高中数学数列典型例题解析-高中数学全套视频讲解
高中数学竞赛模拟试题
一、选择题：
1.设
a
、
b
、
c
为实数，
4a?2b?c?0,a?b?c?0
，则下列四个
结论中正确的是 （ D ）
（A）
b?ac
（B）
b?ac
（C
）
b?ac
且
a?0
（D）
b?ac
且
a?0
2
提示：若
a?0
,则
b?0
,则
b?ac
?0
.若
a?0
,则对于二次函数
f(x)?ax?bx?c
,由<
br>2
2222
f(2)?0,f(?1)?0
可得结论.
2
.在△ABC中，若
?A?45,AB?2,BC?a
，则
a?
0
2
是△ABC只有一解的 （ A ）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件
3.已知向量
a?(m,cos2x?2sinx?1),b?(3?cos2x?4sinx
,?1)
,定义函数
f(x)?a?b
.若
对任意的
x?[0,?
2
]
，不等式
f(x)?0
恒成立，则
m
的
取值范围是 （ A ）
1
8
1
8
（A）
(,??)
（B）
[0,)
（C）
(,2)
（D）<
br>(2,??)
4.设E、F、G分别是正四面体ABCD的棱AB、BC、
CD的中点，则二面角C—FG—E的大小是
（ D ）
（A）
arcsin
5.把数列
{2n?1}
依次按一项
、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，
17，19，21）
，（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号
内各
数之和为
（ A ）
（A）1992 （B）1990 （C）1873 （D）1891
6.设
x
i
?{1,2,?,n},i?1,2,?,n
，满足1
8
6
?
32
?
（B）
?arccos
（C）
?arctan2
（D）
?
?arccot
32
3
2
2
?
x
i
?
i?1
n
n(n
?1)
，
x
1
?x
2
???x
n
?n!<
br>，使
x
1
，
x
2
，…，
2
x
n
一定是
1,2,?,n
的一个排列的最大数
n
是
（ C ）
（A）4 （B）6 （C）8 （D）9
二、填空题：
7. 若实数
x
、
y
满足条件
x?y?1<
br>，则
22
12y
的取值范围是___________________. <
br>?
x
x
2
【答案】
(?2,2)
.提示:令
x?sec
?
,y?tan
?
.
24
8. 对于给定的正
整数
n?4
，等式
C
m
?3C
n
成立，则所有的<
br>m
一定形如_____________.（用
n
的
组合数表示） <
br>224
222
【答案】
m?C
n?1
(
n?4
).提示:由
C
m
?3C
n
得
(2m?1)?(n?3n
?1)
,
2
从而
m?C
n?1
(
n?4
).
9.
一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的
废品数?
的数学期望
E
?
=_________________.
111
C
9
C
3
C
9
39
【答案】
0.3
提示:
?
取值为0,1,2,3，且有
P(
?
?0)?
1
?
，
P(
?
?1)?
，
?<
br>2
44
C
12
4
2C
12
131
C
3
2
C
9
C
3
C
9
91
，.
P(
?
?2)??P(
?
?3)??
34
2
20220
2C
12
2C
12
?E
?
?0?
3991
?1??2??3??0.3
.
444220220
10.
设点F
1
、F
2
分别为椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F
1
为顶点、以F
2
为焦点。设P点为椭
圆与抛物线的一个交点。如果椭圆E的离心率<
br>e
满足
PF
1
?ePF
2
，则
e
的
值为_______.
【答案】
3
3
2
11. 已知<
br>t?0
,关于
x
的方程
x?t?x?2
,则这个方程有相异实
根的个数情况是
_________________.
【答案】0或2或3或4. 提示：
令
C
1
:y?x?2,C
2
:y??t?x
2
，利
用数形结合知：当
0?t?1或t?2
时，方程无实数根；
当
t?1
时，方程有2个实数根；
当
t?2
时，方程有3个实数根；
当
1?t?2
时，方程有4个实数根。
x
2
12. 函数
f(x)?
（
x?R,且x?1
）的单调递增区间是___________
___________.
x?1
【答案】
(??,0],[2,??)
.
提示：
y?2?(x?1)?
本题也可直接依函数的单调性定义来分析。
1
（
x?1
），利用典型函数来分析；
x?1
三、解答题：
13.向量
OP
1
?
OP
2
?OP
3
?1
，试判断
3
满足条件
OP
1
?OP
2
?OP
3
?0
，
OP1
、
OP
2
、
OP
△P
1
P
2
P
3
的形状，并加以证明。
解:∵
OP
1
?O
P
2
?OP
3
?2OP
2
?OP
3
. <
br>1
?OP
2
?OP
3
?0
，∴
OP
1
??OP
2
?OP
3
，∴
OP
又∵
OP
1
?OP
2
?OP
3
?1
，∴
OP
2
?OP
3
??
1
?OP
2
?OP
3<
br>?1
，∴
OP
∴
cos?P
2
OP
3
??
同理可求得
P
1
P
2
?
222
22
2
1
，
2
1
，在△P
2
OP
3
中
，由余弦定理可求得
P
2
P
3
?3
.
2
3
，
P
1
P
3
?3
.∴△P
1
P
2
P
3
为正三角形.
*
，a
n?1
?a
n
?n?1
（
n?N
）14.设数列
{a
n
}
满足
a
1
?1
，求证：
1
?2(n?1?1)
.
?
k?1
a
k
n
*
证明:由题意知<
br>a
2
?2,a
n
?0,n?N.
当
n?1
时
,
1
?1?2(2?1)
,命题成立；
a
1
1
?
a
n?1
?a
n?1
，
a
n
当
n?2时，由
a
n?1
?a
n
?n?1
，得
a
n
?a
n?1
?n
，∴
a
n
(a
n?1
?a
n?1
)?1
，
nn
11
??
?(a
k?1
?a
k?1
)?a
n?1
?a
n<
br>?2?2a
n?1
a
n
?2?2(n?1?1)
. 从而有<
br>?
aa
k?1
k
k?2
1
15.设函数
f(
x)?
3
1?x?
?
x
，其中
?
?0.
（1）求
?
的取值范围，使得函数
f(x)
在
[0,??)
上是单调递减函数；
（2）此单调性能否扩展到整个定义域
(??,??)
上？
（3）求解不等式
2x?
3
1?x?12.
解：（1）设
0?x
1
?x
2
???
，
则
f(x
1
)?f(x
2
)?(x
1
?x
2
)[
1
3
(1?x
1
)?
3
1?x1
?
3
1?x
2
?
3
(1?x
2)
2
22
?
?
].
设
M?
3
(1?x
1
)?
3
1?x
1
?
3
1?x
2
?
3
(1?x
2
)
，则显然
M
?3
.
∵
f(x
1
)?f(x
2
)?0
,∴
?
?
2
1111
?
,∴只需要
?
?<
br>,就能使
f(x)
在
[0,??)
上是单调,∵
MM33递减函数；
（2）此单调性不能扩展到整个定义域上，这可由单调性定义说明之；
（3）构造函数
g(x)?2x?
3
1?x
，由（1）知当
x?0
时，
g(x)
是单调递增函数。∵
g(7)?12
，
∴
2x?
3
1?x?12.
?g(x)?g(7)
，∴
x
?7
，∴所求解集为
(??,7)
.