数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)

高中平面几何
叶中豪
学习要点
几何问题的转化

圆幂与根轴

P’tolemy定理及应用

几何变换及相似理论

位似及其应用

完全四边形与Miquel点

垂足三角形与等角共轭

反演与配极，调和四边形

射影几何

复数法及重心坐标方法
例题和习题
1．四边形ABCD中，AB=BC，DE⊥AB，CD⊥BC，EF⊥BC，< br>sin
?
sin
?
?tan
?
?
?
?
?
?
1
2
。求证：2EF=DE+DC。（）
A
θ
E
D
γ
B
F
C


且

2．已知相交两圆O和O'交于A、B两点，且O'恰在圆O上， P为圆O的AO'B
弧段上任意一点。∠APB的平分线交圆O'于Q点。求证：PQ
2
=PA×PB。
（10092401-1. gsp）
A
Q
P
O
O'
B

3．设三角形ABC的 Fermat点为R，连结AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，
ACR的九点圆心分别为D，E ，F，则三角形DEF为正三角形。（）
A
D
E
R
F
< br>4．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，
点A关于D、E 的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A
和另一点P。求证：APBC。（） P
G
E
A
B
C
B
D
C
F

5．圆O
1
和圆O
2
相 交于A、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线，
分别切圆O
1
和圆O2
于点C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆O
1
和圆
O
2< br>于点E，F。求证：AB、CE、DF共点。（）
P
E
CA
F
D
O
1
B
O
2

6．四边形ABCD中，M是A B边中点，且MC=MD，过C、D分别作BC、AD
的垂线，两条垂线交于P点，再作PQ⊥AB于Q 。求证：∠PQC=∠PQD。
（）
D
P
C
A

7．已知RT△ABD∽RT△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM
垂线交AD于F 。求证：DE=EF。（）
A
MQ
B
F
M
E
C
D
B

8．在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，E是△AB C外一点，满足CE⊥
AB，BE=BD。过线段BE的中点M作直线MF⊥BE，交△ABD的外接圆
的劣弧AD于点F。求证：ED⊥DF。（
2010年女子竞赛
）（）
A
F
E
M
B
D

9．设圆I
1< br>是△ABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是切点，若I
1
D与EF
交于 P点。求证：AP平分底边BC。（）
A
C
F
B
P
DM
C
E
I
1

10．如图，⊙O切△ABC的边AB于 点D，切边AC于点C，M是边BC上一
点，AM交CD于点N．求证：M是BC中点的充要条件是ON ⊥BC。
（）
A
D
N
C
M
B
O

11．已知：BC是圆上的定弦，而动点A在圆上运动，M是AC 中点，作MP⊥
AB于P。求P点的轨迹。（）
A
P
M
O
BC

12．△ABC外接圆为圆O，P 为AB上一点，过P分别作OA、OB的垂线，与
AC、BC交于S、T，与AB交于M、N。求证：P M=MS的充要条件是PN=NT。
（）
P
B
N
M
A
T
O
S

1 3．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得
C、E在AB同一侧 ，又过C做AB的平行线交DE于L。
求证 ：(AC+BC)
2
＝4DL×EF。 （）
D
L
C
C
O
F
A
B
E

14．已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD⊥B C于D，PE⊥CA于
E，PF⊥AB于F。求证：(BCPD)＝(ACPE)+(ABPF)。（）
A
F
D
B
E
C

15．已知O是△ABC 的外心，M是BC边中点，D是OM延长线上一点，满足
DO=DB，E、F分别是AB、AC边上的点 ，满足∠MEA=∠MFA=∠A。求
证：AD⊥EF。（）
A
P
E
B
O
F
M
C

1 6．已知△ABC中，AB＝AC，线段AB上有一点D，线段AC延长线上有一点
E，使得DE＝AB 。线段DE与△ABC的外接圆交于点T，P是线段AT延
长线上的一点。求证：点P满足PD＋PE＝ AT的充要条件是P在△ADE的
外接圆上。（
2000年国家集训队
）（）
A
D
D
C
T
P
E
B

17．已知△ABC中，内心I关于BC边中点M的对称点为I'，S是BC 弧（不含
A点）中点，直线SI'交△ABC的外接圆于另一点P。求证：P点到△ABC
较远 的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。（）
A
P
I
B
I'
C
M

18．在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB，联结AD、BE、CF。
求证：AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。（）
A
F
S
E
B
D
C

