高一数学专题 直线与方程

直线与方程
典题温故


1．与直线
l:mx?my?1?0
垂直于点
P(2,1)
的直线方 程是（ ）
A．
mx?my?1?0
B．
x?y?3?0

【答案】D
【解析】知点
P(2,1)
在直线
l
上，则< br>2m?m?1?0
，则
m?1
，那么
l
的方程为
y? x?1
，
2
2
2
C．
x?y?3?0
D．
x?y?3?0

那么与直线
l
垂直且过点
P(2,1 )
的直线方程为
y?1??(x?2)
，即
x?y?3?0
． 2．已知
A(4,?3)
、
B(2,?1)
和直线
l:4x?3 y?2?0
，求一点
P
使
PA?PB
，且点
P
到< br>l
的距离等于2．
【答案】
(1,?4)
和
(
278
,?)

77
【解析】设点
P
的坐标为
P(a,b)
，
∵
A(4,?3)
、
B(2,?1)
，则
AB
的中点
M
的坐标为
(3,?2)
，
k
AB
??
1
，
那么
AB
的垂直平分线方程为
y?2?x?3
，即
x? y?5?0
，
而点
P(a,b)
在直线
x?y?5?0
上 ，故
a?b?5?0
，①
4a?3b?2
?2
，②
又已 知点
P
到
l
的距离为2，得
5
由①②可得
a?1< br>，
b??4
或
a?
278
，
b??
， 77
278
所以所求的点
P
坐标为
(1,?4)
和(,?)
．
77

经典集训

一、选择题
1．过点
P(1,m)
且与直线
x?y?1?0
平行的直线是
x?n y?1?0
，则（ ）
1

A．
m?2,n??1
B．
m??2,n?1
C．
m?2,n?1
D．
m??2,n??1

2．已知点
A(1,2)
、
B(3,1)
，则线段
AB
的垂直平分线的方程是 （ ）
A．
4x?2y?5
B．
4x?2y?5
C．
x?2y?5
D．
x?2y?5

3．过两条直线
x ?1
与
x?2y?0
的交点，且与
x
轴平行的直线方程是（ ）
A．
y?
1

2
B．
y?2
C．
x?
1

2
D．
x?2

4．点P(x,y)
在直线
x?y?4?0
上，
O
是坐标原点，则OP
的最小值是（ ）
A．
7
B．
6
C．
22
D．
5

5．点
P(2,4)
在直线< br>ax?y?b?0
上的射影是
Q(4,3)
，则
a,b
的值依 次为（ ）
A．
?2,5
B．
2,?11
C．
1
,?5

2
D．
?
1
,?1

2
6．若点
(3,2)
到过点
(1,3)
的直线的距离为
2
，则此直线的方程为 （ ）
A．
3x?4y?9?0
B．
4x?3y?9?0

D．
4x?3y?9?0
或
x?1
C．
3x?4y?9?0
或
x?1

7．设入射光线沿直线
y?2x?1
射向直线
y?x
，则被
y?x
反射后,反射光线所在的 直线
方程是（ ）
A．
x?2y?3?0
B．
x?2y?1?0
C．
3x?2y?1?0
D．
x?2y?1?0

8．两平行线
l
1
:x?2y?2 0?0
与
l
2
:x?2y?c?0
间的距离为
25
，则
c
等于（ ）
A．0或40

二、填空题
9．已知两点
A(?1,2)
，
B(2,?1)
，直线
x?2y?m ?0
与线段
AB
相交，则
m
的取值范围
是 ．
10．设直线
l
过点
A(2,4)
，它被平行线
x?y ?1?0
与
x?y?1?0
所截的线段的中点在直
线
x?2y?3? 0
上，则
l
的方程是____________．

2

B．10或30 C．
?20
或10 D．
?20
或40

三、简答题
11．已知
△ABC
的顶点为
A(2,4)
、
B(1,?2)
、
C(?2,3)
．
（1）求
BC
边上的中线
AM
所在直线的方程；
（2）求
△ABC
的面积．













12．已知点
A
的坐标为
(?4,4)
，直线
l
的方程为
3x? y?2?0
，求点
A
关于直线
l
的对称
点
A
?
的坐标．










3

13．已知两定点
A(2,5)
，
B(?2,1)
，
M
（在第一象限）和
N
是过原点的直 线
l
上的两个动
点，且
MN?22
，
l∥AB
，如 果直线
AM
和
BN
的交点
C
在
y
轴上，求 点
C
的坐标．






