高中数学小专题(精品)16

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微专题16
含参数函数的单调区间
在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分
析函数单调性时面临的分类讨论。本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加
快速准确的分 析含参数函数的单调区间。
一、基础知识：
1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单 调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数
的单调区间。即确定定义域→求出导函数→令
f< br>'
?
x
?
?0
解不等式→得到递增区间后取定义域
的 补集（减区间）→单调性列出表格
2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x
的限制有时会简化含参不等
式的求解
3、求单调区间首先确定定义域，并根据 定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化
讨论的不等式
4、关于分类讨论的时机与分界点的确定
（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨 论，例如解不等式：
x?a?0
，其解集为
?
a,??
?
， 中间并没有进行分类讨论。思考：为什么？因为无论参数
a
为何值，均是将
a
移到
不等号右侧出结果。所以不需要分类讨论，再例如解不等式
x?a?0
，第一步移 项得：
x?a
（同样无论
a
为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边 开方时发现
a
的不同取值会导
致不同结果，显然
a
是负数时，不等式 恒成立，而
a
是正数时，需要开方进一步求解集，分类
讨论由此开始。体会：什么时候 开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影
响不相同时，就是分类讨论开始的时机。所以 一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，
而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自 然的进行分类讨论。（2）分界点的
确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。要想找好分界 点，首先要明确参数在
问题中所扮演的角色。例如上面的不等式
x?a
，
a< br>所扮演的角色是被开方数，故能否开方
是进行下一步的关键，那自然想到按
a
的 符号进行分类讨论。
（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解
（4）当 参数
a
扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角
色 的情况以及是否要进行进一步的分类。
2
22
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例如：解不 等式：
?
ax?1
??
x?1
?
?0
，可得：x
1
?
1
?
a?0
?
,x
2
?1
此时
a
扮演两个角
a
色，一个是
x
的系数，将 决定解集是小大根之外还是小大根之间，另一个角色是决定
x
1
的大
小，进而 要和
x
2
来角逐大小根。那么在处理时可先以其中一个为主要目标，例如以
x
系数的
正负，进行分类。
①当
a?0
时，此时不等式的解集为小大 根之间，而由于
a?0
，以此为前提
x
1
?0?1?x
2< br>，
故小大根不存在问题，解集为
?
?
1
?
,1
?

a
??
②当
a?0
时，不等式变为
?
?
x?1
?
?0?x?
?
??,1
?

③当
a?0
时，不等式解集为小大根之外，而
x
1
?
1?0,x
2
?1
，
x
1
,x
2
的大小 由
a
的取值决
a
定，所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。（重视① ③的对比）
?
1
?
x
1
?x
2
?0?a ?1
时，不等式解集为
?
??,1
?
U
?
,??< br>?

?
a
?
x
1
?x
2
? a?1
时，不等式化为
?
x?1
?
?0?x?1

2
1
??
x
1
?x
2
?a?1
时，不等式 解集为
?
??,
?
U
?
1,??
?
a
??
希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界，若能领悟，其分类讨论不再是一个难 点，而
是有线索可循了。
二、典型例题：
例1：已知函数
f
?< br>x
?
?
1?x
?lnx
，求
f
?
x
?
的单调区间
ax
解：定义域
x?
?
0,??
?

f< br>?
x
?
?
令
f
'
1
?
1< br>?
11ax?1
'
?1?lnx
?fx????
??
??
22
a
?
x
?
axxax
?
x
?
?0
，所解不等式为
ax?1
?0

a
1

a
当
a?0
时，即解不等式
ax? 1?0?x?
?f
?
x
?
的单调区间为：
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x

?
1
?
?
0,
?

?
a
?
?
1
?
,??
??

a
??
f
'
?
x
?

?

]

+

Z

f
?
x
?

当
a?0
时，
ax?1?0,a?0

?f
'
?
x
?
?0
恒成立
?f
?
x
?
为增函数:
例2：已知函数
f
?
x
?
?ax?3x?1?
32
3

a
1
x?1
垂直，求实数
a
的值
3
（1 ）若
f
?
x
?
的图像在
x??1
处的切线与直线< br>y??
（2）求函数
f
?
x
?
的单调区间
解：（1）由切线与
y??
1
x?1
垂直可得：
f
'
?
?1
?
?3

3
f
'
?
x< br>?
?3ax
2
?6x

?f
'
?
?1
?
?3a?6?3?a??1
（2）思路：导函数
f
'
?
x
?
?3ax
2< br>?6x
，令
f
'
?
x
?
?0
解单调 增区间，得到含参不等式。分类
讨论时注意
a
扮演两个角色：一个是影响最高次项的符 号，一个是影响方程的根
解：
f
'
?
x
?
?3a x
2
?6x
令
f
'
?
x
?
?0
即
3ax
2
?6x?0


?3x
?
ax?2
?
?0

①
a?0

x
1
?0,x
2
?
件，在本题 中使用
a
2

?x
2
?x
1

（将
a
的范围分类后，要善于把每一类的范围作为已知条使用
a
?0
的条件使得
x
1
,x
2
大小能够确定下来，避免了进一步的分类）
?f
?
x
?
的单调区间为：
x

?
??,0
?

