2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(210)

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2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（210）
















______年______月______日


____________________部门







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第一试

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.设函数，实数、满足，，则= 。
f
?
x
?
?log
2
x
a
b< br>?
a＜b
?
f
?
a＋1
?
?f
?< br>b＋2
?
f
?
10a＋6b＋22
?
?4
a b

2.已知数列满足，记则= 。
?
a
n
?
a
0
?0,5a
n＋1
?4a
n
＋3
2< br>1-a
n

3.已知椭圆的右焦点为F，P为椭圆上一点，点，当的周长最大时，的
面积为 。
?APF?APF

4.已知AB是以为圆心且与函数图像有公共点的所有圆中半径 R最小的
圆的一条直径，O为原点，则 = .
C
?
0 ,1
?
y?
1
x?1
OAOB

5.抽屉中装有红 、蓝两种颜色的短袜，总数不超过20xx只，随机取出
两只短袜，其同色的概率为，则抽屉中红袜数量 的最大值
1
为 。
2

6.在中，点D在边AB上，BD=1，且DA=DC,则
?ABC
?B?
?
3
,AC?3,
?DCA?
< br>7.已知半径为的球的球心O为正四面体的中心，且球O的球面被四面
体的四个面截得的曲线总长 度为，则四面体的体积为 。
22
2
??
8
?
?

8.已知非负整数 数列满足，且若项数不少于2，则其中任意两项均不相
等，那么，这样的数列的个数为 。
?
a
n
?
a
1
?2016,a
n＋1< br>?a
n
?
a
n
?


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二、解答题

3
9.设为方程的三个根，证明x
1
、x
2
、x
3
x?16x＋17?0
ar ctanx
1
?arctanx
2
?arctanx
3
?< br>?
4

10.已知抛物线∶的焦点为F，M为圆∶上一点，以F为圆心、FM为 半
径作，直线与切于点M，与抛物线C交于A、B两点，直线（异于直线）
分别过点A、B且与 相切，证明∶
F
l
1
、l
2
l
F
l
1
l
2

11.对任意20xx个复数，均有，其中，求的最大值。
z
1
,z
2
,…,z
2016
2016
?
k?1
z
k
?
?
min
2
1?k?2016?
z
k1
?z
k
2
?
z
2017?z
1
?

加试

一、如图1，AD、BE分别为锐角 的边BC、AC上的高，AB的中点为M，
直线DE与的外接圆交于点F、K，线段MK、MF分别与的 外接圆交于点
P、Q（异于点M），证明:A、P、Q、B四点共圆。
?ABC?ABC
?MDE

二、已知存在整数，使得。求所有可能的的值及相应的整数解

三、设为正整数，为奇数，证明∶存在正整数，使得

四、给定整数，设整数满足，求 集合的元素个数的最小可能值。
n?2
a
0
,a
1
,…,a
n
0?a
0
＜a
1
＜…＜a
n
?2n?1
?
a
i
＋a
j
0?i?j?n
?



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