高中数学必修一单调性与最(大)小值ppt-高中数学 坐标平移
一、函数与导数的公式和部分重要结论
①分式的分母不能为零。
函数定义域 ②偶次方根的被开方数非负,零次幂的底数不能为零。
1
③对数函数的真数大于零。
④对数函数指数函数的底数大于零且不等于1。
注意定义域用集合表示。
①直接法(简单函数)②配方法(含有二次函数)③换元
(y=ax+b+
cx?d
)④逆求法(知道某变量的范围)⑤判别式法
2
求函数的值
域
(y=
ax
2
?bx?c
dx2
?ex?f
(
ad?
0)
)⑥导数法(连续函数)⑦不等式法
(一正
二定三相等)。
3 恒成立问题
f(x)>g(x)恒成立指f(x)的最小值比g(x)的最大值大。
f(x)〈g(x)恒成立指f(x)的最大值比g(x)的最小值小。
编号 公
式 名 称 内 容
1
f
?
(x)
f
?
(x)?y
?
?
?yf(x??x)?f(x)
?
lim
x?0
?x<
br>?
?
lim
x?0
?x
.
2 直线方程的点斜式 <
br>y-y
0
=k(x-x
0
)=
f
?
(
x
0
)
(x-x
0
)
①C
1
=0 (C为常数)②
(x
n
)
1
=nx
n-1
(n
?
Q)
3
常见四种函数的导数
③(Sinx)
1
=cosx④(cosx)
1
=-sinx
①和差(u
?
v)
1
4
=u
1
?
v
1
导数的四则运算法则
②
积(uv)
1
=u
1
v+uv
1
③商(
u
1
u
1
v?uv
1
v
)=
v
2
(
v≠0)
一般地,函数f(x)在某个区间可导 ,f
1
(x) >0
f(x)在这个区间是增函数
一般地,函数f(x)在某个区间可导
,f
1
(x)〈0 f(x)在这个区间是减函数
5
一般地,函数f(x)在某个区间可导, f(x)在这个区间是增函数
f
1
(x)≥0
一般地,函数f(x)在某个区间可导,
f(x)在这个区间是减函数 f
1
(x)≤0
6
一般地,连续函数f(x)在点x
0
处有极值
f
1
(x
0
)=0
求函数的极值的一般步骤:(1)求导(2)解f
1
(x)=0(3)列表确定极值。
7
一般地,函数在f(x)点x
0
连续时,如果x
0
附近
左侧f
1
(x
0
)>0,右侧f
1
(x
0
)<0,那么f(x
0
)
是极大值。一般地,函数在f(x)点x
0
连续时,如果x
0
附近左侧f
1
(x
0
)<0,右侧f1
(x
0
)>0,
那么f(x
0
)是极小值。
函数在区间内只有一个点使f
1
(x)=0成立,如果函数在这点有极大(
小)值,那么
8
不与端点值比较,也可以说这就是最大(小)值。如果没有一个点使f
1
(x)=0成立,
则这个函数在这个区间必定单调递增或单调递减。
9
F
1
(x
0
)表示函数图象在点x
0
处的切线的斜率
10 S
1
(t)表示物体在时刻t处的瞬时速度
4、x轴上的角:
?
= k
?
y轴上的角:
?
= k
?
+
?
2
其中k
?z
5、任意角的三角函数:点p(x,y)是角
?
终边上
的任意的一点(原点除外),r代表点到原点的距离,
则sin
?
=
y
r
cos
?
=
x
r
tan
?
=
y
x
cot
?
=
x
y
二正弦 一全正
三正切
四余弦
6、同角的基本关系:
倒数关系
tan
?
?cot
?
=1商数关系 sin
?
cos
?
= tan
?
cos
?
sin
?
= cot
?
平方关系
sin
2
?
?cos
2
?
?1
7、诱导公式口诀:符号看象限,奇变偶不变。如:
sin(
3
?
