离散数学(第2版)电子教案-离散数学第二版电子书

2020年9月21日发(作者：许佳蓉)

21st Century University Planned Textbooks of Computer Science








Discrete Mathematics (2nd Edition)


李盘林 赵铭伟 徐喜荣 李丽双 编著

□ 概念严谨精炼
□ 叙述简明清晰
□ 推理详尽严格





人民邮电出版社
POSTS & TELECOM PRESS
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第2版)

(

第2版前言
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术的理论基础。因此，它是计算机科学
与技 术专业的核心、骨干课程。一方面，它给后继课，如数据结构、编译系统、操作系统、数据库原
理和人工 智能等，提供必要的数学基础；另一方面，通过学习离散数学，培养和提高了学生的抽象思
维和逻辑推理 能力，为其今后继续学习和工作，进行科学研究，攀登科技高峰，打下扎实的数学基础。
本书第1版于 2002年2月出版以来，六年来，先后多次印刷发行，已得到了普遍认可，被全国
部分普通高校选作教 材，本版除了勘误了第1版中的不妥之处外，还增加了一些新的章节，并相应补
充了例题和习题，以适应 高等学校教学改革的需要。
本书共12章，内容包括命题逻辑、谓词逻辑、集合、关系、函数、代数结 构的概念及性质、半
群与群、环和域、格与布尔代数、图的概念与表示、几类重要的图以及数论。 本书是笔者结合多年教学实践与科学研究，参考国内外教材，在力求通俗易懂、简明扼要的指导
思想 下编写而成的。在编写过程中有如下3点考虑。
1. 力求做到“少而精”，注意突出重点，论证详细 明了，便于自学，在定理证明中多次运用归纳
法，希望读者熟练掌握这一方法。
2. 在加强 基本理论教学的同时，注意了分析问题、解决问题的技能培养和训练。书中各知识点均
配有典型例子，并 加以说明。此外，各章都配有适量的习题，希望通过做习题这个环节，来培养、提
高学生解决问题的能力 。
3. 一方面每章各有独立性，教师根据需要可以单独选讲几章；另一方面，尽可能注意各章之间的
联系，规范并统一了符号和术语。
本书在编写过程中，得到了有关领导、老师和同学的热情关心、支持和帮助，在此一并表示感谢。
限于作者水平，书中难免有不当和疏漏之处，恳请读者批评指正。







编 者
于大连理工大学
2008年9月

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目 录
第1章 命题逻辑 ............................................ 1
1.1 命题与联结词................................... 1
1.2 合式公式及分类 ................................ 3
1.3 等价式与等价演算 ............................ 5
1.4 对偶式与蕴涵式 ................................ 8
1.5 联结词的扩充与功能完全组 .......... 10
1.6 公式标准型——范式 ...................... 12
1.7 公式的主范式.................................. 13
1.8 命题逻辑的推理理论 ...................... 17
第2章 谓词逻辑 .......................................... 21
2.1 个体谓词和量词 .............................. 21
2.2 谓词公式与翻译 .............................. 23
2.3 约束变元与自由变元 ...................... 24
2.4 公式解释与类型 .............................. 26
2.5 等价式与蕴涵式 .............................. 27
2.6 谓词公式范式.................................. 29
2.7 谓词逻辑的推理理论 ...................... 30
第3章 集合 .................................................. 32
3.1 集合论基础...................................... 32
3.2 集合运算及其性质 .......................... 34
3.3 集合的笛卡儿积与无序积 .............. 37
3.4 有限集合的计数 .............................. 38
第4章 关系 .................................................. 40
4.1 二元关系 ......................................... 40
4.2 关系运算 ......................................... 43
4.3 关系类型 ......................................... 46
第5章 函数 .................................................. 51
5.1 函数基本概念.................................. 51
5.2 函数类型 ......................................... 52
5.3 函数运算 ......................................... 53
5.4 基数 ................................................. 55
第6章 代数结构概念及性质 ....................... 58
6.1 代数结构的定义与例 ...................... 58
6.2 代数结构的基本性质 ...................... 58
6.3 同态与同构...................................... 63
6.4 同余关系 ......................................... 66


6.5 商代数 ............................................. 67
6.6 积代数 ............................................. 68
第7章 半群与群 .......................................... 70
7.1 半群和独异点的定义及其性质 ..... 70
7.2 半群和独异点的同态与同构 ......... 71
7.3 积半群 ............................................. 72
7.4 群的基本定义与性质 ..................... 73
7.5 置换群和循环群 ............................. 74
7.6 子群与陪集 ..................................... 77
7.7 群的同态与同构 ............................. 80
第8章 环和域 .............................................. 83
8.1 环 .................................... ................. 83
8.2 子环与理想 ..................................... 85
8.3 环同态与环同构 ............................. 86
8.4 域 ................................................ ..... 88
第9章 格与布尔代数 .................................. 90
9.1 格 . .................................................. .. 90
9.2 布尔代数 ......................................... 97
9.3 子布尔代数、积布尔代数和布尔代数
同态 .................. ........................................ 99
9.4 ............... 100
r
9.5 布尔代数B
2
................................. 101
9.6 布尔表达式及其范式定理 ........... 102
第10章 图的概念与表示 .......................... 106
10.1 图的基本概念 ............................. 106
10.2 链(或路)与圈(或回路) ................ 111
10.3 图的矩阵表示 ............................. 115
10.4 最短链与关键路 ......................... 124
第11章 几类重要的图 .............................. 128
11.1 欧拉图与哈密尔顿图.................. 128
11.2 二部图 ......................................... 134
11.3 树 ................................................. 136
11.4 平面图 ......................................... 147
参考文献 ......................................... ............... 153


由于离散数学上课学时普遍减少，电 子教案只包含了数理逻辑、集
合论、代数结构和图论的基本理论部分。使用它的各位老师，可以根据教学计划的需求，适当做删减或增补。
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第1章 命题逻辑
命题逻辑，也称命题演算，记为L
S
。它与谓词逻辑构成数理逻辑的基础，而命题逻辑又是谓
词逻辑的基础。数理逻辑，又名为 符号逻辑，它是选用数学方法即通过引入没有二义性的表意符
号，使用公认的与任一特定的论证无关的规 则研究推理的学问。
命题逻辑是研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。那么，什 么是命
题？如何表示和构成？如何进行推理的？下面逐一地进行讨论。

1.1 命题与联结词
1.命题的概念
所谓命题，是指具有非真必假的陈述句。而疑问句、祈使句和 感叹句等因都不能判断其真假，
故都不是命题。命题仅有两种可能的真值：真和假，且二者只能居其一。 真用1或T表示，假用
0或F表示。由于命题只有两种真值，所以称这种逻辑为二值逻辑。命题的真值是 具有客观性质
的，而不是由人的主观决定的。
例1.1.1 判断下列语句哪些是命题
① 6是整数。
② 地球是方的。
③ 3+5=8。
④ 金星的表面温度是800?F。
⑤ 请勿吸烟！
⑥ 你去书店吗？
⑦ 今天天气真好！
⑧ 本命题是假的。
解 显然，①-④都是命题，①和③的真值为真，② 真值是假，而④目前尚不知真和假，但
随着科技的发展，其真值是可以确定的。⑤-⑦都不是命题。因为 它们不是陈述句，而分别是祈
使句、疑问句和感叹句。⑧无法确定它的真值，当它假时，它便真；当它真 时，它便假。这种断
言叫悖论。
2.命题分类与表示
命题分为两类，第一类是原子 命题，它是由再也不能分解成更为简单的语句构成的命题，称
为原子命题。原子命题是命题逻辑的基本单 位。原子命题用大写英文字母P，Q，R，…及其带下
标P
i
，Q
i
，R
i
，…表示之。例如，用P表示大连是一座美丽的城市，记为P：大连是一座美丽的
城市。冒号：代表表示的意思，下同。上面那些表示命题的英文字母，称为命题标识符。
第二类是复 合命题，它由原子命题、命题联结词和圆括号组成。什么是命题联结词？下面就
来定义五个常用命题联结 词。
3.命题联结词
定义1.1.1 设P表示一个命题，由命题联结词?和命题P连接 成?P，称?P为P的否定式复合
命题，?P读“非P”。称?为否定联结词。?P是真当且仅当P为假 ；否定联结词“?”的定义可由
表1.1.1表示之。



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P
1
0
?P
0
1

表1.1.1 ?的定义
例1.1.2 举例说明如何构成命题的否定。
解 令命题
P：大连是一座美丽的城市。
于是命题的否定为
?P：大连不是一座美丽的城市。
可见，“否定”修改了命题，它是对单个命题进行操作，称它为一元联结词。
定义1.1.2 设P和Q为两个命题，由命题联结词∧将P和Q连接成P∧Q，称P∧Q为命
题P和Q的合取式复合命题 ，P∧Q读做“P与Q”，或“P且Q”。称∧为合取联结词。
当且仅当P和Q的真值同为真，命题P ∧Q的真值才为真；否则，P∧Q的真值为假。合取
联结词∧的定义由表1.1.2表示之。

P Q
0 0
0 1
1 0
1 1
P∧Q
0
0
0
1

表1.1.2 ∧的定义

例1.1.3 用合取联结词表示命题 ：我们踢足球，他们在游泳。
解 令P：我们踢足球
Q：他们在游泳
本例可表成：P∧Q。
在日常生活中，常将“合取”表示具有某种关系的两个命题；但在命题 逻辑中则不尽然，允
许用于两个相互无关的原子命题。例如，可用原子命题“P：今天天晴”和“Q：三 加三等于六”，
构成复合命题P∧Q，其意义是
今天天晴且三加三等于六。
这在日常生活中会认为有语病，而在逻辑学中是允许的。
类似定义1.1.2，可定义1.1.3-1.1.5的定义。
4.命题符号化
把 一个用文字叙述的命题相应地表成由命题标识符、联结词和圆括号的形式，称为命题的符
号化。符号化应 该注意下列事项：
① 确定给定句子是否为命题。
② 句子中连词是否为命题联结词。
③ 要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。
例1.1.7 张明正在睡觉或游泳。
解 此例可改叙为“张明在睡觉而没游泳，或者张明在游泳而没睡觉。”可知其中的“或者”
是 可兼或，因此可用析取式复合命题表示。
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令 P：张明在睡觉，Q：张明在游泳，则该例符号化为(P∧?Q)∨(Q∧?P)。
命题 符号化是很重要的，一定要掌握好，在命题推理中常常最先遇到的就是符号化一个问题，
解决不好，等于 说推理的首要前提没有了。
在本节结束时，应强调指出的是：复合命题的真值只取决于各原子命题的 真值，而与它们的
内容、含义无关，与原子命题之间是否有关系无关。理解和掌握这一点是至关重要的， 请读者认
真去领会。
1.2 合式公式及分类
由于合式公式重要涉及命题变元，因此先来讨论什么是命题变元。
1.命题变元
在 命题逻辑中，命题又有命题常元和命题变元之分。如果P代表一个确定的具体的命题，称
P为命题常元； 若P代表一个不确定的泛指的任意命题，称P为命题变元。显然，命题变元P不
是命题，只有用一个特定 的命题或一个真值取代P才能成为命题。这时也说对P指派或解释，记
为I(P)。在命题逻辑中并不关 心具体命题的涵义，只关心其真值。因此，可以形式地定义它们如
下：
定义1.2.1 以真、假为其变域的变元，称为命题变元；真值，以及一个确定的具体命题称为
命题常元。
2.合式公式
通常把含有命题变元的断言称为命题公式。但这没能指出命题公式的结构。因为 不是所有由
命题变元、联结词和括号所组成字符串都能成为命题公式。为此常使用归纳定义命题公式，以 便
构成的公式有规则可循。由这种定义产生的公式称为合式公式。
定义1.2.2 单个命题变元和命题常元称为原子命题公式，简称原子公式。
定义1.2.3 合式公式是由下列规则生成的公式：
① 单个原子公式是合式公式。
② 若A是一个合式公式，则(?A)也是一个合式公式。
③ 若A、B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)和(A?B)都是合式公式。
④ 只有有限次使用①、②和③生成的公式才是合式公式。
合式公式中的命题标识符、联结词和左右括号的 数目，称为合式公式的长度。请注意，这里
A，B等表示任意合式公式，而不是某个具体的公式，称它们 为元语言符号；对于诸如P∧Q，(P?Q)
∨R等称为目标语言符号或对象语言符号。
例1.2.1 说明(P?(Q∨R))是合式公式
解 (1) Q是合式公式 根据规则①
(2) R是合式公式 根据规则①
(3) (Q∨R)是合式公式 根据(1)、(2)和规则③
(4) (Q?(Q∨R))是合式公式 根据(1)、(3)和规则③
显然那些不能由定义中指出的规则生成的字符串，均不是合式公式，如下列字符串：
① ?P∧Q
② P?(∧Q)
③ (P?Q
当合式公式比较复杂时，常常使用很多圆括号，为了减少圆括号的使用量，可作以下约定：
① 规定联结词的优先级由高到低的次序为：
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?、∧、∨、?、?
② 相同的联结词按从左至右次序计算时，圆括号可省略。
③ 最外层的圆括号可以省略。
例如，(?((P∧Q)∨(?R))?((P∨Q)∨R))
可写成：
?(P∧Q∨?R)?P∨Q∨R
便有时为了看起来清楚醒目，也常常保留某些原可省去的圆括号。
为了方便计，合式公式也简称公式。
3.公式真值表
对于含有命题变元的公式A， 因它不能确定其真假，故该公式不是命题。但对公式中A出现
的每一个命题变元指派一真值，称该组真值 为公式的一个指派或解释，记为I(A)。于每个指派，
公式确定一个真值。若公式确定真值为真，称该 指派为成真指派；否则，称为成假指派。对于所
有的指派及相应的公式真值即组成了该公式的真值表。下 面正式给出公式真值表的定义。
定义1.2.4 对于公式中命题变元的每一种可能的真值指派，以 及由它们确定出的公式真值所
列成的表，称为该公式的真值表。
由本定义可知，在先前命题联 结词定义中所给出的各表，都是真值表，即相应也称为各命题
联结词真值表。
定义1.2.5 如果B是公式A中的一部分，且B为公式，则称B是公式A的子公式。
例如，设A为(P?Q)∧?R，则?R，P?Q等都是A的子公式。
下面用例子说明公式真值表的构造方法。
例1.2.2 构造公式P?(Q∧?P)的真值表。
解 该公式含有两个命题变元P和Q，它们一共有4种指派， 分别为：00、01、10、11。对
此4种指派，依据联结词的定义及其优先级和括号，逐步求出各子 公式直至给定公式的真值。详
见下表：

P Q
0 0
0 1
1 0
1 1
步 骤
P ? ( Q ∧ ? P )
0 1 0 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 1 0 0
④ ⑤ ② ③ ①

其中①、②、③和④是求各子公式真值的次序，⑤为给定公式的真值。
4.公式分类
定义1.2.6 设A为任一公式
① 对应每一个指派，公式A均相应确定真值为真，称A为重言式，或永真式。
② 对应每一个指派，公式A均相应确定真值为假，称A为矛盾式，或永假式。
③ 至少存在一个指派，公式A相应确定真值为真，称A为可满足式。
由定义可知，重言式必是可满足式，反之一般不真。
判定给定公式是否为永真式，永假式或可满足式的问题，称为给定公式的判定问题。
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在L
S
中，由于 任何一个命题公式的指派数目总是有限的，所以L
S
的判定问题是可解的。其
判定方法 有真值表法和公式推演法。
例1.2.3 用真值表判定公式?(?P?Q)∧P是永真式，永假式还是可满足式。
解
P Q
0 0
0 1
1 0
1 1
步 骤
? ( ? P ? Q ) ∧ P
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 1 0
③ ① ② ④

可见，?(?P?Q)∧P为永假式。
1.3 等价式与等价演算
1.等价式
从例1.2.4可知，的确有一些公式，它们的真值表是相同的，也就是说，同一 个真值表可能
会代表许多公式。这样，又可以按真值表是否相同来对公式进行分类。同一类中的公式之间 ，它
们彼此是等价的。下面正式给出两个公式是等价的定义。
定义1.3.1 设A和B是两个命题公式，如果A、B在其任意指派下， 其真值都是相同的，
则称A和B是等价的，或 逻辑相等，记作A?B，读作A等价B，称A?B为等价式。
显然，若公式A和B的真值表是相同的， 则A和B等价。因此，验证两公式是否等价，只
需做出它们的真值表即可。
例1.3.1 证明P?Q?(P?Q)∧(Q?P)
证明 列出真值表如下：

P Q
0 0
0 1
1 0
1 1
步 骤
P?Q (P?Q)∧(Q?P)
1 1 1 1
0 1 0 0
0 0 0 1
1 1 1 1
① ① ② ①
可见，P?Q和(P?Q)∧(Q?P)真值表相同，得证。
读者也不难验证下列等价式：
① P???P ② P∨P?P ③ (P∨?P)∧Q?Q ④ P∨?P?Q∨?Q
由此可见，两公式等价，不一定是含相同的命题变元。
在这里，请读者注意?和?的区别与联系。
区别：?是逻辑联结词，属于目标语言中的符号， 它出现在命题公式中；?不是逻辑联结词，
属于元语言中的符号，表示两个命题公式的一种关系，不属于 这两个公式的任何一个公式中的符
号。
联系：可用下面定理表明之。
定理1.3.1 A?B当且仅当A?B是永真式。
2.基本等价式——命题定律
在判定公式间是否等价，有一些简单而又经常使用的等价式，称为基本等价式或称命题定律。
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牢固地记住它并能熟练运用，是学好数理逻辑的关键 之一，读者应该注意到这一点。现将这些命
题定律列出如下：
(1) 双否定：??A?A。
(2) 交换律：A∧B?B∧A，A∨B?B∨A，A?B?B?A。
(3) 结合律：( A∧B)∧C?A∧(B∧C)，(A∨B)∨C?A∨(B∨C)，(A?B)?C?A?(B?C)。
(4) 分配律：A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。
(5) 德·摩根律：?(A∧B)??A∨?B，?(A∨B)??A∧?B。
(6) 等幂律：A∧A?A，A∨A?A。
(7) 同一律：A∧T?A，A∨F?A。
(8) 零 律：A∧F?F，A∨T?T。
(9) 吸收律：A∧(A∨B)?A，A∨(A∧B)?A。
(10) 互补律：A∧?A?F，(矛盾律)
A∨?A?T。(排中律)
(11) 条件式转化律：A→B??A∨B，A→B??B→?A。
(12) 双条件式转化律：A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B)
?A?B??(A?B)
(13) 输出律：(A∧B)→C?A→(B→C)。
(14) 归谬律：(A→B)∧(A→?B)??A。
3.代入规则和替换规则
在定义合成公式时，已看到了逻辑联结词能够从已知公式形成新的公式，从这个意义上可把
逻辑联结词看 成运算。除逻辑联结词外，还要介绍“代入”和“替换”，它们也有从已知公式得
到新的公式的作用，因 此有人也将它们看成运算，这不无道理，而且在今后讨论中，它的作用也
是不容忽视的。
(1) 代入规则
定理1.3.2 在一个永真式A中，任何一个原子命题变元R出现的每一处， 用另一个公式代
入，所得公式B仍是永真式。本定理称为代入规则。
证明 因为永真式对任 意指派，其值都是真，与所给的某个命题变元指派的真值是真还是假
无关，因此，用一个命题公式代入到 原子命题变无R出现的每一处后，所得命题公式的真值仍为
真，证毕。
例1.3.2 求证：(P?Q)∨?(P?Q)为永真式。
证明 由排中律可知，R∨?R?T，即R∨?R为永 真式。今用公式(P?Q)代入前面公式中的命
题变元R，则得(P?Q)∨?(P?Q)。根据代入规 则可知，给定公式是永真式。
注意，若仅仅反映(P?Q)代入到一个析取项R，得到(P?Q)∨? R，显然它不是永真式，因为
这不符合代入规则所要求的处处代入。
(2)替换规则
定理1.3.3 设A
1
是合式公式A的子公式，若A
1
?B1
，并且将A中的A
1
用B
1
替换所得到公
式B，则A?B。称该定理为替换规则。
证明 因为A
1
? B
1
，即对于它们的命题变元做任何真值的指派，A
1
与B
1
的真值相同，故以
B
1
替换A
1
后，公式B与A在对其命题变无做 相应的任何真值指派，它们的真值亦相同，因此，
A?B成立。
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例1.3.3 证明Q?(P∨(P∧Q))?Q?P
证明 因为Q?P?Q?P，又由吸收律知，P∨(P∧Q)?P，根据替换规则可得，Q?(P∨( P
∧Q))?Q?P。
满足定理1.3.3条件的替换，称为等价替换。
利用命题 定律、定理1.3.2和定理1.3.3，可以推演出一些更为复杂的等价式。这种从已知合
式公式等价 地推出一些公式，称为等价演算。从已知合式公式，经等价演算得到的长度最小的合
式公式，称它为极简 式。
例1.3.4 证明P?(Q?R)?Q?(P?R)??R?(Q??P)
证明 P?(Q?R)??P∨(?Q∨R) 两次替换
??Q∨(?P∨R) 结合、交换、结合
?Q?(P?R) 两次替换
类似可证P?(Q?R)??R?(Q??P)。
从定理及例题可看到，代入和替换有两点区别：
① 代入是对原子命题变元而言的，而替换可对命题公式实行。
② 代入必须是处处代入，替换则可部分替换，亦可全部替换。
等价演算作用有三：
①判定命题公式的类型，如例1.3.2。
②验证两个命题公式是否等价，如例1.3.3。
③用来解决一些实际问题，举例如下：
例1.3.5 张三说李四说谎话，李四说王五说谎话 ，王五说张三、李四都说谎话，问：这三人
到底谁说真话，谁说谎话？
解 令 P：张三说真话，Q：李四说真话，R：王五说真话。
依题意有：P??Q，Q??R，R??P∧?Q为真。
因P??Q为真，即（P∧?Q）∨( ?P∧Q) ?1
同理，有（Q∧?R）∨( ?Q∧R) ?1
（R∧?P∧?Q）∨( ?R∧(P∨Q)) ?1
于是可得，
（（P∧?Q）∨(?P ∧Q)）∧((Q∧?R) ∨(?Q∧R)) ∧((R∧?P∧?Q)∨(?R∧(P∨Q)))?1
((?P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R))∧ ((R∧?P∧?Q)∨(?R∧(P∨Q)))?1
((?P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R))∧ (?R∧(P∨Q)?1
?P∧Q∧?R?1
即?P∧Q∧?R为真，可知：李四说真话，张三、王五说谎话。
例1.3.6 设计一个符合下列要求的室内照明控制线路：在房间的门外、门内及床头分别装有
控制同一个电灯W的三个开关P，Q，R，当且仅当一个开关的按键向上或三个开关的按键都向
上时电 灯亮，求W的逻辑关系及极简式。
解 由题意可列出真值表1.3.1





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表 1.3.1
P Q R W
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1

由表可知：
W?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)
?(?P∧((?Q∧R)∨( Q∧?R)))∨(P∧((?Q∧?R)∨( Q∧R)))
?(?P∧(?Q?R))∨(P∧(Q?R))
?P?(Q?R)
事实上，等价演算在电子元器件和开关理论中都有重要的应用。
1.4 对偶式与蕴涵式
1.对偶式
在上节介绍的命题定律中，多数是成对出现的，这些成对出现的定律就是对偶性质 的反映，
即对偶式。利用对偶式的命题定律，可以扩大等价式的个数，也可减少证明的次数。
定义1.4.1 在给定的仅使用联结词?、∧和∨的命题公式A中，若把∧和∨互换，F和T互换而得到一个命题公式A
*
，则称A
*
为A的对偶式。
显然，A也是A
*
的对偶式。可见，A与A
*
互为对偶式。
例1.4.1 写出下列公式的对偶式：
① (P∧Q)∨?R ② P∨T
解 所求的相应对偶式为：
① (P∨Q)∧?R ② P∧F
定理1.4.1(对偶定理) 设A和A
*
互为对偶式，P
1
，P
2
，…，P
n
是出现A和A
*
中的原子命题
变元，则
① ?A(P
1
，P
2
，…，P< br>n
)?A
*
(?P
1
，?P
2
，…，?P< br>n
)
② A(?P
1
，?P
2
，…，?P
n
)??A
*
(P
1
，P
2
，…，P
n< br>)
①表明，公式A的否定等价于其命题变元否定的对偶式；②表明，命题变元否定的公式等价< br>于对偶式之否定。
例1.4.2 设A(P，Q，R)=?P∨(?Q∧R)，试证明：
A
*
(?P,?Q,?R)?P∧(Q∨?R)
证明
A
*
(?P,?Q,?R)?? A(P，Q，R) ??(?P∨(?Q∧R))
?P∧(Q∨?R)
定理1.4.2 设A和B为两个命题公式，若A?B则A
*
?B
*
。
例1.4.3 试证明：
① ?(P∧Q)?(?P∨Q)??P∨Q
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② (P∨Q)∧(?P∧Q)??P∧Q
证明 因为
?(P∧Q)?(?P∨Q)
?(P∧Q)∨(?P∨Q)
?(P∨?P∨Q)∧(Q∨?P∨Q)
?T∧(?P∨Q)
??P∨Q
故①得证。
在①证明中，可知(P∨Q)∧(?P∧Q)是?(P∧Q)?(?P∨Q)的对 偶式，?P∧Q是?P∨Q的对偶式，
根据定理1.4.2，②便得证。
2.蕴涵式
定义1.4.2 设A和B是两个命题公式，若A→B是永真式，则称A蕴涵B，记作A?B，称A?B为蕴涵式或永真条件式，并称A为蕴含式的前件或前提，B为蕴含式的后件或结论。
符号→ 和?的区别与联系类似于?和?的关系。区别：→是逻辑联结词，属于对象语言中的
符号，是公式中的符 号；而?不是联结词，属于元语言中的符号，表示两个公式之间的关系，不
是两公式中符号。联系：A? B成立，其充要条件A→B是永真式。
下面给出等价式与蕴涵式之间的关系。
定理1.4.3 设A和B是两命题公式，A?B的充要条件是A?B且B?A。
3.蕴涵式证明方法
除真值表外，还有两种方法：
① 前件真导后件真方法
设公式的前件指派真，若能推导出后件取值也为真，则条件式是永真式，故蕴涵式成立。
② 后件假导前件假方法
设条件式后件为假，若能推导出前件也为假，则条件式是永真式，即蕴涵式成立。
例1.4.4 求证?Q∧(P?Q)??P。
证明 ①前件真推导后件真方法：设?Q ∧(P?Q)为T，则?Q，(P?Q)皆为T，于是Q为F，
P?Q为T，则必须P为F，故?P为T 。
②后件假推导前件假方法：假定?P为F，若Q为F，则P?Q为F，?Q∧(P?Q)为F；若Q
为T，则?Q为F，?Q∧(P?Q)为F，故?Q∧(P?Q)??P。
下面给出常用的蕴 涵式，称为基本蕴涵式，它们可以用真值表法，前件真导后件真法和后件
假导前件假法去证明。
(1) P∧Q?P 化简式
(2) P∧Q?Q 化简式
(3) P?P∨Q 附加式
(4) ?P?P→Q 附加式变形
(5) Q?P→Q 附加式变形
(6) ?(P→Q)?P 化简式变形
(7) ?(P→Q)??Q 化简式变形
(8) P∧(P→Q)?Q 假言推论
(9) ?Q∧(P→Q)??P 拒取式
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(10) ?P∧(P∨Q)?Q 析取三段论
(11) (P→Q)∧(Q→R)?P→R 条件三段论
(12) (P?Q)∧(Q?R)?P?R 双条件三段论
(13) (P→Q)∧(R→S)∧(P∧R)?Q∧S 合取构造二难
(14) (P→Q)∧(R→S)∧(P∨R)?Q∨S 析取构造二难
(15) P→Q?(P∨R)→(Q∨R) 前后件附加
P→Q?(P∧R)→(Q∧R)
1.5 联结词的扩充与功能完全组
1.联结词的扩充
已讨论了五个联结词?、∧、∨、→、?，但使用它们还不能广泛地做到简 洁而又直接表达
命题间的联系。为此，尚需定义四个联结词，它们是合取非↑、析取非↓、条件非
非?。
定义1.5.1 设P和Q是任两个原子命题，
①由合取非联结词↑和P，Q连 接成P↑Q，称它为P和Q的合取非式复合命题，读作“P
合取非Q”。P↑Q的真值由命题P和Q的真 值确定：当且仅当P和 Q均为Ｔ时，P↑Q为Ｆ，
否则P↑Q为Ｔ。“合取非”又常称为“与非”。
②由析取非联结词↓和P，Q连接成P↓Q，称它为P和Q的析取非式复合命题，读作“P
析取 非Q”。P↓Q的真值由P和Q的真值确定：当且仅当P和Q均为Ｆ时，P↓Q为Ｔ，否则P
↓Q为Ｆ。 “析取非”又常称为“或非”。
③由条件非联结词
条件非Q”。P
则P
和P ，Q连接成PQ，称它为P和Q的条件非式复合命题，读作“P
Q为Ｔ；否
和双条件
Q的真值由P和Q的真值确定：当且仅当P为Ｔ而Q为Ｆ时P
Q为Ｆ。
④由双条件非联结词? 把P，Q连接成P?Q，称它为P和Q的双条件非式复合命题，读作“P
双条件非Q”。P?Q的真值由 P和 Q的真值确定：当且仅当P和Q的真值不同时，P?Q为Ｔ，
否则P?Q为Ｆ。“双条件非”又常 称为“异或”，也常用符号?表示之。
上面4个联结词构成的复合命题，其真值表如下：
P
0
0
1
1
Q P?Q P?Q P Q P ? Q
0 1 1 0 0
1 1 0 0 1
0 1 0 1 1
1 0 0 0 0

由表可知（续命题定律编号，以备后引用），
15
P?Q??(P∧Q) ○
16
P?Q??(P∨Q) ○
17
P○Q??(P?Q)
18
P?Q??(P?Q) ○
2.与非、或非和异或的性质
与非、或非以 及异或在计算机科学中是经常使用的3个联结词，因此，掌握它们的性质是十
分必要的。令P、Q和R是 原子命题变元。
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① 与非的性质
(A)P↑Q?Q↑P
(B) P↑P??P
(C) (P↑Q)↑(P↑Q)?P∧Q
(d) (P↑P)↑(Q↑Q)?P∨Q
② 或非的性质
(A) P↓Q?Q↓P
(B) P↓P??P
(C)(P↓Q)↓(P↓Q)?P∨Q
(d) (P↓P)↓(Q↓Q)?P∧Q 从上述的性质可知，联结词?、∧和∨可分别用联结词?或者?取代，读者可以自行验证，?
和?都 不满足结合律。
③
(A)

P?Q?Q?P
(B) P?(Q?R)?(P?Q)?R
(C) P∧(Q?R)?(P∧Q)?(P∧R)
(d) P?P?F，F?P?P，T?P??P
(e) 若P?Q?R，则Q?R?P，P?P?Q，且P?Q?R?F。
以上所有性质，用真值表或命题定律都是不难证明的。
至此，已有了9个联结词，是否还需要 扩充呢？事实上，两上命题变元P和Q，与9个联结
词一共可构成
2
类命题公式，如下 表示之：
2
2
P Q
0 0
0 1
1 0
1 1
所用的联
结词
序号
F
0
0
0
0

1
T
1
1
1
1

2
P Q
0
0
1
1

3
0
1
0
1

4
?
P
?
Q
1
1
0
0
1
0
1
0
P∧Q
0
0
0
1
∧
7
P?Q
1
1
1
0
?
8
P∨Q
0
1
1
1
∨
9
P?Q
1
0
0
0
?
10
P?Q
1
1
0
1
?
11
P
0
0
1
0
Q
P?Q
1
0
0
1
P?Q
0
1
1
0
?
14
Q?P
1
0
1
1
?
15
Q
0
1
0
0
P
?

