高中数学竞赛讲义-不等式的证明

梦想不会辜负每一个努力的人
§14不等式的证明
不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高
考的热门题型.
证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据
是不等 式的性质，不等式的性分类罗列如下：
不等式的性质：
a?b?a?b?0,a?b?a? b?0.
这是不等式的定义，也是比较法
的依据.
对一个不等式进行变形的性质：
（1）
a?b?b?a
（对称性）
（2）
a?b?a?c?b?c
（加法保序性）












（3）
a?b,c?0?ac?bc;a?b,c?0?ac?bc.

nn
（4）
a?b?0?a?b,
n
a?
n
b(n?N*).< br>
对两个以上不等式进行运算的性质.
（1）
a?b,b?c?a?c
（传递性）.这是放缩法的依据.
（2）
a?b,c?d?a?c?b?d.

（3）
a?b,c?d?a?c?b?d.

（4）
a?b?0,d?c?0,?
含绝对值不等式的性质：
（1）
|x|?a(a?0)?x?a??a?x?a.

（2）
|x|?a(a?0)?x?a?x?a或x??a.

（3）
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
（三角不等式）.
（4）
|a
1
?a
2
???a
n
|?|a
1
|?|a
2
|???|a
n
|.

22
22
ab
?,ad?bc.

cd
证明不等 式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造
函数方法等.当然在证题过 程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；
后者称为分析法.综合法和分析法是 解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用
分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非 证明不等式的特有方法，只是在不等式证明
中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可 能交替使用多种方法.



.
- 1 -

梦想不会辜负每一个努力的人
例题讲解
1．
a,b,c? 0,
求证：
ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc.





a?b?c
2．
a,b,c?0
，求证：
a
a
b
b
c
c
?(abc)
3< br>.





3．：
a,b,c?R
?
,求证a?b?c?
a
2
?b
2
b
2
?c
2
c
2
?a
2
a
3b
3
2c
?
2a
?
2b
?
bc
?
c
3
ca
?
ab
.




4．设
a,?,a
*
1
,a
2n
?N< br>，且各不相同，
求证：
1?
1
?
1
???
1
n
?a
a
2
2
2
?
a
3
233
2
???
a
n
1
?
n
2
.
.




5．利用基本不等式证明
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca.



.
- 2 -

梦想不会辜负每一个努力的人



6．已知
a?b?1,a,b?0,
求证：
a
4
?b
4
?
1
8
.






7．利用排序不等式证明
G
n
?A
n






8．证明：对于任意正整数R，有
(1?
1
n
1
n?1
n
)?(1?
n?1
).






1?1
9．n为正整数，证明：
n[(1 ?n)
n
?1]?1?
1
2
?
11
3
?? ?
n
?n?(n?1)n
n?1
.









.
- 3 -

梦想不会辜负每一个努力的人
例题答案：
1. 证明：
?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc

?a(b< br>2
?c
2
?2bc)?b(a
2
?c
2
?2 ac)?c(a
2
?b
2
?2ab)

?a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)
222

?0

?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc.

评述：（1）本 题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或
配方时，往往采用轮换技巧. 再如证明
a?b?c?ab?bc?ca
时，可将
a?b

2222 2
1
?(ab?bc?ca)
配方为
[(a?b)
2
?(b ?c)
2
?(c?a)
2
]
，亦可利用
a
2
?b
2
?2ab,

2
b
2
?c
2?2bc,c
2
?a
2
?2ca
，3式相加证明.（2）本题亦 可连用两次基本不等式获
证.

2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.
不等式关于
a, b,c
对称，不妨
a?b?c,则a?b,b?c,a?c?R
，且
?
ab
,
，
bc
a
都大于等于1.
c
a
a
b
b
c
c

a?b?c< br>3
?a
2a?b?c
3
b
2b?a?c
3
c
2c?a?b
3
?a
a?b
3
?a
a?c
3
?b
b?a
3
?b
b?c
3
?c
c?a
3
?c
c?b
3
(abc)

a?b
3< br>a
?()
b
b
?()
c
b?c
3
a
?()
c
a?c
3
?1.
评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定
n
个字母的大小顺序，可方便解题.
（2）本题可作如下推广：若
a
i
?0(i?1,2,?,n),则a
11
a
2
2
?a
n
aaa
n
?