2?
?
)?
?cos
?
,
8、和角与差角公式 : <
br>sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
??cos
?
sin
?
;
cos(
?
?<
br>?
)?cos
?
cos
?
msin
?
sin
?
;
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1
m
tan
?
tan
?<
br> 变用:tan
?
±tan
?
=tan(
?
±
?
)(1
?
tan
?
tan
?
)
9、二倍角公式:
sin2α=2sinαcosα.
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
tan2
?
?<
br>2tan
?
1?tan
2
?
变用:
cos
2
?
?
1?cos2
?
2
1?cos2
?
2
sin
?
?
2
10、合一变形:
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角φ所在象限由点(a,b)的象限决定,
tan
?
?
ba
).
11.三角函数的周期公式
函数y=sin(ωx+φ),x∈R
及函数y=cos(ωx+φ),x∈R(A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期
T?
2
?
?
;
函数y=tan(ωx+φ),
x?k
?
?
?
2
,
k?Z
(A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期<
br>T?
?
?
12、三角函数的值域最值的求法:
① 对于形
如
asin
?
?bcos
?
的三角函数可以先进行合一变形,然后考
虑角的范围,利用三角函数
的图象求出函数的值域最值。
② 对于
形如y=asin
2
?
+bsin
?
+c的函数,可以用换元法,令
sin
?
=t,(注意t的范围)转化成二次
函数来求函数的值域和最值。
③ 对于含有sin
?
?cos
?
,sin
?
?c
os
?
的函数可以用换元法,令
t
2
sin
?
?c
os
?
?t,则sin
?
cos
?
?
?1
2
,(注意t的范围)转化成二次函数来求函数的值
域和最值。
14、三角函数的单调区间:
y?sinx
的递增区间是
??
?
?
2k
?
?
2
,2k
?
?
?
?
2
?
?
(k?Z)
,递减区间是
?
?
?
2k
?
?
?
2
,2k
??
3
?
?
2
?
?
(k?Z)
;
y?cosx
的递增区间是
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
(k?Z)
,递减区间是
?
2k
?
,
2k
?
?
?
?
(k?Z)
,函数
y?Asin(<
br>?
x?
?
)?B
(其中A?0,
?
?0)
的
最大值是
A?B
,最小值是
B?A
,周期是
T?
2
?
?
,频
率是
f?
?
2
?
,相位是
?
x?
?
,初相是
?
;其图象的对称轴是直线
?
x?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
,凡是该
图象与直线
y?B
的交点都是该图象的对称中心。
数列公式和重要结论
1、
等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N
*
)
其前n项和公式
s
n(a
1
?a
n
)
n
?
2
?na
n(n?1)
1
?
2
d
.
2、等比数列的通项公式:a
n
=
a
1
q
n-1
(q≠0)
?
a
1(1?q
n
)
?
a
1
?a
其前n项的和公式<
br>s?
?
?
1?q
,q?1
或
s
?
n
q
,q?1
n
?
n
?
?
1?q
?
na
?
1
,q?1
?
na
1
,
q?1
3、
a?
?
?
s
1
,n?1
n?
s
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
sn
?a
1
?a
2
?L?a
n
).