5
?

6

12
?
13

16
从列表可知，除命题常元F，T及命题变元本身外，命题联结 词一共有9个就够了。为了方
便，可规定其优先级，由高到低次序为?，∧，∨，?，?等。
3.联结词功能完全组
定义1.5.2 称G为联结词功能完全组，如果G满足下列两条件 ：①由G中联结词构成的公
式能等价表示任意命题公式；②G 中的任一联结词不能用其余下联结词等价表示。
可以证明，{?，∨}，{?，∧}，{?，?}，{ ?}，{?}都是联结词功能完全组；而{?，?}，{?}，
{∧}，{∨}，{∧，∨}都不是联结 词功能完全组，但为了表示方便，仍经常使用联结词组{?，∧，
∨}。
例1.5.1 试将公式(P?(Q∨?R))∧(?P∧Q)用仅含联结词?和∨的公式等价表示。
解 本例中公式
?(?P∨(Q∨?R))∧(?P∧Q)
?(?P∧(?P∧Q))∨((Q∨?R)∧(?P∧Q))
?(?P∧Q)∨((Q∧?P∧Q)∨(?R∧?P∧Q))
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?(?P∧Q)∨((?P∧Q)∨((?P∧Q)∧?R))
?(?P∧Q)??(P∨?Q)
1.6 公式标准型——范式
前面已讲了，对 于给定公式的判定问题，可用真值表方法加以解答。但当公式中命题变元的
数目较大时，真值表就显得很 麻烦。每增加一个命题变元，真值表的行数目就比原来增加一倍，
从而使计算量增加一倍。为解决这一问 题，需要研究公式标准型问题。
1.简单合取式与简单析取式
定义1.6.1 在一公式中，仅由命题变元及其否定构成的合取式， 称该公式为简单合取式，
其中每个命题变元或其否定，称为合取项。
定义1.6.2 在一公式中，仅由命题变元及其否定构成的析取式， 称该公式为简单析取式，
其中每个命题变元或其否定，称为析取项。
例如，公式P，?Q，P ∧Q和?P∧Q∧P等都是简单合取式，而P，Q和?P为相应的简单合取
式的合取项；公式P，?Q， P∨Q，?P∨Q∨P等都是简单析取式，而P，Q和?P为相应简单析取
式的析取项。
注意，一个命题变元或其否定既可以是简单合取式，也可是简单析取式，如例中P，?Q等。
定理1.6.1 简单合取式为永假式的充要条件是：它同时含有某个命题变元及其否定。
定理1.6.2 简单析取式为永真式的充要条件是：它同时含有某个命题变元及其否定。
例如，简单合取式P∧?P∧Q为永假式，因为它同时含P及其?P，由定理1.6.1可知，它是
永假 式；而P∧?Q不是永假式的简单合取式，因为它不满足定理1.6.1，它是可满足式。
2.析取范式与合取范式
定义1.6.3 一个命题公式A称为析取范式，当且仅当A可表 为简单合取式的析取，即
A?
n
?
A；其中A为简单合取式，i=1，2，… ，n。
ii
i?1
定义1.6.4 一个命题公式A称为合取范式，当且仅当A可 表为简单析取式的合取，即
A?
?
A；其中A为简单析取式，1≤i≤n。
ii
i?1
n
例如，公式(P∧Q)∨(?P∧Q)∨(∧Q∧?Q)是析取范式；而 (P∨Q)∧(?P∨?Q)为合取范式。
从下面给出求公式的范式算法可知定理1.6.3是正确的。
定理1.6.3 对于任何一命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。
求范式算法：① 使用命题定律，消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词；
② 使用?(?P)?P和德·摩根律，将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前；
③ 利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。
例1.6.1 求(P∧(Q?R))?S的析取范式和合取范式。
解
(P∧(Q?R))?S??(P∧(?Q∨R)∨S
?(?P∨(Q∧?R))∨S
??P∨(Q∧?R)∨S 析取范式
?(?P∨Q∨S)∧(?P∨?R∨S) 合取范式
3.范式的应用
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利用析取范式和合取范式可对公式进行判定。
定理1.6.4 公式A为永假式的充要条件是A 的析取范式中每个简单合取式至少包含一个命
题变元及其否定。
定理1.6.5 公式A为永真式的充要条件是A 的合取范式中每个简单析取式至少包含一个命
题变元及其否定。
例1.6.2 判定下面公式为何种公式：
① P∨(Q?P)∨?(P∨R)
② (P?Q)?P
解 ① P∨(Q?P)∨?(P∨R)?P∨(?Q∨R)∨(?P∧?R)
?(P∨?Q∨R∨?P)∧(P∨?Q∨R∨?R)
由于第一个简单析取式中包含P和?P ，第二个简单析取式中包含R和?R，由定理1.6.5可知，
①为永真式。
② (P?Q)?P??(?P∨Q)∨P
?(P∧?Q)∨P 析取范式
?(P∨P)∧(?Q∨P) 合取范式
因为在②的两个范式中，均不 满足定理1.6.4和定理1.6.5，故②既不是永假式，也不是永真
式，它是可满足式。
由例1.6.2可知，利用范式判定公式，必要时需给出公式的两种范式方能做出正确结论，显
然麻烦， 有其他方法加以改进，见下节“公式的主范式”。
4.范式不唯一性
范式不唯一，这只需要给出一个例子便能说明之。
例1.6.3 求(P?Q)?P的析取范式和合取范式。
解
(P?Q)?P??(?P∨Q)∨P
?(P∧?Q)∨P 析取范式
?P 析取范式
(P?Q)?P?(P∧?Q)∨P
?(P∨P)∧(?Q∨P) 合取范式
?P∧(?Q∨P) 合取范式
1.7 公式的主范式
范式基本解决了公式的判定问题。但由于范式不唯一性，对识别公式间是否等价带来一定 困
难，而公式的主范式解决了这个问题。下面将分别讨论主范式中的主析取范式和主合取范式。
1.主析取范式
① 小项的概念和性质
定义1.7.1 在含有n个命题变元的简单合取式中， 若每个命题变元与其否定不同时存在，
而二者之一出现一次且仅 出现一次，则称该简单合取式为小项，或布尔积。
例如，两个命题变元P和Q，其构成的小项有P∧Q ，P∧?Q，?P∧Q和?P∧?Q；而三个命
题变元P、Q和R，其构成的小项有P∧Q∧R，P∧Q ∧?R，P∧?Q∧R，P∧?Q∧?R，?P∧Q∧R ，
?P∧Q∧?R，?P∧?Q∧R，?P∧?Q∧?R。
可以证明，n个命题变元共形成2
n
个小项。
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如果将命题变元按字典序排列，并且把命题变元与1对应， 命题变元的否定与0对应，则可
对2
n
个小项依二进制数编码，记为m
i，其下标i是由二进制数转化的十进制数。用这种编码所求
得2
n
个小项的真值表 ，可明显地反映出小项的性质。
表1.7.1和表1.7.2分别给出了2个命题变元P和Q、3个命题变元P、Q和R的小项真值表。

表1.7.1
m
(
二
)

P Q
0 0
0 1
1 0
1 1
m
(
十
)

m
00
m
01
m
10
m
11

P∧?Q P∧Q P∧?Q P∧Q
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
m
0
m
1
m
2
m
3

表1.7.2
m
(
二
)

P Q R
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
m
(
十
)

m
000

?P∧?Q∧?R
1
0
0
0
0
0
0
0
m
0

m
001

?P∧?Q∧R
0
1
0
0
0
0
0
0
m
1

m
010

?P∧Q∧?R
0
0
1
0
0
0
0
0
m
2

m
011

?P∧Q∧R
0
0
0
1
0
0
0
0
m
3

m
100

P∧?Q∧?R
0
0
0
0
1
0
0
0
m
4

m
101

P∧?Q∧R
0
0
0
0
0
1
0
0
m
5

m
110

P∧Q∧?R
0
0
0
0
0
0
1
0
m
6

m
111

P∧Q∧R
0
0
0
0
0
0
0
1
m
7



② 主析取范式定义与存在定理
定义1.7.2 在给定公式的析取范式中，若其简单合取式都是小项， 则称该范式为主析取范
式。
定理1.7.1 任意含n个命题变元的非永假命题公式A 都存在与其等价的主析取范式。
③ 主析取范式的求法
主析取范式求法有两种：真值表法 和公式化归法。定理1.7.1的证明已给出了用真值表求主
析取范式的方法，而公式化归法给出如下：
(A)把给定公式化成析取范式；
(B) 删除析取范式中所有为永假的简单合取式；
(C) 用等幂律化简简单合取式中同一命题变元的重复出现为一次出现，如P∧P?P。
(d) 用同一律补进简单合取式中未出现的所有命题变元，如Q，则P?P∧(?Q∨Q)，并用分
配律展开之，将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现， 这样得到了给定公式的主析取范
式。
例1.7.1 求(P?Q)∧Q的主析取范式。
解 (1) 用真值表法求之：




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P Q
0 0
0 1
1 0
1 1
?P∧?Q ?P∧Q P∧?Q P∧Q
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(P?Q)∧Q
1 0
1 1
0 0
1 1

由真值表可求出，
(P?Q)∧Q?(?P∧Q)∨( P∧Q)
?m
01
∨m
11

?m
1
∨m
3

(2) 用公式化归法求之：
(P?Q)∧Q?(?P∨Q)∧Q
?(?P∧Q)∨(Q∧Q)
?(?P∧Q)∨(Q∧(P∨?P))
?(?P∧Q)∨((P∧Q)∨(?P∧Q))
?(?P∧Q)∨(P∧Q)
? m
1
∨m
3

④ 主析取范式的唯一性
定理1.7.2 任意含n个命题变元的非永假命题公式，其主析取范式是唯一的。
2.主合取范式
① 大项的概念和性质
定义1.7.3 在n个命题变元的简单析取式中，若每个命题变元与其否定不同 时存在，而二者
之一必出现一次且仅出现一次，则称该简单析取式为大项，或布尔和。
例如， 由两个命题变元P和Q，构成大项有P∨Q，P∨?Q，?P∨Q，?P∨?Q；三个命题变元
P，Q和 R，构成P∨Q∨R，P∨Q∨?R，P∨?Q∨R，P∨?Q∨?R，?P∨Q∨R，?P∨Q∨?R，?P∨
?Q∨R，?P∨?Q∨?R。
能够证明，n个命题变元共有2
n
个大项。
如果将n个命题变元排序，并且把命题变元与０对应，命题变元的否定与１对应，则可对2
n< br>个大项按二进制数编码，记为M
i
，其下标i是由二进制数化成的十进制数。用这种编码 所求的2
n
个大项的真值表，能直接反映出大项的性质。
表1.7.3给出了2个命题变元P和
Ｑ
构成所有大项的真值表。
表1.7.3
M
(
二
)

P Q
0 0
0 1
1 0
1 1
M
(
十
)

M
00

P∨Q
0
1
1
1
M
0

M
01

P∨?Q
1
0
1
1
M
1

M
10

?P∨Q
1
1
0
1
M
2

M
11

?P∨?Q
1
1
1
0
M
3


类似可给出３个命题变元Ｐ、Ｑ和Ｒ的所有大项的真值表，留给读者完成。
②主全取范式的定义与其存在定理
定义1.7.4 在给定公式的合取范式中，若其所有简单析取式都是大项， 称该范式为主合取
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范式。
定理1.7.3 任意含有n个命题变元的非永真命题公式A，都存在与其等价的主合取范式。
定理1.7.4 任意含n个命题变元的非永真命题公式A，其主合取范式是唯一的。
上述两定理的证明，类似于定理1.7.1和定理1.7.2。
③主合取范式的求法也有两种，类似于主析取范式的求法。
3.主析取范式与主合取范式之间的关系
由于主范式是由小项或大项构成，从小项和大项的定义，可知两者有下列关系：
?m
i
?M
i
?M
i
?m
i

因此，主析取范式和主合取范式有着“互补”关系， 即是由给定公式的主析取范式可以求出
其主命取范式。
A的主析取范式求其主合取范式的步骤如下。
(A) 求出A的主析取范式中设有包含的小项。
(B) 求出与(A)中小项的下标相同的大项。
(C) 做(B)中大项之合取，即为A的主合取范式。
例如，(P?Q)∧Q?m
1
∨m
3
，则(P?Q)∧Q?M
0
∧M
2
。
4.主范式的应用
利用主范式可以求解判问题或者证明等价式成立。
①判定问题
根据主范式的定义和定理，也可以判定含n个命题变元的公式，其关键是先求出给定公式的
主范 式Ａ；其次按下列条件判定之：
(A)若A?Ｔ，或A可化为与其等价的、含2
n
个 小项的主析取范式，则A为永真式。
(B)若A?Ｆ，或A可化为与其等价的、含2
n
个大项的主合取范式，则A为永假式。
(C)若A不与Ｔ或者Ｆ等价，且又不含2
n
个小项或者大项，则A为可满足的。
例1.7.2 判定下列公式为何类公式：
(1) (P?Q)∧Q
(2) (P?Q)?(?P∨Q)
解 用公式化归法，可得：
(1) (P?Q)∧Q?M
0
∧M
2
?m
1
∨m
3

可见，其主范式中，大、小项数目均不到４，故(P?Q)∧Q为可满足式。
(2) (P?Q)?(?P∨Q)??(?P∨Q)∨(?P∨Q)?T，故(P?Q)?(?P∨Q)为永真式。
②证明等价式成立
由于任一公式的主范式是唯一的，所以将给定的公式求出其主范式，若主范 式相同，则给定
两公式是等价的。
例1.7.3 求证(P?Q)∧(P?R)?P?(Q∧R)
证明 利用求主命取范式来证明等价性。
(P?Q)∧(P?R)
?(?P∨Q)∧(?P∨R)
?(?P∨Q)∨(?R∧R))∧(?P∨(?Q∧Q)∨R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
?M
4
∧M
5
∧M
4
∧M
6

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?M
4
∧M
5
∧M
6

P?(Q∧R)
??P∨(Q∧R)
?(?P∨Q)∧(?P∨R)
?M
4
∧M
5
∧M
6

由于两公式具有相同的主合取范式，故两公式等价。
1.8 命题逻辑的推理理论
本节主要讨论推理的概念、形式、规则及判别有效结论的方法。
1.推理的基本概念和推理形式
推理也称论证，它是指由已知命题得到新的命题的思维过程， 其中已知命题称为推理的前提
或假设，推得的新命题称为推理的结论。
在数理逻辑中，前提H 是一个或者n个命题公式H
1
,H
2
,···H
n
；结论是 一个命题公式C。由
前提到结论的推理形式可表为H
1
,H
2
,·· ·,H
n
?C，其中符号?表示推出···。可见，推理形式是命
题公式的一个有限序 列，它的最后一个公式是结论，余下的为前提或假设。
定义1.8.1 如果存在H
1，H
2
，…，H
n
，C的一个指派，使得每个H
i
(1 ≤i≤n)为真而C为假，
推理形式H
1
，H
2
，…，H
n
?C是无效的；否则，推理是有效的，此时称C是H
1
，H
2
，…， H
n
的
有效结论，或称C是从前提H
1
，H
2
，… ，H
n
逻辑推出的结论。
定理1.8.1 推理形式H
1
，H< br>2
，…，H
n
?C是有效的，当且仅当命题公式(H
1
∧H< br>2
∧…∧H
n
)
→C是永真式，亦即(H
1
∧H2
∧…∧H
n
)?C。
2.推理规则
在数理逻辑中，从前提推导出结论，要依据事先提供的公认的推理规则，它们是：
① P规则(也称前提引入规则)：在推导过程中，前提可视需要引入使用。
②
Ｔ
规则( 也称结论引入规则)：在推导过程中，前面已导出的有效结论都可作为后续推导的
前提引入。
此外，在从前提推出的结论为条件式时，还需要下面规则：
③ CP规则(也称条件证明引入 规则)：若推出有效结论为条件式R→C时，只需将其前件R
加入到前提中作为附加前提且再去推出后件 C即可。
CP规则的正确性可由下面定理得到保证：
定理1.8.2 若H
1< br>，H
2
，…，H
n
，R?C，则H
1
，H
2
，…，H
n
?R→C。
3.推理定律
在推理过程中，除使用推理 规则后，还需要使用许多条推理定律，这些定律可由以前讲过的
命题定律、蕴涵式及运用定理1.8.1 而得到。下面只给出了由蕴涵式得出的推理定律，它们是：
(1) P∧Q?P
(2) P∧Q?Q
(3) P?P∨Q
(4) ?P?P→Q
(5) Q?P→Q
(6) ?(P→Q)?P
(7) ?(P→Q)??Q
(8) P，P→Q?Q
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(9) ?Q，P→Q??P
(10) ?P，P∨Q?Q
(11) P→Q，Q→R?P→R
(12) P?Q，Q?R?P?R
(13)(P→Q，R→S，P∧R?Q∧S
(14) P→Q，R→S，P∨R?Q∨S
(15) P→Q?(P∨R)→(Q∨R)
P→Q?(P∧R)→(Q∧R)
(16) P，Q ? P∧Q
此外，每个命题定律也可应得出两个推理定律，这些请读者补全。
由于推理定律是确定有效结论的不可缺少的重要根据，因此要牢记并熟练运用它们。
4.判断有效结论的常用方法
判断有效结论的常用方法有真值表法，演绎法和间接证法。下面分别讨论之。
① 真值表法
根据给定前提H
1
，H
2
，…，H
n
和结论C，构 造条件式(H
1
∧H
2
∧…∧H
n
)→C的真值表，若它< br>为永真式，则结论C是有效的。
例1.8.1 试确定结论C是否可从前提H
1
和H
2
推出，其中H
1
为P?Q，H
2
为P,C为Q。
解 构造真值表如下：

P Q
0 0
0 1
1 0
1 1
步 骤
((P?Q) ∧ P) ? Q
1 0 0 1 0
1 0 0 1 1
0 0 1 1 0
1 1 1 1 1
① ② ① ③ ①

由表可知，命题公式((P?Q)∧P)?Q 为永真式，即H
1
∧H
2
?C为永真式，故H
1
，H
2
?C，
结论C可从前提H
1
和H
2
推出。
② 演绎法
列出待证推理形式中前提和结论的真值表，原则上可以解决推理的有效性问题。但当出现在公式中的命题变元数目很大时，真值表法又显得不切实用，而使用演绎法却能比较好地解决这个
问题 。
定义1.8.2 从前提H推出结论C的一个演绎是构造命题公式的一个有限序列：
A
1
，A
2
，…，A
n
其中，A
1是前提H中的某个前提H
i
；A
i
(i≥2)或者是H中某个前提Hi
，或者是某些A
j
(j有效结论，并且A
n
就是C，则称公式C为该演绎的有效结论，或者称从H演绎出C。
通过下面例子来说明演绎具体是如何进行。
例1.8.3 求证S是前提P，P??Q，?Q?R和R?S的有效结论。
证明



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{1}
{2}
{1,2}
{4}
{1,2,4}
{6}
{1,2,4,6}
···
第1列

③间接证法
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
···
第2列
P??Q
?Q?R
P?R
P
R
R?S
S
···
第3列
P
P
T,(1)(2)I
11

P
T,(3)(4) I
8

P
T,(5)(6) I
8

···
第4列
间接证法即是反证法，它是把结论的否定作为附加前提，与给定前提一起推证，若能引 出矛
盾，则说明结论是有效的。
定义1.8.3 设H
1
，H
2
，…，H
n
为公式，如果对任意公式R，有H
1
∧H
2∧…∧H
n
?R∧?R，
则称公式H
1
，H
2
，…，H
n
是不相容的；否则称为是相容的。
显然，由定理1.8.1，H
1
∧H
2
∧…∧H
n
?R∧?R可记为H
1
，H< br>2
，…，H
n
?R∧?R
定理1.8.3 设H
1
，H
2
，…，H
n
，C为公式，且H
1
，H
2< br>，…，H
n
是相容的。若H
1
，H
2
，…，
H
n
，?C是不相容的，则公式C是H
1
，H
2
，…，H< br>n
的有效结论。
例1.8.4 证明从前提P?Q，?(Q∨R)可演绎出?P。
证明
{1} (1) P P(附加前提)
{2} (2) P?Q P
{1,2} (3) Q T,(1)(2)I
8

{4} (4) ?(Q∨R) P
{4} (5) ?Q∧?R T,(4)E
5

{4} (6) ?Q T,(5)I
2

{1,2,4} (7) Q∧?Q T,(3)(6) I
16

例1.8.5 证明R?S可从前提P?(Q?S)，?R∨P和Q推出。
证明 因为R?S为条件式，所以应想到在推理中要使用CP规则。
{1} (1) ?R∨P P
{2} (2) R P(附加前提)
{1,2} (3) P T,(1)(2)I
10

{4} (4) P?(Q?S) P
{1,2,4} (5) Q?S T,(3)(4)I
8

{6} (6) Q P
{1,2,4,6} (7) S T,(5)(6)I
8

{1,4,6} (8) R?S CP,(2)(7)
例1.8.6 设有下列情况，结论是否有效。
(1) 或者是天晴，或者是下雨；
(2) 如果是天晴，我去看电影；
(3) 如果我去看电影，我就不看书。
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结论：如果我在看书，则天在下雨。
解 令W：天晴，Q：下雨，S：我去看电影，R：我在看书。
本例可符号化为：
前提为W?Q，W?S，S??R，结论为R?Q。
{1} (1) R P(附加前提)
{2} (2) S??R P
{1,2} (3) ?S T,(1)(2)I
9

{4} (4) W?S P
{1,2,4} (5)
{6} (6)
{6} (7)
{6} (8)
{6} (9)
{6} (10)
{1,2,4,6} (11)
{2.4.6} (12)
结论有效。
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?W
W?Q
?(W?Q)
?W?Q
(?W?Q)∧(Q ??W)
?W?Q
Q
R?Q
T,(3)(4)I
9

P
T,(6)E
18
T,(7)E
12
T,(8)E
12
T,(9)I
2
T,(5)(10)I
8

CP,(1)(11)

第2章 谓词逻辑
在L
S
中，把命题分解 到原子命题为止，认为原子命题是不能再分解的，仅仅研究以原子命题
为基本单位的复合命题之间的逻辑 关系和推理。这样，有些推理用命题逻辑就难以确切地表示出
来。例如，著名的亚里士多德三段论苏格拉 底推理：
所有的人都是要死的，
苏格拉底是人，
所以苏格拉底是要死的。 根据常识，认为这个推理是正确的。但是，若用L
S
来表示，设P、Q和R分别表示这三个 原
子命题，则有
P，Q├R
然而，(P∧Q)→R并不是永真式，故上述推理形式 又是错误的。一个推理，得出矛盾的结论，
问题在哪里呢? 问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑 关系不是体现在原子命题之间，而是
体现在构成原子命题的内部成分之间，即体现在命题结构的更深层次 上。对此，L
S
是无能为力的。
所以，在研究某些推理时，有必要对原子命题作进一步 分析，分析出其中的个体词，谓词和量词，
研究它们的形式结构的逻辑关系、正确的推理形式和规则，这 些正是谓词逻辑（简称为Lp）的


2.1 个体谓词和量词
在Lp中 ，命题是具有真假意义的陈述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分
组成。在Lp中，为揭 示命题内部结构及其不同命题的内部结构关系，就按照这两部分对命题进
行分析，并且把主语称为个体或 客体，把谓语部分称为谓词。
1.个体、谓词和命题的谓词形式
定义2.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个体；用以描述个体的性质或个体间关系的词
语，称为谓词。
个体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精
神等。表示 特定的个体，称为个体常元，以a，b，c…或带下标的a
i
，b
i
，ci
…表示；表示不确定
的个体，称为个体变元，以x，y，z…或x
i
， y
i
，z
i
…表示。
谓词，当与一个个体相联系时，它刻划了个体 性质；当与两个或两个以上个体相联系时，它
刻划了个体之间的关系。表示特定谓词，称为谓词常元，表 示不确定的谓词，称为谓词变元，都
用大写英文字母，如P，Q，R，…，或其带上、下标来表示。在本 书中，不对谓词变元作更多地
讨论。
对于给定的命题，当用表示其个体的小写字母和表示其谓 词的大写字母来表示时，规定把小
写字母写在大写字母右侧的圆括号( )内。例如，在命题“张明是 位大学生”中，“张明”是个体，
“是位大学生”是谓词，它刻划了“张明”的性质。设S：是位大学生 ，c：张明，则“张明是位
大学生”可表示为S(c)，或者写成S(c)：张明是位大学生。又如，在 命题“武汉位于北京和广州
之间”中，武汉、北京和广州是三个个体，而“…位于…和…之间”是谓词， 它刻划了武汉、北
京和广州之间的关系。设P：…位于…和…之间，a：武汉，b：北京，c：广州，则 P(a，b，c)：
武汉位于北京和广州之间。
定义2.1.2 一个原子命题用一个谓词 (如P)和n个有次序的个体常元(如a
1
，a
2
，…，a
n
)表示
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成P(a
1，a
2
，…，a
n
)，称它为该原子命题的谓词形式或命题的谓词形式。
应注意的是，命题的谓词形式中的个体出现的次序影响命题的真值，不是随意变动，否则真
值会 有变化。如上述例子中，P(b,a,c)是假。
2.n元原子谓词
原子命题的谓词形式还 可以进一步加以抽象，比如在谓词右侧的圆括号内的n个个体常元被
替换成个体变元，如x
1< br>,x
2
,···,x
n
，这样便得了一种关于命题结构的新表达形式， 称之为n元原
子谓词。
定义2.1.3 由一个谓词(如P)和n个体变元(如x
1
，x
2
，…，x
n
)组成的P(x
1
，x
2
，…，x
n
)，称
它为n元原子谓词或n元命题函数，简称n元谓词。而 个体变元的论述范围，称为个体域或论域。
当n=1时，称一元谓词；当n=2时，称为二元谓词，… 。特别地，当n=0，称为零元谓词。
零元谓词是命题，这样命题与谓词就得到了统一。
n元 谓词不是命题，只有其中的个体变元用特定个体或个体常元替代时，才能成为一个命题。
但个体变元在哪 些论域取特定的值，对命题的真值极有影响。例如，令S(x)：x是大学生。若x
的论域为某大学的计 算机系中的全体同学，则S(x)是真的；若x的论域是某中学的全体学生，则
S(x)是假的；若x的 论域是某剧场中的观众，且观众中有大学生也有非大学生的其它观众，则S(x)
是真值是不确定的。
通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综合在一起作为它的论域，称为n元谓词的全总
论域 。定义了全总论域，为深入研究命题提供了方便。当一个命题没有指明论域时，一般都从全
总论域作为其 论域。而这时又常常要采用一个谓词如P(x)来限制个体变元x的取值范围，并把P(x)
称为特性谓 词。
3.量词
利用n元谓词和它的论域概念，有时还是不能用符号来很准确地表达某些命题 ，例如S(x)表
示x是大学生，而x的个体域为某单位的职工，那么S(x)可表示某单位职工都是大 学生，也可表
示某单位有一些职工是大学生，为了避免理解上的歧义，在Lp中，需要引入用以刻划“所 有的”、
“存在一些”等表示不同数量的词，即量词，其定义如下：
定义2.1.4 ①符 号?称为全称量词符，用来表达“对所有的”、“每一个”、“对任何一个”、“一
切”等词语；?x称 为全称量词，称x为指导变元。
②符号?称为存在量词符，用来表达“存在一些”、“至少有一个”、 “对于一些”、“某个”等
词语；?x称为存在量词，x称为指导变元。
③符号?!称为存在 唯一量词符，用来表达“恰有一个”、“存在唯一”等词语；?!x称为存在
唯一量词，称x为指导变元 。
全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量词。量词记号是由逻辑学家Fray引入的，有了量词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。
例2.1.1 试用量词、谓词表示下列命题：
① 所有大学生都热爱祖国；
② 每个自然数都是实数；
③ 一些大学生有远大理想；
④ 有的自然数是素数。
解 令S(x)：x是大 学生，L(x)：x热爱祖国，N(x)：x是自然数，R(x)：x是实数，I(x)：x
有远大理想 ，P(x)：x是素数。
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则例中各命题分别表示为：
①(?x)(S(x)?L(x)) ②(?x)(N(x)?R(x))
③(?x)(S(x)∧I(x)) ④(?x)(N(x)∧P(x))
在该例的解答中，由于命题中没有指明个体域，这便意味着各命题 是在全总论域中讨论，因
而都使用了特性谓词，如S(x)、N(x)。而且还可以看出，量词与特性谓 词的搭配还有一定规律，
即全称量词后跟一个条件式，而特性谓词作为其前件出现；存在量词后跟一个合 取式，特性谓词
作为一个合取项出现。
如果在解答时，指明了个体域，便不用特性谓词，例如 在①、③中令个体域为全体大学生，
②和④中的个体域为全部自然数，则可符号化为：
①(?x)L(x) ②(?x)R(x)
③(?x)I(x) ④(?x)P(x)
谓词前加上了量词，称为谓词的量化。若一个谓词中所有个体变元都量化了，则该 谓词就变
成了命题。这是因为在谓词被量化后，可以在整个个体域中考虑命题的真值了。这如同数学中的
函数f(x)，
f(x)dx
的值是不确定的，但
b
?
?< br>f(x)dx
可确定其值。
a
当个体域是有限时，可以消去公式中的量词。若 个体域D＝{a,b,c},则公式(?x)A(x) ? A(a)
∧A(b)∧A(c); (?x)A(x) ? A(a)∨A(b)∨A(c)。
2.2 谓词公式与翻译
1.谓词公式
为了方便处理数学和计算机科学的逻辑问题及谓词表示的直觉清晰性，将引进项的概念。
定义2.2.1 项由下列规则形成：
① 个体常元和个体变元是项；
② 若f 是n元函数，且t
1
，t
2
，…，t
n
是项，则f(t1
，t
2
，…，t
n
)是项；
③ 所有项都由①和②生成。
有了项的定义，函数的概念就可用来表示个体常元和个体变元。例如，令f( x,y)表示x+y，谓
词N(x)表示x是自然数，那么f(2,3)表示个体自然数5，而N(f( 2,3))表示5是自然数。这里函数是
就广义而言的，例如P(x):x是教授，f(x):x的父亲 ，c:张强，那么P(f(c))便是表示“张强的父亲是
教授”这一命题。
函数的使用给谓 词表示带来很大方便。例如，用谓词表示命题：对任意整数x，x
2
-1=(x+1)(x-1 )
是恒等式。令I(x):x是整数，f(x)=x
2
-1，g(x)=(x+1)( x-1)，E(x,y):x=y，则该命题可表示成：
(?x)(I(x)?E(f(x),g(x) ))。
定义2.2.2 若P(x
1
，x
2
，…，x
n
)是n元谓词，t
1
，t
2
，…，t
n
是项，则称 P(t
1
，t
2
，…，t
n
)为
Lp中原子谓词公 式，简称原子公式。
下面，由原子公式出发，给出Lp中的合式谓词公式的归纳定义。
定义2.2.3 合式谓词公式当且仅当由下列规则形成的符号串
① 原子公式是合式谓词公式；
② 若A是合式谓词公式，则(?A)是合式谓词公式；
③ 若A，B是合式谓词公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)和(A?B)都是合式谓词公式；
④ 若A是合式谓词公式，x是个体变元，则(?x)A、(?x)A都是合式谓词公式；
⑤ 仅有有限项次使用①、②、③和④形成的才是合式谓词公式。
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例如，(?x)P(x)，(?x)(P(x)?Q(x))和(?x)(? y)(P(x,y)?R(y))都是合式谓词公式，而(?x)(P(x)?R(x)
和(?x)(? y)(?P(x,y))则不是合式谓词公式。
以后为使用方便，称合式谓词公式为谓词公式；在不引 起混淆时，甚至可将合式谓词公式中
有的括号进行省略，其规则与命题公式的括号省略相同，即最外层括 号可省略。但是，量词后面
的括号是不能省略的。
2.谓词逻辑的翻译
把一个文字叙述的命题，用谓词公式表示出来，称为谓词逻辑的翻译或符号化；反之亦然。
例2.2.1 把下列命题符号化：
① 张强和李林都是足球运动员。
② 赵越是象棋迷或围棋迷。
③ 李林比张强高。
解 ① 令F(x):x是足球运动员，l:李林，c:张强；命题符号化为F(c)?F(l)。
② 令C(x):x是象棋迷，G(x):x是围棋迷，a:赵越，命题符号化为C(a)?G(a)。
③ 令H(x,y):x比y高，l:李林，c:张强，命题符号化为H(l,c)。
例2.2.2 符号化下列命题：
①汽车比牛车跑得快。
②有的汽车比所有火车跑得快。
③并不是所有的汽车都比火车跑得快。
④不存在跑得同样快的两个汽车。
解 令C(x):x是汽车，B（x）：x是牛车，S(x,y):x比y 跑得快，T(x)：x是火车，L(x,y)：x
和y跑同样快。
①本命题可理解为“所有汽车都比所有牛车跑得快”因此本命题可符号化为：