+

Z

?
2
?
?
0,
?

?
a
?
?
2
?
?
,??
?

?
a
?
?

f
'
?
x
?

f
?
x
?

?

]

Z

②
a?0

?x
2
?x
1

?f
?
x
?
的单调区间为：
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x

2
??
??,
??

a
??
?
2
?
?
,0
?

?
a
?
?
0,??
?

?

f
'
?
x
?

+

Z

?

]

f
?
x
?

Z

例3：已知函数
f
?
x
?
?2lnx ?ax
2
，求
f
?
x
?
的单调区间
解：定义域：
x?
?
0,??
?

22?2ax< br>2
2
'
f
?
x
?
??2ax?
，令
f
?
x
?
?0
，可得：
2?2ax?0

xx
'
即
ax?1

2
?
1a
?
当
a?0
时，
x??x?
?
0,
?
a?
?

a
??
2
?f
?
x
?
的单调区间为：
x

?
a
?
0,
?
?
a
?
?

??
?

?
a
?
,??
??
?
a
?

??
f
'
?
x
?

f
?
x
?

?

]

Z

当
a?0
时，
f
?
x
??2lnx
为增函数
22?2ax
2
?0
恒成立
?f
?
x
?
为增函数 当
a?0
时，
f< br>?
x
?
??2ax?
xx
'
例4：讨论函数
f
?
x
?
?
?
a?1
?
lnx?ax?1
的单调区间
2
a?12ax
2
?a?1
'
?2a x?
解：
f
?
x
?
?
令
f
?
x
?
?0

xx
'
即2ax?a?1?0?2ax??
?
a?1
?

（注意定义域 为
?
0,+?
?
，所以导函数分母恒正，去掉后简
22
化所 解不等式）
①
a?0
时
x??
2
a?1
（求解
x
需要除以
2a
后开方，进而两个地方均需要分类讨论，先从
2a
的
2a
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符号入手）
Qa?0??
a?1
?0


?f
'
?
x
?
?0
恒成立，
f
?
x
?
在< br>?
0,??
?
单调递增
2a
②
a?0
函数
f
?
x
?
?lnx?1
为增函数
③
a?0
时
x??
当
?
2
a?1a?1

（下一步为开方出解集，按
?
的符号进行再分类）
2a2a
a?1
?0
即
a??1
时，
f
'
?
x
?
?0
恒成立，
f
?
x
?
在
?
0, ??
?
单调递减
2a
a?1
a?1

?0
即
?1?a?0
时，解得：
0?x??
2a
2a
当
?
?f
?
x
?
的单调区间为：
x

?
a?1
?
0,?
??

2a
??
??
a?1
?,??
??

2a
??
f
'
?
x
?

+

Z

?

]

f
?
x
?

小炼有话说：本题定义域为
?
0,??
?
，故对单调区间既有促进作用又有制约作用：促进作用体
现在对所解不等式 的简化，请大家养成一个良好习惯，当已知变量范围时，一边关注范围一
边解不等式。制约作用体现在单 调区间应该是定义域的子集，所以在
?1?a?0
时，表格中自
变量的区间是从
x?0
处开始分析的
例5：已知函数
f
?
x
?
?x?
解：定义域为
?
0,??
?

2
?a
?
2?lnx
?
，讨论
f
?
x
?
的单调 性
x
2ax
2
?ax?2
2
'

f
?
x
?
?1?
2
??
令
f
?
x
?
?0
即
x?ax?2?0

2
xxx
'
考虑
??a?8

（左边无法直接因式分解，考虑二次函数是否与
x
轴有交点）
2
①
??0??22?a?22
时

x?ax?2?0
恒成立，故
f
?
x
?
在
?
0,??
?
单调递增 < br>2
a?a
2
?8a?a
2
?8
,x
2
?
②
a?22
时
x?ax?2?0
的解
x
1
?

x
1
,x
2
?0

22
2
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?
a?a
2
?8
??
a?a
2
?8
?
,??
?