n
?s
n?1
,n?2
4、
等差数列{a
n
}中,如
果m+n=p+q,则a
m
+a
n
=a
p
+a
q<
br>,特殊地,2m=p+q时,则2a
m
= a
p
+a
q
,a
m
是a
p
、a
q
的等差中项。
等比数列{
a
n
}中,如果m+n=p+q,则a
m
a
n
=a
p
a
q
,特殊地,2m=p+q时,则a
m
2
= a
p
a
q
,a
m
是a
p
、
a
q<
br>的等比中项。
5、等差数列被均匀分段求和后,得到的数列仍是等差数列,即S
m,S
2m-m,
S
3m-2m
成等差数列。
等比数列被均匀分
段求和后,得到的数列仍是等比数列,即S
m
,S
2m-m,
S
3m
-2m
成等比数列。
6、等差数列{a
n
}中,其前n项和S
n<
br>=An
2
+Bn,当公差d=0时,A=0,当公差d>0时,A>0,
当公差
d<0时,A<0。
7、数列的通项的求法:已知S
n
=f(n)或f(a
n
)用分步讨论法;已知a
n
=pa
n-1
+q
(p,q为常数)用换元法;
已知a
n
- a
n-1
=
f(n)用叠加;已知a
n
a
n-1
= f(n)用叠乘。
8、数列求和的方法:一套二分三拆四错五倒,最后一定要牢记,公比为1不为1
已知
数列是等差或等比直接套公式;已知a
n
=b
n
+c
n
(b
n
、c
n
等差或等比)
已知a
1
n
=<
br>b
(b
n
等差)已知a
n
= b
n
·
c
n
(b
n
等差、c
n
等比)用错位相减。
n
c
n
9、1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+…+n
2
=
n(n?1)(2n?1)
6
立体几何公式和重要结论
编号 公式名称 内 容
1 线面角
?
sin
?
=∣cos<
AB,n
?
?
∣
2 二面角
?
????
=〈
m,n?
或
?
-〈
m,n?
点面距(P点
??
3
到平面的距
h=│PA││
cos?PA,n?
│
离)
4 体积、面积 V
球
=43
?
R
3
V
柱
=Sh V
椎
=13 Sh
S
球
=4
?
R
2
5 长方体的对
角线
L=
a
2
?b
2
?c
2
解析几何公式和重要结论
1、抛物线标准方程的四种形式是:
y
2
?2px,y
2
??2px,x
2
?2py,x
2
??2p
y。
2、抛物线
y
2
?2px
的焦点坐标是:
?
?
p
?
2
,0
?
?
?
,准线方程
是:
x??
p
2
。
若点
P
(
x
2
p
0
,
y
0
)
是抛物线
y?2px上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是:
x
0
?
2,
过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦(称为通径)的长是:
2p
。 <
/p>
2222
3、椭圆标准方程的两种形式是:
x
a
2?
y
b
2
?1
和
y
a
2
?<
br>x
b
2
?
1
(a?b?0)
。
4、椭圆
x
2
a
?
y
2
a
2
c<
br>2
b
2
?1
(a?b?0)
的焦点坐标是
(?c,0
)
,准线方程是
x??
c
,离心率是
e?
a
,通径
的长是
2b
2
a
。其中
c
2
?a
2
?b
2
。
22
5、若点
P(x
0
,y
0
)
是椭圆
x
a
2
?
y
b
2
?1
(a?b?0)
上一点,
F
1
、F
2是其左、右焦点,则点P的焦半径的
长是
PF
1
?a?ex
0<
br>和
PF
2
?a?ex
0
。
2222
6、双
曲线标准方程的两种形式是:
x
a
2
?
y
b
2?1
和
y
a
2
?
x
b
2
?<
br>1
(a?0,b?0)
。
x
2
7、双曲线
y
2
ab
?1
的焦点坐标是
(?c,0)
,准线方程是
x?
?
a
2
c
,离心率是
e?
c
a
,通径的长
是
2b
2
2
?
2
a
,
渐近线方程是
x
2
a
?
y
2
b
。其中
c
2<
br>?a
2
?b
2
22
?
0
。
222
22
8、与双曲线
xyxyxy
2
a
2
?
b
2
?1
共渐近线的双曲线系方程是
a
2
?
b
2<
br>?
?
(
?
?0)
。与双曲线
a
2
?
b
2
?1
共
焦点的双曲线系方程是
x
2
a
2
?k
?
y
2
b
2
?k
?