4

【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】A
【解析】两直线平行，则
n??1
，
P(1,m)
的坐标满足
x?y?1?0
，则
m?2
．
2．【答案】B
【解析】
AB
的中点为
(2,)
，
k
AB
??
即
4x?2y?5?0
．
3．【答案】A
【解析】可得交点 坐标为
(1,)
，那么过点
(1,)
与
x
轴平行的直线方程 是
y?
4．【答案】C
【解析】
OP
的最小值，就是坐标原点O
到直线
x?y?4?0
的距离，则
d?
5．【答案】A 【解析】
k
PQ
??
3
2
13
，则垂直平分线 方程为
y??2(x?2)
，
22
1
2
1
2
1
．
2
4
?22
．
2
1
，则
ax?y?b? 0
的斜率为
2
，则
a??2
，
2
又
Q( 4,3)
在直线
ax?y?b?0
上，则
b?5
．
6．【答案】C
【解析】当直线的斜率不存在时，方程为
x?1
，
易知点
(3,2)
到直线
x?1
的距离为
2
，满足要求；
当直线的斜率存在时，设为
k
，其方程为
y?3?k(x?1)
，即
kx?y?3?k?0
，
可得
3k?2?3?k
k
2?1
?2
，得
k?
3
，则直线方程为
3x?4y?9? 0
．
4
7．【答案】D
【解析】在直线
y?2x?1
上 取两个点
(?1,?1)
、
(0,1)
，它们关于直线
y?x
的对称点分别
为
(?1,?1)
、
(1,0)
，则反射光线所在的 直线方程是
x?2y?1?0
．
5

8．【答案】B
【解析】

二、填空题
9．【答案】
[?4,5]

【解析】直线过
A(?1,2)
时，
m?5
，直线过
B(2,?1)
时，
m??4
，
观察图形可得，直线与线段
AB
相交，则
?4?m?5
．
10．【答案】
3x?y?2?0

【解析】被平行线
x?y?1? 0
与
x?y?1?0
所截的线段的中点显然在直线
x?y?0
，
又它还在直线
x?2y?3?0
上，则交点为
(1,1)
，
则
l
过两点
(2,4)
与
(1,1)
，则方程为
3x?y?2?0
．

三、简答题
11．【答案】（1）
7x? 5y?6?0
；（2）
c?20
5
?25
，则
c?20?1 0
，则
c?10
或
c?30
．
23
．
2
【解析】（1）
BC
边的中点是
M(?
直线
AM
的方程是
11
,)
，
22
y?4x?2
?
，即
7x?5y?6?0
．
11
?4??2
22
22
（2）
BC?(?2?1)?(3?2)? 34
，
直线
BC
的方程是
y?2x?1
?
，即< br>5x?3y?1?0
，
3?2?2?1
|5?2?3?4?1|
5< br>2
?3
2
?
23
，
34
点
A到它的距离是
d?
所以
△ABC
的面积是
S?
123< br>BC?d?
．
22
6

12．【答案】
(2,6)
．
【解析】设点
A
?
的坐标为
(x
?
,y
?
)
，
因为点
A< br>与
A
?
关于直线
l
对称，所以
AA
?
⊥
l
，且
AA
?
的中点在
l
上，
而直 线
l
的斜率是
?3
，所以
k
AA
?
?1
，
3
又因为
k
AA
?
?
y
?
?4y
?
?41
?
． ，所以
x
?
? 4x
?
?43
x
?
?4y
?
?4
,)，
22
再因为直线
l
的方程为
3x?y?2?0
，< br>AA
?
的中点坐标是
(
所以
3?
x
?
?4y
?
?4
??2?0
，
22
解得
x
?
?2
，
y
?
?6
，所以
A
?
点的坐标为
(2,6)
．
13．【答案】
(0,?3)
．
【解析】得
k
AB
?
1
，于是
k
l
?1
，从而
l
的方程为
y?x
，设
M(a,a)(a?0)、
N(b,b)
，
由
MN?22
，得
(a?b)2
?(a?b)
2
?22
，故
a?b?2
，
直线
AM
的方程为
y?5?
a?53a
(x?2)
，令x?0
，得
C
的坐标为
(0，)
，
a?2a?2直线
BN
的方程为
y?1?
b?13b
(x?2)
，令
x?0
，得
C
的坐标为
(0，)
，
b?2b?2
故得
3a3b
?
，化简得
a??b
，
a?2b?2
将其代入
a?b?2
，并注意到
a?0
，得< br>a?1
，
b??1
，
可得点
C
的坐标为
(0,?3)
．


7