?
x?ax?2?0
的解集为
?< br>0,
?
U
?
????
22
????
2
?f
?
x
?
的单调区间为：
x

?
a?a
2
?8
?
?
0,
?
< br>??
2
??
?
a?a
2
?8a?a
2
?8
?
,
??

??
22
??
?
a?a
2
?8
?
,??
?

?
??
2
??
?

f
'
?
x
?

+

Z

?

]

f
?
x
?

Z

'
③
a??22
时
x
1
,x
2
?0

??x?
?
0,??
?

f
?
x
?
?0

f
?
x
?
在
?
0,??
?
单调递增
小炼有话说：本题亮点在于② ③的讨论，判断极值点是否在定义域中。进而确定单调性。除
了解出根来判断符号之外，本题还可以利用 韦达定理进行判断。
x
1
?x
2
?2
，说明两根同号，而
x
1
?x
2
?a
，说明
a
的符号决 定
x
1
,x
2
的正负，从而在
??0
的情况下进行 再次分类讨论
例6：已知函数
f
?
x
?
?e
?< br>ax
?
a
?
?a?1
?
，其中
a??1.
?
x
?
（1）当
a?1
时，求曲线
y?f
?
x
?
在点
1,f
?
1
?
处的切 线方程；
（2）求
f
?
x
?
的单调区间．
解： （1）
f
?
x
?
?e
?
x
??
1
??
1
??
1
?2
?

f
'< br>?
x
?
?e
x
?
?2?
2
?

x
??
x
??
x
?f
?
1
?
?3e,f
'
?
1
?
?2e
切线方程为：y?3e?2e
?
x?1
?
，即
y?2ex?e
（2）
f
令
f
'
'
?
x
?
? ae
ax
?
x?1
?
?
?
?
a?1
?
x?1
?
?
x
2
,x?0
，
?
x
?
?0
，即解不等式：
a
?
x?1
?
?
?
?
a?1
?
x?1
?
?< br>?0

① 当
a??1
时，解得：
x??1
，故f
?
x
?
的单调区间为：
x

?
??,?1
?

?
?1,0
?

?
0,??
?

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f
'
?
x
?

f
?
x
?

?

]

?

+

Z

Z

② 当
?1?a?0
时
x
1
??1,x
2
?
故
f
?
x
?
的单调区间为：
11

?0
，所以解得：
?1?x?
a?1a?1
x

?
??,?1
?

?

]

?
?1,0
?

?

1
??
0,
??

a?1
??
?
1
?
,??
?

?
?
a?1
?
f
'
?
x
?

f
?
x
?

+

Z

?

]

Z

③
a?0
，则< br>f
?
x
?
?1
，常值函数不具备单调性
④
a?0
时，解得：
x??1
或
x?
1
故
f
?
x
?
的单调区间为：
a?1
x

?
??,?1
?

?

?
?1,0
?

?

]

1
??
0,
??

a?1
??
?
1
?
,??
?

?
?
a?1
?
f
'
?
x
?

f
?
x
?

例7：已知函数
f
?
x
?
?
'
?

]

+

Z

Z

1
2
x?ax?aln
?
x?1
??
a?R
?
.求函数
f
?
x
?
的单调区间.
2
x
2
?
?
a?1
?
xx
?
x?a?1
?
a??
解：
?f
?
x
?
?x?a?

x?1x?1x?1
令
f
'
?
x
?
?0
， 即
x
?
x?a?1
?
?0
，
x
1
?0,x
2
??
?
a?1
?

（参数
a
角色：①
x
1
,x
2
的大小，②
x
2
是否在定义域内，以①为目标分类）
①
x
2
?x
1
??
?
a?1
?
?0
即
a??1

（此时
?
?
a?1
?
一定在定义域中，故不再 分类）

不等式的解集为
?1?x?0
或
x??
?
a?1
?

?f
?
x
?
的单调区间为：
x

?
?1,0
?

?

?
0,?
?
a?1
?
?

?

?
?
?
a?1
?
,??
?

?

f
'
?
x
?

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f
?
x
?

↗ ↘ ↗
②
x
2
?x
1
?a??1

f
'
?
x
?
?x
2
?0

?f
?
x
?
在
?
?1,??
?
单调递增
③
x
2
?x
1
?0?a??1
，要根据
x
2
是否在
?
?1,0
?
进行进一步分类
当?1?a?0
时，
x
2
?
?
0,1
?
不等式的解集为
x?0
或
?1?x??
?
a?1
?

?f
?
x
?
的单调区间为：
x

?
?1,?
?
a?1
?
?

?

↗
?
?
?
a?1
?
,0
?

?

↘
?
0,??
?

?

↗
f
'
?
x
?

f
?
x
?

