高中数学奥林匹克竞赛试题

高中数学奥林匹克竞赛试题
(9月7日上午9：00-11：00)
注意事项：本试卷共18题，满分150分

一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）
－1
1.定义在实数集R上的函数y＝f(－x)的反函数是y＝f(－x)，则
(A)y＝f(x)是奇函数 (B)y＝f(x)是偶函数
(C)y＝f(x)既是奇函数，也是偶函数 (D)y＝f(x)既不是奇函数，也不是偶函数
2
2.二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如右图所示。记N＝|a＋b＋c|＋|2a－b| ，M＝|a－b＋c|
＋|2a＋b|，则
(A)M＞N
y
(B)M＝N
(C)M＜N
(D)M、N的大小关系不能确定
3.在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异
1
－1
0
面的正方体的棱的条数是
(A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8
(C) 6或7或8 (D) 4或5或6
4.ΔABC中，若(sinA＋sinB)(cosA＋cosB)＝2sinC，则
(A)ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形
(B)ΔABC是直角三角形但不一定是等腰三角形
(C)ΔABC既不是等腰三角形也不是直角三角形
(D)ΔABC既是等腰三角形也是直角三角形
2
5.ΔABC中，∠C＝90°。 若sinA、sinB是一元二次方程x＋px＋q＝0的两个根，则下列关
系中正确的是
(A)p＝
?1?2q
且q＞
?
1
(B)p＝
1?2q
且q＞
?
1

x
22
(C)p＝－
1?2q
且q＞
?
1
(D)p＝－
1?2q
且0＜q≤
1

2
2
6.已 知A（－7，0）、B（7，0）、C（2，－12）三点，若椭圆的一个焦点为C，且过A、B两
点， 此椭圆的另一个焦点的轨迹为
(A)双曲线 (B)椭圆
(C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分

二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）
7. 满足条件{1，2，3}? X ?{1，2，3，4，5，6}的集合X的个数为＿＿＿＿。
22
a?x
8. 函数
f(x)?
为奇函数的充要条件是＿＿＿＿。
|x?a|?a
9. 在如图所示的六块土地上，种上甲或乙两种蔬菜（可只种其中一种，也可 两种都种），要
求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜，则种蔬菜的方案数共有＿＿＿＿种。
10. 定义在R上的函数y＝f(x)，它具有下述性质：
33
(i)对任何x∈R，都有f(x)＝f(x)，
(ii)对任何x
1
、x
2
∈R，x
1
≠x
2
，都有f(x
1
)≠f(x
2
)，
第 1 页 共 6 页

则f(0)＋f(1)＋f(－1)的值为＿＿＿＿。
11. 已知复数z满 足
z?z?z?z?3
，且
arg(z?1)?
?
，则z＝＿＿＿＿ 。
3
12. 已知动点P（x，y）满足二次方程10x－2xy－2y＋1＝0，则此二次 曲线的离心率为＿＿
＿＿。

三、解答题（本大题共6个小题，满分78分）
13.（本题满分12分）
如图，在棱长为a的正方体ABCD－A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，E、F分别是棱AB与BC的中点。
(Ⅰ)求二面角B－FB
1
－E的大小；
D
1

(Ⅱ)求点D到平面B
1
EF的距离；
(Ⅲ)在棱DD
1
上能否找到一点M，使BM⊥平面EFB
1
？
B
1

若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由。
A
1






D
14.（本题满分13分）
2
关于x的一元二次方程2x―tx―2＝0的两个根为α、β(α＜β)。
A < br>(Ⅰ)若x
1
、x
2
为区间[α，β]上的两个不同的点，求证：4x x
2
)－4＜0；
B
1
x
2
－t(x
1
＋
E
C
1

C
F
?t
，f(x)在区间[α，β] 上的最大值和最小值分别为f
max
和f
min
，g(t)(Ⅱ)设
f(x)?
4x
2
x?1
＝f
max
－f
min< br>，求g(t)的最小值。





15.（本题满分13分）
已知a
1
＝1，a
2
＝3，a
n＋2
＝(n＋3)a
n＋1
－(n＋2)a
n
，若当m≥ n时，a
m
的值都能被9整除，
求n的最小值。




