高中数学新课标选修4-5全套练习

算术平均数与几何平均数
一．选择题：
1．下列各式中，最小值等于2的是
xy
x
2
?5
－
（A）
?
（B）（C）t anθ+cotθ（D）2
x
+2
x

yx
x
2
?4
2．若0ab
, a
2
+b
2
, 2ab中最小的是
（A）a
2
+ b
2
（B）a+b（C）2ab（D）2
ab

3．设a∈R且a≠0，以下四个数中恒大于1的个数是
①a
3
+1; ②a
2
－2a+2; ③a+
11
; ④a
2
+
2
.
a
a
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
4．下列不等式：①x+
11
≥2；② |x+|≥2；③ 若0a
b+log
b
a≤－2；④ 若0xx
则log
a
b+log
b
a≥2。其中正确的是
（A）②④（B）①②（C）②③（D）①②④
5．使乘积xy没有最大值的一个条件是
（A）x
2
+y
2
为定值 （B）x>0, y>0且x+y为定值
（C）x<0, y<0且x+y为定值（D）x>0, y<0且x+y为定值
6．在下列结论中，错用基本不等式作依据的是
2
xyz
x?2
（A）x, y, z∈R
+
, 则
??
≥3（B）≥2
2
yzx
x?1
（C）lgx+log
x
10≥2 （D）a∈R
+
, (1+a)(1+
7．已知a>b>0，则下列命题正确的是
（A）
1
)≥4
a
2a?ba2a?ba2a?bb2a?bb< br>?
（B）
?
（C）
?
（D）
?

a?2bba?2bba?2baa?2ba
8．若x, y∈R且满足x+3y=2，则3
x
+27
y
+1的最小值是
（A）3
3
9
（B）1+2
2
（C）6（D）7
9．设a>b>c, n∈N，且
11n
??
恒成立，则n的最大值是
a?bb?ca?c
（A）2 （B）3（C）4 （D）6
10．若f(x)=
x3
?
且x∈(0, 1]，则f(x)的最小值是
3x

（A）2 （B）不存在 （C）
10
3
（D）
31
6

11．设a, b∈R
+
，且a≠b，则
（A）
a?b
a
2
?b
2
a
2
? b
2
2
<
ab
<
2
（B）
ab
<
a?b
2
<
2

（C）
ab
<
a
2
?b
2
2
<
a?b
a
2
?b< br>2
a?b
2
（D）
2
<
ab
<
2< br>
12．若x, y∈R
+
，且x+y≤4，下列各式成立的是
（A ）
111
1
x?y
≤
1
4
（B）
x
?
y
≥1（C）
xy
≥2（D）
xy
≥
1
2

13．若a>0, b>0，则下列不等式不
．
成立的是
（A）a+b+
1
ab
≥2
2
（B）(a+b)(11
a
2
?b
2
a
?
b
)≥4（C）
ab
≤a+b
14．已知log
x
y=－2，则x+y的最小值是
（A）
3
3
2
2
3
3
3
2
（B）
3
（C）
2
3
（D）
2
3
2
15．若x, y, a∈R
+
，且
x?y?ax?y
恒成立，则a的最小值是
（A）
2
（B）2 （C）1 （D）
1
2

二．填空题：
16．若x, y∈R
+
，且log
1
2< br>x+log
2
y=2，则
x
?
1
y
的最小值 是.
17．若a>b>0，则a+
1
b(a?b)
的最小值是.
18．设x>0，则函数y=3－3x－
1
x
的最大值是.
19．若正数a, b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是.
20．若实数x, y满足xy>0，且x
2
y=2，则xy+x
2
的最小值是.
21．函数y=
3x
x
2
?x?1
(x<0)的值域是.