19．过△A BC内一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分别
为E、F、G、H、I、K，过O 作△ABC的外接圆的弦AL。
求证：OE·OF＋OG·OH＋OI·OK＝OA·OL。（）
A
H
I
F
O
E
BKGC
L

20．一小圆内切大圆于点N，BA、BC是大圆的两条弦，且分 别切小圆于K、M，
劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P，又设△BQK、△BPM外接圆的另一个交点为B
1
。求证：BPB
1
Q为平行四边形。（）
B< br>Q
M
B
1
P
K
C
A
N
< br>21．圆O与圆O
1
、圆O
2
同时相切，切点为S、T，圆O
1
与圆O
2
交于A、B两
点，且圆O
2
的圆心恰在圆O1
上。设公共弦AB延长交圆O于C、D两点，
联结SC、SD分别交圆O
1于P和Q。求证：PQ与圆O
2
相切。（
40届IMO
）
（）
C
P
A
O
O
1
B
S
Q
D
O
2
U
T
R

22．设KL、KN是圆O的切线， M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的
圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。求证：∠MPQ=2 ∠NML。（
98年伊朗竞
赛
）（10081601-5、）（）
L
O
Q
P
K
NM

23．设△ABC内接于圆O，过O作OE⊥BC交圆O于E，交AB于F， 交AC
延长线于G。过G作圆O的切线GT，T为切点。求证：TF⊥GE。
（）
G
A
T
F
O
B
E
C

2 4．已知圆O外一点P向圆O作切线PA、PB和一条割线PEF，M是EF上一
点，联结BM延长交圆 O于C。求证：ACPEF的充要条件是M为EF中
点。（）
A
C
O
P
F
EM
B

25．过点 P任作圆O的两条割线PAB、PCD，直线AD与BC交于Q，弦DEPQ，
BE交PQ延长线于M。 求证：OM⊥PQ。（）
D
E
C
O
Q
P
A
B
M

26．如图，设⊙O
1
与⊙O
2
交于AB两点。AC是⊙O
2
的切线，交⊙O
1
于C点。
AD是⊙ O
1
的切线，交⊙O
2
于D点。过A任作直线，交⊙O
1
、 ⊙O
2
及经过
A、C、D三点的圆分别于M、N、P。求证：AM=NP。（） A
O
1
M
C
B
N
O
2
DP

27．两圆圆O
1
和圆O
2
相交于M、P，过M作 圆O
2
的切线交圆O
1
于A；又过
M作圆O
1
的切 线交圆O
2
于B，在直线MP上截取PH=MP。求证：四边形
MAHB内接于圆。（ ）
M
O
1
P
B
A

28．已知两个半径 不等的圆O
1
和圆O
2
相交于M、N两点，且圆O
1
和圆O
2
分
别与圆O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充要条件是S、N、T三点共线。（
1997年全国联赛
）（）
O
2
H
O
O
1
M
O
2
S
N
T

29．设以O为圆心的圆经过△ABC的两个顶点A和C，且与边AB、BC 分别交
于K和N，又设△ABC和△KBN的外接圆交于B和另一点M。求证：∠
OMB=90 °。 （
1985年IMO
）（）
B
M
K
N
O
A
C

30．已知： 在△OAB与△OCD中，OA=OB，OC=OD，直线AB与CD交于点
P，△PAC与△PBD的 外接圆交于P、Q两点。求证：OQ⊥PQ。（）
O
C
A
D
B

31．已知半圆圆心为O，直径为A B，一直线交半圆于C、D，交AB延长线于P，
设M是△AOC与△BOD外接圆除O点外的另一交点 。求证：OM⊥MP。
（）
P
Q
D
C
M
O
B
P

32．凸四边形ABCD内接于圆O，两组对边所在直线分别交于点E、F， 对角线
AC、BD交于G，作GH⊥EF于H，圆O的弦MN经过G点。求证：GH
与圆O交点 恰是△HMN的内心。（）
A
O
B
G
M
C
D
N

3 3．⊙O为△ABC的外接圆，P为劣弧AB上一点，E、F分别为AC、AB延长
线上的点，BE、C F交于D，PE、PF分别交⊙O于S、R。若AD、BC、RS
共点，求证：点D在⊙O上。（）（）
P
A
E
H
F
R
B
D
C
S
F

34．已知：D、E、F分别在△ABC三边上，满足EB＝ED，FC＝FD， O是△
ABC外心。求证：A、E、O、F四点共圆。（）
A
E
F
E
O
B
DC

35．如图，设N是△ABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是△AB C的内
心。求证：∠ANI＝2∠IMC。（）
N
A
I
BMC