(?x)(C(x)?(?y)(B(y)?S(x,y)))
(?x)(?y)((C(x)?B(y))?S(x,y))
或
②本命题可符号化为：(?x)(C(x)?(?y)(T(y)?S(x,y)))
③本命 题可理解为“并非所有汽车都比所有火车跑得快”或“有的汽车比有的火车跑得不快”，
因此本命题可符 号化为：

或


或
(?x)(?y)((C(x)?C(y))??L(x,y))


(?x)(?y)(C(x)?T(y)??S(x,y))
?(?x)(?y)(C(x)?C(y)?L(x,y))
④本命题也可理解为“任何两个汽车跑得不会同样快”，因此本命题可符号化为：
?(?x)(?y)((C(x)?T(y))?S(x,y))
2.3 约束变元与自由变元
定义2.3.1 给定一个谓词公式A，其中有一部分公式形如(?x)B(x)或(?x)B(x) ，则称它为A
的x约束部分，称B(x)为相应量词的作用域或辖域。在辖域中，x的所有出现称为约束 出现，x
称为约束变元；B中不是约束出现的其它个体变元的出现称为自由出现，这些个体变元称自由变
元。
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判定给定公式A中 个体变元是约束变元还是自由变元，关键是要看它在A中是约束出现，
还是自由出现。
例2.3.1 指出下列各合式公式中的量词辖域、个体变元的约束出现和自由出现。
① (?x)(P(x)?(?y)Q(x,y))
② (?x)H(x)?L(x,y)
③ (?x)(?y)(P(x,y)?Q(y,z))?(?x)R(x,y)
解 ① (?x)的辖 域是(P(x)?(?y)Q(x,y))，(?y)的辖域为Q(x,y)；对于(?y)的辖域而言，y为约
束出现，x为自由出现。对于(?x)的辖域来说，x和y均为约束出现，x约束出现2次，y约束出< br>现1次。
② (?x)的辖域是H(x)，x为约束出现，L(x,y)中的x和y都为自由出 现。对于整个公式来说，
x的约束出现1次，自由出现1次，y自由出现1次。
③ 在(?x )(?y)(P(x,y)?Q(y,z))中，(?x)和(?y)的辖域分别为(?y)(P(x,y)?Q (y,z))和
(P(x,y)?Q(y,z))，显然x和y为约束出现，z为自由出现。(?x) 的辖域是R(x,y)，x为约束出现，y
为自由出现。在整个公式中，x为约束出现，y为约束出现又 为自由出现，z为自由出现。
定义2.3.2 设A为任意一个公式，若A中无自由出现的个体变元，则称A为封闭的合式公
式，简称闭式。
由闭式定义可知，闭式中所有个体变元均为约束出现。例如，(?x)(P(x)?Q(x))和
(?x )(?y)(P(x)?Q(x,y))是闭式，而(?x)(P(x)?Q(x,y))和(?y)(?z)L (x,y,z)不是闭式。
从上面讨论可以看出，在一公式中，有的个体变元既可以是约束出现，又可 以是自由出现，
这就容易产生混淆。为了避免混淆，采用下面两个规则：
①约束变元改名规则 ，将量词辖域中某个约束出现的个体变元及相应指导变元，改成本辖域
中未曾出现过的个体变元，其余不 变。
②自由变元代入规则，对某自由出现的个体变元可用个体常元或用与原子公式中所有个体变
元不同的个体变元去代入，且处处代入。
例2.3.2 将公式(?x)(P(x)?Q(x,y))?R(x,y)中的约束变元改名。
解 正确改名是把约束变元x改为z，得(?z)(P(z)?Q(z,y))? R(x,y)，其中R(x,y) 的x为自由
变元，所以不改名。而(?z)(P(z)?Q(x,y))?R(x,y)和(?y)(P (y)?Q(y,y))?R(x,y)均为错误改名。
例2.3.3 对公式(?x)(P(y)?Q(x,y))?R(x,y)中的自由变元代入。
解 正确地代入是 把z代入自由变元y，得(?x)(P(z)?Q(x,z))?R(x,z)，而
(?x)(P(z) ?Q(x,z))?R(x,y)和(?x)(P(x)?Q(x,z))?R(x,x)是错误代入。
改名规则与代入规则的共同点都是不能改变给定公式中的约束关系，而不同点是：
① 施行的对象不同。改名是对约束变元施行，代入是对自由变元施行。
② 施行的范围不同。改名可以只 对公式中一个量词及其辖域内施行，即只对公式的一个子
公式施行；而代入必须对整个公式同一个自由变 元的所有自由出现同时施行，即必须对整个公式
施行。
③ 施行后的结果不同。改名后，公式 含义不变，因为约束变元只改名为另一个个体变元，
约束关系不改变。约束变元不能改名为个体常元；代 入，不仅可用另一个个体变元进行代入，并
且也可用个体常元去代入，从而使公式由具有普遍意义变为仅 对该个体常元有意义，即公式的含
义改变了。
上面讲了约束变元改名规则和自由变元代入规则 。有时在一公式A(x)中，也会用项t替代个
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体变元x，那么如何做才能不引起量词和辖域间关系发生变化？或者说，替代 后结果与替代前在
直觉解释上没有区别这就需要引入项t对A(x)中的x是自由的概念。
定义2.3.3 令A是任意合式公式，x为自由出现，以及给定项t。如果x不出现在A中项t所含的任意个体变元y的量词(?y)或(?y)的辖域内，则称项t对A中的x是自由的或可代入的。 < br>例如，取A为(?x)P(x,y)?(?z)Q(x,z)，则项f(x,w)对y不是自由的，项g( y,z)对y是自由的，
项h(x,z)不是自由的，项y对x是自由的。
由定义可知，对任 何公式A和任意个体变元x，不管x在A中是否自由出现，x对A中的x
是自由的。
2.4 公式解释与类型
1．公式解释
一般情况下，Lp中的公式含有：个体常元、个体变元（约束 变元或自由变元）、函数变元和
谓词变元等，对各种变元用指定的特殊常元去代替，就构成了一个公式的 解释。当然在给定的解
释下，可以对多个公式进行解释。下面给出解释的一般定义。
定义2.4.1 一个解释I由下面4部分组成：
① 非空个体域D
I
。
② D
I
中部分特定元素a′，b′，…。
③ D
I
上的特定一些函数f′，g′，…。
④ D
I
上特定谓词：P′，Q′，…。
在一个具体解释中，个体常元、函数符号、谓词 符号的数量一般是有限的，并且其解释一旦
确定下来就不再改变，只是个体变元的值在个体域D
I
内变化，量词符?或?仅作用于D
I
中的元素。
下面用例子说明公式的解释 。
例2.4.1 给定解释I如下：
① D
I
={3,6}。
② D
I
中特定元素a′=3。
③ D
I
上特定函数f′(x):f′(3)=6，f′(6)=3。
④ D
I
上特定谓词P′(x):P′(3) ?0，P′(6) ?1；Q′(x,y):Q′(i,j) ?1，i,j=3,6；R′(x,y):R′(3,3) ?R′(6,6)
?1，R′(3,6) ?R′(6,3) ?0。
在解释I下，求下列各公式的真值。
① (?x)(P(x)?Q(x,a))
② (?x)(P(f(x))?Q(x,f(x)))
③ (?x)(?y)R(x,y)
解 在解释I下：
①式?(P′(3)?Q′(3,3))?(P′(6)?Q′(6,3))
?(0?1)?(1?1)
?0
②式?(P′(f(3))?Q′(3,f(3) ))?(P′(f(6))?Q′(6,f′(6)))
?(P′(6)?Q′(3,6))?(P′(3)?Q′(6,3))
?(1?1)?(0?1)
?1
③式?(?y)R′(3,y)?(?y)R′(6,y)
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?(R′(3,3)?R′(3,6))?(R′(6,3)?R′(6,6))
?(1?0)?(0?1)
?1?1
?1
2．公式类型
定义2.4.2 ① 若一公式在任何解释下都是真的，称该公式为逻辑有效的，或永真的。
② 若一公式在任何解释下都是假的，称该公式为矛盾式，或永假式。
③ 若一公式至少存在一个解释使其为真，称该公式为可满足式。
从定义可知，逻辑有效式为可满足式，反之未必成立。
例2.4.5 判断下列公式的类型：
① (?x)P(x)?(?x)P(x)
② (?x)P(x)?((?x)P(x)?(?y)Q(y))
③ (?x)(?y)P(x,y)?(?x)(?y)P(x,y)
解 ①设I为任意解释，其个体域 为D
I
。若存在a?D
I
，使P(a)为假，则(?x)P(x)为假，故< br>(?x)P(x)?(?x)P(x)为真；若对?x?D
I
，都有P(x)为真，则( ?x)P(x)、(?x)P(x)均为真，所以
(?x)P(x)?(?x)P(x)为真。因此，在 解释I下，原公式为真。由于I的任意性，所以原公式是逻辑
有效的。
② ②中的公式是对 公式P?(P?Q)实施了以(?x)P(x)处处代入P，以(?y)Q(y)代入Q得到的，
根据代 入规则及P?(P?Q)为重言式可知，②中公式是重言式。
③ 设解释I为：
(ⅰ) 个体域 为自然数集合N
I
。
(ⅱ) P(x,y)为x=y。
在该解释下，③中公式前件(?x)(?y)P(x,y)? (?x)(?y)(x=y)，这是真的 ；公式后件
(?x)(?y)P(x,y)?(?x)(?y)(x=y)，这是假的。因此，在该解释 下，原公式为假。这说明③中公式不
是逻辑有效的。
若将上述解释I中，把P(x,y)改为 x≤y，得到新的解释I′，可知在I′下，前后件都是真的，
故③公式为真。这说明③中公式也不是矛 盾的。综上，③中公式为可满足式。
2.5 等价式与蕴涵式
1．等价式
定义2.5.1 设A、B为任意两个谓词公式，若A?B为逻辑有效的，则称A与B是等价的，记为A?B，称A?B为等价式。
由于重言式(永真式)都是逻辑有效的，可见1.3节中的命题定律（基本等价式）都是Lpk 等
价式。
下面给出涉及量词的一些等价式，它们的证明略去了。
(1) 量词否定等价式：
(a)?(?x)A?(?x)?A
(b)?(?x)A?(?x)?A
(2) 量词辖域缩小或扩大等价式
设B是不含x自由出现，A(x)为有x自由出现的任意公式，则有：
(a) (?x)(A(x)∧B)?(?x)A(x)∧B
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(b) (?x)(A(x)∨B)?(?x)A(x)∨B
(c) (?x)(A(x)→B)?(?x)A(x)→B
(d) (?x)(B→A(x))?B→(?x)A(x)
(e) (?x)(A(x)∧B)?(?x)A(x)∧B
(f) (?x)(A(x)∨B)?(?x)A(x)∨B
(g) (?x)(A(x)→B)?(?x)A(x)→B
(h) (?x)(B→A(x))?B→(?x)A(x)。
(3) 量词分配律等价式：
(a) (?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x)
(b) (?x)(A(x)∨B(x))?(?x)A(x)∨(?x)B(x)
其中，A(x)，B(x)为有x自由出现的任何公式。
(4) 多重量词等价式
(a) (?x)(?y)A(x,y)?(?y)(?x)A(x,y)
(b) (?x)(?y)A(x,y)?(?y)(?x)A(x,y)
其中A(x,y)为含有x和y自由出现的任意公式。
例2.5.1 证明(?x)(?y)(A(x)?B(y))?(?x)A(x)?(?y)B(y)
其中x,y为分别不在公式B(y)、A(x)中自由出现。
证明 (?x)(?y)(A(x)?B(y))
?(?x)(A(x)?(?y)B(y)) 根据(2)中(d)
?(?x)A(x)?(?y)B(y) 根据(2)中(c)
2. 蕴涵式
由于L
S
中蕴涵式（或永真条件式）在 Lp中都是逻辑有效的，而且使用代入规则得到蕴涵式
也都是Lp中逻辑有效的。
例如，(?x)P(x)?(?x)P(x)∨(?y)Q(y) 附加
((?x)P(x)→Q(x,y))∧(?x)P(x)? Q(x,y) 假言推理
下面将给出Lp中的一些蕴涵式，其证明省略了。
(1) (a) (?x)A(x)∨(?x)B(x)?(?x)(A(x)∨B(x))
(b) (?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x)
(c) (?x)(A(x)→B(x))?(?x)A(x)→(?x)B(x)
(d) (?x)(A(x)→B(x))?(?x)A(x)→(?x)B(x)
其中，A(x)和B(x)为含有x自由出现的任意公式。
(2) (a) (?x)(?y)A(x，y)?(?x)A(x，x)
(b) (?x)A(x，x)?(?x)(?y)A(x，y)
(c) (?x)(?y)A(x，y)?(?y)(?x)A(x，y)
(d) (?y)(?x)A(x，y)?(?x)(?y)A(x，y)
(e) (?x)(?y)A(x，y)?(?y)(?x)A(x，y)
其中，A(x，y)为含有x、y的自由出现的任意公式。
例2.5.2 证明(?x)(?y)(P(x)?Q(y))?(?x)P(x)?(?x)Q(x)
证明 (?x)(?y)(P(x)?Q(y))
?(?x)(P(x)?Q(x)) 根据(2)中(a)
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?(?x)(P(x)?Q(x))?(Q(y)?P(x))
?(?x)(P(x)?Q(x))?(?x)(Q(y)?P(x)) 根据等价式(3)中(a)
?((?x)(P(x)?(?x)Q(x))?((?x)(Q(y)?(?x)P(x)) 根据蕴涵式(1)中(c)
?(?x)(P(x)?(?x)Q(x)
从而，得到
(?x)(?y)(P(x)?Q(y))?(?x)P(x)?(?x)Q(x)
2.6 谓词公式范式
谓词逻辑中同命题逻辑一样，有必要研究谓词公式的标准形式问题。本节主要介绍前束范 式
和斯柯林范式两种，重点研究前束范式。
1.前束范式
定义2.6.1 一个合式公式称为前束范式，如果它有如下形式：
(Q
1
x
1
)( Q
2
x
2
)…(Q
k
x
k
)B
其中Q
i
(1≤i≤k)为?或?，B为不含有量词的公式。称Q
1
x
1
Q
2
x
2
…Q
k
x
k
为公式 的首标，B为母式。
特别地，若Ａ中无量词，则Ａ也看作是前束范式。
可见，前束范式的特 点是，所有量词均非否定地出现在公式最前面，且它的辖域一直延伸到
公式之末。
例如，(? x)(?y)(?z)(P(x,y)?Q(y,z)),R(x,y)等都是前束范式，而(?x)P(x)? (?y)Q(y)，
(?x)(P(x)?(?y)Q(x,y))不是前束范式。
定理2.6.1 (前束范式存在定理) Lp中任意谓词公式A都有与之等价的前束范式。
例2.6.1 将公式((?x)P(x)?(?y)Q(y))?(?x)R(x)化归为前束范式。
解
原式?((?x)P(x)?(?y)Q(y))?(?z)R(z) 约束变元改名
?(?x)(?y)(?z)((P(x)?Q(y))?R(z)) 量词前移
由于量 词前移的顺序不同，可得到不同的并且都是等价的前束范式。可见，前束范式一般不
是唯一的。
例如，例2.6.1
(?z)((P(x)?Q(y))?R(z))。
2.斯柯林范式
前束范式的的优点是全部量词集中在公式前面，其缺点是各量词的排列无一定 规则，这样当
把一个公式化归为前束范式时，其表达形式会显现多种情形，不便应用。1920年斯柯林 (Skolem)
提出对前束范式首标中量词出现的次序给出规定：每个存在量词均在全称量词之前。按 此规定得
到的范式形式，称为斯柯林范式。显然，任一公式均可化为斯柯林范式。它的优点是：全公式按
顺序可分为三部分，公式的所有存在量词、所有全称量词和辖域。这给Lp的研究提供了一定的
方便。
例2.6.2 求公式(?x)((?P(x)?(?y)Q(y,z))??(?z)R(y,z))的斯柯林范式。
解
原式?(?x)((P(x)?(?y)?Q(y,z))?(?z)?R(y,z))
?(?x)((P(x)?(?u)?Q(u,z))?(?v)?R(y,v)) 改名
?(?u)(?v)(?x)((P(x)??Q(u,z))??R(y,v)) 量词前移
的前束范式有：(?x)(?y)(?z)((P(x)?Q(y))?R(z)) 和(?y)(?x)
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2.7 谓词逻辑的推理理论
Lp是L
S
的进一步深化和发展，因此L
S
的 推理理论在Lp中几乎可以完全照搬，只不过这时
涉及的公式是Lp的公式罢了。在Lp中，某些前提和 结论可能受到量词的约束，为确立前提和结
论之间的内部联系，有必要消去量词和添加量词，因此正确理 解和运用有关量词规则是Lp推理
理论中十分重要的关键所在。下面在介绍有关量词规则之前做些必要准 备。作为定义2.3.3的一
种特例，将给出A(x)对y是自由的这个概念。其目的是，允许用y代入 x后得到A(y)，它不改变
原来公式A(x)的约束关系。
定义2.7.1 在谓词公式A(x)中，若x不自由出现在量词(?y)或(?y)的辖域， 则称A(x)对于
y是自由的。
由定义可知，若y在A(x)中不是约束出现，则A(x)对于y一定是自由的。
例2.7.1 令A(x)是下列公式，考察A(x)对y是否自由。若是，请给出A(y)。
① P(x,y)?(?y)Q(y)
② (P(x)?Q(y))?(?x)R(x)
③ P(x,y)?(?y)Q(x,y)
④ (?y)(P(y)?Q(x)
解 ①和②对y是自由的，相应的A(y)分别为：①A(y):P(y,y)?(?y)Q(y)；
② A(y):(P(y)?Q(y))?(?x))R(x)。
③和④分别成为：P(x,y)?(?z )Q(x,z)和(?z)(P(z)?Q(x))，这时它们对y又都是自由的。因此，此
时相应的A (y)分别为：③A(y):P(y,y)?(?z)Q(y,z)；④A(y):(?z)(P(z)?Q(y ))。可见，使用改名规则，
可使A(x)对y原来不是自由的可化为是自由的。
1.有关量词消去和产生规则
量词消去规则：
(1) 全称量词消去规则(简称UI或US规则)
有两种形式：(?x)A(x)?A(c) 其中c为任意个体常元
(?x)A(x)?A(y) A(x)对y是自由的
(2) 存在量词消去规则(简称EI或ES规则)
有两种形式：(?x)A(x)?A(c) 其中c为特定个体常元
(?x)A(x)?A(y)
量词产生规则：
(3) 存在量词产生规则(简称EG规则)
有两种形式：A(c)?(?y)A(y) 其中c为特定个体常元
A(x)?(?y)A(y)
(4) 全称量词产生规则(简称UG规则)
A(x)?(?y)A(y)
应该强调的是，要掌握和理解上述四规则的成立条件，否则会产生错误推理。
2．Lp中推理实例
Lp的推理方法是L
S
推理方法的扩展，因此在Lp中 利用的推理规则也是T规则、P规则和
CP规则，还有已知的等价式，蕴涵式以及有关量词的消去和产生 规则。使用的推理方法是直接
构造法和间接证法。
例2.7.7 试证明下面苏格拉底论证：
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所有人都是要死的，
苏格拉底是人，
因此，苏格拉底是要死的。
证明 令M(x):x是人，D(x):x是要死的，s:苏格拉底，原题可符号化为：
(?x)(M(x)?D(x))，M(s)?D(s)
推证如下：
{1} （1） (?x)(M(x)?D(x)) P
{1} （2） M(s)?D(s) UI，（1）
{3} （3） M(s) P
{1，3} （4） D(s) T,(2),(3),I
例2.7.8 每个大学生或者享有奖学金或者交费学习。每个大学生当且仅当学习评优者享有奖
学金。并非所有大学生 学习都能被评优。因此，有些大学生要交费学习。
解 令S(x):x是大学生，E(x):x享有奖学金，P(x):x要交费学习，T(x):x学习被评优。
本例应符号化：
(?x)(S(x)?(E(x)?P(x)))，(?x)(S(x)?(T(x)?E(x)))，
?(?x)(S(x)?T(x))?(?x)(S(x)?P(x))
推证如下：
{1} (1) ?(?x)(S(x)?T(x)) P
{1} (2) (?x)(S(x)??T(X)) T,(1),E
{1} (3) S(c)??T(c) EI,(2)
{4} (4) (?x)(S(x)?(T(x)?E(x))) P
{4} (5) (S(c)?(T(c)?E(c)) UI,(4)
{1} (6) S(c) T,(3),I
{1, 4} (7) T(c)?E(c) T,(5),(6),I
{1, 4} (8) (T(c)?E(c))?(E(c)?T(c)) T,(7),E
{1, 4} (9) E(c)?T(c) T,(8),E
{1} (10) ?T(c) T,(3),I
{1, 4} (11) ?E(c) T,(9),(10)I
{12} (12) (?x)(S(x)?(E(x)?P(x))) P
{12} (13) S(x)?(E(x)?P(x)) UI,(12)
{1,12} (14) E(x)?P(x) T,(6),(13),I
{1,12} (15) ?E(x)?P(x) T,(14),I
{1, 4,13} (16) P(c) T,(11),(15),I
{1, 4,13} (17) S(c)?P(c) T,(6)(16),I
{1, 4,13} (18) (?x)(S(x)?P(x)) EG,(17)
注意，在前提中有(?x)和(?x)时，应先使用EI规则，再使用UI规则。
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第3章 集合
集合是数学中最基 本的概念之一，是现代数学的重要基础，并且已经深入到包括计算机科学
与技术在内的各个科学领域中。 例如，在形式语言、数据库、有限状态机、开关理论等领域，都
得到了卓有成效地运用。
于十 九世纪七十年代，康托创立了朴素集合论。由于在定义集合的方法上缺乏限制，会导致
悖论。为避免悖论 ，由策墨勒等人在二十世纪初提出了公理化集合论，它促进了集合论协调、健
康的发展。公理化是一种总 结、整理经验的方法。乍看起来，公理化好像是用复杂的机器做一件
简单的工作。实际上，是用有效机器 解决困难的工作。
由于展示公理论集合论费时、相对复杂，本章将使用公理化集合论中有效形式方法介 绍集合
论中主要内容，使之简明扼要、概念清楚、应用方便。
3.1 集合论基础
1. 集合与元素
所谓集合，是指某些可辨别的不同对象的全体，将用大写字母A，B，X， Y，···表示之。
组成集合的对象称为集合的元素或成员，将用小写字母a，b，x，y···表示之 。a是A的元素或
a属于A，记作a?A；a不属于A或a不是A的元素，记作a?A，或者?(a?A )。
集合的元素一旦给定，这一集合便完全确立。这一事实被形式地叙述为外延公理。
外延公理：两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。
若A与B相等，记为A=B；否则，记为A?B。
外延公理可形式表为：
A=B?(?x)(x?A?x?B)
表示一个特定集合，基本上有两种方法：
一是枚举法，在可能时列出它的元素，元素之间用逗号分开，再用花括号括起。如
A={a,e,i,o,u} (1)
表明集合A是由字母a,e,i,o和u为元素构成的。
二是谓词法，用谓词公式来确定集合 。即个体域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一
个集合，因为这些元素都具有某种特殊性质。若P (x)含有一个自由变元的谓词公式，则{x|P(x)}
定义了集合S，并可表成
S={x|P(x)}
由此可见，P(c)为真当且仅当c?S。从而有
x?S?x?P(x)
例如，(1)可表为
A={x|x是英文字母表中元音字母}
在用性质来描述集合时，可表述为概括原理或子集合公理。
子集公理：
对于任给集合A和性质P，存在集合B，使得B中元素恰为A中满足P的那些元素。
子集公理可形式地表成：
(?B)(?x)(x?B?x?A??(x))
其中?(x)为不含B自由出现。
子集公理的提出，避免了悖论，使集合论得以存在和发展。
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2. 子集、全集与空集
子集是描述一个集合与另一个集合之间的关系，其定义如下。
定义3.1.1 设A和B是 任意两个集合，如果集合A的每个元素，都是集合B中的一个元素，
则称A是B的子集，或称A被包含于 B中，或者说B包含A，并记为A?B。
本定义也可表成：
A?B?(?x)(x?A?x?B)
这表明，要证明A?B，只需对任意元素x，有下式
x?A?x?B
成立即可。
此外，若集合B不包含集合A，记为A ? B。

例3.1.1 设A={a,b}，B={a,b,c}，C={a,c,d,e}，于是，A?B，A?C。
定义3.1.2 设A和B是两个集合，若A?B且A?B，则称A是B的真子集，记为A?B，也< br>称B真包含A。该定义也可表为
A?B?(A?B?A?B)
由定义易知，在例1中有A?B。
定义3.1.3 如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，则称该集合为全集，记为U或E。
它可形式地表为
U={x|P(x)??P(x)}
其中P(x)为任何谓词公式。
显然，全集U 即是第二章中的全总论域。于是，每个元素x都属于全集U，即命题(?x)(x?U)
为真。由定义易 知，对任意集合A，都有A?U。
在实际应用中，常常把某个适当大的集合看成全集U。
定义3.1.4 没有任何元素的集合，称为空集，记为?，它可形式地表为：
?={x|P(x)??P(x)}
其中P(x)为任何谓词公式。
由定义可知，对任何集合A，有??A。这是因为任意元素x，公式x???x?A总是为真。
定理3.1.1 空集是唯一的
定理3.1.2 (ⅰ)对任一集合A，有A?A。
(ⅱ)若A?B且B?C，则A?C。
证明 留给读者自行完成。
3．集合的基数
表示集合中元素多少或度量集合大小的数，称作集合的基数或势。一个集合A 的基数，记为
|A|。
如果一个集合恰有m个不同的元素，且m是某个非负整数，称该集合是 有限的或有穷的，
否则称这个集合为无限的或无穷的。例如，在本书中常用有穷集有：
N
m
={0,1,2,···,m-1}
本书中常见的无穷集合有：
N={0,1,2,3,···}，即自然数集合。
Z={···,-2,-1,0,1,2,3,···}，即整数集合。
Z
+
={1,2,3,···}，即正整数集合。
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Q=有理数集合。
R=实数集合。
C=复数集合。
顺便指出，书中也使用了I，I
＋
分别表示整数集合和正整数集合。
4．集合的幂集
一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合，即是由这些子集所组成的集合族。
定义3.1.5 设A为一集合，A的幂集是一集合族，记为P(A)，
P(A)={B|B?A}
由定义可知，??P(A)，A?P(A)。
例2
① 若A=?，则P(A)={?}
② 若A={a,b,c}，则P(A)={?,{a} ,{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A}。用归纳法不难证明，若A是
有穷集， 则|P(A)|=2
|A|
。
5．文氏图
文氏(Venn)图是一种利用 平面上的点构成的图形来形象展示集合的一种方法。全集U用一个
矩形的内部表示，其他集合用矩形内的 园面或一封闭曲线圈成的面积来表示。如果A?B，则表
示A的园面一般将完全落在表示B的园面内，如 图1中(a)。如果A与B没有公共元素，那么表
示A的园面将同表示B的园面分开，如图1中(b)。 当A和B是两个任意的集合时，可能会是：
有些元素在A中但不在B中，有些元素在B中却不在A中，有 些元素同时在A和B中，有些元
素则既不在A中也不在B中，因此用图1中(c)表示任意两个集合A和 B。