D）
2ab
a?b
≤
ab
（

不等式的证明一
基础卷
一．选择题：
1．已知a>b>0，全集U=R, M={x| ba?b
}, N={x|
2
ab
ab
}，则
（ A）P=M∩(C
U
N)（B）P=(C
U
M)∩N（C）P=M∩N（D） P=M∪N
2．已知x>0, a, b, c为常数，且a与b为正数，则
（A）c－ax－
b
b
ab
（B）c－ax－≤c－2
ab

x
x
bb
>c－2
ab
（D）c－ax－≥c－2
ab

xx
（C）c－ax－
3．不等式：①x
2
+3>2x (x∈R) ；②a
5
+b
5
≥a
3
b
2
+a
2
b
3
；③a
2
+b
2
≥2(a－b－1)，其中 正确的是
（A）①②③（B）①②（C）①③（D）②③
4．设a=
2
, b=
7
－
3
, c=
6
－
2
，则a, b, c的大小关系是
（A）a>b>c（B）a>c>b（C）b>a>c（D）b>c>a
5．若a>b>1, P=
lga?lgb
, Q=
1
a?b
(lga+lgb)，R=lg, 则
2
2
（A）R22
ab
?
, Q=a+b, 则 6．设a, b∈R
+
，且a≠b，P=
ba
（A）P>Q（B）P≥Q（C）P二．填空题：
7．设a, b∈R
+
，则
a?b
2
与
a?b
的大小关系是.
8．若a, b, c∈R
+
，且a+b+c=1，则
a?b?c
的最大值是.
9．若a>b>0, m>0, n>0，则
abb?ma?n
, , , 按由小到大的顺序排列为
baa?mb?n
bb?1
?
；② (a+1)
2
>(b+1)
2
；③ (a－1)
2
>(b
aa?1
10．若a, b∈R，且a>b，则下面三个不等式：①
－1)
2
。其中不恒成立的有.


提高卷
一．选择题：

1．已知a, b∈R
+
，且a≠b, M=a
a
b
b
, N=a
b
b
a
，则
（A）M>N（B）M2．已知a>2, b>2，则有
（A）ab≥a+b（B）ab≤a+b（C）ab>a+b（D）ab3．设a, b, c, d, m, n都是正数, P=
ab?cd
, Q=
ma?nc?
（A）P≤Q（B）P≥Q（C）P=Q（D）不确定
4．设a, b, c∈R
+
，且a+b+c=1，若M=(
bd
?
，则有
mn
111
－1)(－1)(－1)，则必有
abc
（A）0≤M<
11
（B）≤M<1（C）1≤M<8（D）M≥8
88
a
b
?
b
a
, N=
a?b
，则M与N的大小关系是 5．若a, b∈R
+
，且a≠b, M=
（A）M>N（B）M二．填空题：
6．已知a<<0, m=
3
a?
3
b
, n=
3
a?b
，则m与n的大小关系是.
7．设2x+5y=20，且x, y∈R
+
，则lgx+lgy的最大值是.
8．若x, y∈R，且
x
=x－y，则x的取值范围是.
y
1
1
)(1+)的取值范围是.
y
x
9．已知x>0, y>0，且x+y=1, 则(1+
三．解答题：
10．设a>b>c>1，记M=a－
c
, N=a－
b
, P=2(
出中的最小者，并说明理由。









a?ba?b?c
3
－
ab
), Q=3(－
abc
)，试找
23
不等式的证明二
基础卷

一．选择题：
1．若1（A）(lgx)
2
2
2
<(lgx)
2
（C）(lgx)
2
2
（D）lg(lgx)<(lgx)
2
2

2．已知a>0，且a≠1，p=log
a
(a
3
+1), Q=log
a
(a
2
+1), 则P, Q的大小关系是
（A）P>Q（B）P3．设x>0, y>0, A=
x?yxy
?
, B=，则A, B的大小关系是
1?x?y1?x1?y
（A）A=B（B）AB
4．已知x, y∈R，且x
2
－2xy+2y
2
=2，则x+y的取值范围是
（A）R（B）(－
10
,
10
)（C）[－
10
,
10
]（D）[－1, 1]
5．设P=
2
, Q=
7
－
3
, R=
6
－
2
，则P, Q, R的大小顺序是
（A）P>Q>R（B）P>R>Q（C）Q>P>R（D）Q>R>P

6．设a, b, c∈R
+
，P=a+b－c, Q=b+c－a, R=c+a－b, 则“PQR>0”是“P, Q, R同时大于零”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）非充分非必要条件
二．填空题：
7．已知x, y∈R
+
，且x
2
+y
2
=1，则x+y的最大值等于.