36．设T为△ABC的内切圆与BC边的 切点，D为BC上任一点，I
1
、I
2
分别为
△ABD、△ACD的 内心。求证：T I
1
⊥T I
2
。（）
A
I
2
I
1
B
DT
C

37．矩形ABCD中，AB＝
2
AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、
PD分别交AB于F、E。求证：AE
2
＋BF
2
＝AB
2
。（）
P
A
F
EB
CD

38． AB是圆O的直径，P是过B所作切线上的任一点，过P作圆O的割 线
PCE，联结直线PO分别交AC、AD于E、F。求证：OE=OF。（）
A
F
O
E
D
C
B
P

3 9．自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别
交AB、AD于E、F 。求证：CE=EF。（）
P
C
A
E
B
F
O

40．A为圆 O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别相切圆O于C、D，DE
垂直AO于E，DE分别交AB、A C于F、G。求证：DF＝FG。（）
B
D
K
D
C
F
G
A
OE

41．P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE为割线。过D作 PA的平行线，分
别与AC延长线及线段AE交于B、F。求证：D为BF中点。（）
P
B
C
A
D
O
F
E

4 2．已知P、Q是等腰三角形ABC（AB=AC）内两点，满足∠ABP=∠QCB，
且∠ACP=∠ QBC。求证：A、P、Q三点共线。（）
A
P
Q

43．已知锐 角△ABC中，AD是高，O是外心，AO的延长线交过O、B、C三
点的圆于P，自P作PE⊥AB于 E，PF⊥AC于F。求证：DEPF是平行四
边形。（）
A
B
C
O
B
D
E
F
C
P

44．已知E、F是圆内接四边形ABCD对边AB、CD的中点，M是EF 的中点，
自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为P、Q。求证：MP=MQ。（）
A
Q
D
E
M
F
B
P
C

45．AD为△ABC内角平分线，I
1
、I
2
为△ABD、△AC D的内心，以I
1
I
2
为底向
1
BC边作等腰△E I1
I
2
，使得∠I
1
EI
2
＝∠BAC。求证 ：DE⊥BC。
2
（）
A
I
1
I
2
B
D
C

4 6．已知P是凸四边形内一点，满足∠PAB=∠CAD，∠PCB=∠ACD。求证：
PB=PD的充 要条件是ABCD四点共圆。（
2004年IMO
）（）
（）
A
E
B
P
D
C

47．已知D是△ABC底边BC上任一点，P是形内一点，满足∠1=∠2 ，∠3=
∠4。求证：(PBPC)=(ABAC)。（）
A
1
2
P
3
BD
4
C

48．已知：D是△ABC的BC中垂线上一点，I
1
、I
2
是△ABD、△ ACD的内心，
E是△ABC外接圆弧BAC的中点。求证：A、E、I
1
、I
2
四点共圆。
（）
E
A
I
1
B
D
I
2
C

49．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC
交于E、F两 点，圆在E、F两点的切线交于点D。
求证：DM⊥BC。（）
A
E
F
BM
C
D

50．已知：⊙O两切线PA、PB和一割线PCD，AD、AP交C处的切 线于
E、F，BE交DF于K。求证：K在圆O上。（）
P
E
F
K
C
A
B
O

5 1．设⊙O
1
与⊙O
2
交于C、D。过D的直线交⊙O
1
与 ⊙O
2
于A、B。点P
在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD 与BC的延
长线交于N，O为△ABC外心。求证：MN⊥OD是P、Q、M、N四点共
圆的充 要条件。（）
D
N
M
C
O
1
D
O
2
A
P
Q
B
O

52．设X是P点的Simso n线关于△ABC的垂极点。求证：XP被Simson线
所平分。（）
A
X
F
D
B
C
E
P

53．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC于E 。
求证：∠DHE=∠C。（）
A
O
H
E
B
D
C


5 4．△ABC中，AD为边BC上的中线，E、F、G分别为AB、AC、AD上的
点，且A、E、G、 F四点共圆。设△BDE外心为O
1
、半径为
r
1
；△CDF
外心为O
2
、半径为
r
2
。求证：GO
1
2＋GO
2
2
＝
r
1
2
＋
r
2
2
。（）
A
E
F
G
O
1
BD< br>O
2
C

