深圳市高中数学竞赛试题及答案

2015年深圳市高中数学竞赛试题及答案

一、选择题（本大题共6小题，每 小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请
把正确选择支号填在答题卡的相 应位置．）
1．集合
A?{0,4,a}
，
B?{1,a
4
}
，若
A?B?{0,1,2,4,16}
，则
a
的值为
A．
0
B．
1
C．
2
D．
4

2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能
是 ①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
3．设
a?0.5

?0.5
3
2
2

2
正视图

侧视图
,b?log
0.3
0.4,c?cos
A．
c?b?a
B．
c?a?b

2
?
，则
3
C．
a?b?c

（第2题图）
D．
b?c?a

4. 平面上三条直线
x?2y?1?0,x?1 ?0,x?ky?0
，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数
k
的
值为
A.
1
B.
2
C.
0
或
2
D.< br>0
，
1
或
2

5．函数
f(x)?Asin (
?
x?
?
)
（其中
A?0,|
?
|?< br>?
2
）的图象如图所
示，为了得到
g(x)?cos2 x
的图像，则只要将
f(x)
的图像
?
?
个单位长度 B．向右平移个单位长度
12
6
?
?
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

12
6
A．向右平移
（第5题图）

6.在棱长为1的正四 面体
A
1
A
2
?A
i
A
j
(i, j?1,2,3,4,i?j)
，则
a
ij
不同取值的个
1
A
2
A
3
A
4
中，记
a
ij
?A
数为
A．6 B．5 C．3 D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答
案填在答题卡相应题的横线上．）
7．已知
a?(m,?1)
，
b ?(1,?2)
，若
(a?b)?(a?b)
，则
m
=.
8．如图，执行右图的程序框图，输出的T=.
9. 已知奇函数
f(x)
在
(??,0)
上单调递减，且
f(2)?0
，
则不等式
(x?1)?f(x)?0
的解集为．
（第8题图）
10.求值：
11
??
．
cos70
?
3sin250
?
22
)?
. 11 ．对任意实数
x,y
，函数
f(x)
都满足等式
f(x?y)?f( x)?2f(y)
，且
f(1)?0
，则
f(2011
1 8 < /p>

12.在坐标平面内，对任意非零实数
m
，不在抛物线
y?mx
2
?
?
2m?1
?
x?
?
3m?2
?
上但在直线
y??x?1

上的点的坐标为 .
答 题 卡

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）
题号
答案
1

2

3

4

5

6

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）
7． 8． 9．
10． 11． 12．
三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
13.（本小题满分12分）
为预防
H
1
N
1
病 毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效
的概率小于90% ，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：
b5E2RGbC AP

疫苗有效
疫苗无效
A组
673
77
B组 C组
x

90
y

z

已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组的概率是0.375.
（1）求
x
的值；
（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C组中抽取多少个？
（3）已知
y?465
,
z?25
,求该疫苗不能通过测试的概率.
14．（本题满分12分）
已知函数
f(x)?2cos(x?
2
?
12
)?sin2x
．
（1）求
f(x)
的最小正周期及单调增区间；
（2）若
f(?
)?1,
?
?(0,
?
)
，求
?
的 值．
15．（本题满分13分）
如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
AC?BC?AA
1
?2
，
?ACB?90?
，
E,F,G
分别是
AC,AA
1
,AB
的中点．
B
1

C
1

A
1

F
2 8
B
G
E
A

（1）求证：
B
1
C
1

平面
EFG
；
（2）求证：
FG?AC
1
；
（3）求三棱锥
B
1
?EFG
的体积.
16．（本题满分13分）
已知函数
f(x)?x
2
?2x?t< br>2
?3t
.当
x?
[t,??)
时，记
f(x)的最小值为
q(t)
.
(1)求
q(t)
的表达式；
(2)是否存在
t?0
，使得
q(t)?q()
？若存在，求出
t
；若不存在，请说明理由.
17．（本题满分14分）
已知圆
M:2x< br>2
?2y
2
?8x?8y?1?0
和直线
l:x?y?9?0
，点
C
在圆
M
上，过直线
l
上一点
A作
1
t
?MAC
.
（1）当点
A
的横坐标为
4
且
?MAC?45
时，求直线
AC
的方程；
（ 2）求存在点
C
使得
?MAC?45
成立的点
A
的横坐标的 取值范围.
18．（本题满分14分）
在区间
D
上，若函数
y? g(x)
为增函数，而函数
y?
上的“弱增”函数．已知函数
f(x)?1?
?
?
1
g(x)
为减函数，则称函数
y?g(x)
为区间
D
x
1
．
1?x
1
x
2
?x
1
；
2
（1 ）判断函数
f(x)
在区间
(0,1]
上是否为“弱增”函数，并说明理由；
（2）设
x
1
,x
2
?
?
0,??
?
,x
1
?x
2
，证明
f(x
2
)?f (x
1
)?
（3）当
x?
?
0,1
?
时， 不等式
1?ax?
1
恒成立，求实数
a
的取值范围．
1?x
2014年深圳市高中数学竞赛决赛
参考答案

一、选择题：C B A D D C
二、填空题：7.
?2
8．< br>29
9.
(??,?2)?(0,1)?(2,??)