U
B
A
U
AB
U
AB

(a) (b) (c)
图3.1.1文氏图
最后给出集合的形式定义结束本节。
定义3.1.6 A为集合:=(?x)(x?A?A=?)。
这里符号“:=”表示定义 为的意义。但为了方便，也常常用“＝”代替“:=”，其具体含义由
上下文来区分。
3.2 集合运算及其性质
集合运算是指用已知的集合去生成新的集合。假设所有集合都是全集U的子集，即这 些集合
是利用子集公理得到的。下面依次介绍常见的集合运算。
1．并、交、差及补运算
定义3.2.1 设A和B是任意两个集合，
① A和B的并是集合，记为A∪B，
A∪B={x|x?A?x?B}
② A和B的交是集合，记为A∩B，
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A∩B={x|x?A?x?B}
③ A和B的差，或B关于A的相对补是集合，记为A-B，
A-B={x|x?A?x?B}
例3.2.1 设A={a,b,c,d,}，B={a,b,e}，于是
A∪B={a,b,c,d,e}
A∩B={a,b}
A-B={c,d}
定义3.2.2 若A和B是集合，且A∩B=?，则称A和B是不相交的。
如果C是个集合族，且C中任意两个不同元 素都不相交，则称C中集合是两个不相交的，
或称C是两两不相交的集合族。
例3.2.2 设C={{0},{1},{2},···}={{i}|i?N}，则C是两两不相交的集合族。
定理3.2.1 任给集合A，B和C，则：
① A∪B=B∪A
② A∩B=B∩A
③ (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
④ (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
该定理表明，集合并和交运算满足交换律和结合律。
证明 只证明③，余下类似证明。
对于?x?U，有
x?(A∪B)∪C?x?(A∪B)?x?C
?(x?A?x?B)?x?C
?x?A?(x?B?x?C)
?x?A?x?(B∪C)
?x?A∪(B∪C)
由外延公理可知，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
定理3.2.2 任给集合A、B和C，则
① A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
② A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
该定理表明，集合运算并对交、交对并都是可分配的。
定理3.2.3 任给集合A，B，C和D，则
① 若A?B，则A∪B=B，A∩B=A
② 若A?B和C?D，则A∪C?B∪D，A∩C?B∩D
推论3.2.3 ①A∪U=U，②A∩U=A
定理3.2.4 任给集合A，B和C，则
① A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
② A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)
对于有的元素为集合的集合，尤其是集合族，也可以在其上定义并和交运算。
定义3.2.3 设A是含有元素为集合的集合，或者集合族。
① A的并或称A的广义并是集合，记为∪A，
∪A={x|(?B)(B?A?x?B)}=
?
B

B?A
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② A的交或称A的广义交是集合，记为∩A，
∩A={x|(?B)(B?A?x?B)}=
?
B

B?A
请思考：当A＝? 时，∩A是怎样的集合？
例3.2.3 ① 设A={a,{1,2},{2,3},6}，则
∪A={1,2}∪{2,3}={1,2,3}，
∩A={1,2}∩{2,3}={2}。
② 令B={{a,b,c},{b,c,d},{c,d,e}}，则
∪B={a,b,c,d,e}，
∩B={c}。
定义3.2.4 集合A的补是集合，记为A′，或
A
，
A′=U-A={x|x?U?x?A}
={x|x?A}
例3.2.4
① 若U=Z，A={2x|x?Z}，则A′={2x+1|x?Z}。
② 若U={a,b,c,d}，A={c,d}，则A′={a,c}。
定理3.2.5 任给集合A，则
① A∪A′=U，
② A∩A′=?。
定理3.2.6 任给集合A和B，则
B=A′ iff A∪B=U 且 A∩B=?
该定理表明了①若A的补是B，则B的补是A，即A和B互补。②补的唯一性。
推论3.2.5 ①U′=?，②?′=U
定理3.2.7 任给集合A，则A′′=A。
该定理表明了，A的补的补是A。
定理3.2.8 任给集合A和B，则
① (A∪B) ′=A′∩B′，
② (A∩B) ′=A′∪B′。
定义3.2.5 任给集合A和B，A和B的对称差是集合，记为A?B，
A?B=(A-B)∪(B-A)
={x|(x?A?x?B)?(x?B?x?A)}
定理3.2.9 任给集合A和B，则
A?B=(A∪B)∩(A′∪B′)
=(A∪B)-(A∩B)
推论 ① A′?B′=A?B
② A?B=B?A
③ A?A=?
2．集合代数与对偶原理
与命题逻辑相似，对 于给定集合实行集合运算，可以生成新的集合。同用大写英文字母表示
确定集合一样，也用大写字母表示 不确定的集合，前者称为集合常元，后者称为集合变元。集合
变元用以集合常元代替后，才表示确定的集 合。下面将给出集合的合式公式定义。
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定义3.2.6 可按下列规则生成集合合式公式：
① 单个集合变元是集合合式公式。
② 若A是集合合式公式，则A′也是集合合式公式。
③ 若A和B是集合合式公式，则(A∪B)，(A∩B)，(A-B)和(A?B)也都是集合合式公式。
④ 只有有限次使用①、②和③构成的符号串才是集合合式公式。
为方便计，简称集合合式公式为公式。
定义3.2.7 用任意集合常元取代两个集合公式 中的各个集合变元，若所得集合是相等的，则
称该二集合公式是相等的，简称等式。
因为集合 公式相等，不依赖于取代集合变元的集合，故常称这些等式为集合恒等式，或集合
定律。它们刻划了集合 运算的某些性质，这些性质描述一个代数，称为集合代数。下面列出常用
集合定律：
1．等幂律 A∪A=A A∩A=A
2．结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
3．交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A
4．分配律 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
5．幺律 A∪?=A A∩U=A
6．零律 A∪U=U A∩?=?
7．补律 A∪A′=U A∩A′=?
8．吸收律 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A
9．德·摩根律 (A∪B)′=A′∩B′ (A∩B)′=A′∪B′
10.对合律 (A′)′=A
下面介绍集合代数中的对偶原理，它与命题逻辑中对偶原理也很相似。
对偶原理 设E是集 合代数中等式，将E中的∪，∩，U和?的每一个出现分别代以∩，∪，
?和U后得到一等式E
*
，称E
*
为E的对偶式。
显然，E也是E
*
的对偶式，即E与E
*
互为对偶。
如果E是一集合恒等式，则E
*
也是一集合恒等式。
可见，上述的集合定律中，凡成对的定律都是为对偶的。。
3.3 集合的笛卡儿积与无序积
笛卡儿积与无序积在后面讨论关系和图论时，都有重要应用。
首先引入有序对和无序对的概念。
定义3.3.1 两个元素a,b组成二元组，若它们有 次序之别，称为二元有序组，或有序对，记
为，称a为第一分量，b为第一分量；若它们无次 序区分，称为二元无序组，或无序对，记
为(a,b)。
若a?b时，?。但(a,b)=(b,a)。
定义3.3.2 给 定两个有序对和。当且仅当x=u和y=v时，有序对和相
等，亦即
= iff (x=u)?(y=v)
可将有序对推广到 n元有序组，它的第一分量是(n-1)元有序组，并记为<1
,x
2
, ···,x
n-1
>,x
n
>，
或记为1
,x
2
,···,x
n-1
,x
n
>。类似地定义两个n元有序 组相等：
1
,x
2
,···,x
n-1
,x
n
>=1
,y
2
,···,y
n-1
,y
n
> iff (x
1
=y
1
)?(x
2=y
2
)?···?(x
n-1
=y
n-1
)?(x< br>n
=y
n
)
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下面将使用有序对和无序对分别定义笛卡儿积和无序积。
定义3.3.3 给定集合A和B，若有序对的第一分量是A的元素，第二分量是B的元素，所
有这些有序对的集合，称为A和B的笛卡儿积，记为A?B，
A?B={|x?A?y?B}
例3.3.1 设A={a,b}，B={1,2,3}，则
A?B={,,,,,}
B?A={<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>,<3,a>,<3,b>}
A?A={,,,}
由本例可看出，A?B?B?A，除非A=B。即笛卡儿积一般是不可交换的。
定义3.3.4 给定集合A和B，若无序对是由A中元素和B中元素组成，所有这些无序对的
集合，称为A和B的无序积，记为A&B。
A&B={(x,y)|x?A?y?B}
例如，由例1中A和B构成无序积是：
A&B={(a,1),(a,2),(a,3),(1,b),(2,b),(3,b)}
={(1,a),(2,a),(3,a),(b,1),(b,2),(b,3)}
定理3.3.1 任给集合A，B和C，则
① A?(B∪C)=(A?B)∪(A?C)
② A?(B∩C)=(A?B)∩(A?C)
③ (A∪B)?C=(A?C)∪(B?C)
④ (A∩B)?C=(A?C)∩(B?C)
3.4 有限集合的计数
有限集合中元素的计 数在实际问题中有着很好的应用。包含排除原理是一个有效的计数工
具，下面先来介绍这个原理，后通过 例子说明如何运用它完成计数的。
包含排除原理 设
A
1
，
A< br>2
，…，
A
n
是有限集合S中的子集，则
|A
1< br>∪A
2
∪…∪A
n
|=
?
|A
i
|
-
1?i?n
-
1?i?j?n
?
|A
i
?A
j
|
+
1?i?j?k?n
?
|A
i
?A
j
?A
k
|
-…
+(-1)
n1
|A
1
∩A
2
∩…∩A
n
| （3.4.1）
又因为|
A
| = |S| - |A|，于是
|
A
1
?A
2
?????A
n
|
= |S|-|A
1
∪A
2
∪…∪A
n
|
= |S|-
?
|A
i
|
+
1?i?n?1
1?i?j?n
?
|A
i
?A
j
|
-
1 ?i?j?k?n
?
|A
i
?A
j
?A
k
|
+…+(-1)
n
|A
1
∩A
2
∩…∩A
n
| (3.4.2)
所谓包含排除定理指的就是公式(3.4.1)和(3.4.2)。
若令A
i
是S中具有性质P
i
的元素构成的子集，而
A
i

是S中 不具有性质P
i
的元素构成的子
集，则公式(3.4.1)是计数了S中至少具有性质 P
1
,P
2
,… P
n
中的一种性质的那些元素的个数，而 公
式(3.4.2)是计数了S中的不具有性质P
1
,P
2
,… P
n
中任何的性质的元素个数。
例 3.4.1 某班有25名学生，已知期中考 试与期末考试得优的人数相等。并且仅在一次考试
中得优的人数是4人，在两次考试均没得优人数是15 人。试求期中考试，期末考试和两次考试
中得优人数各是多少？
解 设期中考试、期末考试和两次考试没得优的学生集合分别是A,B和C。
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依题意，可得：?A?=?B?, ?C?=15
?A∪B?- ?A∩B?=4
?A∪B∪C?=25
故 25= ?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C?- ?A∩B?- ?A∩C? -?B∩C?+ ?A∩B∩C?
显然，?A∩C?＝0，?B∩C?＝0，?A∩B∩C?＝0
于是，2?A?+15- ?A∩B?=25
即 2?A?- ?A∩B?=10 (1)
另一方面，?A∪B?- ?A∩B?=4
即 (?A?+?B?-?A∩B?)- ?A∩B?=4
亦即 2?A?-2 ?A∩B?=4 (2)
由(1)和(2)可得，?A∩B?＝6，即两次考试均得优的有6人，由(1)或(2)可知 ，?A?=8。即期中、
期末考试得优人数各是8人。
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第4章 关系
关系无所不在。研究关系主要是研究事物的结构， 因此关系的应用十分广泛。它在计算机科
学与技术中起着重要的作用。
在本章中，首先将关系 给出形式定义，然后讨论关系矩阵和关系图，在表达关系和确定关系
的各种性质时，关系矩阵正好有用。 继之，介绍关系的各种性质，以及某些重要类型的关系。
4.1 二元关系
二元关系，这里是指集合中两个元素之间的关系。
1．基本概念
定义4.1.1 给定任意集合A和B，若R?A?B，则称R为从A到B的二元关系，特别在A=B
时，称R为A上的二 元关系。
可见，R是有序对的集合。若?R，则也表为xRy，即?R?xRy。
若R=?，则称R为A到B上空关系；若R=A?B，称R为A到B上全域关系。特别当A=B
时，称 ?为A上空关系，称R=A?A为A上的全域关系。称R={|x?A}为A上的恒等关系，
记为I
A
。
类似地可定义n元关系。若S?
时，称S为A上的n元关系。
定义4.1.2 令R?A?B，且
dm(R)={x|(?y)(xRy)}
rn(R)={y|(?x)(xRy)}
fl(R)= dm (R)∪rn (R)
则称dm (R)、rn (R)和fl (R)分别是二元关系R的定义域、值域和域。
显然dm (R)?A，rn (R)?B。
由于关系是有序对的集合，对它可进行集合运算 ，其结果也是有序对的集合，即也是某一种
二元关系。令R和S是两个二元关系，则R∪S，R∩S，R -S，R?S是两个二元关系，则R∪S，
R∩S，R-S，R?S和R′都分别定义了某一种二元关系 ，并且可表成：
x(R∪S)y?xRy?xSy
x(R∩S)y?xRy?xSy
x(R-S)y?xRy?x S y
x(R?S)y?xRy?xSy
xR′y?x R y
2．关系矩阵与关系图
表达从有穷集合到有穷集合的二元关系时，矩阵和有向图都是得力的工具。
定义4.1.3 给集合A={a
1
,a
2
,···,a
m
}和B={b1
,b
2
,···,b
n
}，且R?A?B，若
1 a
i
Rb
j

r
ij
=
0 否则
则称矩阵M
R
=(r
ij
)
m?n
为R的关系矩阵。
例4.1.1 令A={a
1
,a
2
}，B= {b
1
,b
2
,b
3
}，R={1
, b
1
>,2
,b
1
>,1
,b< br>3
>,2
,b
2
>}，则
··=A
?
A，则称S为
?
A上的n元关系。特别A=A=·
ii12
i?1i ?1
nn
n
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M
R
=
?
?
101
?

?
?
110
?
例4.1.2 设A={1,2,3}，A上二元关系R={|x≥y}，试求M
R
。
解 R={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<2,2>,<3,2>,<3,3>}
?
100
?
??
M
R
=
110

??
?
?
111
?
?
当给定关系R，可求出关系矩 阵M
R
；反之，若给出关系矩阵M
R
，也能求出关系R。
集合A上 的二元关系R也可用有向图表示。具体方法是：用小园圈“?”表示A中的元素，
小园圈称为图的结点。 把对应于元素a
i
和a
j
的结点，分别标记a
i
和a
j
。。若i
,a
j
>?R，则用弧线
段或直线段把a
i
和a
j
连接起来，并在弧线或直线上设置一箭头，使之由a
i指向a
j
；若i
,a
i
>?R，
则在结点 a
i
上画一条带箭示的自封闭曲线或有向环，称这样的弧线或封闭曲线为弧或有向边。这
样得到的有向图叫做关系R的图示，简称关系图，记为G
R
。
例4.1.3 设A={1,2,3,4}，R={<1,2>,<2,2>,<2,3>,<1,4 >}，求关系图G
R
。
解
4
G
R
:
3
12

3．关系的性质 关系的性质是指集合中二元关系的性质，这些性质扮演着重要角色，下面将定义这些性质，
并给出它 的关系矩阵和关系图的特点。
定义4.1.4 令R?A?A，若对A中每个x，都xRx，则称R是自反的，即
A上关系R是自反的?该定义表明了，在自反的关系R中，除其 他有序对外，必须包括有全部由每个x?A所组成
的元素相同的有序对。
例4.1.4 令A={a,b,c}，试给出A上的自反的二元关系。
解，由自反性定义可知，只需把, ,加入到某个有序对的集合中即可，A上的
自反的二元关系是不唯一的。今给出一 种自反的二元关系R={,,,}。其M
R
和G< br>R
如下：
?
110
?
??
M
R
=
010

??
?
?
001
?
?

在全集U中所有子 集的集合中，包含关系?是自反的，恒等关系也是自反的；但是，真包含
关系?不是自反的。整数集合Z 中，关系≤是自反的，而关系<不是自反的。
定义4.1.5 令R?A?A，若对于A中每个x，有x R x,即┐(xRx),则称R是反自反的，即
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A上关系R是非自反的?R
x)
该定义表明了，一个非自反的关系R中，不应包括有任何相同元素的有序对。
由定义4.1.4 说明中，可知真包含关系?是非自反的，但包含关系?不是非自反的；小于关系<是非自反的，而≤不是非自反的。
应该指出，任何一个不是自反的关系，未必是非自反的；反之 ，任何一个不是非自反的关系，
未必是自反的。这就是说，存在既不是自反的也不是非自反的二元关系。
定义4.1.6 令R?A?A，对于A中每个x和y，若xRy，则yRx，称R是对称的，即
A上关系R是对称的?(?x)(?y)(x,y?A?xRy→yRx)
该定义表明了，在 表示对称的关系R的有序对集合中，若有有序对，则必定还会有有
序对。
在全集U的所有子集的集合中，恒等关系是对称的，包含关系?和真包含关系?都不是对称
的；在整数 集合Z中，相等关系=是对称的，而关系≤和<都不是对称的。
定义4.1.7 令R?A?A,对于A中每个x和y，若xRy，则y
R
x，称R是非对称的，即
A上关系R是非对称的?(?x)(?y)(x,y?A?xRy→y
R
x)
根据定义可知，在例4.1.5中，R是非对称的，而例4.1.6中，R不是非对称的。
定义4.1.8 令R?A?A，对于A中每个x和y，若xRy且x≠y，则y
R
x，称R是反对称
的，即
A上关系R是反对称的?(?x)(?y)(x,y?A?xRy?x≠y→y
R
x)
该定义表明了，在表示反对称关系R的有序对集合中，在R中若有有序对，则除非x=y，< br>否则必定不会出现。或者说，若存在有序对和，则必定是x=y。 在全集U的所有子集的集合中，恒等关系=，包含关系?和真包含关系?都是反对称的，但全
域关系 不是反对称的。在整数集合Z中，=，≤和<也都是反对称的。
可见，有些关系既是对称的又是反对称 的，如恒等关系；有些关系是对称的但不是反对称的，
如Z中的“绝对值相等”；有些关系是反对称的， 但不是对称的，如Z中的≤和<。还有的关系
既不是对称的又不是反对称的，例如，A={a,c,b> ,中R={,,}。
定义4.1.9 令R?A?A，对于A中每个x,y,z，若xRy且yRx，则xRz，称R是传递的，即
A上关系R是传递的?(?x)(?y)(?z)(x,y,z?A?xRy?yRz→xRz) 该定义表明了，在表示可传递关系R的有序对集合中，若有有序对和，则必有有
序对。
通过上面几个实例，可得：
①若A上关系R是自反的，则M
R
中主对角线上元素全为1，而G
R
中每个结点有有向环；
反之亦然。
②若A上关系R是反自反的，则M
R
中主对角线上元素全为0，而G
R
中每 个结点无有向环；
反之亦然。
③若A上关系R是对称的，则M
R
是对称矩阵 ，而G
R
中任何两结点若有弧必成对出现；反
之亦然。
④若A上关系R是反 对称的，则M
R
中以主对角线为对称元素不能同时为1，而G
R
中若两
结点间有弧不能成对出现；反之亦然。
⑤若A上关系R是传递的，则M
R
中若r< br>ij
=r
jk
=1，则r
ik
=1，而G
R
中若有弧和则必
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有弧；反之亦然。上述是正确的，但不易从M
R
和G
R
中判定 关系R传递性。
此外，还有：
①任何集合上的恒等关系=是自反的、对称的，反对称的和传 递的，但不是非自反的和非对
称的。
②整数集合Z中，关系≤是自反的、反对称的和传递的， 但不是非自反的、对称的和非对称
的。关系<是非自反的，反对称的和传递的，但不是自反的和对称的。
③非空集合上的空关系是非自反的，对称的，非对称的，反对称的和传递的，但不是自反的。
空 集合上的空关系则是自反的，反非反的，对称的，非对称的，反对称的和传递的。
④非空集合上的全域关系是自反的，对称的和传递的，但不是非自反的，非对称的和反对称
的。
定理4.1.1 设R?A?A，若R是非自反的和传递的，则R是反对称的。
定理4.1.2 令R?A?A，则有：
① A上关系R是自反的? I
A
?R
② A上关系R是非自反的?R∩I
A
=?
4.2 关系运算
前已述及，关系是有序对的集合，因此可以对关系进行运算。若R,S? A?B，则R∪S，R∩S，
R′，R-S都是A?B上的关系。
1．复合运算
定义4.2.1 设R是从A到B的关系，S是从B到C的关系。经过对R和S实行复合（或合
成）运算“?”，得到了一个新的从A到C的关系，记为R?S，也称R?S为关系R和S的复合（或
合成）关系；或称R?S为R和S的复合。形式地表为：
R?S={|(?b)(b?B?aRb?bSc)}
例4.2.1 设A={ a,b,c,d}，B={b,c,d},C={a,b,c}，且R是从A到B的关系，S是从B到C的
关系：
R={,,}
S={,,}
则R?S={,,}。
由定义可知，若rn(R)∩dm( S)=?，则R?S=?。即若关系R的值域与关系S的定义域其交集
是空集，则复合关系R?S为空关 系。
下面给出复合运算的性质。
定理4.2.1 设R?A?A，则R?I
A
=I
A
?R=R
证明 任取，有
?R?I
A

?(?c)(?R??I
A

?(?c)(?R?c=b)
??R
可见，R?I
A
?R。
同样任取，有
?R
??R?b?A
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??R??I
A

??R?I
A

所以R?R?I
A
。综上有R? I
A
=R。同理可证I
A
?R=R。
定理4.2.2 若R?A?B，S,T?B?C，W?C?D，则
① R?(S∪T)=R?S∪R?T
② R?(S∩T)=R?S∩R?T
③ (S∪T)?W=S?W∪T?W
④ (S∩T)?W=S?W∩T?W
定理4.2.3 若R?A?B，S?B?C，T?C?D，则
(R?S)?T=R?(S?T)
复合运算是可结合的，但不是可交换的。望读者举例说明之。
定理4.2.4 令R?A?A，则有：
A上关系R是传递的?R?R?R
由于关系复合是可结合的，可以定义关系的幂运算。
2．幂运算
定义4.2.2 设R是集合A上的二元关系，n?N，R的n次幂记为R
n
，定义为：
(1) R
0
=I
A

(2) R
n+1
=R
n
?R
定理4.2.5 若R?A?A，且m,n?N，则(1) R
m
?R
n
=R
m+n
，
(2) (R
m
)
n
=R
mn
。
定理4.2.6 令R ?A?A，且|A|=n，则存在i和j，使得R
i
=R
j
，其中0≤i2
。
注意，定理对无穷集合不一定成立。
定理4.2.7 令R?A?A，若存在i和j，ii
=R
j
，且d=j-i，则
(1) 对任意k≥0,R
i+k
=R
j+k
。
(2) 对任意k,m≥0，R
i+md+k
=R
i+k
。
(3) 设S= {R
0
,R
1
,R
2
,···,R
j1
} ，对?n?N，有R
n
?S。
－
n
2
3．逆运算
定义4.2.3 设R是从A到B的二元关系，由关系R得到一个新的从B到A的关系，记为
R
-1
，称R
-1
为R的逆运算，亦称R
-1
为R的逆关系 。形式地表为
R
-1
={|?R}
或者 xRy?y R
-1
x
由定义可知，?
-1
=?，(A?B)
-1
=B?A
定理4.2.8 若R?A?B，S?B?C，则(R?S)
-1
=S
-1
?R
-1

定理4.2.9 令R，S?A?B，则
① (R
-1
)
-1
=R
② dm(R
-1
)=rn(R)，rn (R
-1
)= dm (R)
③ (R∪S)
-1
= R
-1
∪S
-1

④ (R∩S)
-1
= R
-1
∩S
-1

⑤ (R-S)
-1
= R
-1
-S
-1

⑥ R?S?R
-1
?S
-1

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定理4.2.10 令R?A?A，则有：
① A上关系R是对称的? R=R
-1
。
② A上关系R是非对称的? R∩R
-1
=
?
。
③ A上关系R是反对称的? R∩R
-1
?I
A

4．闭包运算
关系的闭包运算是关系上的一元运算，是包含该关系且具有某种性质的最小关系。
定义4.2.4 设R是A上的二元关系，R的自反（对称、传递）闭包是关系R
1
，则
① R
1
是自反的（对称的、传递的）
② R?R
1

③ 对任何自反的（对称的、传递的）关系R
2
，若R?R
2
，则R
1< br>?R
2
。
R的自反、对称和传递闭包分别记为r(R)、s(R)和t(R)。
定理4.2.11 若R?A?A，则
① R是自反的iff r(R)=R
② R是对称的 iff s(R)=R
③ R是传递的iff t(R)=R
定理4.2.12 令R?A?A，则
① r(R)=R∪I
A

② s(R)=R∪R
-1

③ t(R)=
?
?
R
i?1
i

定理4.2.13 若R?A?A，|A|=n，则t(R)=
定理4.2.14 若R?A?A，则
① rs(R)=sr(R)
② rt(R)=tr(R)
③ st(R)?ts(R)
5．关系运算的矩阵表示
关系运算是可以用关系矩阵表示的。
?
R
i?1
n
i
。
设R，S?A?B，T?B? C，M
R
=(a
ij
)
m?n
，M
S
=( b
ij
)
m?n
，M
T
=(c
ij
)n?p
，d
ij
表示运算后所得新关系之
关系矩阵的元素，则
① M
R
∪
S
=M
R
∨M
S
d
ij
=a
ij
?b
ij
1≤i≤m，1≤j≤n
② M
R
∩
S
=M
R
∧M
S
d
ij
=a
ij
?b
ij
1≤i≤m，1≤j≤n
③
M
R
'
d
ij
=?a
ij
1≤i≤m，1≤j≤n
④ M
R-S
=M
R
?
M
S
'
d
ij
=a
ij
?(?b
ij
) 1≤i≤m，1≤j≤n
⑤
M
R
?1
=M
R
T
d
ij
=a
ji
1≤i≤m，1≤j≤n
∧
M
T
d
ij
=⑥ M
R?T
=M
R
○
?
(a?c
ik
k?1
n
kj
) 1≤i≤m，1≤j≤p
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4.3 关系类型
关系类型在本书中主要讨论有四种，它们是等价关系，偏序关系，相容关系和次序关系。
1．等价关系
定义4.3.1 设R是集合A上二元关系，若R是自反的、对称的和传递的 ，则称R为A上的
等价关系。若?R，或aRb，称a等价b，记a?b。
由于R是对称的，a等价b即b等价a，反之亦然，a与b彼此等价。
例4.3.1 令A ={a,b,c}，R={,,,,}，判定R是否为等 价关系。
解 因为I
A
?R，知R是 自反的；又由于aRb?bRa，bRa? aRb，所以R是对称的；再者，
aRb?bRa?aRa，bRa?aRb?bRb，可见R是传递的 。综上可知，R是A上等价关系。
鉴于空集合中的二元关系是等价关系，是一种平凡情形，因此，一般 讨论非空集合上的等价
关系。
模m等价是Z或其子集上的等价关系，并且是一类重要的等价关系。
定义4.3.2 设m 为一正整数而a,b?Z。若存在k，使a-b=km，则称a与b是模m等价，记
为a?b(mod m)。
定理4.3.1 模m等价是任何集合A?Z上的等价关系R。
证明 设任意a,b,c?A
① 因为a-a=m·0，所以?R.
② 若a?b(mod m)，有a-b=m·k(k为整数)，则b-a=-m·k，故b?a(mod m)。
③ 若a?b(mod m)，b?c(mod m)，则a-b=m·k，b-c=m·l(k,l 为整数)，于是a-c=a-b+b-c=m(k+l)，
故a?c(mod m)。
因此，R是等价关系。
定义4.3.3 设R为非空集合A上的等价关系，对?a?A，令
[a]
R
={x|x?A?aRx}
称[a]
R
为a关于R的等价类，简称a的等价类，简记为[a]。
显然，等价类[a]
R
非空，因为a?[a]
R
。
例4.3.2 设R是Z上模3等价关系，则
[0]
R
={···,-6,-3,0,3,6,···}
[1]
R
={···,-5,-2,1,4,7,···}
[2]
R
={···,-4,-1,2,5,8,···}。
例4.3.1中[a]=[b]={a,b},[c]={c}。
定理4.3.2 设R是非空集合A上的等价关系，则
① ?a,b?A，若aRb，则[a]=[b]。
② ?a,b?A，若a
R
b，则[a]∩[b]=?。
③
a?A
?
[a]
=A
证明 ① 对任意的x，有
x?[a]?aRx
?xRa (R是对称的)
于是，
xRa?aRb?xRb (R是传递的)
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?bRx (R是对称的)
?x?[b]
可见，[a]?[b]。
同理可证，[b]?[a]。综上得到，[a]=[b]。
②（反证法）假设[a]∩[b]??，于是有，
x?[a]∩[b]?x?[a]?x?[b]
?aRx?bRx
?aRx?xRb (R对称)
?aRb (R传递)
这与题设a
R
b矛盾，故[a]∩[b]=?。
③首先证明
a?A
?
[a]
?A
对任意的x，有
x?
a?A
?
[a]
?x?[b]
?x?A (因为[b]?A)
因此，
a?A
?
[a]
?A。
a?A
其次证明 A?
?
[a]

对任意的y，有
x?A?x?[x]
?x?
所以，A?
a?A
?
[a]
(因为[x]?
?
[a]
)
a?A
a?Aa?A
?
[a]
。综上可知，
?
[a]
=A。
利用非空集合A及其上等价关系可以构造一个新集合—商集。
定义4.3.4 设R是非空集合A上的等价关系，以及
AR={[a]
R
|a?A}
则称AR为A对R的商集。
该定义表明了，商集AR是以R的所有等价类为元素的集合。
在例4.3.2中，ZR={[0]，[1]，[2]}。
与商集有密切联系的概念是集合的划分。下面给出划分的定义。
定义4.3.5 设A是非 空集合，若B={A
1
,A
2
,···,A
n
}，且①A< br>i
??，②A
i
∩A
j
=?，i?j，③
则称B是A 的一个划分。称B中元素A
i
（1≤i≤n）为A的划分块。
可见，商集AR就是A 的一个划分，并且不同的商集对应于不同的划分。反之，任给A的
一个划分，B={A
1
,A
2
,···,A
n
}，如下定义A上的关系R：
R=
n
n
?
A
i?1
i
=A，
?
(A
i?1
i
?A
i
)

或 R={| (?A
i
)(A
i
?B?a,b?A
i
)
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则不难证明R是A上的等价关系， 且AR就是划分B。因此，非空集合A上的等价关系与A的
划分是一一对应的。
例4.3.3 试给出A={a,b,c}上的所有等价关系。
解 因为A上等价关系与A上划分是一一对应的，所以易给出A的划分如下：
B
1
={{a,b,c}}
B
2
={{a,b},{c}}
B
3
={{a,c},{b}}
B
4
={{a},{b,c}}
B
5
={{a},{b},{c}}
与各划分对应的等价关系为：
R
1
={a,b,c}?{a,b,c}
={,,< a,c>,,,,,,}
R
2
={a,b}?{a,b}∪{c}?{c}
={,,,,}
R
3
={a,c}?{a,c}∪{b}?{b}
={,,,,}
R
4
={a}?{a}∪{b,c}?{b,c}
={,,,,}
R
5
={a}?{a}∪{b}?{b}∪{c}?{c}
={,,}

