高中数学专题训练：统计

高中数学专题训练：统计
I 卷
一、选择题
1．由一 组样本数据(
x
1，
y
1)，(
x
2，
y
2)，…，(
xn
，
yn
)得到回归直线方程＝
bx
＋a
，那么下面说法
错误的是( )
A．直线＝
bx
＋
a
必经过点(
x
，
y
)
B．直线＝
bx
＋
a
至少经过点(
x
1，
y
1)，(
x
2，
y
2)，…，(
xn
，
yn
)中的一个点
n
?
xiyi
－
nx
C．直线＝
bx
＋
a< br>的斜率
b
＝

y

2
i
＝1
n
?
x
2
i
－
nx
i
＝1
n< br>D．直线＝
bx
＋
a
和各点(
x
1，
y1)，(
x
2，
y
2)，…，(
xn
，
yn< br>)的偏差
坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的
【答案】B
2．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )
A．92,2 B．92,2.8
C．93,2 D．93,2.8
【答案】B
3． 为了评 价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经
过计算
K
2
?
[
yi
－(
bxi
＋
a
) ]2是该
i
＝1
?0.99
，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )
A．有
99%
的人认为该栏目优秀
B．有
99%
的人认为该栏目是否优秀与改革有关系
C．有
99%
的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系
D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系
【答案】D
4．某同学有同样的 画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，
则不同的赠送方法共有( )
A．4种 B．10种
C．18种 D．20种
【答案】B
5．某产品的广告费用
x
与销售额
y
的统计数据如下表：

广告费用
x
(万元)

4

2

3

5
销售额
y
(万元)

49

26

39

54
根据上表可得 回归方程＝
x
＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
【答案】B
6．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 则
y
对
x
的线性回
归方程为（ ）
1 11

A．
y?x?1
B．
y?x?1
C．
y?
1
2
x?88
D．
y?176

父亲身高
x
(cm)

174

176

176

176

178

儿子身高
y
(cm)

175

175

176

177

177


【答案】C
7．对总数为
N
的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个 零件被抽到的概率为0.25，则
N
的
值为( )
A．120 B．200
C．150 D．100
【答案】A
8． 为了做一项调查，在A 、B、C、D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中
按单位分层抽取容量为100的 样本，若在B单位抽取20份问卷，则在D单位抽取的问卷份数是

A．30份 B．35份 C．40份 D．65份
【答案】C
9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3 ,7，
a
，
b,
12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为
10.5.若要使该总体的方差最小，则
a
，
b
的取值分别是( )
A．10,11 B．10.5,10.5
C．10,10 D．10,12
【答案】B
10．在样本的频率分布直方图中，一共有
m
(
m≥3)个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余
m
－1
个小矩形面积之和的
1
4
，且样本容量为100，则第3组的频数是( )
A．0.2 B．25
C．20 D．以上都不正确
【答案】C
11．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5) 2；[15.5,19.5) 4；[19.5,23.5) 9；
[23.5,27.5) 18；[27.5,31.5) 11；[31.5,35.5) 12；
[35.5,39.5) 7；[39.5,43.5) 3.
根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占( )
A．
21
11
B．
3
C．
1
2
D．
2
3

【答案】B
1 2．甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若
甲、乙 小组的平均成绩分别是
x
甲
，
x
乙
，则下列结论正确的是( )
甲

乙
9 8

8

3 4 8 9
2 1 0

9

1
A.
x
甲
>
x
乙
，甲比乙成绩稳定
B．
x
甲
>
x
乙
，乙比甲成绩稳定
C．
x
甲
<
x
乙
，甲比乙成绩稳定
D．
x
甲
<
x
乙
，乙比甲成绩稳定
【答案】A
13．为了解电视对生活的影响，就平均每天看电视的时间，一个社会调查机构对 某地居民调查了
10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民 平均每天看
电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出 100
人作进一步调查，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是( )
2 11
）(

A．25 B．30
C．50 D．75
【答案】A
14． 已知
x,y
之间的一组 数据如表所示，对于表中数据，现在给出如下拟合直线，则根据最小二
乘法思想判断拟合程度最好的直线 是（ ）
A．
$$
y?
【答案】C

x?1
B．
$$
y?2x?1


C．
$$
y?1.6x?0.4
D．
$$
y?1.5x

3 11

II卷
二、填空题
15．将容量为
n
的样本中的数据分成6组， 绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之
比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频 数之和等于27，则
n
＝________.
【答案】60
16．甲、乙 两位工人参加技能竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽
取8次，记录如下 ：

甲

82

81

79

78

95

88

93

84
乙

92

95

80

75

83

80

90

85
现要从中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适，并
简述理由____________________．
【答案】派甲参加比较合适，因为
x
甲
＝
x
乙
，
s
甲
<
s
乙
，甲的成绩比较稳定
17．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产 品净重(单位：克)数据绘制的
频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分 组为[96,98)，[98,100)，
[100,102)，[102,104)，[104,10 6]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中
净重大于或等于98克并且小于104 克的产品的个数是________．
22