10.
31
2011
43
11． 12.
(,?),(1,0),(?3,4)

2
22
3
三、解答题：
13. （本题满分12分）
解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B组的概率0.375，
所以
p1EanqFDPw
x?90
?0.375
， ………………2分
2000
3 8

即
x?660
. ………………3分
DXDiTa9E3d
（2）C组样本个数为y＋z＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4
分
RTCrpUDGiT
现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C组中抽取个数为
360
?500?90
个. ………………7分
2000
5PCzVD7HxA
（3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.
由（2）知
y?z?500
，且
y,z?N
,所以C组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有：
（465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分
jLBHrnAILg
由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有
673?660?y
?0.9
， …………………10分
2000
xHAQX74J0X
即
673?660?y?1800
，
解得
y?467
，
所以事件M包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个.…………………11分
2
，
11
2
故该疫苗不能通过测试的概率为. …………………12分
11
所以
P(M)?
LDAYtRyKfE
14. （本小题满分12分）
解：
f(x)?1?cos(2x?
?6
)?sin2x
…………………1分
?sin2xsin?1?cos2xc os
?
6
?
6
?sin2x

?1?
31
cos2x?sin2x
………………… 2分
22
?sin(2x?
Zzz6ZB2Ltk
?
3
)?1
. …………………4分
（1）
f(x)
的最小正周期为
T?
dvzfv kwMI1
2
?
?
?
； …………………5分
2
又由
2x?
?
3
?[2k
?
?
?
2
,2k
?
?
?
2
]
， …………………6分
得
x?[k
?
?
5
??
,k
?
?](k? Z)
， …………………7分
1212
4 8

从而
f(x)的单调增区间为
[k
?
?
（2）由
f(
?
)? sin(2
?
?
所以
2
?
?
5
??
,k
?
?](k?Z)
． …………………8分
1212
?
3
)?1?1
得
sin( 2
?
?
?
3
)?0
， …………………9分
k
??
?
(k?Z)
． …………………10分
326
?
5
?
又因为
?
? (0,
?
)
，所以
?
?
或． …………………12分
6
3
?k
?
，
?
?
15. （本题满分13分）
解：（1）因为
G、E
分别是
AB、AC
的中 点，所以
GEBC
；……1分
B
1

又
B
1
C
1
BC
，所以
B
1
C
1
G E
； …………2分
C
1

又
GE?
平面
EFG
，
B
1
C
1
?
平面
EFG
，
所以
B
1
C
1

平面
EFG
． …………3分
（2）直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，因为
?ACB?90?
，
B
F
A
1

?
G
E
C
A
所以
BC?
平面
AA
1
C
1
C
； ……………4分
rqyn14ZNXI
又
GEBC
，所以
GE?< br>平面
AA
1
C
1
C
，即
GE?AC
1
； ……………5分
又因为
AC?AA
1
?2
，所以四边形
ACC
1
A
1
是正方形，即
A
1
C?AC
1
； ……………6分
又
E ,F
分别是
AC,AA
1
的中点，所以
EFA
1
C
，从而有
EF?AC
1
， ……………7分
由
EF?GE?E
，所以
AC
1
?
平面
EFG
，即< br>FG?AC
1
． ……………8分
（3）因为< br>B
1
C
1

平面
EFG
，所以
VB
1
?EFG
?V
C
1
?EFG
?V
G?EFC
1
． ……………10分
11
S
?EFC
1
?GE
，且
GE?BC?1
．…………11分
32
13
又由于
S
?EFC
1
?S
正方形 ACC
1
A
1
?S
?AEF
?S
?A
1< br>FC
1
?S
?ECC
1
?4?1?1??
，………… …12分
22
11311
所以
V
G?EFC
1
? S
?EFC
1
?GE???1?
，即
V
B
1
?EFG
?
． ……………13分
33222
由于
GE?
平面
AA
1
C
1
C
，所以V
G?EFC
1
?
16. （本题满分13分）
解：（1）
f(x)?x?2x?t?3t

22
f(x)