2．偏序关系
定义4.3.6 设R是非空集合A上的关系，若R是自反的，反对称和传递的，则称R为A上
的偏序关系。称有序对为偏序集。
若R是偏序，常记为，为便于书 写，将≦通常记为≤，读作“小于或等于”，
因为“小于或等于”也是一种偏序，故不会产生混乱。所以 ，R是偏序，aRb就表成a≤b。
若R是A上的偏序，则R
-1
也是A上偏序。若 用≤表示R，则用≥表示R
-1
；和
都是偏序集，并且互为对偶。
注意，a≤b是指在偏序关系中的顺序性，是将a排在b的 前边或者a即是b。根据不同偏序
的定义，对序有着不同的解释，如包含关系是偏序关系≤，A≤B（一 般写成A?B）是指A包含
于B；整除关系是偏序关系≤，3≤6（通常记为3|6）是指3整除6等等 。
定义4.3.7 设≦是非空集合A上的偏序关系，定义
① ?a,b?A，a② ?a,b?A，a与b是可比的?a≤b?b≤a
其中a可见，在偏序集中，对?a,b?A，有
a三种情况发生，例如A={1,2,3}，≤是A上的整除关系，则有
1<2，1<3,
1=1,2=2，3=3，
2与3不可比。
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利用非空集合A上偏序关系≦可以简化其关系图，得到偏序集的哈斯(Hass)图。为
了给出其画法，首先定义偏序集中元素的盖住关系。
定义4.3.8 设为偏序集。?a,b?A，若aa。
在画偏序集的哈斯图时，首先适当排列A中元素的顺序。对于?a,b?A，若a将a画在b的下方；其次考虑b是否盖住了a，若b盖住a，则用一条线段连接a和b。
例4.3.4 试画出偏序集<{1,2,3,4,5,6},|>和的哈斯图。
解 所求两个哈斯图如下：

下面介绍偏序集中子集的特殊元素，它们在格论中将扮演重要角色。
定义4.3.9 设为偏序集，B?A，b?B，
① 若(?x)(x?B?b≤x)为真，则称b为B的最小元。
② 若(?x)(x?B?x≤b)为真，则称b为B的最大元。
③ 若?(?x)( x?B∧b?x∧x≤b)为真，则称b为B的极小元。
④ 若?(?x)( x?B∧b?x∧b≤x)为真，则称b为B的极大元。
从本定义可知，最小元与极小元是有区别的， 最小元是B中最小的元素，它与B中其他元
素都可比；而极小元不一定与B中元素都可比，只要没有比它 小的元素，它就是极小元。对于有
穷集B，极小元一定存在，且可能有多个，但最小元不一定存在，若存 在则必唯一。若B中只有
一个极小元，则它一定是B的最小元。类似地可讨论极大元与最大元之间区别。
例4.3.5 考察偏序集<{1,2,3,4,5,6},|>中，对于B
1
={ 1,2,3,6}，B
2
={2，3}和B
3
={5}的各极小
元、 极大元、最小元和最大元情况。
解 B
1
中极小元、最小元都是1，极大元和最大元都是6；
B
2
中因 为2与3不可比，故极小元是2和3、极大元也是2和3，但都没有最小元和最大元。
B
3
中极小元、极大元、最小元和最大元都是5。
定义4.3.10 设为偏序集，B?A，b?A，
① 若(?x)(x?B?b≤x)为真，则称b为B的下界。
② 若(?x)(x?B?x≤b)为真，则称b为B的上界。
③ 若b是一下界且对每一个B的下界b′有b′≤b，则称b为B的最大下界或下确界，记为
glb。
④ 若b是一上界且对每一个B的上界b′有b≤b′，则称b为B的最小上界或上确界，记为lub。
由本定义可知，B的最小元一定是B的下界，并且也是B的最大下界；但反之不一定正确，
B的 下界不一定是B的最小元，因为它可能不是B中的元素；类似地，讨论B的最大元与其上
界的关系。
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B的上界，下界，最小上界，最大下界都可能不存在。若存在，最小上界和最大下界是唯一
的。
例4.3.6 在偏序集<{2,3,6,12},|>中，B={2，3，6}，则B的下界和最大 下界都不存在，上界
是6和12，最小上界是6。本例的哈斯图如下：

如果≤是偏 序关系，或a≤b，或b≤a，则说a和b是可比的。但偏序集中的元素不一定是
都可比的，所以才称“ 偏序”。下面介绍的都是可比的情况。
定义4.3.11 设为偏序集，若对任意a,b?A，a与b都是可比的，即
?a,b?A?a≤b?b≤a
则称≤为A上全序（或线序）关系，这时称为全序集，或线序集，或链。
由本定义可以看出，全序集的哈斯图为一竖立的结点序列，或者说所有结点位于竖线上。
定义4.3.12 设为全序集，若A的任一非空子集都有最小元，则称≤为A上的良序关
系，称为良序集。
可以证明：是良序集。
4．准序关系
定义4.3.18 设R是集合A上的二元关系，若R是非自反的和传递的，则称R为A上的准
序关系，或拟序关系，通常记为<表示准序，称为准序集。
例如，实数集合中的<和集合族中的?都是准序关系。
准序关系是反对称的，可有下面定理：
定理4.3.5 若R是非空集合A上的准序关系，则R是反对称的。
准序集与偏序集是密切相关，唯一区别是恒等关系I
A
。下面定理表明这一点。
定理4.3.6 设R是非空集合A上的关系，
① 若R是准序关系，r(R)=R∪I
A
是偏序关系。
③ 若R是偏序关系，则R-I
A
是准序关系。
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第5章 函数
函数是一种特殊的关系，通常把输入和输出之间的关系就看作 为函数。例如，计算机中的程
序，将一定范围内的任一组数据变换成另一组数据，它就是一个函数。 < br>函数是许多数学工具的基础，在计算机科学与技术各领域里，诸如自动机理论、可计算性理
论等， 都有着广泛地应用。
5.1 函数基本概念
函数也常称为映射或变换，其定义如下：
定义5.1.1 设A和B是任意两个集合，且F是从A到B的关系，若对每一个x?A，都存在唯一的y?B，使?F，则称F为从A到B的函数，并记作F:A?B。A称为函数F的定义域，
即dm(F)=A，B称为函数F的陪域，记为cd(F)=B,函数F的值域记为rn(F)，且rn (F)?B。有时也
用F(A)表示函数F的值域，即
F(A)=R(F)={y|y?B?(?x)(x?A?y=F(x))}
并称F(A)为函数F的像。
对于F：A?B来说，若?F，则称x为函数的自变 元，称y为函数因变元，因为y值依
赖于x所取的值，或称y是F在x处的值，或称y为F下x的像，x 为F下y的像源。通常把?F
记作F(x)=y。
从本定义可以看出， A到B的函数F是从A到B的二元关系的子集，且有以下特点：
① A的每一元素都必须是F的有序对之第一分量。
② 若F(x)=y，则函数F在x处的值是唯一的，或x的像不允许多于2个，即
F(x)=y?F(x)=z?y=z
③ 允许F(x)=y,F(y)=y,即一个像可有多个像源，常称为“多对一”。
考虑到习惯用法，以下常常将大写函数符号F改为小写字母f。
例5.1.1 设f,g,h?A?B，A={a,b,c}，B={1,2,3}，且
f={,,}
g={,,}
h={,}
判断关系f,g,h是否为函数。
解 f是函数，但g和h不是函数，因为g对应于a存在 1和3，使g(a)=1和g(a)=3；而h
缺少以c为第一分量的有序对，这些是与函数定义矛盾的 。
定义5.1.2 设f:A?B，g:C?D，若A=C，B=D，且对每一x?A都有f(x) =g(x)，则称函数f
和g相等，记为f=g。
本定义表明了，两函数相等，它们必须有相同的定义域、陪域和有序对集合。
例如，函数f: Z?Z，f(x)=x
2
和函数g:{1,2,3}?Z，g(x)=x
2
是 两个不同的函数，因为它们定义
域不相同。
下面讨论由集合A和B，构成这样函数f:A?B 会有多少呢？或者说，在A?B的所有子集中，
是全部还是部分子集可以定义函数？令B
A表示这些函数的集合，即
B
A
={f|f:A?B}
设|A|=m， |B|=n，则|B
A
|=n
m
。这是因为对每个自变元，它的函数值都有n 种取法，故总共有
n
m
种从A到B的函数。
例5.1.3 设A={a,b,c}，B={0,1}，试求出所有可能的函数f:A?B。
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解 因为A?B={,,,,,}，显然|P(A?B)|=2
6
，即2
6
个子集。但其
中只有下列2
3
个子集可以用本定义函数f:A?B：
f
0
={,,}，f
1
={, ,}
f
2
={,,}，f< br>3
={,,}
f
4
={ ,,}，f
5
={,,}，
f
6
={,,}，f
7
={,< b,1>,}
上面介绍一元函数，下面给出多元函数的定义。
定义5.1.5 设A
1
,A
2
,···,A
n
和B为集合，若f:
1
,x
2
,···,x
n
>上的值用f(x
1
,x
2
,···,x
n
)表示。
一元函数中概念对n元函数几乎完全适用，在这里不多讨论了。
n
?
A?B为函数，则称f 为n元函数。在
i
i?1
5.2 函数类型
根据函数具有的不同性质，可 以将函数分成不同的类型。本节将定义这些函数，并给出相应
的术语。
定义5.2.1 设 f:A?B是函数，若rn(f)=B，或对任意b?B，存在a?A，使得f(a)=b，或形式
表为 ：
(?y)(y?B?(?x)(x?A?f(x)=y))
则称f:A?B是满射函数，或称函数f:A?B是满射的。
本定义表明了，在函数f的作用 下，B中每个元素b，都至少是A中某元素a的像，因此，
若A和B是有穷集合，存在满射函数f:A? B，则|A|≥|B|。
定义5.2.2 设f:A?B是函数，对任意的a，b?A，且a?b，都有f(a)?f(b)，或形式表为
(?x)(?y)(x,y?A?x?y?f(x)?f(y))
则称f:A?B是单射函数（或一对一函数），或称函数f:A?B是单射的，或入射的。
本 定义揭示了，A中不同的元素，其在B中像也是不同的。于是，若A的B是有穷集合，
存在单射函数f: A?B，则|A|≤|B|。
定义5.2.3 设f:A?B是函数，若f既是满射又是单射，则称 f:A?B是双射函数（或一一对
应），或称函数f:A?B是双射的。
该定义说明了，B中 的每个元素b是且仅是A中某个元素a的像。因此，若A和B是有穷
集合，存在双射函数f:A?B，则 |A|=|B|。
例5.2.1 试判定下列函数是否为满射、单射和双射：
① 设A={a,b,c}，B={1,2}，且函数f:A?B，f={,,}
② 设N为自然数集合，且皮亚诺函数s:N?N，s(n)=n+1。
③ 设Z为整数集合，E为偶整数集合，且函数g:Z?E
解 ① f是满射但不是单射函数
② s是单射但不是满射函数
③ g是双射函数。
定义5.2.4 设f:A? B是函数，若存在b?B，使对任意a?A有f(a)=b，即f(A)={b}，则称f:A?B
为常 值函数。
例5.2.2 设A={a,b,c,d}，B={1,2,3}，且函数f:A?B，f ={,,,}，可知f
是常值函数。
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定义5.2.5 设f:A?A是函数，若对任意a?A，有f(a)=a，亦即
f={|x?A}
则称f:A?A为A上恒等函数，通常记为I
A
，因为恒等关系即是恒等函数。
由定义可知，A上恒等函数I
A
是双射函数。
定义5.2.6 设A和B为集合，且A?B，若函数?
A
:B?{0,1}为
1 x?A
?
A
(x)=
0 否则
则称?
A
为集合A的特征函数。
例5.2.3 设B={ a,b,c,d}，A={a,c}，?
A
:B?{0,1}，则?
A
(a) =1，?
A
(b)=0，?
A
(c)=1，?
A
(d)=0 。
特征函数建立了函数与集合的一一对应关系。于是，可通过特征函数的计算来研究集合上的
命题。
定义5.2.7 设和为全序集，函数f:A?B。对于任意a,b?A.
① 若a≤b，有f(a)≤f(b)，则称f为单调递增函数。
② 若a≥b，有f(a)≥f(b)，则称f为单调递减函数。
③ 若a≤b，且a?b，有f(a)④ 若a≥b，且a?b，有f(a)>f(b)，则称f为严格单调递减函数。
显然，严格单调递增函数是单调递增函数，严格单调递减函数是单调递减函数。
例5.2.5 ①皮亚诺函数s:N?N，s=x+1是严格单调递增函数。
②整数集合Z中的常值函数，既是单调递增的，又是单调递减的。
③设函数f:Z?Z，f( x)=x
2
，则f既不是单调递增函数，也不是单调递减函数。
定义5.2.8 设R是非空集合A上的等价关系，且函数f:A?AR，f(a)=[a]
R
，a?A，则称f
是从A到商集AR的自然映射。
自然映射在代数结构中有重要的应用。
定义5.2.9 设p:A?A为函数，若p是双射，则称p为A上的置换。
置换在群论中作为一节进行讨论，有着重要的应用。
5.3 函数运算
函数是一 种特殊关系，对关系可以进行运算，自然对函数也需要讨论运算问题，即如何由已
知函数得到新的函数。
1．函数复合
利用两个具有一定性质的已知函数通过复合运算可以得到新的函数。
定理5.3.1 设f:A?B和g:B?C是函数，通过复合运算*，可以得到新的从A到C的函数 ，
记为g*f，即对任意x?A，有(g*f)(x)=g(f(x))。
证明 因为f和 g都是关系，故fog是从A到C的关系。所以只需证明，对每个a?A，存在
唯一的c?C，使?fog，于是g*f就是函数。
因为f:A?B是函数，对每一个a?A，有一个b?B使f( a)=b。又因g:B?C是函数，对每个
b?B，有一个c?C使g(b)=c。由于?f ，?g，这可得到?fog，再者，因为f和g都
是函数，所以又唯一地确定b， b唯一地确定c，于是a唯一地确定c。故是以a为第一分量
的复合关系fog的唯一有序对 。这样，g*f就是一个函数了。证毕。
注：函数是一种关系，是用“*”表示函数复合运算，记为g *f，这是“左复合”，它与关系
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的“右复合”fog次序正好相反，故有g*f=fog。
例5.3.1 试求出下列复合函数：
① 设f:{a,b,c}?{?,?,?,?}和g:{?,?,?,?} ?{1,2,3}，且f={,,}，
g={, ,}
② 设f:{1,2,3}?N，f(x)=x+1且g:N?N，g(x)=2x+3。
解 ① g*f:{a,b,c}?{1,2,3} 是函数，g*f={,}。
② f*g没有定义，因为g的陪域不等于f的定义域。然而，g*f是有定义的，且
g*f:{1,2,3>?N，g*f(x)=2x+5。
推论1 若f,g,h都是函数，则(f*g) *h=f* (g*h)。
本推论表明，函数复合运算是可结合的。
若对于集合A，f:A?A，则函数f能同自身复合成任意次。f的n次复合定义为：
① f
0
(x)=x
② f
n+1
(x)=f(f
n
(x))，n?N。
定理5.3.2 设f:A?B，g:B?C
① 若f:A?B，g:B?C都是满射，则g*f:A?C也是满射。
② 若f:A?B，g:B?C都是单射，则g*f:A?C也是单射。
③ 若f:A?B，g:B?C都是双射，则g*f:A?C也是双射。
证明 ①任取c?C，因为g: B?C是满射，则存在b?B使得g(b)=c。对这个b，由于f:A?B
也是满射，故存在a?A使 得f(a)=b。于是，由定理5.3.1有
g*f(a)=g(f(a))=g(b)=c
从而证明了g*f:A?C是满射。
② 对任意a
1
,a
2?A，且a
1
?a
2
，由于f:A?B是单射，于是
f(a
1
)?f(a
2
)
又由于g:B?C也是单射，因此有
g(f(a
1
))?g(f(a
2
))
根据定理5.3.1有
g*f(a
1
)?g*f(a
2
)
从而证明了g*f:A?C是单射。
③由①及②得证。
本定理表明了，函数的复合 运算能够保持函数满射、单射和双射的性质。但其逆不真，即
gof:A?C是满射（或单射、双射）， 不一定有f:A?B，g:B?C都是满射（或单射、双射）。
例如，设A={a
1
,a
2
,a
3
}，B={b
1
,b
2
,b
3
,b
4
}，C={c
1
,c
2
,c3
}，且f={1
,b
1
>,2
,b
2
>,3
,b
3
>}，
g={1
,c
1
>,2
,c
2
>,3,c
3
>,4
,c
3
>}
则有
g*f={1
,c
1
>,2
,c
2>,3
,c
3
>}
本例表明了g*f是满射，g是满射， 但f不是满射；g*f是单射，f是单射，但g不是单射；
g*f是双射，但f和g都不是双射。
定理5.3.3 若f:A?B是函数，则f=f*I
A
=I
B
*f。
本定理揭示了 ，恒等函数在复合函数运算中的特殊性质，特别地，对于f:A?A，有f*I
A
= I
A
*f=f。
2．函数逆运算
给定关系R，其逆关系是存在，但对已知 一函数，它作为关系其逆是存在，但未必是函数。
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例如，A={a,b,c}，B={1,2,3}，f={,,}是函数，而f
-1
={<1,a>,<1,b>,<3,c>}却不是从
B到A的函数。但若f:A?B是双射，则f
-1
便是从B到A的函数。
定理5.3.4 若f:A?B是双射，则f
-1
:B?A也是双射。
定义5.3.1 设f:A?B是双射函数，称f
-1
:B?A是f的逆函数，习惯 上常称f
-1
为f的反函数。
定理5.3.5 设f:A?B是双射函数，则f< br>-1
*f=I
A
，f*f
-1
=I
B

定理5.3.6 若f:A?B是双射，则(f
-1
)
-1
=f。
5.4 基数
前已述及，度量集合大小的数称为基数或势，但如何确定一个集合的基数呢？ 本节将给出一
个便于操作的基数定义，并讨论一些相关的问题。
1．基数定义
为此 ，首先选取一个“标准集合”N
n
={0,1,2,···,n-1}，称它为N的<截段n； 再用双射函数
为工具，给出集合基数的定义如下：
定义5.4.1 设A是集合，若f:N
n
?A为双射函数，则称集合A是有限的，A的基数是n，记
为|A|=n，或car d A=n。若集合A不是有限的，则称A是无穷的。
本定义表明了，对于有限集合A，可以用“数”数的方式来确定集合A的基数。
定理5.4.1 自然数集合N是无穷的。
证明 为证明N不是有限的，只需证明没有n?N使从N
n
到N的双射函数存在。
任给n? N，假设f:N
n
?N是任意函数，且k=1+max{f(0),f(1),f(2),·· ·,f(n-1)}，于是k?N，但
对每个x?N
n
，f(x)?k。这表明，f不 是满射函数，所以f不是双射函数，由于n和f的任意性，故
f:N
n
?N的双射函数 是不存在，即N是无穷的。
为了确定某些无穷集合的基数，选取第二个“标准集合”N来度量这些集合。
定义5.4.2 设A是集合，若f:N?A为双射函数，则称A的基数是?
0
，记为|A|=?
0。
显然，存在从N到N的双射函数，故|N|=?
0
，?
0
读 作“阿列夫零”。符号?
0
是康托引入的。
若f:N
n
?A是双射 函数，则示意A的元素是可“数”的，但“数”的过程可能不会终止，这
导致了如下定义：
定义5.4.3 设A是集合，若f:N
n
?A是双射函数，则称集合A是可数的； 若|A|=?
0
，则称A
是可数无穷的；若A是不可数的，则称A是不可数的或不可数 无穷的。
可以证明下面一个很有用的定理：
定理5.4.2 若集合A
1
,A
2
,A
3
,···都是可数的，则
?
?
A< br>i?1
i
是可数的。
本定理表明了，可数集合的可数个并是可数的。其证明略去了。
在上述基数定义中，是使用两 个“标准集合”N
n
和N以及双射函数（或一一对应），引入了
集合基数的概念。这种 方式可以把基数简单地看作对集合指派一个符号，指派原则是：与N
n
构
成双射或一一 对应的集合，指派它的基数是n，与N构成双射或一一对应的集合，指派它的基数
为?
0
。指派空集的基数为0。
2．基数比较
在有了集合基数的基础上，可以建立相等关系和次 序关系，进行基数比较和基数运算，这里
仅讨论前者。
定义5.4.4 设A和B为任意集合。
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①若有一 个从A到B的双射函数，则称A和B有相同基数（或称A与B是等势），记为|A|=|B|
（或A?B ）。
②若有一个从A到B的单射函数，则称A的基数小于等于B的基数，记为|A|≤|B|。 ③若有一个从A到B的单射函数，但不存在双射函数，则称A的基数小于B的基数，记为
|A|<| B|。
由于在复合运算下，双射函数是封闭的，双射函数的逆函数（即常说反函数）是双射函数，因此等势关系有以下性质：
定理5.4.3 等势是任何集合族上的等价关系。
下面 将不加证明地引入说明这些性质的两个定理。第一个定理称为三歧性定律。第二定理表
明：≤是反对称的 。
定理5.4.4 （Zermelo定理）设A和B是任意两个集合，则下述情况恰有一个成立：
① |A|<|B| ② |B|<|A| ③ |A|=|B|
定理5.4.5 （Cantor-Schroder-Bernstein定理）设A和B是任意两个 集合，若|A|≤|B|和|B|≤|A|，
则|A|=|B|。
本定理对证明两集合具有相 同基数提供了有效的方法。若能够构造一单射函数f:A?B，则有
|A|≤|B|；又能构造另一个单 射函数g:B?C，以证明|B|≤|A|。于是根据本定理即可得出|A|=|B|。
特别要注意，f 和g不必是满射。因为通常构造这样两个单射函数比构造一个双射函数要容易许
多。
例5.4.2 证明|(0,1)|=|[0,1]|
证明 令f:(0,1)?[0, 1]，f(x)=x，可见f是单射函数，故|(0,1)|≤|[0,1]|。又有g:[0,1]?(0,1 )，
g(x)=
x
?
1
，而g是单射函数，从而|[0,1]|≤| (0,1)|。综上可得出|(0,1)|=|[0,1]|。
26
定理5.4.6 设A是有限集合，则|A|0
。
证明 由于A是有限集合，不妨令|A|=n且A={ a
0
,a
1
,a
2 ,.
…
a
n-1
},并作函数f:N
n
?A，f(i)=a
i
，i
∈N
n
,a
i
∈A。这是个单射函数，故| N
n
|≤|N|。又由于定理5.4.1的证明中已指出了没有N到N
n
的< br>双射函数，所以|N
n
|?|N|，于是|N
n
|<|N|。而|N< br>n
|=n，|N|=?
0
，即有|A|0
。
引理5.2.7 每个无穷集合包含一可数无穷集合。
证明 设A是无穷集合，构造一无 穷序列a
0
,a
1
,a
2
,···如下：
从A中 选取a
0

从A-{a
0
}中 选取a
1

从A-{a
0
,a
1
}中 选取a
2

从A-{a
0
,a
1
,a
2
}中 选取a
3

······
集合A-{a
0
,a
1
,a
2
···a
i
}(0≤i≤n)的每一个都是无穷的。若不然， A将等于两个有限集合
A-{a
0
,a
1
,a
2
· ··a
i
}和{a
0
,a
1
,a
2
··· a
i
}的并，而这个并是有限集合，与A是无穷集合矛盾。这样便能
从A-{a
0
,a
1
,a
2
···a
i
}中选取一个新元素 a
i+1
，从而能够构造一无穷序列a
0
,a
1
,a
2
···而没有重复，
用这个序列的元素组成一个A的可数无穷子集B。定理证毕。
注意，本定理证明中应用“选择公理”：若A是非空集合族，则存在集合B，使B恰好包含
A中每个子 集里的一个元素x。
定理5.4.7 ?
0
是最小无穷集合的基数。
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证明 根据引理5.4.7，若A是无穷集合，则A包含一可数无穷子集B。作函数
f:B?A，f(x)=x，x?B。
它是从B到A的单射函数，于是|B|≤|A|，而| B|=?
0
，故?
0
≤|A|。证毕。
下面定理表明了，没有最大基数，或者没有最大集合。
定理5.4.8 （Cantor定理）设A是任意集合，则|A|<|P(A)|。
证明 ①首先证明|A|≤|P(A)|。为此作函数
f:A?P(A)，f(a)={a}，a?A
可见f是单射函数，故|A|≤|P(A)|。
②其次证明|A|?|P(A)|。
（反证法）假设|A|=|P(A)|，则必有函数g:A?P(A)是双射函数。
令S={x|x?A?x?g(x)}，则S?A，故S?P(A)。
由于g是双射函数，故必有一元素b?A，使g(b)=S。于是，有
b?S?b?{x|x?A?x?g(x)}
?b?A?b?g(b)
?b?g(b) (b?A)
?b?S (S=g(b))
这是矛盾的。可见，对任意a?A，g(a)?S，这表明，g不是满射，因而不是 双射函数，即说
明了没有双射函数存在，故|A|?|P(A)|。定理证毕。
应用本定理，可以构造一个可数无穷的无穷基数的集合，其中每一个都大于它前边的一个
|N|<|P(N)|<|P(P(N))|<··· 。

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第6章 代数结构概念及性质
本章给出代数结 构的一般定义与实例，讨论代数结构的基本性质，介绍代数结构的主要概念，
如同态、同构、同余关系、 积代数等。
6.1 代数结构的定义与例
在正式给出代数结构的定义之前，先来说明什么 是在一个集合上的运算，因为运算这个概念
是代数结构中不可缺少的基本概念。
定义6.1.1 设S是个非空集合且函数f:S
n
→S，则称f为一个n元运算 。其中n是自然数，
称为运算的元数或阶。当n=1时，称f为一元运算，当n=2时，称f为二元运算 ，等等。
注意，n元运算是个闭运算，因为经运算后产生的象仍在同一个集合中。封闭性表明了n元< br>运算与一般函数的区别之处。此外，有些运算存在幺元或零元，它在运算中起着特殊的作用，称
它 为S中的特异元或常数。
在下面讲授的代数结构中，主要限于一元和二元运算，将用′、?或ˉ等符号 表示一元运算符；
用?、?、⊙、○、?、?、∩、∪等表示二元运算符，一元运算符常常习惯于前置、 顶置或肩置，
如?x、
x
、x′；而二元运算符习惯于前置、中置或后置，如：+xy ，x+y，xy+。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且f
i
是S上的n元运算，其中n=1，2，…，m。由S及f
1< br>，f
2
，…，
f
m
组成的结构，称为代数结构，记作1
，f
2
，…，f
m
>。
此外，集合S的基数即 |S|定义代数结构的基数。如果S是有限集合，则说代数结构是有限代
数结构；否则便说是无穷代数结 构。
有时，要考察两个或多个代数结构，这里就有个是否同类型之说，请看下面定义：
定义6.1.3 设两个代数结构1
，f
2
，…，fm
>和1
，g
2
，…，g
m
>，如果 f
i
和g
i
(1≤i
≤m)具有相同的元数，则称这两个代数结构是 同类型的。
可见，判定两个代数结构是否同类型，主要是对其运算进行考察。
此外，有时还需要在代数结构中集合的某个子集上讨论其性质，这就引出子代数结构的概念。
定义6.1.4 设1
，f
2
，…，f
m
>是一代数结构且非空集T?S在运算f
1
，f
2
，…，f
m作用下
是封闭的，且T含有与S中相同的特异元，则称1
，f
2
，…，f
m
>为代数结构1
，f
2
，…，
f
m
>的子代数。记为1
，…>?1，…>。
例6.1.1 设R是实数集合，且+和?是R上的普通加法和乘法运算，则是一代数结构。
因为运算+和?在R中是封闭的。
显然，是无穷代数结构，若令Z为整数集合，则?。
6.2 代数结构的基本性质
对于代数结构的性质的考察方法不是一个一个研究各个结构， 而是列举一组性质，并且对于
具有这些性质的任何代数结构推导可能的结论。把那些被选出的性质看成是 公理并且从这些公理
推导出的任何有效结论，对于满足这些公理的任何代数结构也都必定成立。因此，为 了作这样的
讨论，将不考察任何特定的集合，也不给所涉及到的运算赋予任何特定的含义。这种系统的集 合
及集合上的诸运算仅仅被看成是一些符号，或更确切地说，它们都些抽象对象，对于那些特定的
代数结构只能是具有基本性质中的某些性质。
下面就来讨论一般代数结构基本发生，这里需要指出的 是，所谓代数结构的性质即是结构中
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任何运算所具有的性质。
1.结合律
给定，则运算“⊙”满足结合律或 “⊙”是可结合的，即(?x)(?y)(?z)(x，y，z∈S
→(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z) )。
例6.2.1 给定且对任意a,b?A有a⊙b=b，证明运算“⊙”是可结合的。
证明 因为对任意a,b,c?A，
(a⊙b)⊙c=b⊙c=c
a⊙(b⊙c)=a⊙c=c
故 (a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c)
2.交换律
给定，则运算“⊙”满足交换律或“⊙”是可交换的，即( ?x)( ?y)(x，y∈S→x⊙y=y
⊙x)。
例6.2.2 给定，其中Q为有理数集合，并且对任意a,b?R有a○b=a+b-a·b，问运
算○是否可交换？
解 因为a○b=a+b-a·b=b+a-b·a=b○a，所以，运算○是可交换的。
可见，如果一代数结构中的运算⊙是可结合和可交换的，那么，在计算a
1
⊙a
2⊙···⊙a
m
时，
可按任意次序计算其值。特别当a
1
=a< br>2
=···=a
m
=a时，则a
1
⊙a
2
⊙ ···⊙a
m
=a
m
。称a
m
为a的m
次幂，m称 a的指数。下面给出a
m
的归纳定义：
设有且a?S，对于m?Z
+
，其中Z
+
表示正整数集合，可有：
(1) a
1
=a
(2)a
m+1
=a
m
⊙a
由此利用归纳法不难证明指数定律：
(1)a
m
⊙a
n
=a
m+n

(2)(a
m
)
n
=a
mn

这里，m,n? Z
+
。
类似地定义某代数结构中的负幂和给出负指数定律。
3.分配律
一个代数结构若具有两个运算时，则分配律可建立这两个运算之间的某种联系。
给定，则运算⊙对于○满足左分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(?x)(?y)(?z)(x ，y，z∈S→x⊙(y○z))=(y⊙x)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可右分配的，即
(?x)(?y)(?z)(x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(x⊙y)○(x⊙z))
类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。
若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律，则 称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样
可定义○对于⊙满足分配律。
由定义不难证明下面定理：
定理6.2.1 给定且⊙是可交换的。如果⊙对于○满足左或右分配律，则⊙对于
○满足分配律。
例6.2.3 给定，其中B={0,1}。表6.2.1分别定义了运算⊙和○，问 运算⊙对于○
是可分配的吗？○对于⊙呢？
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表6.2.1
⊙
0
1

形如表6.2.1的表常常被称为运算表或复合表，它由运算符、行表头元素 、列表头元素及复
合元素四部分组成。当集合S的基数很小，特别限于几个时，代数结构中运算常常用这 种表给出。
其优点简明直观，一目了然。
解 可以验证⊙对于○是可分配的，但○对于⊙并非如此。因为
1○(0⊙1)?(1○0)⊙(1○1)
4.吸收律
给定，则
⊙对于○满足左吸收律:=(?x)(?y)(x，y∈S→x⊙(x○y)=x)
⊙对于○满足右吸收律:=(?x)(?y)(x，y∈S→(x○y)⊙x=x)
若⊙对于○既满足左吸收律又满足右吸收律，则称⊙对于○满足吸收律或可吸收的。
○对于⊙满足左、右吸收律和吸收律类似地定义。
若⊙对于○是可吸收的且○对于⊙也是可吸 收的，则⊙和○是互为吸收的或⊙和○同时满足
吸收律。
例6.2.4 给定，其中N是自然数集合，⊙和○定义如下：
对任意a,b?N有a⊙b=max{a,b}，a○b=min{a,b}，试证⊙和○互为吸收的。
证明 因为
a⊙(a○b)=max{a,min{a,b}}=(a○b)⊙a
a○(a⊙b)=min{a,max{a,b}}=(a⊙b)○a
故⊙和○是互为吸收的。
5.等幂律与等幂元
给定，则
“⊙”是等幂的或“⊙”满足等幂律:=( ?x)(x∈S→x⊙x=x)
给定且x∈S，则
x是关于“⊙”的等幂元:=x⊙x=x
于是，不难证明下面定理：
定理6.2.2 若x是中关于⊙的等幂元，对于任意正整数n，则x
n
=x。
例6.2.5 给定，其中P(S)是集合S的幂集，∪和∩分别是集合的并和交运算。
验证：∪和∩是等幂的。
证明 对任意A?P(S)，有A∪A=A和A∩A=A，故∪和∩都是等幂的。
6. 幺元或单位元
给定且e
l
，e
r
，e∈S，则
e
l
为关于⊙的左幺元:=( ?x)(x∈S→e
l
⊙x=x)
e
r
为关于⊙的右幺元:=( ?x)(x∈S→x⊙e
r
=x)
若e既为⊙的左幺元又为⊙的右幺元，称e
e为关于⊙的幺元:=( ?x)(x∈S→e⊙x=x⊙e=x)。
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0 1
0 0
0 1



○
0
1
0 1
0 1
1 0

例6.2.6 给定<{?,?},○>，表6.2.2，表6 .2.3和表6.2.4分别给出○的不同定义的运算表，试
指出左幺无、右幺元及幺元。

表6.2.2 表6.2.3 表6.2.4
○ ? ?
?
?