1
。
9、若直线
y?kx?b
与圆锥曲线交于两点A(x
1,y
1
),B(x
2
,y
2
),则弦长为
AB?(1?k
2
)(x
2
1
?x
2
)
;
若直线
x?my?t
与圆锥曲线交于两点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则弦长为
AB?(1
?m
2
)(y
1
?y
2
)
2
。
向量重要公式和结论
1、 共线向量定理:对空间任意两个向量a、b(b≠0
),a∥b
?
存在实数λ使a=λb.
2、 如果
a?(x
1,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
则
a
?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
3、 如果A(x
1
,y
1
),B(x
2
,
y
2
),则
AB?(x
2
?x
1
,y
2<
br>?y
1
)
4、 实数与向量的积λa,当λ>0时,λa与a同向
,且|λa|=λ|a|;当λ<0时,λa与a反向,且|λa|=|
λ||a|。
5、
向量a、b的数量积a·b=|a|| b |cos< a, b>
6、
向量a、b的夹角cos< a, b>=
a?b
ab
2
7、
a
2
?
a
=
a?a
8.向量的平行与垂直 设a=
(x
1
,y
1
)
,
b=
(x
2
,y
2
)
,且b
?
0,则
a||b
?
b=λa
?x
1
y
2
?x<
br>2
y
1
?0
.
a
?
b(a
?0)
?
a·b=0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
9.平面两点间的距离公式
uuuru
d
A,B
=
|AB|?AB
uur
?
u
AB
uur
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
).
10.线段的定比分公式 ?设
P(x(x
,
?
是实数,且<
br>u
PP
uuruuur
11
,y
1
)
,P
22
,y
2
)
,
P(x,y)
是线段
P
1
P
2
的分点
1
?
?
PP
2
,
?
x
1
?
?
x
则
?
?
x?
2
?
1?
?
?
y?
(
???1)
?
?
y?
1
?
y
2
1?
?
11.点的平移公式
?
?
?
x
'
?x?h
?
'
uuur
uuur
uuur
?
?<
br>?
?
y
'
?y?k
?
x?x?h
?
?
?OP
'
?OP?PP
'
(图形F上的任意一点P(x,y)在
平移后
?
y
'
图形
F
'
上的对应点为
P<
br>'
(x
'
,y
'
)
u
y
uu
?
r
k
,且
PP
'
的坐标为
(h,k)
).
12.正弦定理?
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC
?2R
.
变形公式:a=2RsinA
b=2RsinB C=2RsinC
SinA=
a
SinB=
b
SinC=
c
2R2R2R
13余弦定
理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosBc
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
变形公式:cosA=
b
2
?c
2
?a
2
2bc
等
14.面积定理(1)
S?
1
2
ah<
br>1
2
bh
1
a
?
b
?
2
c
h
c
(
h
a
、h
b
、h
c
分别表
示a、b、c边上的高).
(2)
S?
1
2
absinC?
1
2
bcsinA?
1
2
casinB
15、在△ABC 中:
sin(A+B)=sinCcos(A+B)
?-cosCtan(A+B) ?-tanC
sin
A?B
2
?cos
CA?BCA?BC
2
cos
2
?sin
2
tg
2
?ctg
2
tanA?tanB?tanC?tanA?tanB?tanC
16.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC
的重心
的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
17、如
果A=(x
1
,y
1
,z
1
),B=(x
2
,y
2
,z
2
)则∣
AB
∣=
(x
1<
br>?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)2
?(z
1
?z
2
)
2
向量重要公式和结论
a?b
?ab
2
a?b?c
3
三个正数的均值不等式是:
?abc
3
1、两个正数的均值不等式是:
n个正数的均值不等式是:
a
1
?a
2
???a
n
n
?a
1
a
2
?a
n
n
2、两个正数
a、b
的调和平均数
、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
a?ba
2
?b
2
?ab??
11
22
?
ab
2
1、
双向不等式是:
a?b?a?b?a?b
左边在
ab?0(?0)
时取得等号,右边在
ab?0(?0)
时取得等号。
聪明在于学习 知识在于积累
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