?(x?1)
2
?t
2
?3t?1
． ……………1分
①当
t?1
时，
f(x)
在
x?
[t,??)
时为增函数，所以
O

1

x
< br>f(x)
在
x?
[t,??)
时的最小值为
q(t)?f(t )?t
；……………3分
5 8

②当
t?1
时 ，
q(t)?f(1)??t
2
?3t?1
； ……………5分
综上所述，
q(t)?
?
t(t?1)
．……………6分
2
?
?t?3t?1(t?1)
?
（2）由（1）知，当
t?0时，
q(t)??t
2
?3t?1
，
所以当
t?0
时，
q()??
EmxvxOtOco
1
t
13
??1
． ……………7分
2
tt
13
??1
， ……………8分
t
2
t
由
q(t)?q()
得：
?t?3t?1??
43
1
t
2
即
t?3t?3t?1?0
， ……………9分
SixE2yXPq5
整理得
(t
2
?1)(t
2
?3t?1)?0
， ……………11分
6ewMyirQFL
解得：
t??1
或
t?
kavU42VRUs
3?5
. ……………12分
2
1
t
又因为
t?0
，所以
t? ?1
.即存在
t??1
，使得
q(t)?q()
成立.……………1 3分
17. （本题满分14分）
解：（1）圆
M
的方程可化为：
(x?2)?(y?2)?
22
1734
，所以圆心
M
（2，2） ，半径
r
=
. ……1分
2
2
由于点
A
的横坐标为
4
，所以点
A
的坐标为（4，5），即
AM?13
. ……………2分
若直线
AC
的斜率不存在，很显然直线
AM
与
AC
夹角不是
45
，不合题意，故直线
AC
的斜率
一定存在，可设
AC
直线的斜率为
k
，则
AC的直线方程为
y?5?k(x?4)
，即
kx?y?5?4k?0
. ……………3分
y6v3ALoS89
由于
?MAC?45
所以
M
到直线
AC
的距离为
d?
?
226
|AM|?，此时
d?r
，即这样的
22
点
C
存在. ……………4分
M2ub6vSTnP
由
2k?2?5?4kk
2
?1
?
3?2k
1
2626
，得，解得< br>k??5 或 k?
. ……………5分
?
5
22k
2
?1
所以所求直线
AC
的方程为
5x?y?25? 0
或
x?5y?21?0
. ……………6分
6 8

(2)当
|AM|?2r
时，过点
A的圆
M
的两条切线成直角，从而存在圆上的点
C
（切点）使得
? MAC?45
?
. ……………7分
0YujCfmUCw
设点
A
的坐标为
(x,y)
，则有
?
?
(x?2)
2
?(y?2)
2
?2?
34
?17
， ……………8分
?
2
?
x?y?9?0
?
解得
?
eUts8ZQVRd
?
x?3
?
x?6
或
?
. ……………9分
?
y?6
?
y?3
记点
(3,6)
为
P
，点
(6,3)
为
Q
，显然当点
A
在
线段
PQ
上时，过
A
的圆的两条切线成钝角，从
l

y

A

而必存在圆上的一点
C
使得
?MAC?45
；……11分
当点
A
在线段
PQ
的延长线或反向延长线上时，过
?
?
M

O
A
的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的
点
C
使得
?MAC?45
， …………13分
?
x

所以满足条件的点
A
为线段
PQ
上的点，即满足条件的点
A
的横坐标取值范围是
?
3,6?
.……14分
18．（本题满分14分）
解：（1）由
f(x)? 1?
1
可以看出，在区间
(0,1]
上，
f(x)
为增函数 . ………………1分
1?x
又
11111?x?11x1
，……………3分
f(x)? (1?)???
xxx
1?x
x
1?x(1?x?1)1?x?1?x1?x
显然
1
f(x)
在区间
(0,1]
上为减函数，
x
?
f(x)
在区间
(0,1]
为“弱增”函数. ………………4分
（2）
f(x
2
)?f(x
1
)?11
??
1?x
2
1?x
1
1?x
1
?1?x
2
1?x
2
1?x
1
?
x
2?x
1
1?x
2
1?x
1
(1?x
2
?1?x
1
)
.…6分
x
1
,x
2
?< br>?
0,??
?
,x
1
?x
2
,
?
1?x
1
?1
，
1?x
2
?1
，
1?x
1
?1?x
2
?2
，即
1?x
2
1?x
1
(1?x
2
?1?x
1
)?2
，………… ……8分
7 8

?f(x
2
)?f(x
1)
?
1
x
2
?x
1
. ………………9分
2
（3）当
x?0
时,不等式
1?ax?
1
显然成立.………………10分
1?x
11
1
恒成立”等价于“ 当
x?
?
0,1
?
时，不等式
a?(1?)
即
x
1?x
1?x“当
x?
?
0,1
?
时，不等式
1?ax?
1
f(x)
恒成立” .………………11分
x
1
也就等价于:“ 当
x?
?
0,1
?
时，
a?[f(x)]
min
成立” .………………12分
x
a?
由(1)知
12
1
.……………13分
f(x)
在区间
(0,1]
上为减函数, 所以有
[f(x)]min
?f(1)?1?
x
x2
?
a?1?
22
1
，即
a?1?
时，不等式
1?ax?
对
x?
?
0,1
?
恒成立. ……………14分
22
1?x
8 8