解 ○如表6.2.2 所定义，?是○的幺元；○如表6.2.3所定义，?和?是○的右幺元；○如表
6.2.4所定义，? 是○的左幺元。
定理6.2.3 给定且e
l
和e
r
分别关于⊙的左、右幺元，则e
l
=e
r
=e且幺元e唯一。
证明 由题设可得e
l
=e
l
⊙e
r
=e
r
=e 。
下面再证幺元e是唯一的。
若还有一幺元e
l
?S，则e
l< br>=e
l
⊙e=e，即只有一个幺元。
7.零元
给定及θ
l
，θ
r
，θ∈S，则
θ
l
为关于○的左零元:=( ?x)(x∈S→θ
l
○x=θ
l
)
θ
r
为关于○的右零元:=( ?x)(x∈S→x○θ
r
=θ
r
)
θ为关于○的零元:=( ?x)(x∈S→θ○x=x○θ=θ)
例6.2.7 在例6.2.6中，○如表6.2.2所定 义，?是○的零元；○如表6.2.3所定义，?和?都
○的左零元；○如表6.2.4所定义，?是○ 的右零元。
定理6.2.4 给定且θ
l
和θ
r
分别 为关于⊙的左零元和右零元，则θ
l
=θ
r
=θ且零元θ
是唯一的。
证明 可仿定理6.2.3证明。
定理6.2.5 给定且|S|＞1。如果θ，e∈S，其中θ和e分别为关于⊙的零元和幺元，
则θ≠e。
证明 用反证法。假设?=e，则对任意x?S，有x=e⊙x=?=e，可见，S中的所有元素都是 相
同的，这与|S|>1矛盾。
8．逆元
给定且幺元e，x∈S，则
x为关于⊙的左逆元:=(?y)(y∈S∧x⊙y=e)
x为关于⊙的右逆元:=(?y)(y∈S∧y⊙x=e)
x为关于⊙可逆的:=(?y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定及幺元e；x，y∈S，则
y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y 是x的逆元，则x也是y的逆元，因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x
-1
。
一般地说来，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元。而且，一个元素可以有左逆元
而没有右逆 元，反之亦然。甚至一个元素的左或右逆元还可以不是唯一的。
? ?
? ?

○ ? ?
?
?
? ?
? ?

○
?
?
? ?
? ?
? ?
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例6.2.8 给定 ，其中S={?,?,?,?,?}且○的定义如表6.2.5所示。试指出该代数结构中
各元素的左、 右逆元情况。
表6.2.5
○
?
?
?
?
?

解 ?是幺元，?的左逆元和右逆元都是?， 即?与?互为逆元；?的左逆元是?而右逆元是?；?
有两个左逆元?和?；?的右逆元是?，但?没有 左逆元。
定理6.2.6 给定及幺元e∈S。如果⊙是可结合的并且一个元素x的左逆 元x
l
-1
和右
逆元x
r
-1
存在，则x
l
-1
=x
r
-1
。
证明 由题设可知，
x
l
-1
=x
l
-1
⊙e=x
l
-1
⊙(x⊙x
r
-1
)=(x
l
-1
⊙x)⊙x
r
-1
=e⊙x
r
-1
= x
r
-1

定理6.2.7 给定及幺元e∈S。如果⊙是可结合的并且x的逆元x
-1存在，则x
-1
是唯
一的。
证明 令x另有一个逆元x
l
-1
，则
x
-1
=x
-1
⊙e=x
-1
⊙(x⊙x
l
-1
)=(x
-1⊙x)⊙x
l
-1
=e⊙x
l
-1
=x
l-1

故，x的逆元是唯一的。
例如在例6.1.1中，显然中 运算+和?都是可结合的，而1和0分别为?和+的幺元，故
可验证，对于?来说，除0外每个元素r? R都有逆元1r；对于+而言，对每个元素r?R都有逆元
(-r)。
9.可约律与可约元
给定且零元θ∈S，则
⊙满足左可约律或是左可约的:=( ?x)( ?y)( ?z)((x，y，z∈S∧x≠θ∧x⊙y=x⊙z)→y=z)，并
称x是关于⊙的左可约元。
⊙满足右可约律或是右可约的:=( ?x)( ?y)( ?z)((x，y，z∈S∧x≠θ∧y⊙x=z⊙x)→y=z)，并
称x

若x既是关于⊙的左可约元又是关于⊙的右可约元，则称x是关于⊙的可约元。可约律与可

⊙满足可约律:=( ?x)( ?y)( ?z)(x，y，z∈S∧x≠θ∧((x⊙y=x⊙z∧y⊙x=z⊙x)→y=z))
给定且零元θ，x∈S。
x是关于⊙的可约元:=( ?y)( ?z)(y，z∈S∧x≠θ∧((x⊙y)=x⊙z∧y⊙x=z⊙x)→y=z))。
例6.2.9 给定，其中Z是整数集合，?是一般乘法运算，显然，每个非零整数都是可
约元，而且运算?满足可约律。
定理6.2.8 给定且○是可结合的，如果x是关于○可逆的且x≠θ，则x也是关于

若⊙既满足左可约律又满足右可约律或⊙既是左可约又是右可约的，则称⊙满足可约律或⊙
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
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○的可约元。
证明 设任意y,z?S且有x○y=x○z或y○x=z○x。因为○是可结合的及x是关于○可逆的，
则有
x
-1
○(x○y)=(x
-1
○x)○y=e○y=y
=x
-1
○(x○z)=(x
-1
○x)○z
=e○z=z
故得x○y=x○z?y=z，同样可证得y○x=z○x?y=z，故x是关于○的可约元。
最后，作一补充说明，用运算表定义一代数结构的运算，从表上很能反映出关于运算的各种
性质。为确 定起见，假定及x，y，θ，e∈S。
(1)运算○具有封闭性，当且仅当表中的每个元素都属于S。
(2)运算○满足交换律，当且仅当表关于主对角线是对称的。
(3)运算○是等幂的，当且仅当表的主对角线上的每个元素与所在行或列表头元素相同。
( 4)元素x是关于○的左零元，当且仅当x所对应的行中的每个元素都与x相同；元素y是关
于○的右零 元，当且仅当y所对应的列中的每个元素都与y相同；元素θ是关于○的零元，当且
仅当θ所对应的行和 列中的每个元素都与θ相同。
(5)元素x为关于○的左幺元，当且仅当x所对应的行中元素依次与行 表头元素相同；元素y
为关于○的右幺元，当且仅当y所对应的列中元素依次与列表头元素相同；元素e 是关于○的幺
元，当且仅当e所对应的行和列中元素分别依次地与行表头元素和列表头元素相同。 (6)x为关于○的左逆元，当且仅当位于x所在行的元素中至少存在一个幺元，y为关于○的
右逆 元，当且仅当位于y所在列的元素中至少存在一个幺元；x与y互为逆元，当且仅当位于x
所在行和y所 在列的元素以及y所在行和x所在列的元素都是幺元。
6.3 同态与同构
本节将阐明两个重要概念：同态与同构。在以后各节中，它们会经常被使用到。主要内容如
下：
定义6.3.1 设与是同类型的。称同态于或为⊙>的同态象，记为?，其定义如下：
?:=(?f)(f∈Y
X
∧(?x
1
)(?x
2
)(x
1
，x
2
∈X→f(x
1
⊙x
2
)=f( x
1
)○f(x
2
)))
同时，称f为从到的同态映射。
可以看出，同态映射f不必是唯一的。
例6.3.1 给定和，其中R是实数集合，+和?分别是加法和乘法运算，试 证
?。
证明 今构造函数f?R
R
如下：
f(x)=a
x
，其中a>0，x?R
则f为所求的同态映射，这是因为对任意y,z?R有
f(y+z)=a
y+z=a
y
?a
z
=f(y)?f(z)
因此，?。
两个同类型的代数结构间的同态定义不仅适用于具有一个二 元运算的代数结构，也可以推广
到具有多个二元运算的任何两个同类型代数结构。例如，对于具有两个二 元运算的两个同类型代
数结构和的同态定义如下：
?:=(?f)(f?Y
X
?(?x
1
)
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(?x
2
)(x
1
,x
2
?X?(f(x
1
⊙x
2
)=f (x
1
)?f(x
2
)?f(x
1
○x
2
)=f(x
1
)?f(x
2
))))
例6.3.2 给定，其中Z为整数集合，+和?是一般的加法和乘法运算。又有m
,+
m< br>,?
m
>，
这里Z
m
={[0],[1],[2],···, [m-1]},+
m
和?m分别是模m加法和模m乘法，它们详细定义如下：
[a]+
m
[b]=[(a+b)(mod m)]
[a]?
m
[b]=[(a?b)(mod m)]，其中[a]，[b]?Z
m

现在定义函数f?Z
m
Z
：
f(i)=[(i)(mod m)]，其中i?Z
试证< Z,+,?>?m
,+
m
,?
m
>。
证明 因为对任意i
1
,i
2
?Z，有
f(i
1
+i< br>2
)=[(i
1
+i
2
)(mod m)]
=[(i
1
)(mod m)]+
m
[(i
2
)(mod m)]
=f(i
1
)+
m
f(i
2
)
f(i< br>1
?i
2
)=[(i
1
?i
2
)(mod m)]
=[(i
1
)(mod m)]?
m
[(i
2
)(mod m)]
=f(i
1
)?
m
f(i
2
)
故f为所 求的同态映射，于是?m
,+
m
,?
m
>。
定理6.3.1 如果?且f为其同态映射，则?。
证明 因为 f?Y
X
，rn(f)?Y，故若y
1
,y
2
?rn(f) ，则应有x
1
,x
2
?X，使得f(x
1
)=y
1
和f(x
2
)=y
2
，而
且存在x
3
?X ，使x
1
⊙x
2
=x
3
，所以
y
1○y
2
=f(x
1
)○f(x
2
)=f(x
1
⊙x
2
)=f(x
3
)?rn(f)
可见，集合rn(f)在○作用下是封闭的，因此?。
由于函数f?Y
X
的不同性质，将给出不同种类的同态定义。
定义6.3.2 设?且f为其同态映射。
(i)如果f为满射，则称f是从到的满同态映射。
(ii)如果f为单射(或一对一映射)，则称f为从到的单一同态映射。 (iii)如果f为双射(或一一对应)，则称f为从到的同构映射。记为 ?○>。
显然，若f是从到的同构映射，则f为从 到的满同态映射
及单一同态映射，反之亦然。
例6.3.3 设*
,∥>与是同类型的，其中?
*
为有限字母表上的字母串集合，∥为并置运
算，N为自然数集合，+为普通加法。若定义f?
N
f(x)=|x|，其中x??< br>*

这里|x|表示字母串的长度。
因为对任意x,y??
*
，有f(x∥y)=|x∥y|=|x|+|y|=f(x)+f(y)，故*
,∥>? 。
显然，f是满射，因此，f为从*
,∥>到的满同态映射。
例6.3.4 给定，其中Z为整数集合，+为一般加法。作函数f?Z
Z
:
f(x)=kx，其中x,k?Z
则当k?0时，f为到的单一同态映 射。当k=-1或k=1时，f为从到的同构
映射。
综上可以看出，同 态映射具有一个特性，即“保持运算”。对于满同态映射来说，它能够保
?
?
为
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持运算的更多性质，为此，给出如下定理：
定理6.3.2 给定?且f为其满同态映射，则
(a)如果⊙和○满足结合律，则?和?也满足结合律。
(b)如果⊙和○满足交换律，则?和?也满足交换律。
(c)如果⊙对于○或○对于⊙满足分配律，则?对于?或?对于?也相应满足分配律。
(d)如果⊙对于○或○对于⊙满足吸收律，则?对于?或?对于?也满足吸收律。
(e)如果⊙和○满足等幂律，则?和?也满足等幂律。
(f)如果e
1
和 e
2
分别是关于⊙和○的幺元，则f(e
1
)和f(e
2
) 分别为关于?和?的幺元。
(g)如果θ
1
和θ
2
分别是关于⊙和 ○的零元，则f(θ
1
)和f(θ
2
)分别为关于?和?的零元。
(h)如果对每个x∈X均存在关于⊙的逆元x
-1
，则对每个f(x)∈Y也均存在关于?的 逆元f(x
-1
)；
如果对每个z∈X均存在关于○的逆元z
-1
， 则对每个f(z)∈Y也均存在关于?的逆元f(z
-1
)。
定理6.3.2告诉我 们，对于满同态映射来说，代数系统的许多性质都能保持，如结合律、交
换律、分配律、等幂律、幺元、 零元、逆元等，但这种保持性质是单向的，即如果满同
态于，则所具有 的性质，均具有。但反之不然，即所具有的
某些性质，不一定具有。不 尽要问，在怎样条件下，所具有的性质都
完全具有呢?为了回答这个问题，需要引 出两个代数结构同构的概念。
定义6.3.3 设与是同类型的。称同构于，记为?○>，其定义如下：
? :=(?f)(f为从到的同构映射)或更详细地定义为：
?:=(?f)(f∈Y
X
∧f为双射∧f为从到的同态映射) 由定义可知，同构的条件比同态强，关键是同构映射是双射，即一一对应。而同态映射不一
定要求是 双射。正因为如此，同构不再仅仅象满同态那样对保持运算是单向的了，而对保持运算
成为双向的。两个 同构的代数，表面上似乎很不相同，但在结构上实际是没有什么差别，只不过
是集合中的元素名称和运算 的标识不同而已，而它们的所有发生“彼此相通”。这样，当探索新的
代数结构的性质时，如果发现或者 能够证明该结构同构于另外一个性质已知的代数结构，便能直
接地知道新的代数结构的各种性质了。对于 同构的两个代数系统来说，在它们的运算表中除了元
素和运算的标记不同外，其它一切都是相同的。因此 ，可以根据这些特征来识别同构的代数系统。
例6.3.5 令与4
,+
4
>是同类型的，其中F={f
0
,f
1
,f
2
,f
3
}，“o”定义如表6.3.1所示；
Z
4
={ [0],[1],[2],[3]}，+
4
定义如表6.3.2，试说明?4
,+
4
>。

表6.3.1 表6.3.2
o
f
0

f
1

f
2

f
3


解 令??Z
4
F
且对任意j=0,1,2,3有
?(f
j
)=[j]
则显然?为双射。根据表6.3.1和表6.3.2，对于所有i,j=0,1,2,3有
? (f
i
of
j
)=?(f
i
)+
4
?(f
j
)=[i]+
4
[j]
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f
0
f
1
f
2
f
3

f
0
f
1
f
2
f
3

f
1
f
2
f
3
f
0

f
2
f
3
f
0
f
1

f
3
f
0
f
1
f
2

+
4

[0]
[1]
[2]
[3]
[0] [1] [2] [3]
[0] [1] [2] [3]
[1] [2] [3] [0]
[2] [3] [0] [1]
[3] [0] [1] [2]

故?为从到< Z
4
,+
4
>的同态映射。因此，?4
,+
4
>。

图6.3.1表示了函数?的性质。由F?F到F应用映射“o” ,然后再用映射?作用所得结果，与
先用映射???作用到F?F得Z
4
?Z
4
中的一个有序对，然后再应用映射+
4
作用于该有序对的结果是
一样的，如 图6.3.1所示。

*
F ? F F

? ? ?


Z
4
? Z
4
+
4
Z
4



图6.3.1
同构是一个关系，而且可以证明它是个等价关系，对此有如下定理：
定理6.3.3 代数系统间的同构关系是等价关系。
在同态与同构中有一个特例，即具有相同集合的任两个代数系统的 同态与同构，这便是自同
态与自同构。
定义6.3.4 给定及f∈S
S
。
f为自同态映射:=f为从到的同态映射。
f为自同构映射:=f为从到的同构映射。
例6.3.7 在例6. 3.4中，当k?0时，f=kx，是从到的自同态映射；当k=1或k=-1
时 ，f=kx是从到的自同构映射。
6.4 同余关系
本节主要阐明同态与同余关系之间的联系。主要内容如下：
定义6.4.1 给定且E为S中的等价关系。
E有代换性质:=(?x
1
)(?x
2
)(?y
1
)(?y
2
)((x
1
，x
2
，y
1
，y
2
∈S∧xEx
2
∧y
1
Ey
2
)→(x
1
⊙y
1
)E(x
2⊙y
2
))。
E为中的同余关系:=E有代换性质。
与此同时，称同余关系E的等价类为同余类。
由定义可知，同余关系是代数结构的集合中的等 价关系，并且在运算的作用下，能够保持关
系的等价类。即在x
1
⊙y
1中，如果用集合S中的与x
1
等价的任何其它元素x
2
代换x
1
，并且用与
y
1
等价的任何其它元素y
2
代换y
1
，则所求的结果x
2
⊙y
2
与x
1
⊙y
1
位于同一等价类之中。亦即若
〔x
1
〕
E
=〔x
2
〕
E
并且〔y
1
〕
E
=〔y
2
〕
E
，则〔x
1
⊙y
1
〕
E
=〔x
2
⊙y
2
〕
E
。此外，同余关系与运算密切
相关。如果一个 代数结构中有多个运算，则需要考察等价关系对于所有这些运算是否都有代换性
质。如果有，则说该代数 结构存在同余关系；否则，同余关系不存在。
例6.4.1 给定< Z,+,?>，其中Z是整数集合，+和?是一般加、乘法。假设Z中的关系R定
义如下：
i
1
Ri
2
:=|i
1
|=|i
2
|，其中 i
1
、i
2
? Z
试问，R为该结构的同余关系吗？
解 显然，R为Z中的等价关系。接着先考察R对于+运算的代换性质：
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若取i
1
,-i
1
,i
2
? Z，则有|i
1
|=|-i
1
|和|i
2
|=|i
2
|，于是 ，下式
(i
1
R(-i
1
))?(i
1
Ri2
)?(i
1
+i
2
)R(-i
1
+i
2
)
不真。这是因为前件为真，后件为假。故R对于+运算不具有代换性质。
有了同余关系的概念后，现在可以给出它与同态映射的关系了，请看下面定理：
定理6.4.1 设与是同类型的且f为其同态映射。对应于f，定义关系E
f
如下：
xE
f
y:=f(x)=f(y)， 其中x，y∈S
则E
f
是中的同余关系，并且称E
f
为由同态映射f所诱导的同余关系。
证明 不难证明，E
f
是S中的等价关系。下面往证E
f
有代换性质。
令 x
1
,x
2
,y
1
,y
2
?S及x
1
E
f
x
2
和y
1
E
f
y2
。根据E
f
的定义可知：
f(x
1
)=f(x2
)和f(y
1
)=f(y
2
)
于是 f(x
1
)○f(y
1
)=f(x
2
)○f(y
2
)
又因为f是从到的同态映射，故得
f(x
1
)○f(y
1
)= f(x
1
⊙y
1
)
f(x
2
)○f(y
2
)= f(x
2
⊙y
2
)
再应用E
f
的定义，得(x< br>1
⊙y
1
)E
f
(x
2
⊙y
2)
综上则有
(x
1
E
f
x
2
)? (y
1
E
f
y
2
)?(x
1
⊙y
1
)E
f
(x
2
⊙y
2
)
由于同态映射不唯一，根据定理6.4.1，可以推知同余关系也是不唯一。
例6.4.2 设< Z,′>与是同类型的，其中Z是整数集合，B={0,1}，′和ˉ定义如下：
i′=i+1， i? Z
b
=(b+1)(mod 2)， b?B
又设f?B
Z
:
f(i)=(i)(mod 2)，其中i? Z
试指出f所诱导的同余关系。
解 因为
f(i′)=f(i+1)=(i+1)(mod 2)
=((i)(mod 2)+1)(mod 2)
=
(i)(mod2)

=
f(i)

可见，f是从< Z,′>到的同余关系。
6.5 商代数
本节研究由已知代数结构构成一个新的代数结构——商代数，并且将证明从 已知代数结构到
其商代数是满同态的。最后，给出一个重要的有关同构的定理。主要内容如下：
定义6.5.1 给定及其上的同余关系E，且由E对S所产生同余类构成一个商集SE。
若在SE中定义运算?如下：
[x]
E
○[y]
E
=[x⊙y]
E
其中[x]
E
，[y]
E
∈SE
于是构成了一个代数结构，则称的商代数。
可 以看出，给定一个代数结构，利用结构中的同余关系可以构造一个新的代数结构即商代数，
两者有何联系 ，下面定理指明这一点。
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定理6.5.1 给定及其上的商代数，则?。
证明 构造一个映射g
E
?(SE)
S
：g
E
( x)=[x]
E
，其中x?S， E为中的同余关系，于是，
对于x,y?S有
g
E
(x⊙y)= [x⊙y]
E
=[x]
E
○[y]
E
=g
E
(x)○g
E
(y)
因此，g
E
为所求的同态映射，即?
通常，称g< br>E
为从S到SE上的正则映射，并且称g
E
为从到的与 E相关的
自然同态映射，简称自然同态。
此外，容易看出自然同态g
E
是满 同态映射，根据定理6.3.2可知，代数结构的各种
性质在其商代数中都被保 持了下来。
例6.5.1 给定，其中N是自然数集合，+是普通加法运算。又知例6. 3.1中m
,+
m
>，
并且在N中定义关系E：
n< br>1
En
2
:=m|(n
1
-n
2
)?m|( n
2
-n
1
)， 其中m,n
1
,n
2
?N
试证E为中的同余关系且给出与E相关的自然同态映射g
E
。
解 显然，E为N中的等价关系。
又设n
1
,n
2
,p
1,p
2
?N且n
1
Ep
1
和n
2
Ep
2
。于是
m|n
1
-p
1
且 m|n
2
-p
2

而 (n
1
-p
1
)+(n
2
-p
2
)=(n
1
+n
2< br>)-(p
1
+p
2
)
故 m|((n
1+n
2
)-(p
1
+p
2
))
因此 (n
1
+n
2
)E(p
1
+p
2
)
可见，E是中的同余关系。
此外，因为Z
m
是E在N中的商集N E，如果作映射g
E
?(NE)
N
：
g
E
(n)=[(n)(mod m)]，其中n,m?N
可以看出，g< br>E
满足自然同态的条件，故g
E
是从到m
,+
m
>的与E相关的自然同态映射。
现在，可以利用自然同态及E
f
给出一个有关同构的重要定理。
定理6.5.2 设?且f为其满同态映射，E
f
为f所诱导 的同余关系，g
Ef
是从⊙>到f
，☆>的与E
f
相关的自然同态，则f
，☆>?。
6.6 积代数
在本节中，将笛卡儿积的概念推广到同类型的代数结构，从而产生一个新的代数结构，这便
是所 谓代数结构的直积或积代数。主要内容如下：
定义6.6.1 设与是同类型 的，而成为新的代数结构，其中S×T
是集合S和集合T的笛卡儿积，且?定义如下：
1
，t
1
>?2
，t
2
>=1
⊙s
2
，t
1
○t
2
>，其中s
1
，s
2
∈S，t
1
，t
2
∈ T。
则称为代数结构和的积代数，而代数结构和称为×T，○>的因子代数。
类似地可把积代数的定义推广到任何两个同类型的代 数结构。另外，重复地使用定义中的方
法，也可以定义任何有限数目的同类型代数结构的积代数。 可以看出，两个代数结构的积代数，与两个因子代数是同一类型的。而且还要注意到，在积
代数的定 义中，是用因子代数中的相应运算定义了积代数中的运算。
例6.6.1 给定2,+
2
>和3
,+
3
>，其中Z
2
={[0],[1]}，Z
3
={[0],[1],[2]}，表6.6.1和表6.6.2 分
别给出+
2
和+
3
的运算表，为简便记[i]为i。试求2
?Z
3
,?>。
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表6.6.1 表6.6.2
+
2

0
1
0 1
0 1
1 0


+
3

0
1
2
0 1 2
0 1 2
1 2 0
2 0 1
解 2
?Z
3
,?>是2
,+
2
>和3
,+
3
>的积代数，其 中
Z
2
?Z
3
={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1, 0>,<1,1>,<1,2>}，而?的定义如下：
1
,i
2
>?1
,j
2
>=1
+
2
j< br>1
,i
2
+
3
j
2
>
这里i1
,i
2
?Z
2
而i
2
,j
2
?Z
3
。
?运算表如表6.6.3所求。
表6.6.3
?
<0,0>
<0,1>
<0,2>
<1,0>
<1,1>
<1,2>

<0,0> <0,1> <0,2> <1,0> <1,1> <1,2>
<0,0> <0,1> <0,2> <1,0> <1,1> <1,2>
<0,1> <0,2> <0,0> <1,1> <1,2> <1,0>
<0,2> <0,0> <0,1> <1,2> <1,0> <1,1>
<1,0> <1,1> <1,2> <0,0> <0,1> <0,2>
<1,1> <1,2> <1,0> <0,1> <0,2> <0,0>
<1,2> <1,0> <1,1> <0,2> <0,0> <0,1>
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第7章 半群与群
在本章中，将 讨论具有一个二元运算的抽象代数：半群与群。半群与群在形式语言，快速加
法器设计、纠错码制定和自 动机理论中都有卓有成效地应用。
7.1 半群和独异点的定义及其性质
定义7.1.1 给定，若⊙满足结合律，则称为半群。
可见，半群就是由集合及其上定义的一个可结合的二元运算组成的代数结构。
定义7.1.2 给定，若是半群且○有幺元或○满足结合律且拥有幺元，则称
为独异点 。
可以看出，独异点是含有幺元的半群。因此有些著作者将独异点叫做含幺半群。有时为了强
调幺元e，独异点表为。
例7.1.1 给定和，其中N为自 然数集合，+和?为普通加法和乘法。易知
和都是半群，而且还是独异点。因为0 是+的幺元，1是?的幺元。
如果半群中的集合S是有限的，则称半群为有限半群，对于有 限半群可以给出下面
有趣定理。
定理7.1.1 为有限半群?(?x)(x∈S∧x⊙x=x)
本定理告诉我们，有限半群存在等幂元。
定义7.1.3 给定半群，若⊙是可交换的，则称是可交换半群。类似地可定
义可交换独异点。
例7.1.2 给定和，其中P(S)是集合S的幂集，∩和∪为集合上的交运算
和并运算。可知和都是可交换半群。不仅如此，它们还都是可交换独异点，因
为?与S分别是它们的幺元。
定义7.1.4 给定半群和g∈S，以及自然数集合N，则
g为的生成元:=(?x)(x∈S→(?n)(n∈N∧x=g
n
))
此时也说，元素g生成半群，而且称该半群为循环半群。
类似地定义独异点的生成元g和循环独异点，并且规定g
0
=e。
定理7.1.2 每个循环独异点都是可交换的。
对于生成元的概念加以推广便得出生成集的概念。
定义7.1.5 给定半群及G?S，则
G为的生成集:=(?a)(a∈S→a=⊙(G))∧
min
|G|
G?S
这里⊙(G)表示用G中的元素经⊙的复合而生成的元素。
类似地定义独异点的生成集。
例7.1.3 给定，其中N是自 然数集合，+为普通加法，则是无穷循环独异点，0
是幺元，1是生成元。
例7.1.4 令半群，其中S={a,b,c,d}，⊙定义如表7.1.1，试证明生成集合G={a,b}。





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表7.1.1
⊙
a
b
c
d
c=a⊙b
d=a⊙a
可见，{a,b}生成{a,b,c,d}，故得生成集G={a,b}。
定义7.1.6 给定半群及非空集T?S，若T对⊙封闭，则称为的子
半群。
类似地定义独异点的子独异点，应注意的是e∈P。
定理7.1.3 给定半群及任意a∈S，则<{a，a
2
，a
3
，…}，⊙>是循环子半群。
定理7.1.4 给定可交换独异点，若P为其等幂元集合，则为子独异
点。
定理7.1.5 设为独异点，则关于○的运算表中任两列或任两行均不相同。
定理7.1.6 给定独异点，对任意a，b∈M且a，b均有逆元，则
(1) (a
-1
)
-1
=a。
(2) a○b有逆元，且(a○b)
-1
=b
-1
○a
-1
。
a b c d
d c b a
b b b b
c c c c
a b c d
解 由表7.1.1可知，
7.2 半群和独异点的同态与同构
在本节里，将把代数结构之间的同态与同构的概念应用于半群与独异点。有 些定义与性质，
几乎完全就是平行地搬过来。主要内容如下：
定义7.2.1 给定两个半群与，则
半群?半群:=(?f)(f∈T
S
∧(?x)( ?y)(x，y∈S→f(x⊙y)=f(x)?f(y))
并称f为从到的半群同态映射。
由定义可以知道，半群同态映射f可以不是唯一的。
与前面的定义类似，根据半群同态映射f 是单射(一对一)、满射、双射，把半群同态映射f
分别定义半群单一同态映射、半群满同态映射和半群 同构映射。
如果两个半群，存在一个同构映射，则称一个半群同构于另一个半群。
由于代数结构之间的满同态具有保持运算的各种性质，对于半群满同态当然完全适用。
下面给出一个半群同态保持等幂性的定理。
定理7.2.1 如果f为从到的半群同态映射，对任意a∈S且a⊙a=a，则f(a)
○f(a)=f(a)。
定理7.2.2 如果g是从到的半群同态映射，h是从到的半
群同态映射，则h * g是从到的半群同态映射。
定义7.2.2 若g是从到的半群同态映射，则称g为半群自同态映射；若g
是从到的半群同构映射，则称g为半群自同构映射。
定理7.2.3 给定半群，如果A={g|g为到的半群自同态映射}且*是
函数复合 运算，则为半群。
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由于恒等映射i是复合运算*的幺元，因此可得下面定理：
定理7.2.4 给定半群，若B={h|h为到的半群自同构映射}，*为函
数复合运算，则是独异点。
定理7.2.5 给定半群，又S
，*>是 从S到S的所有函数在复合运算*下构成的函数
半群，则存在从到S
， *>的半群同态映射g，或者说半群同态于S
，*>。
例7.2.1 给定半群，其中S={a,b,c}，⊙定义由表7.2.1所示。今定义g?(S
S
)
S
，g(a)=f
a
，
g(b)=f
b
，g( c)=f
c
，这里f
a
，f
b
，f
c
?S
S
，并且
f
a
(a)=a f
a
(b)=b f
a
(c)=c
f
b
(a)=b f
b
(b)=c f
b
(c)=a
f
c
(a)=c f
c
(b)=a f
c
(c)=b
显然，S
S
中有3
3
=27个元 素，且S
，*>是独异点，根据定理7.2.5可知，g是从到S
，
*>的半群同态映射。
表7.2.1
⊙
a
b
c
a b c
a b c
b c a
c a b
上面介绍半群同态及有关定理。接着来讨论独异点之间的同态及其有关定理。
定义7.2.3 给定独异点M
>和T
>，则
M
>?T
>:=(?g)(g∈T
M
∧(? x)( ?y)(x，y∈M→g(x⊙y)
=g(x) ○g(y))∧g(e
M
)=e
T