16.（本题满分13分）
m n
一台计算机装置的示意图如图，其中 J
1
、J
2
表示数据入口，C是计算结
J
2

J
1

果的出口。计算过程是由J
1
、J
2
分别输入自然数m和n，经过计算后得自然
数K由C输出。若此装置满足以下三个性质：①J
1
、J
2
分别输入1，则输出
计算机装置
结果1；
②若 J
1
输入任何固定自然数不变，J
2
输入自然数增大1，则输出结果比
C
原来增大2；
K
③若J
2
输入1，J
1
输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问：
第 2 页 共 6 页

(Ⅰ)若J
1
输入1，J
2
输入自然数n，则输出结果为多少？
(Ⅱ)若J
2
输入1，J
1
输入自然数m，则输出结果为多少？ < br>(Ⅲ)若J
1
输入自然数2002，J
2
输入自然数9，则输出结果为 多少？


17.（本题满分13分）
以A为圆心，以2cosθ（< br>?
＜θ＜
?
）为半径的圆外有一点B，已知|AB|＝2sinθ。
4 2
设过点B且与圆A外切于点T的圆的圆心为M。
（Ⅰ）当θ取某个值时，说明点M的轨迹P是什么曲线；
（Ⅱ）点M是轨迹P上的动点，点N 是圆A上的动点，把|MN|的最小值记为f(θ)（不
要求证明），求f(θ)的取值范围；
（Ⅲ）若将题设条件中的θ的范围改为（0＜θ＜
?
＝，点B的位置改为圆内，其它条
4
件不变，点M的轨迹记为P。试提出一个和具有相同结构的有意义的问题（不要求解答）。
18.（本题满分14分）
44444
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，其 体对角线长为l，试证：(l－a)(l－b)(l
4444
－c)≥512abc。
湖南省2002年高中数学竞赛试题解答
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）
－1－1
1. 解：由 y＝f(－x)得f(y)＝－x，故y＝－f(x)是y＝f(－x)的反函数，即－f(x)
＝f( －x)。所以y＝f(x)是奇函数，选（A）。
－1－1
注：也可以先求得y＝f(－x) 的反函数为y＝－f(x)，进而知y＝f(x)是奇函数，故
y＝f(x)是奇函数。
2. 解：如图，f(1)＝a＋b＋c＜0，f(－1)＝a－b＋c＞0，a＞0，f(0)＝c＜0，
?
b
＞
2a
1。
从而b＜0，2a＋b＜0，2a－b＞0，a－c＜0。
故M－N＝|a－b＋c|＋|2 a＋b|－|a＋b＋c|－|2a－b|＝(a－b＋c)＋(a＋b＋c)－(2a
＋b)－(2a －b)＝―2(a―c)＜0，所以选（C）。
3.解：由图形可知应当选（B）。
4. 解：因为左边＝sinAcosA＋sinAcosB＋sinBcosA＋sinBcosB＝
1(sin2A＋sin2B)＋
2
sin(A＋B)＝sin(A＋B)cos(A－B) ＋sin(A＋B)，右边＝2sin(A＋B)。
所以已知等式可变形为sin(A＋B)[cos(A＋B)－1]＝0。
又因sin(A＋B)＞0，所以cos(A－B)＝1，故A＝B。
另一方面，A＝B＝30°，C＝120°也符合已知条件。
所以ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形，选（A）。
5. 解：由根与系数的关系可知sinA＋sinB＝－p＞0，sinAsinB＝q＞0，
即sinA＋cosA＝－p＞0，sinAcosA＝q＞0。
2222
再由sinA＋cosA＝1可知p－2q＝1，p－4q≥0且p＜0，q＞0。
所以p＝－
1?2q
且0＜q＝sinAcosA＝
1
sin2A≤
1
。选（D）。
22
6. 解：设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义知|AC|＋|AF|＝常数＝|BC|＋|BF|，
第 3 页 共 6 页