8．△ABC为锐角三角形，比较sinA+sinB+sinC与cosA+cosB+c osC的大小.

9．比较大小：log
3
4log
6
7.

10 ．某工厂第一年年产量为A，第二年增长率为a，第三年增长率为b，则这两年的平均增长率
c与
a?b
的大小关系是.
2
111
1
≤<1;
???? ?
2n?1n?22n
11．（1）当n∈N
+
时，求证：
（2）当n∈N
+
时，求证：1+

111
<2
?????
222
23n
提高卷
一．选择题：
1．已知实数x, y满足2x
2
+y
2
=6x，则x
2< br>+y
2
+2x的最大值等于
（A）14（B）15（C）16（D）17
2．a, b, c, d∈R
+
，设S=
abcd
，则下列判断中正确的是
???
a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b

（A）03．若x>1，则函数y=x+
116x
+
2
的最小值为
x
x?1
（A）16（B）8（C）4（D）非上述情况
a?b
a
2
?b
2
4．设b>a>0，且P=, Q=, M=
ab
, N=, R=，则它们的大小
11
11
2
2< br>?
?
ab
a
2
b
2
2
2
关 系是
（A）P（C）P5．若a>b, m>0，则下列不等式中，恒成立的是
（A）(a+m)
2
>(b+m)
2
（B）
二．填空题：
6．设x=
1?y
2
，则x+y的最小值是.
7．设x+y=1, x≥0, y≥0，则x
2
+y
2
的最大值是.
8．设A=
b?mb
<（C）(a－m)
3
>(b－m)
3
（D）|am|> |bm|
a?ma
1111
，则A与1的大小关系是.
??????
10101011
22?12?22?1
9．已知－1三．解答题：
10．x, y∈R
+
，且x+y=1，求证：（1）(x+










不等式的证明一综合练习卷
一．选择题：
1．若0（A）
(1?a )?(1?a)
（B）log
(1
－
a)
(1+a)>0（C）(1 －a)
3
>(1－a)
2
（D）(1－a)
1+
a
>1
2．当01
3
1
2< br>1
1
11
1
1
)(y+)≥6（2）(x+)
2+(y+)
2
≥12.
y
y
x42
x

（A）
(1?a)
>(1－a)
b
（B）(1+a)
a< br>>(1+b)
b
（C）(1－a)
b
>(1－a)（D）(1－a)< br>a
>(1－b)
b

3．已知a, b, c都是正数，且ab+bc+ca=1，则下列不等式中正确的是
（A）(a+b+c)
2
≥3 （B）a
2
+b
2
+c
2
≥2
（C）
1
b
b
2
1111

??
≤2
3
（D）a+b+c≤
abc3abc
1
1?x2x
l og
a
x, n=log
a
, p=log
a
，其中00且x≠1，则下列各式中正确的是
221?x
4．设m=
（A）n11
x
2
?2
5．函数f(x)=x+ (x>2), g(x)=
()
(x≠0)，则f(x)与g(x)的大小关系是
x?22
（A）f(x)>g(x)（B）f(x)≥g(x)（C）f(x)6．a, b, c, d∈R, m=
a
2
?b
2
?c
2
?d
2
, n=
(a?c)?(b?d)
，则m与n的大小关系是
22
（A）mn（C）m≤n（D）m≥n
二．填空题：
7．若a>b>c，比较a
2
b+b
2
c+c
2
a与ab< br>2
+bc
2
+ca
2
的大小是.
8．设x, y∈ R，如果2
x
+2
y
≤4，那么
11
?
y
不小于.
x
22
9．当x>0且x≠1时,
1
x?1
l og
a
x>log
a
，则a的取值范围是.
2
2
ab
?
=1，x+y的最小值为18，则a=.
xy
10．已知a, b, x, y均为正数，且a+b=10,
三．解答题：
11．（1）已知a, b,c均为正数，求证：
111111
≥.
????
2a2b2ca?bb?cc?a
（2）设a, b∈R，求证：a
2
+b
2
+ab+1>a+b.
12．已知函数f(x)=tanx，x∈(0,
的大小。