并称g为从M
>到T
>
点同态，反之都真。
例7.2.3 给定独异点和，其中R是实数集合，+和?是一般加法和乘法，0和
1分 别为它们的幺元。令f?R
R
：
f(x)=a
x
其中a>0，x?R
问f是否为从到的独异点同态映射？
解 因为对任意x,y?R，有
f(x+y)=a
x+y
=a
x
?a< br>y
=f(x)?f(y)
f(0)=a
0
=1
故，f是从到的独异点同态映射。
对于独异点满同态、独异点 单同态、独异点同构、以及独异点满同态保持运算性质等，这里
也一并略去了。下面给出一个有关同构的 定理以结束本节。
定理7.2.6 给定独异点，则存在T?M
M
，使?。
本定理表明，一个独异点可与复合运算下的函数独异点同构。

注意，独异点同态区 别半群同态就在于保持幺元，即g(e
M
)=e
T
。因此，半群同态未必是独 异
7.3 积半群
把积代数方法应用于特殊一类代数结构：半群，便产生积半群。主要内容如下：
定义7.3.1 给定两个半群和。称为和的积半群，
其中S×T为集合S与T的笛卡儿积，运算?定义如下：
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1
，t
1
>?2
，t
2
>=1
⊙s
2
，t
1
○t
2
>，其中s
1
，s
2
∈S，t
1
，t
2
∈T
由于运算?是经⊙和○定义的，易知，积半群是个半群。
不难证明下列定理：
定理7.3.1 若半群和是可交换的，则也是可交换的。
定理7.3.2 给 定半群和，且e
1
和e
2
分别是它们的幺元，则积半群
含有幺元1
，e
2
>。换言之，若1
>和2
>是独异点，则1
，e
2
>>
是独异点。
定理7.3.3 给定半群和，且θ
1
和θ
2
分别为它们的零元，则积半群?>含有 零元<θ
1
，θ
2
>。
定理7.3.4 给定半群和 ，且s∈Ｓ的逆元s
-1
，t∈T的逆元t
-1
，则积半群×T，?>中的逆元是-1
，t
-1
>。
7.4 群的基本定义与性质
定义7.4.1 给定，若是独异点 且每个元素存在逆元，或者①⊙是可结合的，
②关于⊙存在幺元，③G中每个元素关于⊙是可逆的，则称 是群。
可见，群是独异点的特例，或者说，群比独异点有更强的条件。
顺便指出，1944年，en曾给出40个以上的群的定义。
例7.4.1 给定和，其中Z和Q分别是整数集合和有理数集合，+和?是一般加法
和乘法。可知< Z,+>是群，0是幺元，每个元素i? Z的逆元是-i，但不是群，1是幺元，而
0是无逆元。但便成为群。
定义7.4.2 给定群，若G是有限集，则称是有限群。并且把G的基数称< br>为该有限群的阶数，若集合G是无穷的，则称为无穷群。
例7.4.2 例7.4.1中的< Z,+>是无穷群，再如例7.2.2中，其中S={a,b,c}，⊙运算表
如表7.2.1。可以验证是群，a为幺元，b和c互为逆元；又因|G|=3，故是3阶群。
由群的定义可知，群具有半群和独异点的性质，这里不再重复罗列了，而且群还有自己独 特
的性质，仅此讨论如下：
定理7.4.1 是群∧|G|＞1?无零元。
定理7.4.2 是群?中的唯一等幂元是幺元。
定理7.4.3 给定群，则有
(?a)(?b)(?c)(a，b，c∈G∧((a⊙b=a⊙c∨b⊙a=c⊙a)→b=c))
即群满足可约律。
定理7.4.4 给定群，则
(?a)(?b)( a，b∈G→((?!x)(x∈G∧a⊙x=b)∨(?!y)(y∈G∧y⊙a=b))
(?a)(?b)(a，b∈G→(?!x)(?!y)(x，y∈G∧(a⊙x=b∨y⊙a=b))
即群中方程解是唯一的。
定理7.4.5 是群?(?a)(?b)(a，b∈ G→(a⊙b)
-1
=b
-1
⊙a
-1
)
定义7.4.3 给定群，若⊙是可交换的，则称是可交换群或是Abel
群。
例7.4.3 例7.4.1中的和例6.1.2中的都是Abel群.
定理7.4.6 给定群，则
为Abel群?(?a)(?b)(a ，b∈G→(a⊙b)
2
=a
2
⊙b
2

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定义7.4.4 给定群，且a∈G，幺元e，则a的阶或周期为n:=(?k)(k∈Z
+
min
{a< br>k
=e}=n)，记∣a∣=n,并称a的阶是有限的；否则，a的阶是无穷的。
k
例7.4.4 任何群的幺元e的阶都是1。
定理7.4.7 给定群，且a∈G的阶n是有限的，则
(?m)(m∈Z
+
∧k=mn)?a
k
=e
推论：若a
n
=e且没有n的因子d(1＜d＜n)，使a
d
=e，则n为a的阶。
例7.4.5 如果a
6
=e且a
2
?e和a
3
?e，则6是a的阶。
定理7.4.8 给定群及a∈G，则a与a
-1
具有相同的阶。
7.5 置换群和循环群
本节里，将讨论群论中两种常见而又重要的群：置换群和循环群， 特别在研究群的同构群时，
置换群扮演着极重要的角色。
在正式讨论置换群以前，需要先作些必要的准备。
定义7.5.1 令X是非空有穷集合，从X到X的双射，称为集合X中的置换，并称|X|为置换
的阶。
若X ={x
1
，x
2
，…，x
n
}，则n阶置换表为




x
2
?
x
p?
?
1
?
p(x
1
)p(x
2
)
?
?
x
n
?
p(x
n
)
?
?
x
n?
?
)
?
n
并称
?

p

(

x

1

)

p

(

x

2

)

?

p

(

x
为置换p的反置换，记为p
-1
。特别把置换
?
x

?

1

x

2

?


?

1

2

n

?
称为X中的幺置换或恒等置换，记为p
e
。
?
x

?
1
xx
?
?
x
x
2
x
n
?
?
此外，用P
X
表示集合X中 的所有置换的集合。
为了说明n个元素的集合可以有多少不同的置换，特给出如下定理：
定理7.5.1 若X={x
1
，x
2
，…，x
n
}，则|P
X
|=n!
证明 因为每一种n阶置换都是n个元素的一种全排列， 所以n个元素的集合中不同的n阶
置换的总数等于n个元素的全排列的种类数目n!。故|P
X
|=n!。
定义7.5.2 给定集合X且p
i
，p
j
∈P
X
，由X的元素先进行置换p
i
后继之作置换p
j
所得 到的
置换，表为p
i
◇p
j
，称p
i
◇p
j
是置换p
i
和p
j
的复合，◇是复合置换运算。
可以看 出，若把置换看成一种特殊关系时，复合置换p
i
◇p
j
就是复合关系pi
op
j
，常称之右复
合；又若把置换看成函数时，那么复合置换又可表 成如下的复合函数即所谓左复合：
p
i
◇p
j
=p
j
* p
i
， 其中*表示函数的复合
于是，对于x∈X有：
(p
i
◇p
j
)(x)=(p
j
o p
i
)(x)=p
j
(p
i
(x))
例7.5.1 令X={a,b,c}，则P
X
={p
1
,p2
,p
3
,p
4
,p
5
,p
6
}且
?
abc
??
abc
??
abc
?
p
1
=
??
p
2
=
?
bac
?
p
3
=
?
cba
?

abc
??????
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p
4
=
?
?
abc
??
abc
??< br>abc
?
p= p=
5
?
6
?? ??
?
acb
??
bca
??
cab
?
可 见，p
1
是幺置换。
对于各置换的反置换也不难看出，如p
2
的反 置换p
2
-1
是
p
2
-1
=
?
?
bac
?

?
?
abc
?
任何两个置换复合也易计算，如
?
abc
??
abc
??
abc
?
p
3
◇p
4
=
??
◇
?
acb
?
=
?bca
?
=p
5

cba
??????
由定义 7.5.1可知，置换即是双射，亦即1-1函数，故P
X
中的元素满足下列四个性质：
(1) (?p
1
)(?p
2
)(p
1
,p
2
?P
X
?p
1
◇p
2
?P
X
?p
2
◇p
1
?P
X
)
(2) (?p
1
)(?p
2
)(?p
3
)(p
1
,p
2
,p
3
?P
X
?(p
1
◇p
2
) ◇p
3
=p
1
◇(p
2
◇p
3
))
(3) (?p
e
)(p
e
?P
X
?(?p)(p ?P
X
?p
e
◇p=p◇p
e
=p))
(4) (?p)(p?P
X
?(?p
-1
)(p
-1
?P
X
?p◇p
-1
=p
-1
◇p=p
e
))
(1)表明P
X
对于◇是封闭的；(2)表明P
X
对于◇是可结合的；(3 )表明P
X
中有幺置换；(4)表明
P
X
中每个置换都有反置换。因 此，可知X
,◇>是一个群，并称它为对称群，习惯上记为|X|
, ◇>。
若Q?P
X
=S
|X|
，则称由Q和◇构成的群为置换群。
例7.5.2 例7.5.1中P
X
(现已写S
|X|< br>即S
3
)与◇构成对称群3
,◇>，其运算表如表7.5.1。

表7.5.1
◇
p
1

p
2

p
3

p
4

p
5

p
6


对称群3< br>,◇>独立于集合X中各个元素，但却依赖于集合X中的元素个数。这就是说，任
何三个其它元素 的集合都会生成“同样”的置换，这就是为什么将对称群X
,◇>写成|X|
,◇>，
即3
,◇>的理由。此外，把集合X的基数称为对称群3
,◇>的次数。因此，3
,◇>是三次六阶
群，因为|S
3
|=3!=6。
一般地说来，由n个元素的集合而构成的所有n!个n阶置换的集合Sn
与复合置换运算◇构
成群n
, ◇>，它便n次n!阶对称群。
应该注意，置换群一般都不是对称群，因为它并不要求一定要包括全部给定阶的置换。例如，
三 次置换群<{p
1
,p
2
},◇>和<{p
1
,p
5
,p
6
},◇>都不是对称群，其中p
1
,p
2
,p
5
,p
6
?S
3
。
若说置换是个关系即有序 对集合，那么由置换和◇构成置换群，它会确立怎样的二元关系
呢？下面就来回答这个问题。
定义7.5.3 令是一置换群且Q?S
|X|
。称R={所诱导的X上的二元关系。
p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
p
6

p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
p
6

p
2
p
1
p
5
p
6
p
3
p
4

p
3
p
6
p
1
p
5
p
4
p
2

p
4
p
5
p
6
p
1
p
2
p
3

p
5
p
4
p
2
p
3
p
6
p
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p
6
p
3
p
4
p
2
p
1
p
5

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例7.5.3 设X={a,b,c,d}，Q={p< br>e
,p
1
,p
2
,p
3
}，其中
?
abcd
??
abcd
?
p
e
=
??< br> p
1
=
?
bacd
?

a bcd
????
p
2
=
?
?
abcd
??
abcd
?
p=
3
???
?
a bdc
??
badc
?
可证是X上的一个置换群，而由 诱导的X上的二元关系可由图7.5.1给出。

图7.5.1
现在，讨论一下置换与群的运算表的联系。
众所周知，群保持独异点的性质，故在群的运算表中，任两行或任两列均不相同。
不仅如此，可以证明每行或每列都是G中元素的置换。
定理7.5.3 在有限群中，每行或每列都是G中元素的置换。
类似可证，同样的结论对于列也成立。
现在，应用该定理来考察一、二、三和四阶的群。
一阶群仅有幺元，即<{e}，⊙>。
二阶群除幺元e外，还有一个元素，比如a，则有<{ e，a}，⊙>，其运算表如表7.5.2。由定
理7.5.3可知，不可能再有其它运算表。在此预先 指出，所有的二阶群都与该群<{e，a}，⊙>同
构。
三阶群，可令<{e，a，b}，⊙ >，其运算表如表7.5.3。由定理7.5.3知，不可能再有别的运算
表。同样，任何三阶群都与它 同构。
从运算表可以看出，所有二阶群和三阶群都是Abel群。事实上，四、五阶群也是Abel群 ，
但六阶群未必都是Abel群。
表7.5.2 表7.5.3 表7.5.4
⊙
e
a
e a
e a
a e




⊙
e a b
e
a
b
e a b
a b e
b e a





⊙
a b c d
a
b
c
d
a b c d
b a d c
c d b a
d c a b
例7.5.4 给定四阶群<{a,b,c,d, ⊙>，基运算表如表7.5.4所示。可以看 出，a为幺元，b
-1
=b，
c
-1
=d，d
-1
=c，要验证⊙确是可结合的，必须考察元素b,c和d的27个组合，这是比较麻烦的事情，
然而又只 能这样去做。
上面讲了由有限集合X到X的双射即置换，以及置换群；下面不再限于X是有限集，换言
之，它可以是个无穷集。这时从集合X到X的双射，称之为一一变换或变换。如果令T
X
表示所
有从集合X到X的变换的集合，则显然有T
X
?X
X
，并且 T
X
类似P
X
所具有的四条性质，具体如
下：
(1) (?f)(?g)(f,g?T
X
?f*g,g*f?T
X
)
(2) (?f)(?g)(?h)(f,g,h?T
X
?(f*g)*h=f*(g*h))
(3) (?i)(i?T
X
?(?f)(f?T
X
?i*f=f*i=f))
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(4) (?f)(f?T
X
?(?f
-1
)(f
-1
?T
X
?f*f-1
=f
-1
*f=i))
因而，可证X
,*> 构成群，在代数中称为变换群，显然，置换群是变换群的特例。
请注意，由T
X
中的 一些变换与运算*构成的群，都称为变换群，而X
,*>只不过是个特殊情
形而已 。
最后，介绍循环群。
定义7.5.4 给定群及Z为整数集合，若(?g) (g∈G∧(?a)(a∈G)→(?n)(n∈Z∧a=g
n
)))，
则称是循环群。同时也可说循环群是由g生成的，g是循环群的生成元。
例7.5.5 在例7.5.4中，由表7.5.4得：
a⊙a=a b⊙b=a
c⊙c=c
2
=b c
3
=d c
4
=a
d⊙d=d
2
=b d
3
=c d
4
=a
可见，生成元是c或d，故<{a,b,c,d, ⊙>是循环群。
定义7.5.5 设g生成循环群且Z
+
是正整数集合，则g的周期或阶 为n:=(?k)(k∈Z
+
∧
min
{g
k
=e}=n) ，如果这样n不存在，则称g的周期为无穷。
k
例7.5.6 是一个周期为无 穷的循环群。这个群的幺元是0，且若a?Z，则它的逆元为
-a；该群的生成元是1和-1，因为对任 意正整数k均能表成k=1
k
，对任意负整数-k均有-k=(-1)
k
；< br>对于0,规定1
0
＝(-1)
0
=0
故是由1和-1生成的群且周期为无穷。
例7.5.7 4
,+
4
>是一个群，它是周期为4的循环群。
4
,+
4
>的运算表已由表6.3.2给出，从表可知，[0]是幺元；对任一元素[ i]?Z
4
，其逆元素是
[4-i]，因为[i]+
4
[4-i]= [0]，[1]
4
=[0]，结合性也可验证，而[1]为该群的生成元，因此4
,+
4
>是周期
为4的循环群。
定理7.5.4 每个循环群都是Abel群。
证明 可仿定理7.1.2证明。
定理7.5.5 设< G，⊙>是g生成的有限循环群，如果|G|=n，则g
n
=e，G={g，g
2，…，g
n
=e}
及
min
{g
k
=e}=n ，并且把n称为循环群的周期。
k
7.6 子群与陪集
子群概念，类似于子半群和子独异点。主要内容如下：
定义7.6.1 给定群 及非空集合H?G，若是群，则称为群
的子群。显然，<{e}，⊙> 和都是的子群，并且分别是的“最小”和“最
大”的子群，这对任何群 来说，都有这样的子群，因此称为平凡子群，而其余子群称为真子群。
例7.6.1 在例7.5. 2中群3
,◇>，取H={p
1
,p
4
}，由运算表7 .5.1可知，H?S
3
，而且
是群，因为幺元是p
1
,p
4
-1
=p
4
。故是3
,◇>的子群。
群与其子群有如下的明显性质：
定理7.6.1 是群的子群?e
H
=e
G
，其中e
H
和e
G
分别是和
的幺元，即群与其 子群具有相同幺元。
证明 因为是群的子群，则对任意a?H?G，有
a⊙e
H
=a=a⊙e
G

根据群的可约律，得e
H
=e
G
。
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下面给出关于子群充要条件的定理。
定理7.6.2 给定群及非空H?G，则
是的子群?(?a)(?b)(a，b∈H→
a⊙b∈H)∧(?a)(a∈H→a
-1
∈H)
本定理表明为的子群的充要条件是H对于⊙封闭及H中每个元素存在逆元。
证明 充分性：由(?a)(?b)(a，b∈H→a⊙b∈H)可知，H对于⊙是封闭的。
下面再证为群。
由于是群，可知⊙可结合的，又由题设(?a)(a∈ H→a
-1
∈H)知H中每个元素存在逆
元，再由H对⊙是封闭的及H中每个元素存在 逆元可推出幺元e?H如下：
e=a⊙a
-1
?H,a?H
故是群，于是依定义7.6.1知是的子群。
必要性：显然成立。
定理7.6.3 给定群及非空H?G，则
是的子群?(?a)(?b)(a，b∈H→a⊙b
-1
∈H)
定理7.6.4 给定群及非空有限集H?G，则
是的子群?(?a)(?b)(a，b∈H→a⊙b∈H)
定义7.6.2 群的中心为一集合，记作cent G，cent G:={a|a∈G∧(?x)(x∈G→a⊙x=x
⊙a)}。
可见，cent G包含了 所有与G中的每个元素皆可交换的元素。并且显然若为群，则
是Abel群，当且 仅当cent G=G。
定理7.6.5 是群的子群
定理7.6.6 若1
，⊙>和2
，⊙>都是群的子群，则1
∩G
2
，⊙>也是群
的子群。 确定已知群的全部子群，一般来说是很困难的，但对于循环群而言，却是容易办到的，这可
由下面定 理得出：
定理7.6.7 循环群的任何子群都是循环群。
证明 留给读者自行完成。
本节后半部，将讨论子群的陪集。
定义7.6.3 令是群的子群且a∈G，则把下面集合：
a⊙H={a⊙h|h∈H}
称为由元素a所确定的群中的H的左陪集，或简称为左陪集并简记aH。此外，称a是
左陪 集aH的代表元素。
类似地可定义由a所确定群中的H的右陪集Ha。
显然，若 是Abel群，并且是其子群，则aH=Ha，即任意元素的左陪集等于
其右陪集 。
根据左陪集的定义，可得到下列结论：
(1) 若为群的子群，则H为中的左陪集。
因为若e是的幺元，则e⊙H={e⊙h|h?H|=H。
(2) 若是群的子群，对任意a∈G，则a∈aH。
因为e?H，故a=a⊙e?aH。
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(3) 若是群的子群，则H的每个左陪集与H等势。
令f?(aH)
H
如下：
f(h)=a⊙h, 其中h?H
则f是双射。
满射是显然的，下面再证它是单射。
若a⊙h
1
= a⊙h
2
，h
1
,h
2
?H，则根据群的可约律知h
1
=h
2
，即f(h
1
)=f(h
2
)导出h< br>1
=h
2
。
例7.6.3 设4
>是群 4
,+
4
>的子群，其中H={[0],[1]}，则群4
,+
4
>中的H的左陪集有：
[0]H=[0]+
4
{[ 0],[2]}={[0]+
4
[0],[0]+
4
[2]}={[0],[ 2]}
[1]H=[1]+
4
{[0],[2]}={[1]+
4
[0],[1]+
4
[2]}={[1],[3]}
[2]H=[2]+
4
{[0],[2]}={[2]+
4
[0],[2]+
4
[2]}= {[2],[0]}
[3]H=[3]+
4
{[0],[2]}={[3]+
4
[0],[3]+
4
[2]}={[3],[1]}
因此，H的左陪集 有二，它们是{[0],[2]}和{[1],[3]}，由于4
,+
4
>是Abel群，故H的右陪集同样
也是{[0],[2]}和{[1],[3]}。
对于右陪集有同样结论，不重复了。下面介绍有关左陪集的定理。
定理7.6.8 若是群的子群，则aH=H?a∈H。
证明 充分性：若a?H，则aH?H ，这是因为是群，H对于⊙具有封闭性。反向的
包含亦成立，因为若h?H，则h=a⊙(a
-1
⊙h)，此处a
-1
⊙h?H，这是因为是群的< br>子群且a,h?H。由此导出h?aH。因此，H?aH。故aH=H。
必要性：假若aH=H，因为幺元e?H，故a=a⊙e?aH=H，即得，a?H。
下面的定理提供了对于两个左陪集相等的一种判断。
定理7.6.9 若是群的子群，则aH=bH?b
-1
⊙a∈H
推论 左陪 集aH中的任何元素a
1
均可决定该陪集，或者说，陪集中的每个元素都可作为陪
集的 代表。
因为若a
1
?aH，则存在h
1
?H，使得a1=a⊙h< br>1
，于是a
-1
⊙a
1
=h
1
?H。
再根据定理7.6.9知，a
1
H=aH。
定理7.6.10 若是群的子群，则或者aH∩bH=?或者aH=bH。
由于G中每个元素a必 在H的左陪集aH中，从定理7.6.10又知道，G中每个元素恰好能属
于H的某个左陪集中。因此H 的左陪集簇构成G的划分，而且划分中每个块与H具有相同的元
素个数。因此可得下面定理：
定理7.6.11 若是群的子群，则中的H的左陪集簇构成G的一 种
划分。并且称它为G的对于H的左陪集划分。
例7.6.4 设是群的子群，其中H={4i|i?Z}={···,-8,-4,0,4,8,···}，则中
的H的不同左陪集是：
0H=0+H={···,-8,-4,0,4,8,···}=[0]
1H=1+H={···,-7,-3,1,5,9,···}=[1]
2H=2+H={···,-6,-2,2,6,10,···}=[2]
3H=3+H={···,-5,-1,3,7,11,···}=[3]
可见，H的左陪集恰是四个模4同余类，此时Z对于H的左陪集划分为
Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]
假若群为有限群，其子群是，且 |G|=n，|H|=m，则G的对于H的左陪集划
分可表为G=a
1
H∪a
2
H∪···∪a
k
H，其中k为不同的左陪集个数，称为H在G中的指标，由于word文档 可自由复制编辑

每个左陪集皆有m个元素，故G具有k m个元素，即n=mk，这便得到著名拉格朗日(ge)
定理：
定理7.6.12 若是有限群的子群，且|G|=n，|H|=m，则n=mk，其中k∈Z
+
，
Z
+
是正整数集合。
本定理表明，任何有限群的阶均可被其子群的阶所整除。
推论 任何其阶为素数的有限群必无真子群。
最后应用陪集概念来定义一个子群，它是非常重要的子群——正规子群或不变子群。
定义7.6.5 设是群的子群，若对于G中任意元a，有aH=Ha，则称< H，⊙>
是群的正规子群。
由本定义可知，每个Abel群的子群均为正规子群。
请注意，正规子群导出可交换性是比较弱的。这是因为，若h∈H，并非总有a⊙h=h⊙a，而仅仅知道必存在h
1
，h
2
∈H，使得a⊙h
1
=h
2
⊙a。
例如，例7.6.4中的是群的正规子群，也 不难证明<{p
1
,p
5
,p
6
},◇>是对称群3
,◇>
的正规子群。
下面定理提供了简便的手段判定一已知子群是否为正规子群，它很有用途。
定理7.6.13 给定群的子群，它是群的正规子群?(?a)(a∈G→
aHa
-1
?H)。
证明 充分性：假设对任意a?G，有aHa
-1
?H，再证aH=Ha。
令a⊙h?aH。因aHa
-1
?H，则对某个h
1
?H，有
a⊙h⊙a
-1
=h
1

于是 a⊙h=(a⊙h⊙a
-1
)⊙a=h
1
⊙a
可见 h
1
⊙a?Ha
故 aH?Ha
只要注意：a
-1
Ha=a
-1
H(a
-1
)
-1
?H，可类 似地证明Ha?aH，于是
aH=Ha。
必要性：假设对每个a?G，有aH?Ha且a⊙ h⊙a
-1
?aHa
-1
。则因aH=Ha，必存在h
1
? H，使
得
a⊙h=h
1
⊙a
于是 a⊙h⊙a< br>-1
=(h
1
⊙a)⊙a
-1
=h
1

因此 a⊙h⊙a
-1
?H，故aHa
-1
?H。
例7.6.5 试证是群的正规子群
7.7 群的同态与同构
本节中，将同态与同构概念作用于群，便导出群的同态和同构。主要内容如下：
定义7.7.1 给定群和群，则群?群:=(?g)( g∈H
G
∧(?a)( ?b)(a，
b∈G→g(a⊙b)=g(a) ○g(b)))，并称g为从群到群的群同态映射。
群同态有很好的性质，它保持幺元、逆元和子群，请看下面定理：
定理7.7.1 设g为从群到群的群同态映射，则
(1) 若e
G
和e
H
分别为两群的幺元，那么，g(e
G
)=e
H
。
(2) 若a∈G，那么，g(a
-1
)=(g(a))
-1
。
(3) 若是群的子群且g(S)={g(a)|a∈S}，那么，为群的子
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群。
证明
(1)因为g(e
G
⊙e
G
)=g(e
G< br>)=g(e
G
)○g(e
G
)，可见，g(e
G
)是 等幂元。由于群的唯一等幂元是幺元。
故g(e
G
)=e
H
。 (2)对任意a∈G，有a
-1
∈G。于是g(a⊙a
-1
)=g(e< br>G
)=e
H
=g(a)○g(a
-1
)和g(a
-1
⊙a)=g(e
G
)=e
H
= g(a
-1
)
○g(a)，因此g(a
-1
)=(g(a))
-1
。
( 3)若c,d?g(S)，则存在a,b?S，使得c=g(a)，d=g(b)，于是c○d
-1=g(a)○g(b)
-1
=g(a)○g(b
-1
)=g(a
⊙b
-1
)。因为a⊙b
-1
?S，则c○d
-1
?g(S )。根据定理7.6.3知为群的子群。
定理7.7.2 给定群和代数系统，若g是从群
态映射，则为群。
证明 根据定理6.3.2及g满同态映射可导出保持结合性，本定理自然为真。
同半群、 独异点类似，可根据g是单射、满射和双射，群同态分别称为群单一同态映射、群
满同态映射和群同构映 射。
群自同态和群自同构也类似于半群自同态和半群自同构进行定义。
例7.7.1 给 定两个群4
,+
4
>和，其中G={1,-1,i,-i}且 i
2
=-1，它们的运算表如下：
+
4

[0]
[1]
[2]
[3]
[0] [1] [2] [3]
[0] [1] [2] [3]
[1] [2] [3] [0]
[2] [3] [0] [1]
[3] [0] [1] [2]
Z
4
的满同

?
1
-1
i
-i
1 -1 i -i
1 -1 i -i
-1 1 -i i
i -i -1 1
-i i 1 -1
试证4
,+
4
>?。
证明 构造函数f?
G
如下：
f([0])=1，f([1])=i，f([2])=-1，f([3])=-i
可验证f 是双射且群同态，因此f是从4
,+
4
>到的群同构映射，故 群4
,+
4
>?。
例7.7.2 试证每个n阶循环群都同构于群4
,+
4
>。
证明 令是由元素g生成的n阶循环群，其中G={g,g
2
,···,g
n
= e}，则构造映射f?Z
n
G
如下：
f(g
i
)=[i]，1≤i≤n-1，f(e)=[0]
显然，f是从群 到群4
,+
4
>的群同构映射，故? 4
,+
4
>。
定义7.7.2 设f是从群到群的 群同态映射，e
H
为的幺元，记
K
f
={k|f(k)= e
H
∧k∈G}，称K
f
为群同态映射f的核。
显然，K
f
≠?，因为e
G
∈K
f
。
定理7.7.3 若f是从到的群同态映射，则f
，⊙> 是群的正规子
群。
证明 令任意k
1
,k
2
?K
f
，则由k
f
的定义可知，f(k
1
)=f(k
2
)=e
H
，e
H
为群的幺元。于是，
f(k
1
⊙k
2
-1
)=f(k
1
)○f(k
2
-1
)=f(k
1
)○f(k
2
)
-1
= e
H
○e
H
-1
=e
H
，可见，k
1⊙k
2
-1
?K
f
。根据定理7.6.3知，f< br>, ⊙>
是群的子群。
欲证f
, ⊙>是群的正规子群，则根据定理7.6.13，对任意a?G，有aK
f
a
-1
? Kf即可。
亦即只需证明当a?G及k?K
f
时，a⊙k⊙a
-1
? K
f
。为此只要证明f(a⊙k⊙a
-1
)=e
H
，而这是 很明显的，
因为
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f(a⊙k⊙a
-1
)=f(a)○f(k)○f(a
-1
)
=f(a)○e
H
○f(a)
-1