(a
1
a
2
?
a
n
)
a
1
?a
2
???a
n
n
.

abba
（3）本题还可用其他方法得证。因
ab?ab
，同理
b
b
c
c
?b
c
c
b
,c
ca
a
?c
a
a
c
，
另
abc?abc
，4式相乘即得证.
（4）设
a?b?c?0 ,则lga?lgb?lgc.
例3等价于
alga?blgb?algb?blga,
类似例4可
证
alga?blgb?clgc?algb?blgc?clga?algc? blgb?clga.
事实上，一般地有排
序不等式（排序原理）：
abcabc
.
- 4 -

梦想不会辜负每一个努力的人
设有两个有序数组
a
1
?a
2
???a
n
,b
1
?b
2
???b
n
，则
a
1b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n
（顺
序和）
?a
1
b
j
1
?a2
b
j
2
???a
n
b
j
n
（乱序和）
?a
1
b
n
?a
1
b
n?1
?
?
?a
n
b
1
（逆序和）
其中
j
1
,j
2
,
?
,j
n
是
1, 2,
?
,n
的任一排列.当且仅当
a
1
?a
2???a
n
或
b
1
?b
2
???b
n
时等号成立.
排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两 个有序数
组的积的形式.如
a,b,c?R时,a?b?c?ab?bc?ca?a?a?b? b?c?c

?333222222
a
2
b
2
c< br>2
111111
?a?b?b?c?c?a;???a?b?c?a
2
??b
2
??c
2
??a
2
??b
2
?? c
2
?
.
bcabcaabc
3.思路分析：中间式子中每项均为 两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.
222

111111
??
，则
a
2
??b
2
??c
2
?
（乱序和）
cbacab
111111
?a
2
??b
2< br>??c
2
?
（逆序和），同理
a
2
??b
2
??c
2
?
（乱序和）
abccab
111
?a< br>2
??b
2
??c
2
?
（逆序和）两式相加再除以2 ，即得原式中第一个不等式.再考虑数组
abc
111
，仿上可证第二个不等式. < br>a
3
?b
3
?c
3
及??
bcacab不妨设
a?b?c,则a?b?c,
222
4.分析：不等式右边各项
a
i
1
?a?
；可理解为两数之积，尝试用排序不等式.
i
22
ii
设
b
1
,b
2
,
?
,b
n
是
a
1
,a
2
,
?
,a
n
的重新排列，满足
b
1
?b
2
???b
n，
又
1?
111
????.

222
23n
a
n
b
n
a
2
a
3
b
2
b
3
.由于
b
1
,b
2
,?b
n
是互不相同的正整数，
?????b?????
1
n
2
2< br>3
2
2
2
3
2
n
2
b
3< br>b
n
b
11
故
b
1
?1,b
2?2,?,b
n
?n.
从而
b
1
?
2
，原式得证.
?????1????
222
2n
23n
所以
a
1
?
评述：排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，
a? b?a?b?b?a,

22
a
3
?b
3
?c3
?a
2
?b?b
2
?c?c
2
?a?a?a b?b?bc?c?ca?a?bc?b?ac?c?ab?3abc.

5.思路分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方法. ．．
a
2
?b
2
?2ab,同理b
2
?c3
?2bc,c
2
?a
2
?2ca
；三式相加再除以2 即得证.
.
- 5 -

梦想不会辜负每一个努力的人
评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.
< br>2
2
x
n
x
1
2
x
2
如< br>?????x
1
?x
2
???x
n
，可在不等式两边 同时加上
x
2
?x
3
???x
n
?x
1< br>.

x
2
x
3
x
1

式.
再如证
(a?1)(b?1)(a?c)(b?c)?256abc(a,b,c?0)
时，可连续使用基本不等
33223
a?b
2
a
2
?b< br>2
)?
（2）基本不等式有各种变式 如
(
等.但其本质特征不等式 两边的次数及系
22
数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.
6. 思路分析：不等式左边是
a
、
b
的4次式，右边为常数
呢.


