
?1?0.00892?0.99
.
(Ⅲ)由已知,该考生只可能被第2或第3批录取,仿上计算可得各志愿录取的概率如表所示:

批次 a b

第2批 0.9 0.05

第3批 0.048 0.0020
从表中可以看出,该考生被第2批a志愿录取的概率最大,
故最有可能在第2批a志愿被录取.



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本文更新与2020-09-21 13:39,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/407018.html

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