故|BF|－|AF|＝|AC|－|BC|。又|AC|＝15 ，|BC|＝13，|AB|＝14，所以|FB|－|FA|＝2＜14
＝|AB|。故点F的轨迹为 双曲线的部分，选（D）。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）
3
7.不同的X共有2＝8个。
8. a＞0。
123
9.解： 可得总方案数为
C
0
7
?C
6
?C
5
?C
4
?21
。
10.解： f(0)＋f(1)＋f(－1)＝0。
11.解： z＝
2?3i
。
?
9
12.解：由10x－ 2xy－2y＋1＝0可得
y?5?
2
，所以二次曲线为等轴双曲线，故离
x ?1
心率为
2
。
另解：由10x－2xy－2y＋1＝0有x＋6x＋y－ 6y－2xy＋9＝x－4x＋4＋y－4y＋4。
2222
(x?2)
2
?(y?2)
2
?2
，故e＝
2
。 即
(x?2)?(y? 2)?|x?y?3|
，所以
|x?y?3|
2
22
三、解答题（本 大题共6个小题，满分78分）
13.解：(Ⅰ)作BH⊥B
1
F于H，连结EH。 则由EB⊥平面BB
1
F可知EH⊥B
1
F（三垂线定理），
BF? BB
1
于是∠EHB是二面角B－FB
1
－E的平面角。在RtΔBB
1
F中，BH＝
?
B
1
F
所以tg∠EHB＝
E B
?
5
。故二面角B－FB
1
－E的大小为
a?
1
a
2
?
5
a
，
5
a
2
?
1
a
2
4
D
1

B
1

C
1

BH2
arctg
5
。
2
A
1

M
(Ⅱ)容易证明ΔDEF≌ΔB
1< br>EF，所以由
V
B
1
?DEF
?V
D?B
1
EF
可得点
D到平面B
1
EF的距离等于点B
1
到 平面DEF的距离，当然等于a。
(Ⅲ)设EF与BD交于点G，连结B
1
G。则由 EF⊥BD以及EF⊥B
1
B
知EF⊥对角面BB
1
D
1< br>D，于是面B
1
EF⊥面BB
1
D
1
D。在面BB< br>1
D
1
D内过B
作BK⊥B
1
G于K，延长后交D< br>1
D所在的直线于点M，则BM⊥平面B
1
EF。
再在平面BB1
D
1
D内，由ΔB
1
BG∽ΔBDM知
H
D
E
G
K
B
C
F
B
1
B
BD
。又B
1
B
A
?< br>BGDM
＝a，BG＝
2
，BD＝
2
，所以DM＝
a
。这说明点M在正方体的
4
2
棱D
1
D上，且正好为D1
D的中点。
2
14.解：(Ⅰ)因为x
1
、x
2< br>∈[α，β]，所以由抛物线y＝2x―tx―2的开口向上可知f(x
1
)
＜ 0且f(x
2
)＜0。
2222
即2x
1
―tx
1
―2＜0，2x
2
―tx
2
―2＜0。两式相加得2(x
1
＋x
2
)－t(x
1
＋x
2
)―4＜0，故由< br>第 4 页 共 6 页