3
3
1
，如何也转化为
a
、
b
的4次式
8
要证
a?b?
44
11
,
即 证
a
4
?b
4
?(a?b)
4
.

88
33
评述：（1）本题方法具有一定的普遍性.如已知
x
1
? x
2
?x
3
?1,x
i
?0,
求证：
x< br>1
?x
2

1
右侧的
1
可理解为
1
(x
1
?x
2
?x
3
)
3
.再如已知
x
1
?x
2
?x
3
?0
，求 证：
x
1
x
2
?x
2
x
3
?x?.
3
3
3
2
+
x
3
x
1
?0
，此处可以把0理解为
(x
1
?x
2
?x< br>3
)
，当然本题另有简使证法.
3
8
（2）基本不等式实 际上是均值不等式的特例.（一般地，对于
n
个正数
a
1
,a
2
,?a
n
)

调和平均
H
n
?
n
111
??
?
?
a
1
a
2
a
n

几何平均
G
n
?
n
a
1?a
2
?a
n

算术平均
A
n
?a
1
?a
2
?
?
?a
n

n
22
a
1
2
?a
2
?
?
?an

2
平方平均
Q
n
?
这四个平均值有以下关 系：
H
n
?G
n
?A
n
?Q
n
， 其中等号当且仅当
a
1
?a
2
???a
n
时成立.
7. 证明: 令
b
i
?
a
i
,(i
?
1,2,
?
,n)
则
b
1
b
2
? b
n
?
1
，故可取
x
1
,x
2
, ?x
n
?0
，使得
G
n
b
1
?
.
xx
x
1
x
,b
2
?
2
,
?
,b
n?1
?
n?1
,b
n
?
n
由排序不等式有：
x
2
x
3
x
n
x
1
- 6 -

梦想不会辜负每一个努力的人

b
1
?b
2
???b
n

=
x
x
1
x
2
????
n
（乱序和）
x
2
x
3
x
1

?x
1
?
111
?x
2
????x
n
?
（逆序和）
x
1
x
2
x
n
=n，

?
aa?a
2
?
?
?a
n
a
1
a
2
??
?
?
n
?n,
即
1
?G< br>n
.

G
n
G
n
G
n
n
评述:对
11 1
,,
?
,
各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，
G
n
?A
n
.
a
1
a
2
a
n1
n
1
)?1?
，故可设法使其左边转化为n个数的几何平
nn ?1
8. 分析:原不等式等价于
n?1
(1?
均，而右边为其算术平均.

n?1
11111n?21

(1?)
n
?(1 ?)
?
(1?)?1?(1?)
?
(1?)?1??1?.
n?1< br>nnnnnn?1n?1
??????????????
n个
n?1
评述:（1）利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化，使其两边与均值不等式
形式相近.类 似可证
(1?
1
n?1
1
n?2
)?(1?).

nn?1
（2）本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证，但较繁.
9.证明:先证左边不等式



111
??
?
??(1?n)?1?
23n
111
1??????n
1
23n
?

(1?n)
n
?

n
111< br>(1?1)?(?1)?(?1)?
?
?(?1)
1
23n

?(1?n)
n
?
n
34n?1
2???
?
?
23n
?
n
1?n?(*)

n
n[(1?n )?1]?1?
2?
1
n
1
n
1?
111
??
?
?
23n

n

34n?1
??< br>?
?
23n
?
n
2?
3
?
4
?
?
?
n?1
?
n
n?1.

n23n

?
（*）式成立，故原左边不等式成立.
.
- 7 -

梦想不会辜负每一个努力的人


其次证右边不等式
?
111
1???
?
??n?(n?1 )?n
n?1

23n
1

?n
1
?n?1
n?(1?
?
111111
??
?
?)(1?) ?(1?)?
?
?(1?)
23n
?
n?1
1
?< br>23n

n?1nn?1
1
?

n?1
1< br>?
2
?
?
?
n?1
?
23n
nn? 1
（**）
（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右边不等号成立.
- 8 -








.