不等式的证明二 综合练习卷
一．选择题：
1．设f(x)在(－∞, +∞)上是减函数，且a+b≤0，则下列各式成立的是
（A）f(a)+f(b)≤0 （B）f(a)+f(b)≥0
（C）f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)（D）f(a) +f(b)≥f(－a)+f(－b)
2．已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0, abc>0，则a, b, c的取值范围是
x?x
2
??1
), 若x
1
, x
2
∈(0, )，且x
1
≠x
2，试比较[f(x
1
)+f(x
2
)]与f(
1
)2
22
2

（A）a>0, b>0, c<0（B）a>0, b<0, c<0（C）a<0, b<0, c<0 （D）a>0, b>0, c>0
3．设实数x, y满足x
2
+(y－1)
2
=1，当x+y+d≥ 0恒成立时，d的取值范围是
（A）[
2
+1, +∞) （B）(－∞,
2
－1]（C）[
2
－1, +∞)（D）(－∞,
2
+1]
4．设不等的两个正数a, b满足a
3
－b
3
=a
2
－b
2
，则a+b的取值范围是
（A）(1, +∞)（B）(1,
44
)（C）[1, ]（D）(0, 1]
33
11
, 0)（D）[－, 0)
33
abca?b
, N=, Q=，则M, N与Q的
?
1?a1?b1?c1?a?b
5．设a+b+c=1, a
2
+b
2
+c
2
=1，且a>b>c，则c的取值范围是
（A）(1, +∞)（B）(－1, 0)（C）(－
6．已知a, b, c为三角形的三边，设M=
大小关系是
（A）M二．填空题：
7．若实数a, b满足a
3
+b
3
=2，则a+b与2的大小关系是.
8．已知x>0, y>0，且x+y>2，则
1?y
1?x
与至少有一个要小于.
y
x
9．若实数x, y, z满足x+y+z=a(常数)，则x
2
+y
2
+z
2
的最小值为.
10．若a>0，则a+
1
1
2
－
a?
2
的最大值为.
a
a
三．解答题：
11．在某两个正数x, y之间，若插入一个正数a，使x, a, y成等比数列；若插入两个正数b, c，
使x, b, c, y成等差数列，求证：(a+1)
2
≤(b+1)(c+1).










数学归纳法《训练题》
1．已知n为正偶数，用数学归纳法证明
1?
11 11111
??????2(????)
时，若已假设
n?k(k?2
为偶
234n?1n?2n?42n

数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证


A．
n?k?1
时等式成立
C．
n?2k?2
时等式成立
（ ）
B．
n?k?2
时等式成立
D．
n?2(k?2)
时等式成立
（ ） 2．设
f(n) ?
1111
?????(n?N
?
)
，则
f(n?1)?f (n)?

n?1n?2n?32n
B． A．
1

2n?1
1

2n?2
2
C．
1111
D．
??
2n?12n?22n?12n?2
2222
n(2n
2
?1)
3．用数学归纳法证明
1?2???(n?1)?n?(n?1)???2?1 ?
时，
3
22
由
n?k
的假设到证明
n?k?1
时，等式左边应添加的式子是
A．
(k?1)?2k

22222
（ ）
2
B．
(k?1)?k
C．
(k?1)
D．
(k?1)[2(k?1)?1]

1
3
4．某个命题与正整数 n有关，如果当
n?k(k?N
?
)
时命题成立，那么可推得当
n? k?1
时
命题也成立. 现已知当
n?5
时该命题不成立，那么可推得


