高中数学专题训练常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性 强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能
全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因 而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素
材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所 给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进
行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：
a
2
?1?a
；
n(n?1)?n< br>
⑵将分子或分母放大（或缩小）
⑶利用基本不等式，如：
lg3?lg5? (
n?(n?1)
lg3?lg5
2

)?lg15?lg16?l g4
；
n(n?1)?
2
2
⑷二项式放缩:
2
n
?(1?1)
n
?C
0
?C
1
???C
n
,
2
n
?C
0
?C
1
?n?1
,
nn
nnn

012
2
n< br>?C
n
?C
n
?C
n
?
n?n?2
2
2

2?n(n?1)(n?2)

n
(5)利用常用结论：
Ⅰ.
1
的放缩 ：
k
2
k?k?1
?
2
2k
?
2
k?k?1

Ⅱ.
1
的放缩(1) ：
k
2
111
（程度大）
?
2
?
k(k?1)kk(k?1)
11111
（程度小）
??(?)
k?1(k?1)(k?1)2k?1k?1
2
Ⅲ.
1
的放缩(2)：
1
?
2
2
k
k
411
（程度更小） Ⅳ.
1
的放缩(3)：
1
2
?< br>2
?2(?)
k4k?12k?12k?1
k
2
Ⅴ. 分式放 缩还可利用真（假）分数的性质:
b
?
b?m
(b?a?0,m?0)
和
b
?
b?m
(a?b?0,m?0)

aa?m
aa?m
记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看
b
,若
b
小,则不等号是小于号,反之亦然.
Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例：
f(x)?
x
(x?0)，从而实现利用函数单调性质的放缩：
1?x
f(a?b)?f(a?b)
。
一． 先求和再放缩
例1.
a
n
?


1
,前n项和为S
n
，求证：
s
n
?1

n?(n?1)
1 9

例2.
a
n
?()
, 前n项和为S
n
，求证：
s
n
?







二． 先放缩再求和
1
3
n
1

2
（一）放缩后裂项相消
例3．数列







{a
n
}
，
a
n
?(?1)
n?1
2
1
s
2n
?
2

n
，其前
n
项和为
s
n
，求证：
（二）放缩后转化为等比数列。
2
例4.
{b
n
}
满足：
b
1
?1,b
n?1
?b
n
? (n?2)b
n
?3

（1） 用数学归纳法证明：
b
n
?n

（2）
T
n
?

2 9

1111
1< br>???...?
，求证：
T
n
?

3?b
1
3?b
2
3?b
3
3?b
n
2

三、裂项放缩
例5 .(1)求
?
k?1
n
2
4k
2
?1
n< br>的值; (2)求证:
?
1
?
5
.
2
k?1
k
3







例6.(1)求证:
1?
1
?
1
?? ?
22
35
171
??(n?2)

2
62(2n?1)
(2n?1)
(2)求证:
1
?
1
?
1
???
1
?
1
?
1

2
41636
4n
24n
(3)求 证：
2(n?1?1)?1?
1
?
1
???
1
?2 (2n?1?1)

23n






例7.求证:
6n1115
?1?????
2
?

(n?1)(2n?1)49n3





3 9