2018高二数学竞赛试题及答案

2018
高二数学竞赛试题及答案

一、选择题（本题满分
60
分，每题
5
分）

1< br>．复数
z?
?
1?i
?
2
?
2?i
?
的虚部为
(

)
A.
?2i
B.
?2
C.
4i
D.
4

2
．已知集合
A
＝
{(x
，< br>y)|x
＋
a
2
y
＋
6
＝
0}，集合
B
＝
{(x
，
y)|(a
－
2)x＋
3ay
＋
2a
＝
0}
，若
A
∩B
＝
?
，则
a
的值是
(

)
A. 3
或
-1 B. 0 C.
－
1 D. 0
或－
1
3．
?
a?2b?3c
?
的展开式中
abc
2
的 系数为（

）

A. 208 B. 216 C. 217 D. 218
4.
某公司在
2013-2017
年的收入与支出情况如下表所示：

收入
x
（亿元）

支出
y
（亿元）

?
4
2.2
0.2
?
2.6
1.5
4.0
2.0
5.3
2.5
5.9
3.8



根据表中数据可得回归直线方程为
y?0.8x?a
，依此估计如果
2018
年该公司收入为
7
亿元时的支出为
(

)
A. 4.5
亿元
B. 4.4
亿元
C. 4.3
亿元
D. 4.2
亿元

5.
在如图所示的正方形中随机投掷
1000 0
个点，则落入阴影部分（曲线
C
的方程为
x
2
?y?0< br>
）的点的个数的估
计值为
( )

A. 5000 B. 6667 C. 7500
6.
函数
y?cos
2
x?3sinxcosx
在区间
?
?
D. 7854
?
??
?
,
?
上的值域是（

）

?
64
?
A.
?
?
?
1
?
,1
?
B.
2
??
?
13
?
?
?,
?
C.
22
??
?
3
?
0,
?

?
?
2
?
D.
?
0,
?
?
3?1
?
?

2?
7
．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下： 小方：“我得第一名”；小
明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名 ”
.
已知他们四人中只有一人说真话，且只
有一人得第一
.
根据以上 信息可以判断出得第一名的人是（

）

1

A.
小明
B.
小马
C.
小红
D.
小方

8.
一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等 的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为



A.
9
?
B.
9
?
C. 4
?
D.
?

4< br>9
．我国南宋时期的数学家秦九韶
(
约
1202-1261)
在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图

所示的框图给出了利用秦九 韶算法求多项式的一个实例．若输入的
n?5
，则程序框图计算的是（

）
v?1
，
x?2
，
开始
输入
n,v,x
i?n?1
i?i?1
v?v?x?1

i?0?
否
输出 v
结束
是
A
．
2
5
?2
4
?2< br>3
?2
2
?2?1
B
．2
5
?2
4
?2
3
?2
2
?2?5< br>
D
．
2
4
?2
3
?2
2
?2?1
C
．
2
6
?2
5
?2
4
?2
3< br>?2
2
?2?1

10．
设
O
点在
?ABC
内部，且有
OA?2OB?3OC?0
，则
?ABC
的面积 与
?AOC
的面积的比为
（ ）

A.
2
B.
3
C.
35
D.
23
11
．已知抛物线
C
：

y
2
?2px(p?0)
和动直线
l
：

y?kx?b
（
k
，

b
是参变量，且
k?0
，

b?0
）相交于
A
?
x
1
,y
1
?
，

B
?
x
2
,y
2
?
两点，

OB
的斜率分别为
k
OA
，

k
OB，直角坐标系原点为
O
，记直线
OA
，若
k
O
k
A
?
OB
恒成立，则当
k
变化时直线
l
恒经过的定点为（

）

?3
2

?
3p
?
A.
?3p,0
B.
?23p,0
C.
?
?
?
3
,0
?
?
D.
??
????
?
23
?
?
?
?3
p,0
?
?

??
3
?
1
x?,x?1
?
f(x)?
12.
已知函数（
lnx
是以
e
为底的自然对数，
e=2.71828...
），若存在实数
m, n(m，满足
2
?
2
?
?
lnx,x?1< br>f(m)=f(n)
，则
n-m
的取值范围为
( )
A. B. C. D.
二、填空题

（本题满分
20
分，每题
5
分）

?< br>x?2y?2
?
13.
已知实数
x,y
满足约束条件
?
2x?y?4
，则目标函数
z?3x?y
的取值范围为
.
?
4x?y??1
?
14.
如图，矩形
ABCD
中，
AB=2AD
，
E
为边
AB
的中点，将
V
ADE
沿直线
DE
翻折成
V
A
1
DE
，若
M
为线段
A
1
C
的
中点，则在
V
ADE
翻折过程中，下列命题正确的是

．（写出所有正确的命题的编号）

①线段
BM
的长是定值；②存在某个位置，使
DE
?
A
1
C
；③点
M
的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，使
MB
P
平面
A
1
DE
．


x
2
y
2
15.
已知双曲线
2
?
2
?1

（
a?0

，

b?0

）

的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2

，过
F
2

的直线交双曲线右支于
P

，
ab
Q

两点，且
PQ?PF
1

，若
PQ?
5
PF
1

，则双曲线的离心率为
__________ .
12
16
． 九个连续正整数自小到大排成一个数列
a
1
,a
2
,...,a9
，若
a
1
?a
3
?a
5
?a
7
?a
9
是一个平方数，
a
2
?a
4
? a
6
?a
8
是一个立方数，则
a
1
?a
2
?a
3
?...?a
9
的最小值是
.
三、解答题（本题满分70分）
17．（本小题满分10分）△
ABC
中，
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，
tan C?
（1）求
A,C
；
（2）若
S
?ABC
?3?3
,求
a,c
.
?
18
．（本小题满分
12
分）已知数列
?
an
?
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?2a
n
?1(n?N)
.
sinA?sinB
,
sin(B?A)?cosC
.
cosA?cosB
3

（
1
）求数列< br>?
a
n
?
的通项公式；

a
n
a< br>1
a
2
n
??...??
.
（
2
）证明：
a
2
a
3
a
n?1
2
19
．（本小题满分
12
分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征召《扶 贫政策》义务宣传志
愿者，从年龄在
20,45
的
500
名志愿者中 随机抽取
100
名，其年龄频率分布直方图如图所示．

??

（
1
）求图中
x
的值；

（
2
） 在抽出的
100
名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取
10
名参加中心广 场的宣传活动，再从这
10
名志愿
者中选取
3
名担任主要负责人．记 这
3
名志愿者中“年龄低于
35
岁”的人数为
X
，求
X
的分布列及数学期望．

20.
（本小题满分
12
分 ）如图，在△
ABC
中，∠
C=90
°，∠
ABC
的平分线 交
AC
于点
E
，过点
E
作
BE
的垂线交< br>AB
于点
F
，⊙
O
是△
BEF
的外接圆，⊙
O
交
BC
于点
D
．

（
1
）求证：
AC
是⊙
O
的切线；
（
2
）过点
E
作
EH
⊥
AB
，垂足为
H
，求证：
CD=HF
；

（
3
）在（< br>2
）条件下，若
CD=1
，
EH=3
，求
BF
及
AF
长．


21
．（本小题满分
12
分）已知椭圆
C
：
（
1
）求椭圆
C
的方程；
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的离心率为 ，并且过点
P
（
2
，﹣
1
）

（
2
）设点
Q
在椭圆
C
上，且
PQ
与
x轴平行，过
p
点作两条直线分别交椭圆
C
于两点
A
（< br>x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），若
直线
PQ
平分∠
APB，求证：直线
AB
的斜率是定值，并求出这个定值．

4