=f(a)○f(a)
-1

=e
H

显然，同态映射未必是一对一的，但发现一对一的群同态映射的核有一简单特性。
定理7.7.4 设f是从到的群同态映射，则f是一对一的?K
f< br>={e
G
}。
最后再介绍两个定理，实则是一个定理来结束本节。
对于任何一个群，由恒等映射f(x)=x，x∈G，显然?。自然会想到，< br>群是否还与除自身外的其它群同构呢?1854年，回答了这个问题，即所谓群的
表示 定理，亦称Cayley定理。
定理7.7.8 任何群均与一个变换群同构
对于有限群，也能类似地证明下面结果：
定理7.7.9 每个n阶有限群均与一个n阶置换群同构。
把积代数概念应用群上，便产生积群。由此可知，两个或更 多个群能产生更高阶的积群，这
部分几乎与积半群完全相同。
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第8章 环和域
前一章讲述了半群、独异点和群，它们都是具有一个运算的 代数结构，这对于研究简单的整
数系统和实数系统来说，都是不够的。因此必须研究具有两个二元运算的 代数结构——环和域。
由于环和域都是建立在已熟悉的Abel群和半群之上的，这对于讨论它们带来很 大的便利。
8.1 环
定义8.1.1 给定，其中+和·都是二元运 算，若①是Abel群，②
是半群，③·对于+是可分配的，则称 是环。
请注意，+和·并非只是指数域上加法与乘法。为了方便，通常仍将+称为加法，将·称为乘< br>法，把称为加法群，称为乘法半群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。
环的加法群的幺元或加法零元称为环的零元，以0示之。若a∈R，则其加法逆元以-a表之。
常常又根据环中乘法半群满足不同性质，将环冠于不同的名称。
定义8.1.2 给定环< R，+，·>，若是可交换半群，则称是可交换环；若
是独异点， 则称是含幺环；若满足等幂律，则称是布尔环。
通常用1表 示的幺元。在中，若a∈R的逆元存在，则以a
-1
表示其乘法逆元。
例8.1.1 ，，，和等都是环，而且除
外都是拥有加法幺元---- 数0和乘法幺元----数1的可交换含幺环。这里Z、R、Q、E、C分别为
整数集合、实数集合、有 理数集合、偶数集合和复数集合，而+和?分别是大家熟悉的加法和乘法
运算。
例8.1.2 给定，其中P(S)是集合S的幂集，+和·运算定义如下：
A+B=(A-B)∪(B-A)
A·B=A∩B
这里A,B?P(S)，∩和∪ 是集合并与交运算。可以验证是环，并且是拥有加法幺元?和
乘法幺元S的可交换 幺环。通常称该环为子集环。这里仅给出，对于+是可分配的证明如下：
若A,B,C?P(S)，则
A·(B+C)=A∩((B-C)∪(C-B))
=(A∩(B-C))∪(A∩(C-B))
=((A∩B)-(A∩C))∪((A∩C)-(A∩B))
=(A∩B)+(A∩C)
=A·B+A·C
例8.1.3 n
,+
n
,·< br>n
>是含幺可交换环，其中[0]是环的零元，[1]是环的幺元。
定理8.1.1 是环?(?a)(a∈R→a·0=0·a=0)
证明 根据分配律及0是加法幺元的性质可得：
a·0+a·0=a·(0+0)=a·0=a·0+0
应用加法群的可约律有：
a·0=0
同理可证，0·a=0。
下面讨论加法逆元的性质，为方便记，a+(-b)表成a-b。
定理8.1.2 是环?(?a)(?b)(a，b∈R→-(a·b)=a·(-b)=(-a)·b)
证明 因为a·b+a·(-b)=a·(b+(-b))
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=a·0
=0
所以，-(a·b)=a·(-b)
同理 -(a·b)=(-a)·b
推论1 (?a)(?b)(a，b∈R→(-a)·(-b)=a·b)
推论2 (?a)(?b)(?c )(a，b，c∈R→(a·(b-c)=a·b-a·c)∧((b-c)·a=b·a-c·a))
由定理8.1.1可知，环中任二元素相乘，若其中至少有一个为零元，则乘积必为零元。但反
之未必 真，这是因为在环中，两个非零元的乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。
定义8.1.3 给定环，则环中有零因子:=(?a)(?b)(a，b∈R∧a≠0∧b≠0< br>→a·b=0)
并称该环为含零因子环，a和b是零因子。
注意，零因子其自身非零也。
例8.1.4 环4
,+
4< br>,·
4
>中加法表已给出过，其乘法运算表如下：

·
4

[0]
[1]
[2]
[3]

可见，[2]·即[2]是零因子，该环为含零因子环，此外4
,·因 为[2]·
4
[2]=[0]，
4
>也满足可约律，
4
[1 ]=
[2]·
4
[3]，但[1]?[3]，自然会想到环的零因子与环的可约律有 何关系呢？
定理8.1.3 给定环，则为无零因子环?满足可约律。
证明 充分性：假设满足可约律，并设a,b?R且a·b=0
若a?0，则a·b+(-(a·0))=0或a·b=a·0
应用可约律得：b=0
类似地可证，若b?0，得a=0，因此为无零因子环。
必要性：假设无零因子，并且a,b,c?R和a?0，有a·b=a·c。
于是
a·b+(-(a·c))=a·(b-c)=0
由于无零因子且a?0，故b-c=0，即b=c。可见，a·b=a·c?b=c。
定义8.1.4 给定可交换含幺环，若无零因子，则称为整环。
由定理 8.1.3知道，环中可约律与无零因子是等价的，因此整环是无零因子可交换含幺环或
者说是满足可约 律可交换含幺环。
下面再给出一个定理以结束本节。
定理8.1.4 给定含幺环且R≠{0}，则|R|≥2。
证明 因为R?{0}，则至少存在a?R且a?0。假定1=0，则
a=a·1=a·0=0
这与a?0矛盾。故1?0，因此|R|≥2。
可见，只有一个元素的环，其零元与幺元才是 同一个元素，即在环<{0},+,·>中1=0，否则
0?1。
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[0] [1] [2] [3]
[0] [0] [0] [0]
[0] [1] [2] [3]
[0] [2] [0] [2]
[0] [3] [2] [1]

8.2 子环与理想
与讨论群与子群一样，对于环也要讨论子环。主要内容如下：
定义8.2.1 给定环和非空集合S?R，若是的子群，是
的子半群，则称是的子环。
这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡子群和真子群类似。
由环的定义知道，若 为群的子群，是的子半群，在R上乘法对
于加法分配律成立，则是的子环。显然由于S?R而分配律、结合律在R中
成立。则在S中亦成立。于 是，子环可定义如下：
若(1)?≠S?R
(2)是的子群
(3)S对·满足封闭性
则为的子环。
由此及上节 定理7.6.3：是的子群的充要条件是对任意a，b∈S则a⊙b
-1
∈S，
便可得到下面定理。
定理8.2.1 给定环及?≠S?R，则是的子环?(?a)(?b)(a，
b∈S→a-b∈S∧a·b∈S) < br>本定理表明为的子环的主要条件是S对减法运算封闭和S对乘法运算
封闭。
例8.2.1 在环中，是其子环，而且不 为其子环。这里E和o分别
是偶数集合和奇数集合。
由此看出，含幺环的子环未必也含幺元， 因为是含幺元1的环，其子环不
再含乘法幺元。
例8.2.2 令S={a+b
3
|a,b?Z}，则是环的子环，其中Z，R 分别为整数集
合和实数集合。
解 对任意a,b,c,d?Z，则
(a+b3
)-(c+d
3
)=(a-c)+(b-d)
3
?S
(a+b
3
)·(c+d
3
)=(ac+3bd)+(ad+bc)
3
?S
根据定理8.2.1可知， 是环的子环
下面引进一种特殊的子环，称之为理想，理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。
定义8.2.2 设为的子环，若对于T中任何元t和R中任何元a， 有a·t
∈T且t·a∈T，则称为环的理想。
显然，若是可交换环，a·t∈S或t·a∈S只要其一即可。
由定义可知， 若为理想，则R中任二元素相乘时，若至少有一个元素属于T，则
乘积必属于T。 当是环的子环时，要求S对于乘法运算封闭；而当是环+，·>的理想时，要求更强的封闭性，即T对于乘上R中任一元素的运算封闭。
注意到子环与理想的定义，不难证明如下定理：
定理8.2.2 给定环及 ?≠T?R，则为环的理想?(?t)(?t
1
)(?a)(t ，
t
1
∈T∧a∈R→(t-t
1
)∈T∧t·a∈T∧a·t∈T )
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例8.2.3 是环的理想。
例8.2.4 试证<(i),+·>为环的理想，其中(i)={ni|n?Z}。
证明 对于任意mi,ni?(i)及k?Z，则
mi-ni=(m-n)i?(i)
k(ni)=(kn)i?(i)
根据定理8.2.2知，<(i),+·>为环的理想。
定义8.2.3 令是环之理想，若在T中存在元g，使得T=R·g，其中R·g={a·g|a
∈R}，则称为环的主理想。并称g为的生成元或说由g 生成+，·>，常常用(g)表示T。
对于环来说，它有个有趣的性质 即它的所有理想均为主理想。因此有下面待证定
理。
定理8.2.3 设为 环之理想，则存在i∈Z
+
，使得L=(i)。即
的每 个理想皆为主理想。
证明 显然Z=(1)，{0}=(0),因此两个平凡理想和<{0},+,·>都是主理想。
其次，令为的任一真理想，i为L中最小正整数，再证L=(i)。 由于为理想且i?L，因此对于任意ni?(i)，有ni?L，故(i)?L，如能证得L ?(i)，即
证毕。令任意k?L，则k=q·i+r，其中q,r?Z且0≤r考虑到i为L中的最小正整数和0≤r于是为的主理想。
对于任一环的理想，读者不难证明下面定理：
定理8.2.4 若1
，+，·>与2
，+，·>同为环之理想，则1
∩T
2
，+，·>亦为环
之理想。
定理8.2.5 若为含幺环之任一真理想，则T中任一元素均无乘法逆元。
证明 用 反证法。假设T中存在某个具有乘法逆元的非零元a，以a
-1
表示其乘法逆元。由于
为理想，可知a
-1
·a=1?T。于是，对任意a?R，a·1=a?T，即 R?T，而T?R是显然
的，故R=T。这与是的真理想矛盾，所以，T 中不存在具有乘法逆元的元
素。
8.3 环同态与环同构
定义8.3.1 给 定环与，则环?环:=(?f)(f∈S
R
∧(?a)(?b)(a，b∈R→(f(a+b)=f(a)?f(b)∧f(a·b)=f(a) ⊙f(b)))，称f为从环到环⊙>的环同态映射。
又若f为双 射，则环?环，此时称f为从到的
环同构 映射。
不难看出，环同态意味着群同态与半群同态，而且f还能保持可分配性，即对任意a，b，c< br>∈R，则
f(a·(b+c))=f(a)⊙f(b+c)
=f(a)⊙(f(b)?f(c))
=(f(a)⊙f(b))?(f(a)⊙f(c))
例8.3.1 考虑两环与n
,+
n
,·n
>，则?n
,+
n
,·
n
>。
解 只需构造出一个环同态映射即可。
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令f?Z
Z
n
如下：
f(a)=[a]， a?Z
因为对任意a,b?Z，则
f(a+b)=[a+ b]=[a]+
n
[b]=f(a)+
n
f(b)
f(a·b)= [a·b]=[a]·
n
[b]=f(a)·
n
f(b)
可见，f 为从环到n
,+
n
,·
n
>的环同态映 射。
例8.3.2 令为环的子环，其中Ｓ＝{|a?R},+和·定义如下：
+=
·=
则子环?。
证明 令f?R
S
如下：
f()=a
显然f是双射 ，不难证明f也是从到的环同态映射，故?。
定义8.3.2 若f为从环到环的环同态映射，0
S
为环的零
元，则集合K
f
={k|f(k)=0
S
∧k∈R}，称为环同态映射f的核。
关于环同态、环同构有群同态、群同构类似的定理，今仅叙述如下而其证明留给读者。
定理8.3.1 若f为从环到环的环同态映射，且0
R，0
S
，1
R
，1
S
分别
为两个环的零元和幺 元，则
(1) f(0
R
)=0
S
(2) f(-a)=-f(a)
(3) f
，+，·>是的子环
(4) 是的子环
(5) f为单射?K
f
={0
R
}
又若f为双射，即f为环同构映射，则
(6) f(1
R
)=1
S
(7) 若a∈R有乘法逆元a
-1
，f(a
-1
)=f(a)
-1
。
此外，由(2) 可证环同态映射保持减法运算，因为对任意a，b∈R
f(a-b)=f(a+(-b))=f(a)? f(-b)=f(a)?(-f(b))=f(a)-f(b)
下面定理揭示了环同态映射的核有理想结构。
定理8.3.2 若f为从环 到环的环同态映射，则f
，+，·>为
之理想。
证明 因为0
R
?K
f
，则K
f
??。
令k,k
1
?K
f
，则K
f
的定义知
f(k)=0
S
=f(k
1
)
又
f(k-k< br>1
)=f(k)-f(k
1
)=0
S
-0
S
=0
S

故 k-k
1
?K
f

又令a?R，于是
f(k·a)=f(k)⊙f(a)=0
S
⊙f(a)=0
S

f(a·k)=f(a)⊙f(k)=f(a)⊙0
S
=0
S

故k·a?K
f
且a·k?K
f
。
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根据定理8.2.2知，f
，+，·>为的理想。
例8.3.3 令f?Z
n
Z
如下：
f(a)=[a]， a?Z
则由例8.3.1知，f为从环到n
,+
n,·
n
>的环同态映射。于是
K
f
={k|f(k)=[0]}
={k|k=jn,j?Z}
=(n)
因此，f
，+，·>为由n产生的主理想。
8.4 域
对于环施加进一步限制，即是可交换群，便得到另外一个代数结 构—
—域。
定义8.4.1 给定可交换环，若为群，则称为域。
例8.4.1 和皆为域，而不为域，其中R、Q和Z分别为实
数集合、 有理数集合和整数集合，+和·是普通加法和乘法。
例8.4.2 给定可交换环，其中R是实数集合，+和·定义如下：
+=
·=
可以看出，其加法幺元为<0,0>，乘法幺元为<1,0>。
若?<0,0>，则乘法定义得
a?b
a
2
?b
2
?ab?ab
,?
=
?
2
,
2
?=<1,0> ·
?
2
22
a?b
2
a2
?b
2
a?ba?b
故
-1
=
?
为域。
下面定理证明了域中无零因子，因而域中可约律成立。
定理8.4.1 为域?(?a)(?b)(a，b∈F∧a·b=0→(a=0∨b=0))
证明 若a=0，定理显然成立。
若a?0，则由为域可知a
-1
?F，于是
b=1·b=(a
-1
·a)·b=a
-1
·(a·b)
根据假设a·b=0，则
b=a
-1
·0=0
同理，若b?0，则a=0。
因此，a·b=0?a=0?b=0
由于域是可交换含幺环，而且又知域中没有零因子，所以域为整环。但整环未必是域。
定理8.4.2 设是无零因子环，若1<|R|+
，则是域。
证明 因是无零因子环，根据定理8.1.3可知，在R-{0}中满足乘法可约律， 又由
于是半群及R是有限集合，类似于定理7.6.4的充分条件的证明，可知是Abel
群。因此，是域。
该定理说明了，元素大于1的有限无零因子环是域。
定理8.4.4 给定环 n
，+
n
，·
n
>，则n
，+n，·
n
>为域?n为素数。
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a?b
,?
?R?R，可见R?R中的非零元皆有乘法逆元，因此
2222
a?ba ?b

证明 充分性：假设n为素数，而n
，+
n
，·
n
>为环，再证n
，+
n
，·
n
>是域，因为n
，
+
n
，·
n
> 是含幺环，故只需证明n
，+
n
，·
n
>中非零元都具 有乘法逆元即可。设[a]?Z
n
，0因为n为素数，则gcd{a,n} =1，于是存在r,s?Z，使得
a·r+n·s=1
由此 [a]·
n
[r]=[a·r]+
n
[0]
=[a·r]+
n
[n·s]
=[a·r+n·s]
=[1]
即得[a]
-1
=[r]，故n
，+
n
，·< br>n
>为域。
必要性：用反证法。假设n不为素数，则n=a·b 0[a]·
n
[r]=[a·b]=[n]=[0]
但[a]?[0]，[b]?[0]，因此[a]与[b]为环n
，+
n
，·
n
>的零因子。然而根据定理8.4.1可知，域中无零
因子，因此n
，+
n
，·
n
>不为域。
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第9章 格与布尔代数
格和布尔代数常常出现于计算机与 数学应用中，如在计算机设计与理论等领域中都有重要的
应用。这两个代数结构与前两章中代数结构存在 着一个基本区别，这就是次序关系在格和布尔代
数中起着重要作用。为此，先把格作为偏序集而引入，接 着将格定义为一个代数结构，最后再讨
论布尔代数。
9.1 格
1．格作为偏序集
定义9.1.1 设是一个偏序集，若对任意a,b,?L， 存在glb{a,b}和lub{a,b}，则称≤>为格，并记为a⊙b=glb{a,b}， a?b=lub{a,b}，称?和?分别为L上的交（或积）和并（或和）
运算。称为 所诱导的代数结构的格。若L是有限集合，称为有限格。
例9.1.1 设| 是Z
+
中整除关系，则+
,|>是格，因为对任意a,b?Z
+
，有
a⊙b=glb{a,b}=GCD(a,b) (a,b的最大公因数)
a?b=lub{a,b}=LCM(a,b) (a,b的最小公倍数)
①设S是集合 ，且L=P(S)，?是集合中包含关系，则是偏序集。对任意A,B?L，有A
⊙B=A∩ B，于是A∩B?A，A∩B?B，并且若C?A及C?B，则C?A∩B，即A∩B=lub{A,B}。类似地有A?B=A∪B=glb{A,B}，故是格。
③令n?Z
+
，且D
n
是n的所有正整数因子集合，则n
,|>是格。于是8
,|>，6
,|>和30
,|>
的哈斯图如 图9.1.1(a)，(b)和(c)所示：

图9.1.1
注意，(b)和(c )分别也是和的哈斯图如下，其判别只是标记不同，< br>见下图。

但是，并非所有偏序集都是格，如图9.1.2中所表示的偏序集，都不是格。
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图9.1.2
格的对偶性原理是成立的：
令是偏序集，且是其对偶的偏序集。若是格，则也是格，反之亦
然。这是因为，对于L中任意a和b，中lub{ a,b}等同于中glb {a,b}，中glb{a,b}
等同于中 的lub{a,b}。若L是有限集，这些性质易从偏序集及其对偶的哈斯图得到验证。
从上讨论中， 可知两格互为对偶。互为对偶的两个和有着密切关系，即格≤>中交运算? 正是格中的并运算?，而格中的并运算?正是格中的交运算?。
因此， 给出关于格一般性质的任何有效命题，把关系≤换成≥（或者≥换成≤），交换成并，并
换成交，可得到 另一个有效命题，这就是关于格的对偶性原理。
定义9.1.2 设是格，且S?L。若 对任意a,b?S，有a⊙b?S和a?b?S，则称是
格的子格。
例如，n
,|>是+
,|>的子格。
2．格的基本性质
在证明格的性质前，回忆一下a⊙b和a?b的真正含义是有好处的。
① a⊙b≤a和a?b≤b，则表明a⊙b是a和b的下界。
② 若c≤a和c≤b，则c≤a⊙b，这表明a⊙b是a和b的最大下界。
①′ a≤a?b和b≤a?b，则表明a?b是a和b的上界。
②′ 若a≤c，且b≤c，则a?b≤c，这表明a?b是a和b的最小上界。
定理9.1.1 设是格，对任意a,b?L，有
① a?b=b?a≤b
② a⊙b=a?a≤b
③ a⊙b=a?a?b=b
亦即 a≤b?a?b=b?a⊙b=a
证明 ① 设a?b=b。因为a≤a?b=b，即a≤b。反之 ，若a≤b，则由于b≤b，可知b是a
和b的上界，根据最小上界的定义，得a?b≤b。又因为a? b是a和b上界，得b≤a?b。综上a?b=b。
②类似于①可证。留给读者完成。
③由①和②得证。
定理9.1.2 设是格，对任意a,b?L，有
① a⊙a=a, a?a=a。 （幂等律）
② a⊙b=b⊙a, a?b=b?a。 （交换律）
③ a⊙(b⊙c)=(a⊙b)⊙c
a?(b?c)=(a?b)?c （结合律）
④ a⊙(a?b)=a
a?(a⊙b)=a （吸收律）
证明 ① 因为glb{a,a}=a，lub{a,a}=a，故a⊙a=a, a?a=a。
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② 因为glb{a,b}=glb{b,a},lub{ a,b}=lub{b,a}，从而有a⊙b=b⊙a，a?b=b?a。
③ 先证明：a⊙(b⊙c)=(a⊙b)⊙c
由最大下界glb的定义可知，a⊙(b⊙c)≤a和a⊙ (b⊙c)≤b⊙c。又有，b⊙c≤b和b⊙c≤c，
应用传递性便得，a⊙(b⊙c)≤b和a⊙( b⊙c)≤c。于是a⊙(b⊙c)是a和b的下界。再根据最大下
界的定义，有
a⊙(b⊙c)≤a⊙b
因为a⊙(b⊙c)是a⊙b和c的下界，故
a⊙(b⊙c)≤(a⊙b)⊙c
类似地可得，(a⊙b)⊙c≤a⊙(b⊙c)。根据≤的 反对称性，得到a⊙(b⊙c)=(a⊙b)⊙c。
仿上可证：a?(b?c)=(a?b)?c。或者根据格的对偶性原理可断定本命题成立。
④ 先证明: a⊙(a?b)=a。
因为a≤a?b和a≤a，可见a是a?b和a的下界 ，故a≤a⊙a?b。另一方面，根据glb的定
义，有a⊙a?b≤a。因此a⊙(a?b)=a。
类似可证a?(a⊙b)=a。
从定理中③，可以将a⊙(b⊙c)和(a⊙b)⊙c记为a ⊙b⊙c，类似地把a?(b?c)和(a?b)?c记为
a?b?c。进而有
glb{a< br>1
,a
2
,···,a
n
}=a
1
⊙a2
⊙,···⊙a
n

lub{a
1
,a
2< br>,···,a
n
}=a
1
?a
2
?,···?an

这是因为使用归纳法可以证明，这些交和并运算与其项的组合次序无关。
定理9.1.3 设是格，对任意a,b,c?L，有
①若a≤b和c≤d，则a⊙c≤b⊙d，a?c≤b?d。
②若a≤b，则a⊙c≤b⊙c，a?c≤b?c。
③c≤a和c≤b c≤a⊙b
④a≤c和b≤c a?b≤c
定理9.1.4 设是格，对任意的a,b,c?L，有
a?(b⊙c)≤(a?b)⊙(a?c)
(a⊙b)?(a⊙c)≤a⊙(b?c)
通常称上二式为格中分配不等式。
定理9.1.5 设是格，对任意的a,b,c?L，有
a≤c?a?(b⊙c) ≤(a?b)⊙c
推论：在格中，对任意的a,b,c?L，有
(a⊙b)?(a⊙c)≤a⊙(b?(a⊙c))
a?(b⊙(a?c))≤(a?b)⊙(a?c)
证明 由a⊙c≤a和a≤a?c，根据本定理9.1.5便可分别得证。
3．特殊的格
定义9.1.3 设是格，若L中有最大元和最小元，则称为有界格。一般把格 中
最大元记为1，最小元记为0。
由定义可知，对任意a?L，有
0≤a≤1
a⊙0=0, a?0=a
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a⊙1=a, a?1=1
定理9.1.6 设是有限格，其中L={a1
,a
2
,···,a
n
}，则是有界格。
证明 因为a
1
⊙a
2
⊙···⊙a
n
=0，a
1
?a
2
?···?a
n
=1，故是有界格。
定义9.1.4 设是有界格，对于a?L，存在b?L，使得
a*b=0，a?b=1
称b为a的补元，记为a′。
由定义可知，若b是a的补元，则a也是b的补元，即a与b互为补元。
显然，0′=1和1′=0，且易证补元是唯一的。
一般说来，一个元素可以有其补元，未必唯一，也可能无补元。
例9.1.2 考察图9.1.3中各格中元素的补元。

图9.1.3
解 (a)a的补元b，b的补元是a
(b)a，b和c都无补元
(c)a，b，c互为补元，补元不唯一
(d)a的补元是b和c，b的补元是a，c的补元是a。
定义9.1.5 设是格，对任意的a,b,c?L，有
① a⊙(b?c)=(a⊙b)?(a⊙c)
② a?(b⊙c)=(a?b)⊙(a?c)
则称为分配格，称①和②为格中分配律。
定义9.1.6 设是格，对任意的a,b,c?L，有
a≤c?a?(b⊙c)=(a?b)⊙c
称为模格。
定理9.1.7 分配格是模格
证明 设是分配格，且a,b,c?L。
因为 a?(b⊙c)=(a?b)⊙(a?c)，若a ≤c，则a?c=c。于是可得，a?(b⊙c)=(a?b)⊙c。可见，
为模格。
定理9.1.8 每个链都是分配格。
证明 设是链，且a,b,c?L。
考察下述可能情况：
① a≤b或a≤c
② a≥b且a≥c。
对于情况①，有
a⊙(b?c)=a和(a⊙b)?(a⊙c)=a
对于情况②，有
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a⊙(b?c)=b?c和(a⊙b)?(a⊙c)=b?c
可见，格中分配律成立。
格中有些不是分配格，看下例。
例9.1.3 图9.1.3中(c)和(d)的五元素格 不是分配格，这两个格很重要，常用于判定一个格是
否为分配格。
解 (c)因为a⊙(b?c)=a⊙1=a
而 (a⊙b)?(a⊙c)=0?0=0
所以 a⊙(b?c)?(a⊙b)?(a⊙c)，该格不满足分配律。
(d) 因为 b⊙(a?c)=b⊙1=b
而 (b⊙a)?(b⊙c)=0?c=c
可见， b⊙(a?c)?(b⊙a)?(b⊙c)，该格不满足分配律。
定理9.1.9 一个格为分配格，当且仅当它不含有任何子格与这两个五元素格中任一个同构。
这个定理的证明因较繁而冗长略去了。
定理9.1.10 设是分配格，对任意a,b,c?L，有
(a⊙b=a⊙c)∧(a?b=a?c)?b=c
定理9.1.11 设是有界分配格，若a?L，且补元存在，则其补元是唯一的。
证明 设a′和a′′是a?L的补元，于是
a′=a′⊙1=a′⊙(a?a′′)=(a′⊙a)?(a ′⊙a′′)=0?(a′⊙a′′)=a′⊙a′′，
而 a′′=a′′⊙1=a′′⊙(a?a′)=a′′⊙a′=a′⊙a′′。
所以，a′=a′′。可见，a的补元是唯一的。
定义9.1.7 设是格，若L中每个元素至少有一补元，则称为有补格。
由于补元的定义是在有界格中给出的，可知，有补格一定是有界格。
例9.1.4 图9.1.4中给出一三个有补格

图9.1.4
定义9.1.8 若一格既是有补又是分配的，则称该格为有补分配格，或布尔格，或布尔代数。
定理9.1.12 设是有补分配格，若任意元素a?L，则a的补元a′是唯一的。
该定理9.1.11的直接推论，因为有补分配格当然是有界分配格。
由于有补分配格中，每 个元素a都有唯一的补元a′，因此可在L上定义一个一元运算—补运
算“′”。这样，有补分配格可看 作具有两个二元运算和一个一元运算的代数结构，习惯上称它为
布尔代数，记为，其中B=L。
定理9.1.13 设是有补分配格，对任意a,b?L，则
① (a′)′=a
② (a⊙b)′=a′?b′
③ (a?b)′=a′⊙b′
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后两式称为格中德·摩根律。
证明 ① 因为a⊙a′=0，a?a′=1和(a′)′⊙ a′=0，(a′)′?a′=1，且补元是唯一的，故(a′)′=a。
② (a⊙b)⊙(a′?b′)=(a⊙b⊙a′)?(a⊙b⊙b′)=0
(a⊙b)?(a′?b′)=(a?a′?b′)⊙(b?a′?b′)=1
由于补元的唯一性，所以(a?b)′=a′⊙b′。
③ 根据对偶原理由②可证。
定理9.1.14 设是有补分配格，对任意a,b?L，有
a≤b?a⊙b′=0
?a′?b=1
格同态，格直积等概念可以接下来定义和研 究，但这里不打算这样做，因为如此进行会相对
较繁，而是将格作为一个代数结构而引入它们。
4．格是代数结构
能自然地把代数结构中有关子代数、同态、积代数等概念，引入到格中。
定义9.1.9 设是一代数结构，其中?和⊙是L上满足交换律、结合律和吸收律的 二
元运算，且对任意a,b?L，定义关系≤如下：
a≤b?a⊙b=a
则是格，称为代数系统所诱导的偏序集确立的格。
请注意是格是可证明的。
综上可知，两种定义是等价的。以后可视需要，可随意引用这种定义及符号表示。
定义9.1.10 设和是格。存在函数f:L?S，若对任意a,b?L，有
f(a?b)=f(a)?f(b)，f(a⊙b)=f(a)?f(b)
则称f是从到的格同态。
下述定理说明格同态是保序的。
定理9.1.15 设和是格，而和分别是 给定两个格所诱导的偏
序集确立的格。若f:L?S是格同态，则对任意a,b?L，且a≤b，必有f (a)≤′f(b)。
证明 根据a≤b?a⊙b=a，有
f(a⊙b)=f(a)?f(b)=f(a)
所以，f(a)≤′f(b)。
但本定理的逆不真。例如，设S={1,2,3,6}，则和是格，其中“|” 和“≤”分别
是整除关系和小于等于关系。函数f:S?S，f(x)=x是保序的，但从它们的哈斯图 9.1.5容易看出，
f不是格同态。

图9.1.5
在定义9.1.1 0中，若f是双射函数，则称f是格同构。或称和两个格同构。
由于同构 是相互的，又是保序的，故对任意a,b?L，有
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a≤b?f(a)≤′f(b)
和
f(a)≤′f(b)?a≤b
这表明同构的两个格的哈斯图是一样的，只是各结点的标记不同而已。
例9.1.5 具有 一、二、三个元素的格，分别同构于一、二、三个元素的链。四个元素的格必
同构于图9.1.6中(a )和(b)之一。五个元素的格必同构于图9.1.7中(a)，(b)，(c)，(d)，(e)之一。

图9.1.6


图9.1.7
定义9.1.11 设和是格，定义一个代数结构如下：
对任意1
,b
1
>，2
,b
2
>?L?S， 有
1
,b
1
>+2
,b
2>=1
?b
1
,a
2
?b
2
>
1
,b
1
>o2
,b
2
>=1
⊙b
1
,a
2
?b
2
>
称是格和的直积。
两个格的直积也是格。 这是因为在L?S上，运算·和+是封闭的，且满足交换律、结合律和
吸收律。
格积的阶等于两个格的阶乘积。由于是一个格，故又可以与另一个格作直积，< br>这样，利用格的直积可用较小阶的格构造出阶越来越大的格。但反之，较大阶的格，并不都能表
示 成较小阶的格直积。
例9.1.6 4
,|>和9
,| >是两个格，其中D
n
表示n的因子集合，“|”表示整除关系，格D
4
?D
9
如图9.1.8所示。它与格36
,|>的哈斯图除结点标记不同外完 全一样。

图9.1.8
例9.1.7 设B={0,1}，考察格自身的直积，其中≤表示通常意义下的“小于等于”。
这些直积是2
, ≤
2
>，2
, ≤
3
>，···，n
, ≤
n
>。在格n
, ≤
n
>中，对任意a,b?B
n
，其形式为
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