当
a?0
时，则
x? a?1?0
，不等式的解集为
x?0
，
?f
?
x
?
的单调区间为：
x

?
?1,0
?

?

↘
?
0,+?
?

?

↗


f
'
?
x
?

f
?
x
?




小炼有话说：
（1）在求单调区间时面临一个
f
'
?
x
?
?0< br>的根是否在定义域中的问题，由此也可体会到定义
域对单调区间“双刃剑”的作用，一方面缩小自 变量的范围从而有利于不等式的化简，另一
方面也圈住了单调区间，极值点所在的范围。
（2 ）体会参数起到多重作用时，是如何进行分类讨论的，以及在某个大前提下，参数讨论也
可进行些简化。
例8：已知函数
f
?
x
?
?lnx?ax?
?a?2
?
x
，求
f
?
x
?
的单调区间
2
解：定义域
?
x|x?0
?

2ax
2
?
?
a?2
?
x?1
?
2x?1
??ax?1
?
1
f
?
x
?
??2ax?
?
a?2
?
x????

xxx
'
令
f< br>'
?
x
?
?0
，即解不等式
?
2x?1??
ax?1
?
?0

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（1）当
a ?0
时，可得
ax?1?0
，则不等式的解为
x?
1

2
?f
?
x
?
的单调区间为：
x

?
1
?
?
0,
?

?
2
?
?
1
?
,??
??

2
??
f
'
?
x
?

+

Z

?

]

f
?
x
?

（2）当
a?0
时，
x
1
?
11
,x
2
??

2a
1111
①
x
1
?x
2
时，即???a??2
，解得
x?
或
0?x??

2a2a
?f
?
x
?
的单调区间为：
x

1
??
0,?
??

a
??
?

?
11
?
?
?,
?

?
a2
?
?
1
?
,??
??

2
??
?

f
'
?
x
?

f
?
x
?

?

]

Z

'
Z

②
x
1
?x
2
?a??2
，代入到
f
?
x
?
2x?1
??
?
x
2
?0
恒成立
?f
?
x
?
为增函数
③
x
1
?x
2
??2?a?0
，解得：
x??
11
或
0? x?

a2
?f
?
x
?
的单调区间为：
x

?
1
?
?
0,
?

?
2
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11
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,?
?

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2a
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1
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a
?
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f
'
?
x
?

f
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x
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例9：设函数
f
?
x
?
?
解：
f
'
?

]

Z

Z

1
3
ax?2ax
2
?
?
1?2a
?
x,a?0
，求
f
?
x?
的单调区间；
3
?
x
?
?ax
2
?4ax?1?2a
，令
f
'
?
x
?
?0
即
ax
2
?4ax?1?2a?0

??16a
2
?4a
?
1?2a
?
?24a
2
?4a?4a
?< br>6a?1
?

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（1）
??0?0?a?
1
则
f
'
?
x
?
?0
恒成立
?f
?
x
?
在
R
上单调递增
6
?4a?24a
2
?4a6a
2
?a
1
??2?
（ 2）
??0?a?0
或
a?

x?

2aa6
6a
2
?a6a
2
?a
?x??2?
① 当
a?0
时，解得
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，
f
?
x
?
单调区间为：
aa
x
?
6a
2
?a
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?
a
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2
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2
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f
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x
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Z

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2
?a6a
2
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1
② 当
a?
时，解得：
x??2?
或
x??2?

aa
6
f
?
x
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单调区间为：
x

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6a
2
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a
?
?

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?
?
6a
2
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2
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,?2?
?
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aa
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?

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6a
2
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a
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'
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x
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f
?
x
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]

?
Z

Z

n
例10：已知函数
f
?
x
?
?nx?x,x?R
，其中
n?N,n?2
，试讨 论
f
?
x
?
的单调性
思路：
f
'
?
x
?
?n?nx
n?1
?n1?x
n?1
，可 令
f
??
'
?
x
?
?0
，则需解不等式< br>x
n?1
?1
，由于
n?1
的奇偶不同会导致解集不同，所以 可对
n
分奇偶讨论
解：
f
'
?
x
??n?nx
n?1
?n1?x
n?1

令
f
'
??
?
x
?
?0
解得
x
n?1
?1

当
n
为奇数时，
n?1
为偶数，可解得：
?1?x?1

?f
?
x
?
的单调区间为：
x

?
??,?1
?

?

?
?1,1
?

?

?
1,??
?

?

f
'
?
x
?

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f
?
x
?

]

Z

]

当
n
为偶数时，
n?1
为奇数，可解得：
x?1

?f
?
x
?
的单调区间为：
x

?
??,1
?

?

?
1,??
?

?

]

f
'
?
x
?

f
?
x
?




Z

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