A．当n=6时该命题不成立
C．当n=4时该命题不成立
（ ）
B．当n=6时该命题成立
D．当n=4时该命题成立
n
5．用数学归纳 法证明“
(n?1)(n?2)?(n?n)?2?1?2???(2n?1)
”（
n ?N
?
）时，从
“
n?k到n?k?1
”时，左边应增添的式子是
A．
2k?1
B．
2(2k?1)
C．
（ ）
2k?1

k?1
D．
2k?2

k?1
6．用数学归纳法证明“
1?
11111111
”时，
???????????
2342n?12nn?1n?22n
由
n? k
的假设证明
n?k?1
时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ）
A．
111
????

k?12k2k?1
111
????

k?22k2k?1
B．
1111
?????

k?12k2k?12k?2
111
????

k?22k?12k?2
C．D．
2
7. 数列
?
an
?
的前n项和
S
n
?n?a
n
(n?2)< br>，而
a
1
?1
，通过计算
a
2
,a
3
,a
4
,
猜想
a
n
?
( )

A．
2

2
(n?1)
B．
2

n(n?1)
C．
2

n
2?1
D．
2

2n?1
8．已知数列
?
a
n
?
的通项公式
a?
n
1
，记
f(n)?(1?a
1
)(1?a
2
)(1?a
3
)?( 1?a
n
)
，
(n?
N*）
2
(n?1)
通过计算
f(1),f(2),f(3),f(4 )
的值，由此猜想
f(n)?

A．

D．
（ ）
n?2

2(n?1)
B．
n?2

4n
C．
2n?1

2
(n?1)
n?1

n(n?1)
9．数列
?
a
n
?
中，a
1
=1，S
n
表示前n项和，且S
n
，S
n+1
，2 S
1
成等差数列，通过计算S
1
，S
2
，
S
3
，猜想S
n
=
A．

B．
（ ）
2n?1

n?1
2
2n?1

n?1
2
C．
n(n?1)

n
2
D．1－
1
2
n?1

2
1 0．a
1
=1，
a
n?1
?a
n
,且(a
n?1
?a
n
)?2(a
n?1
?a
n
)?1?0 ,计算a
2
,a
3
,
然后猜想
a
n
?( )
A．n B．n
2
C．n
3
D．
n?3?n

（ ） 11．设
0?
?
?
?
2
,
已知
a
1
?2cos
?
,an?1
?2?a
n
,
则猜想
a
n
?

B．
2cos
A．
2cos
?
2
n
?
2
n?1
C．
2cos
?
2
n?1
D．
2sin
?
2
n

12．从一楼到二楼的楼梯共有n级 台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有
f(n)

种走法，则下面的猜想正确的是


A．
f(n)?f(n?1) ?f(n?2)
C．
f(n)?2f(n?1)?1
（ ）
(n?3)
B．
f(n)?2f(n?1)
D．
f(n)?f( n?1)f(n?2)
(n?2)

(n?3)

(n?2)

二、填空题
13．凸
k
边形内角和为
f(k)
，则凸
k?1
边形的内角为
fk?1)?f(k)?
.
14．平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设
k
条这样的直线 把平面分
成
f(k)
个区域，则
k?1
条直线把平面分成的 区域数
f(k?1)?f(k)?
.
15．用数学归纳法证明“
2
n?1
?n
2
?n?2(n?N
?
)
”时，第一步验证为.
nn
16．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，
x?y
能被
x?y
整除”，当第二步假设

n?2k?1(k?N
?
)
命题为真时，进而需证
n?
时，命题亦真.
17．数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,且4a
n?1
?a
n
a
n?1
?2a
n
?9,
通过计算
a
2
,a
3
,a
4
,
然后猜想
a
n
?
____.
18．在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
n?1
?(n?1)a
n
,
通过计算
a
2
,a
3
,a
4
,
然后猜想
a
n
?

