2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(211)

——教学资料参考参考范本——



















2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（211）
















______年______月______日


____________________部门







1 3

第一试

一、填空题

1.已知为实数，则的最大值为 。
x
2016?x?x?2000

2.顺次联结与的交点，得到一个凸四边形，则此四边形的面积为
x
2
?y
2
?10
y?
4
x

a
3.设等差数列的前项和为，若，则的最大值为 。
?< br>n
?
n
S
n
S
6
?26,a
7?2
nS
n

4.若关于的复系数方程有实根，则复数的模的最小值为
x
(1?2i)x
2
?mx?1?2i?0
m

5 .空间一点P到正四面体ABCD的顶点A、B的距离分别为2、3，当正
四面体的棱长位置变化时，点 P到CD所在直线的最大距离
为 。

6.在一次无平局的比赛中 ，当比赛进行到其中一人比另一人多胜2场
时结束，且胜场多者获胜，已知在第奇数场时，甲获胜的概率 为；在
第偶数场时，乙获胜的概率为，则比赛结束时进行场数的数学期望
33
为 。
55

7.设，且在区间上恒成立，则实数的取值范围是 。
1
f(x)?lnx?ax
2
?2x(a?
?
?1,0< br>?
)
f(x)?b
?
0,1
?
b

2
8.若周长为1的三条边上的高可作为一个三角形的三条边长，则的取
值范围是 。
?ABC
二、解答题


2 3
min
?
AB,BC,CA
?

2017
i?1
9.当时，求的最小值。
x?
?
1,2017
?
f(x)?
?
ix?i

10.求函数的最大值。
f(x)?3sin2x?2sinx?43cosx
11.设为椭圆的内接三角形，其中，A为椭圆与轴正半轴的交点，直线
x
2
?: ?y
2
?1
4
AB、AC斜率的乘积为，G为的重心，求的取值范围。
?ABC
?
x
?
1
4
?ABC
GA?GB?GC

加试

23
p、q
p?p?1?q
一、求所有的素数，使得。

二 ，已知一个20xx×20xx方格表，试求最小的正整数M，使得可以在
方格表中画出M个矩形（其边 在网格线上），且方格表中的每个小方
格的边均包含在上述M个矩形之一的边上。

三 、已知正实数与非负实数满足
a
1
,a
2
,…,a
n
b
1
,b
2
,…,b
n

（1）
a1
?a
2
?…?a
n
?b
1
?b
2< br>?…?b
n
?n

（2）
a
1
a
2
…a
n
?b
1
b
2
…b
n
?1
2

?
bb
b
?
a
1
a< br>2
…a
n
?
1
?
2
?…?
n
?
a
n
??
a
1
a
2
求的最大值。
四、如图1，交于点P，的另一个交点A，经过点A的一条直线分别与
交于点B、C，A P的延长与交于点D，作DEBC与交于点E，再作EM、
EN分别与切于点M、N，证明：EM2-E N2=DE·BC.
O
1
、O
2
与O
3
O
1
与

O
2
O
1
、O
2
O
3
O
3
O
1
、O
2


3 3