【答案】90

1 8．某单位为了了解用电量y度与气温
xC
之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温 ，
并制作了对照表：
0

?
?bx?a
中
b??2
，预测当气温为
?4C
时，用电量的度数约为由表中数据得线性回归方程
y< br>0
________.
【答案】68
19．某中学为了解学生数学课程的学 习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名
学生的某次数学考试成绩，得到了样 本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测这
3000名学生在该次数学考试中成绩小于6 0分的学生数是________．

【答案】600
20．一般来说，一个人脚 越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚长
x
与身高
y
进行测量，得如下数据(单位：cm)：

x
20

21

22

23

24

4 11
25

26

27

28

29

141

146

154

160

169

176

181

188

作出散点图后，发现散点在一条直线附近．经计算得到一些数据：
y
197

203

某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长26.5 cm，请你估计案发嫌疑人的身高
为________cm.
【答案】185.5

5 11

三、解答题
21．某中学对高二甲、乙两 个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得
分率作用”的试验，其中甲班为试 验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，
无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙 两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验
结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整 数)如下表所示：

现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀．
(1)试分析估计两个班级的优秀率；
(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是 否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训
练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.
n
(
ad
－
bc
)
2
2
参考公式及数据：
K
＝，
(
a
＋
b
)(
c
＋d
)(
a
＋
c
)(
b
＋
d
)


【答案】(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，
30
甲班优秀人数为30人，优秀率为＝60%，
50
25
乙班优秀人数为25人，优秀率为＝50%，
50
所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.
(2)
100×(30×25－20×25)100
＝≈1.010，
50×50×55× 4599
所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’ 得分
率”有帮助．
22．数学课程改革试验中，某数学教师分别用
A
、B
两种不同的教学方式实验甲、乙两个高一新班(均
为60人，入学数学平均分和优秀率都 相同，勤奋程度和自觉性都一样．)现随机抽取甲、乙两
班各20名学生的数学期末市统考成绩，得茎叶 图19－5：
甲

乙

2

9

0

1

5

6

8
6

6

3

2

1

8

0

1

2

5

6

6

8

9
8

3

2

2

1

7

3

6

8
9

8

7

7

6

6

5

7

9

9

9

9

8

8

5
图19－5
(1)依茎叶图判断哪个班级的平均分高？
因为
K
＝
2
2

6 11

(2)学校规定：成绩不低于85分为优秀，请填写下面2×2列联表，并判 断能否以97.5%的把握认
为“成绩优秀与教学方式有关”？

甲班
A
乙班
B
合计
优 秀
不优秀
合 计
(3)现从乙班数学成绩不低于85分的同学中随机抽取2人，成绩不低于90分的同学奖100元，否
则奖50元，记
X
为这2人所得的奖金和，求
X
的分布列和数学期望 ．
n
(
ad
－
bc
)
2
2
参考 公式：
K
＝，其中
n
＝
a
＋
b
＋
c
＋
d
.
(
a
＋
b
)(
c＋
d
)(
a
＋
c
)(
b
＋
d
)
参考数据：


0.100

0.050

0.025

0.010
2.706

3.841

5.024

6.635
【答案】(1)甲班数学成绩集中于60～90分之间，而乙班数学成绩集中于8 0～100分之间，所以乙
班的平均分高．
(2)
P
(
K
2
≥
k
0
)

k
0



优秀

不优秀

合计

2
2
甲班
A
3

17

20

乙班
B
10

10

20

合计
13
27
40
40×(3×10－10×17)
K
＝≈5.584>5.024，
13×27×20×20
因此有97.5%的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
(3)依题意知
X
＝100,150,200.
C
5
2C
5
C
5
5
P
(
X
＝100)＝
2
＝，
P
(
X
＝150)＝
2
＝，
C10
9C
10
9
C
5
2
P
(
X
＝200)＝
2
＝，
C
10
9
∴
X
的分布列为
2
211

E
(
X
)＝100×＋150×＋200×＝150.
23．某社 区为了选拔若干名2010年上海世博会的义务宣传员，从社区300名志愿者中随机抽取了
50名进行 世博会有关知识的测试，成绩(均为整数)按分数段分成六组：第一组[40,50)，第二
组[50, 60)，…，第六组[90,100]，第一、二、三组的人数依次构成等差数列，下图是按上述分
组方 法得到的频率分布直方图的一部分．规定成绩不低于66分的志愿者入选为义务宣传员．
2
9
5
9
2
9
7 11

(1)求第二组、第三组的频率并补充完整频率分布直方图；
(2)由所抽取志愿者的成绩分布，估计该社区有多少志愿者可以入选为义务宣传员．
【答案 】(1)二、三两组的人数和为50－(0.004＋0.044＋0.012＋0.008)×10×50＝1 6，
设公差为
d
，第一组人数为0.004×10×50＝2人，
∴2＋
d
＋2＋2
d
＝16，
解得
d
＝4.
2＋4
∴第二组的频率是＝0.12，
50
2＋8
第三组的频率是＝0.20.
50
补全频率分布直方图如下图所示：