19．设数列
?
a
n
?
的 前n项和S
n
=2n－a
n
（n∈N
+
），通过计算数列的 前四项，猜想
a
n
?
_____.
20．已知函数
f( x)?
2
,
记数列
?
a
n
?
的前n项和为 S
n
，且
a
1
?f(1),当n?2
时，
2?x
S
n
?
21
?(n
2
?5n?2),
则通 过计算
a
1
,a
2
,a
3
,
的值，猜想< br>?
a
n
?
的通项公式
a
n
?
___ .
f(a
n
)2
三、解答题
21．用数学归纳法证明：
1
2
2
2
n
2
n(n?1)
?????
；
1?33?5(2n?1)(2n?1)2(2n?1)


22．用数学归纳法证明：
（Ⅰ）
7
（Ⅱ）
a


23．用数学归纳法证明：
（Ⅰ）
1?
2n
?4
2n
?297
能被264整除； ?(a?1)
2n?1
能被
a
2
?a?1
整除（其中n ，a为正整数）
n?1
11111111

?????
n
?n
； （Ⅱ）
?????
2
? 1(n?1)
；
234nn?1n?2
2?1n
p
2
24． 数列
{a
n
}中,a
1
?2p,a
n
?2p?，
p
是不等于零的常数，求证：
p
不在数列
{a
n}
中.
a
n?1

25．设数列
{x
n}:x
1
?
331
2
?
,x
n
??x
n?1
，其中
n?2,n?N
，
1682

求证：对
n?N
都有 （Ⅰ）
0?x
n
?


26．是否存在常数a，b，c，使等式
?
111
； （Ⅱ）
x
n
?x
n?1
； （Ⅲ）
x
n
??()
n
.
222
1?2
2
?2?3
2
???n(n?1)
2
?


n(n?1)
(an
2
?bn?c)对n?
N
+
都成立， 并证明你的结论.
12
27．已知数列
?
a
n
?
的各项为正数，其前n项和为S
n
，又
a
n
与S
n
满足关系式：
4S
n
4S
1
4S
2
????? S
n
，试求
?
a
n
?
的通项公式.
a
1
?2a
2
?2a
n
?2


28．已知数列
?
a
n
?
的各项为正数，S
n为前n项和，且
S
n
?
证明你的结论.



29．已知数列
?
a
n
?
是等差数列，
a
1
?1,a
3
?2,
设
P
n
?a
1
?a
3
?a
9
???a
k
(k?3
n?1
,n?
N
+
），
11
(a
n
?)
，归 纳出a
n
的公式，并
2a
n
Q
n
?a
2< br>?a
6
?a
10
???a
m
(m?4n?2,n?< br> N
+
），问P
n
与Q
n
哪一个大？证明你的结论.


30．已知数列
?
a
n
?
：
a
0
?1,a
n
?p|a
n?1
|?1(n?
N*
,0?p?1),

（Ⅰ）归纳出a
n
的公式，并证明你的结论； （Ⅱ）求证：
?
1
?a
n
?0.

p
数学归纳法《答案与解析》


一、1.B 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.A 9.D 10.B 11.B 12.A
二、13．
?
， 14．
k?1
， 15．当
n?1
时，左边=4=右边，命题正确. 16．
2k?1

17．
6n?52n?1
18．n！ 19．
n?1
20．n+1
2n?1
2
k(k?1)(k?1 )
2
(k?1)(k?2)
??
21．当
n?k?1
时，左 边=.
2(2k?1)(2k?1)(2k?3)2(2k?3)
22．（Ⅰ）当
n ?k?1
时，
7
2(k?1)
?4
2(k?1)
?297? 49?(7
2k
?4
2k
?297)?33?4
2k
?48 ?297

?49?(7
2k
?4
2k
?297)?33? 8?(2
4k?3
?48?9)?49?(7
2k
?4
2k
?297)

?264?(2
4k?3
?48?9)
能被264整除，命题正确.
（Ⅱ）
n?k?1
时，
a
k?2
?(a?1)
2k?1
?(a?1)
2
[a
k?1
?(a?1)
2k? 1
]?a
k?2
?a
k?1
(a?1)
2

?(a?1)
2
[a
k?1
?(a?1)
2k?1
]?a
k?1
(a
2
?a?1)
能被
a
2
?a? 1
整除.
23．（Ⅰ）当
n?k?1
时，左边
?(1?
1 111
???
k
)?(
k
???
k?1
)?k?< br>
2
2?122?1
（


1111
k
）
?????k?2??k?1
=右边，命题正确 2
k
2
k
2
k
2
k
2
k项
（Ⅱ）
n?k?1
时，左边
?
1111
???2
?(
2
???)?