55．已知P是△ABC内一点，A
1
、B
1
、C
1
分别是圆弧BPC、CPA、APB的中点。
求证：P、A
1
、B
1
、C
1
四点共圆。（）
A
B
1
A
1
P
C
1
BC

56．给定△ABC，D、E、F是边BC、CA、AB上的任意 三点，M、N分别是△
BDF、△CDE的外心。P、Q分别是BC、MN上的点，满足(BPPC)= (MQQN)。
AP与⊙AEF相交于R点。求证：（1）QR=QD；（2）∠RQD=2∠APC。
（）
A
F
E
M
Q
N
C
R

5 7．已知⊙O
1
与⊙O
2
交于C、D两点，A、B分别是两圆上的点，满足P A
＝PB，E、F是弧AQ、BQ中点。求证：C、D、E、F四点共圆。（）
P
B
DP
A
O
1
C
D
O
2
B
E
Q
F

58．△ABC中，D、E、F是边BC、CA、AB的中点，X、 Y、Z是各边上高的
垂足，EZ与FY交于L，FX与DZ交于M，DY与EX交于N。求证：L、M、N三点共线。（）
M
A
Z
F
L
H
ON
Y
E
B

XD
C

59．设△ABC的内切圆分别与三边切于D、E、F，联结AD交内切圆于另一点
P，联PB 、PE、PF。求证：PFBC的充要条件是∠BPD=∠EPD。
（）
A
F
P
E

60．已知△ABC和任意直线d，自A、B、C作d的垂线，垂足分别为A'、
B'、C'； 再自A'、B'、C'分别作对边BC、CA、AB的垂线，设这三条垂
线共点于H。在d上任取一个动 点M，自M作d的垂线，分别交AB、
AC所在直线于K、L。在线段BK、CL及HA'延长线上分别 取分点P、Q、
X，满足(BPPK)=(CQQL)=(HA'A'X)。求证：XM⊥PQ。（）
L
A
K
Q
P
H
B
B
D
C
C
d
B'MA'C'

61．已知ABCD是等腰梯形，P是其底边 BC上任意一点，E、F两点分别位
于AB、AC上，满足EB＝EP，FP＝FC。联接EF，并作P 点关于EF的轴
对称点Q。求证：DQ⊥PQ。（）
X
A
E
Q
D
F
C
B
P

62．设D、E分别为△ABC的边AB、BC上的点，P是△A BC内一点，且PE
＝PC，△DEP∽△PCA。求证：BP是△PAD的外接圆的切线。
（ ）
A
D
P

63．在凸四边形ABCD中，∠DCA与∠CDB的 外角平分线分别是边CB与DA，
E、F分别为AC、BD的延长线上的点，且C、E、F、D四点共圆 。平面
上的一点P使得DA是∠PDE的外角平分线，CB是∠PCF的外角平分线。
边AD与 BC所在直线交于点Q。求证：点P在边AB上的充分必要条件
是点Q在线段EF上。（）
B
E
C
F
Q
E
R
D
C
K

64．平面上有四个点A
1
、A
2
、A
3
、A4
，其中任意三个点都不在一条直线上。
并且它们满足：A
1
A
2
×A
3
A
4
＝A
1
A
3
×A< br>2
A
4
＝A
1
A
4
×A
2
A
3
。对于任意｛i，j，
k，l｝＝｛1，2，3，4｝，我们设O
i为△A
j
A
k
A
l
的外心。若对于1≤i≤4均
有A
i
≠O
i
，证明：四条直线A
i
O
i
平行或共点。（）
O
3
APB
A
1
O
4
A
4
O
2
A
2
A
3
O
1

65．圆O
1
和圆O
2
相 交于P、Q两点，AB是两圆的外公切线，BP、AP分别交
另一圆于C、D，直线AC、BD交于X点 ，过X、A、B三点的圆与过X、
C、D三点的圆交于另一点M。求证：∠MBX=∠MQP。（） < br>X
A
P
C
O
2
O
1
D
B< br>M
Q

66．在任意△ABC的BC边下方取D点，满足∠ABD＝∠ACD＝ 120°，并作
正三角形EBC。求证：△ABC的Euler线平行于DE。（）
A
H
O
C
B
E

67．已知M、N是四边 形ABCD对边AD、BC上任意两点，E、F是对边AB、
CD上两点，满足(AEEB)=(CFF D)=(AMMD)*(CNNB)，AN、BM交于P，
CM、DN交于Q。求证：PQEF。（）
A
E
P
Q
F
BC
M
D
D
N