4
×0.020＋0.0 44＋0.012＋0.008)×10＝0.72，估计可成为义务宣
10
传员的人数为0. 72×300＝216人．
24．为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生 产的产品中分别抽取14
件和5件，测量产品中微量元素
x
，
y
的含 量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
(2)成绩不低于66分的频率为(

(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素
x
，
y
满足
x
≥175且
y
≥75时，该 产品为优等品．用上述样本数据估计乙
厂生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件 产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数
ξ
的分布列及其
均值(即数学期 望)．
98×5
【答案】(1)由分层抽样的定义可知乙厂生产的产品数量为＝35(件)．
14
(2)由题中表格提供的数据可知，乙厂抽取的5件产品中有2件优等品，分别是2号和5 号，样品
2
中优等品的频率为，
5
2
由(1)知乙厂共有产品35 件，所以估计乙厂优等品的数量为35×＝14(件)．
5
(3)5件抽测品中有2件优等品，则
ξ
的可能取值为0,1,2. 211
C
3
3C
3
·C
2
3
P
(
ξ
＝0)＝
2
＝，
P
(
ξ
＝1)＝< br>2
＝，
C
5
10C
5
5
2
C2
1
P
(
ξ
＝2)＝
2
＝．
C
5
10
8 11

分布列为

3314
故
E
(
ξ
)＝0×＋1×＋2×＝．
105105
25．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，1 5名男同学中随机抽
取一个容量为8的样本进行分析．
(1)如果按性别比例分层抽样，应选男女生各多少人；
(2)随机抽取8位，若这8位同学的数学、物理分数对应如表：

根据上表数据用 变量
y
与
x
的相关系数或散点图说明物理成绩
y
与数学成绩
x
之间是否具有线性相
关性？如果具有线性相关性，求
y
与
x
的线性回归方程(系数精确到0.01)．如果不具有线性相关
性，请说明理由．
参考公式：
相关系数
r
＝
回归直线的方程是：＝
bx
＋
a
，
其中
b
＝，
a
＝－
b
；
其中
i
是与
x
i
对应的回归估计值．
参考数据：
8
＝77.5，＝85，
?
(
x
i
－)≈1050，
2
i
＝1

8
【答案】(1)选男生15×＝3(人)，
40
8
选女生25×＝5(人)．
40
688
(2)变量
y
与
x
的相关系数是
r
≈≈0.99.
32.4×21.4
可以看出，物理与数学成绩是高度正相关．
以数学成绩
x
为横坐标，物理成绩
y
为纵坐标作散点图如图．

从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩是高 度正
相关．
设
y
与
x
线性回归方程是＝
bx＋
a
，根据所给的数据，可以计算出
688
b
＝≈0.66，
a
＝85－0.66×77.5＝33.85，
1050
所以
y< br>与
x
的回归方程是＝0.66
x
＋33.85.
26．某校 高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图如图所示和频率分布直方图如图所示，都受到不
同程度的破坏 ，但可见部分如下，据此回答如下问题：
9 11

(1)求全班人数；
(2)求分数在[80,90)之间的人数；并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；
(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至 少有
一份分数在[90,100]之间的概率．
【答案】(1)由茎叶图知，分数在[50, 60)之间的频数为2，由频率分布直方图知，分数在[50,60)
之间的频率为0.008×10＝ 0.08，
2
所以，全班人数为＝25(人)．
0.08
4
(2 )分数在[80,90)之间的人数为25－2－7－10－2＝4人，分数在[80,90)之间的频率为＝0 .16，
25
0.16
所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为＝0.016.
10
(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4；[90,100]之间的 2个分数编号为5,6.
则在[80,100)之间的试卷中任取两份的基本事件为：
(1 ,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6 )，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，
(4,6)，(5,6)共15个，其中至少 有一个在[90,100]之间的基本事件有(1,5)，(1,6)，(2,5)，
(2,6)，(3 ,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共9个，故至少有一份分数在[90,100]之间 的概
93
率是＝．
155
27．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随 机选了14天，统计上午8：00～10：00间各自的
点击量，得如右图所示的茎叶图，根据茎叶图回 答下列问题：
茎叶图

(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？
(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率是多少？
10 11

(3)甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由．
【答案】(1)甲网站的极差为73－8＝65；
乙网站的极差为71－5＝66.
42
(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率为＝≈0.286.
147(3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布
情况来看，甲网站更受欢迎．
28．某研究机构对高三学生的记忆力
x
和判断力y
进行统计分析，得下表数据：

x
y
6

2

8

3

10

5

12
6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据 ，用最小二乘法求出
y
关于
x
的线性回归方程＝
x
＋；
(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．


图19－4
【答案】 (1)如图：

n
(2)
?x
i
y
i
＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
i＝1

故线性回归方程为
y
＝0.7
x
－2.3.
(3)由线性回归方程预测，记忆力为9的同学的判断力约为4.





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11 11