2
k?1
kk?1(k ?1)
11k
2
?k?1
1?(2k?1)?
2
??1?? 1.)

2
k?1
k
k(k?1)
24．先用数学归纳法证 明
a
n
?
n?11
p
；假设
a
n
?p?p?0?p?0
与条件矛盾.
nn
25．三小题都用数学归纳法证明：
（Ⅰ）
1?
. 当
n?1
时，
?x
1
?
31
,?0?x
1
?
成立；
162
1
成立，
2
2?
. 假设
n?k
时，
0?x
k
?
∴当
n?k?1
时，
x
k ?1
?
31
2
3111
?x
k
????
，
828242

而
x
k?1
?
31
? 0,?0?x
k?1
?
；
82
?
由
1?,2?< br>知，对
n?N
都有
0?x
n
?
1
.
2
（Ⅱ）
1?
. 当n=1时，
?x
2
?< br>31
2
3
?x
1
??x
1
，命题正确；
828
2?
. 假设
n?k
时命题正确，即
x
k
?x
k?1
， < br>22
当
n?k?1
时，
?x
k?1
?x
k< br>?0,?x
k?1
?x
k
，
?x
k?2
?
31
2
31
2
?x
k?1
??x
k
?x
k?1
，命题也正确；
8282
?
由
1?
，
2?
知对
n?N
都有
x
n
?x
n?1< br>.
（Ⅲ）
1?
. 当n=1时，
x
1
?311
1
??()
，命题正确；
1622
11
k
?()

22
2?
. 假 设
n?k
时命题正确，即
x
k
?
∴当
n?k?1< br>时，
x
k?1
?
31
2
3111
k2
3111
k
1
?x
k
???[?()]???[?()?()2k
]

82822282422
?
11
k?1
1
2k?1
11
k?1
?()?()??()
，命题正确； 22222
?
由
1?
、
2?
知对
n?N
都有
x
n
?
11
n
?()
.
22
26．令n=1得
a?b?c?24
①， 令n=2得
4a?2b?c?44
②，
令n=3得
9a?3b?c?70
③， 解①、②、③得a=3，b=11，c=10，记原 式的左边为S
n
，
用数学归纳法证明猜想
S
n
?
n (n?1)
(3n
2
?11n?10)
（证明略）
12
2 7．计算得
a
1
?2,a
2
?4,a
3
?6,猜测
a
n
?2n
，用数学归纳法证明（证明略）.
28．∵< br>S
1
?a
1
?
1111
(a
1
?) ?a
1
?1;?1?a
2
?(a
2
?)?a
2?2?1;

2a
1
2a
2

∵
2?a
3
?
11
(a
3
?)?a
3
?3? 2
，…，猜想
a
n
?n?n?1(n?
N*）.用数学
2a
3
归纳法证明（略）.
3
0
?13
1
?13n?1
?13
n
?2n?1
n?2
?????,
29 ．∵
a
n
?,
∴
P
1
?
2224
2
4?1?2?14?2?2?14n?2?12n
2
?n
Q
n??????;
计算得①
2222
当1≤n≤3时，P
n
n
；②猜想n≥4时P
n
＞Q
n
，用数学归纳法证明，即证 ：当n≥4时
3
n
?4n
2
?1;(n?k?1
时用比较法证）
?1?(?p)
2
1?(?p)
2
?1?(?p)
3
,a
3
?p??1?
30．（Ⅰ）∵
a
0
?1?a
2< br>??1?p?
,…，猜
1?p1?p1?p
?1?(?p)
n
测
a
n
?
，数学归纳法证明（略）.
1?p
11?(?p)
n?1
?0,
（Ⅱ）∵
0? |(?p)|?1,?a
n
?0;而a
n
??
pp(1?p)
n
∴
a
n
??
11
,得??a
n
?0.

pp
算术平均数与几何平均数

不等式的证明一

不等式的证明二

不等式的证明一

不等式的证明二