平均值不等式可得4x
1
x
2
－t(x
1
＋x
2
)－4＜0。
22
t?t?16
t?t?16
。 (Ⅱ)依题意，
??
，
??
4
4
2
4?
t?t?16
?t
2?16t?16
4
所以
f(?)??
22
?
2
?8
2
2
t?16?t
?
t?t
2
?16
?
?1
t?t?16?2tt?16?16
??
4
??
。
f(?)?
2
8
t?16?t
，
由
t
2< br>?16
≥|t|知f(β)＞0＞f(α)。
另一方面，设α≤x
1
＜x
2
≤β，则
f(x
1
)?f(x
2
)?
[4?t(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
]
(x
1
?x
2
)
，
2
(x
1< br>2
?1)(x
2
?1)
由(Ⅰ)的结论可知f(x
1
)＜f(x
2
)。从而f(x)在区间[α，β]上是增函数。
所以g(t)＝f< br>max
－f
min
＝f(β)－f(α)＝
2
8?8
??t?16
≥4，等号在
22
t?16?tt?16?t
t＝0时取到。
15. 解：因为a
1
＝1，a
2
＝3，a
n＋2
＝(n＋3)a
n＋1
－(n＋2)a
n
，所以a
1
＝1， a
2
＝3，a
3
＝9，
a
4
＝33，a
5
＝153，a
6
＝873，…。因为a
5
与a
6
都 能被9整除，所以由递推关系式a
n＋2
＝(n＋
3)a
n＋1
－( n＋2)a
n
可知a
5
后面的所有项都能被9整除。故n的最小值为5。 < br>另解：由a
n＋2
＝(n＋3)a
n＋1
－(n＋2)a
n< br>可得a
n＋2
－a
n＋1
＝(n＋2)a
n＋1
－( n＋2)a
n
＝(n＋2)(a
n
(n＋1)(a
n
－a< br>n－1
) ＝…＝(n＋2)· (n＋1)·n·(n－1) ·…·4·3·2·(a
2＋1
－a
n
)＝(n＋2)
－a
1
) ＝(n＋2)!。
所以a
n
＝a
1< br>＋(a
2
－a
1
)＋(a
3
－a
2
)＋(a
4
－a
3
)＋…＋(a
n
－a
n－1)＝1!＋2!＋3!＋…＋n!（n
≥1）。
由于a
1
＝1，a2
＝3，a
3
＝9，a
4
＝33，a
5
＝15 3，并且n≥6时n!能被9整除，所以n的最
小值为5。
16. 解：当J
1输入m，J
2
输入n时，记k＝f(m，n)。则f(1，1)＝1，f(m，n＋1)＝ f(m，
n)＋2，f(m＋1，1)＝2f(m，1)。
(Ⅰ) 因为f(1，n＋1)＝ f(1，n)＋2，所以f(1，1)，f(1，2)，f(1，3)，…，f(1，n)，…
组成一个 以f(1，1)为首项，2为公差的等差数列。因此，f(1，n)＝f(1，1)＋2(n－1)＝2n
－1。
(Ⅱ) 因为f(m＋1，1)＝2f(m，1)，所以f(1，1)，f(2，1)，f( 3，1)，…，f(m，1)，…
m－1m－1
组成一个以f(1，1)为首项，2为公比的等 比数列。因此，f(m，1)＝f(1，1)·2＝2。
(Ⅲ) 因为f(m，n＋1)＝f(m，n )＋2，所以f(m，1)，f(m，2)，f(m，3)，…，f(m，n)，…
m
组成一个 以f(m，1)为首项，2为公差的等差数列。因此，f(m，n)＝f(m，1)＋2(n－1)＝2
－1
＋2n－2。
2001
所以f(2002，9)＝2＋16。
17. 解：（Ⅰ）连MT、MA、MB，显然M、T、A三点共线，且|MA|－|MT|＝|AT|＝2cosθ。< br>又|MT|＝|MB|，所以|MA|－|MB|＝2cosθ＜2sinθ＝|AB|。故点M的轨迹是 以A、B为焦点，
实轴长为2cosθ的双曲线靠近点B的那一支。
(Ⅱ)f(θ)＝|MN |
min
＝|LK|＝|LA|－|AK|＝sinθ＋cosθ－2cosθ＝sinθ－c osθ＝
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2sin(??
?
)
。
4
由
?
＜θ＜
?
知0＜f(θ)＜1。
42（Ⅲ）设点M是轨迹P上的动点，点N是圆A上的动点，把|MN|的最大值记为g(θ)，
求g( θ)的取值范围。
22222222222222222
18. 证：左边＝(l＋a)(l －a)(l＋b)(l－b)(l＋c)(l－c)＝(a＋b＋c＋a)(b
22222222222 22
＋c)(a＋b＋c＋b)(a＋c)(a＋b＋c＋c)(a＋b)≥
4
4a
4
b
2
c
2
2b
2
c
2< br>4
4
a
2
b
4
c
2
2a
2
c
2
4
4
a
2
b
2
c
4
2a
2
b
2
＝512a
4
b
4
c
4
，其中等号在a＝b＝c时取
到。



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