高考数学解题思想方法 换元法

二、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它， 从而使问题得到简化，这
叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目 的是变换研
究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简< br>单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的 条件联系起来，
隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或
者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理 式为有理式、化超越式为代数式，在研究方
程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 < br>换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或
者未知中 ，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过
变形才能发现。例如解 不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一
元二次不等式求解和指数方程 的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝
x
＋
1?x
的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x＝sin
α ，α∈[0,
2
xxx
?
]，问题 变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该
2
222
是发现值 域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可
作三角代换x＝r cosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝
SS
＋t，y＝－t等等。
2 2
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围
的选 取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中
?
的t> 0和α∈[0,]。
2
Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x＋1)＝log
a
(4－x) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a
n< br>}中，a
1
＝－1，a
n?1
·a
n
＝a
n ?1
－a
n
，则数列通项a
n
＝___________。
4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
2
24
1?3
?x
5.方程＝3的解是_______________。
1?3
x
6.不等式log
2
(2－1) ·log
2(2
xx?1
－2)〈2的解集是_______________。

< br>1
t
2
【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－
2
,
2
]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，
2
2
1
当t＝< br>2
，y
max
＝＋
2
；
2
2小题：设x＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log
a
[-(t-1 )＋4]，所以值域为(－∞,log
a
4]；
3小题：已知变形为
22< br>1
a
n?1
－
11
＝－1,设b
n
＝，则b
1
＝－1,b
n
＝－1＋(n－1)(-1)
a
n
a
n
1
＝－n，所以a
n
＝－；
n
4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝< br>x
x2
22
1
，所以x＝－1；
3
5
6小 题：设log
2
(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－22
,log
2
3)。
4
Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，设S＝x＋y，求
的值。（93年全国高中数学联赛题）
【分析】 由S＝x＋y联想到c osα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设
2222
2222
1
S
max
＋
1
S
min
?
?
x?Scosα
代入①式求S
max
和S
min
的值。
?
?
?
y?Ssinα
?
?
x?Scosα
【解】设
?
代 入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5
?
?
y?Ssinα
解得 S＝
10
；
8?5sin2α
101010
≤≤
138?5sin
?
3
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴
∴
1
S
max
＋
1
S
min
＝
313168
＋＝＝
1010105
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝
|
8S?10
的有界性而求 ，即解不等式：
S
8S?10
|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法” 。
S

【另解】 由S＝x＋y，设x＝
222
SSSS
2
＋t，y＝－t，t∈[－，]，
2222
S
2
S
2
2
－t
代入①式得：4 S±5
－t
2
=5， 则xy＝±
44
移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。
∴ 39S－160S＋100≤0 解得：
2
22
1010
≤S≤
133
∴
1S
max
＋
1
S
min
＝
313168
＋＝＝
1010105
22
【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是 利用已知条件S＝x＋y与三角公式
cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问 题转化为三角函数值域问题。
第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元 的思路，设x＝
S
222
2
22
2
＋t、y＝
S< br>－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：
2
有界法 、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x 、y时，可以设x
＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x ＝a＋b，y＝a
－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ，求得a∈[0,
2
2 22
5
222
]，所以S＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a
3
＋b )＝

1020
2
1010
11
＋a∈[,]，再求＋的值。
1313133
S
max
S
min
例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，
的值。（96年全国理）
1A?C1
2
＋＝－，求cos
cosA
cosC2
cosB
?
A?C?120°
【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得
?
；
B＝6 0°
?
?
A＝60°?α
A?C
由“A＋C＝120°”进行均值换 元，则设
?
，再代入可求cosα即cos。
2
?
C＝60°－ α
?
A?C?120°
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得
?
,
B＝60°
?

?
A＝60°?α由A＋C＝120°，设
?
，代入已知等式得：
C＝60°－α
?1
cosA
＋
1
cosC
＝
1
cos(60? ?
?
)
＋
1
cos(60??
?
)
＝1
13
cos
?
?sin
?
22
＋
1
13
cos
?
?sin
?
22
＝
cos< br>?
cos
?
＝＝－2
2
,
133
cos< br>2
?
?sin
2
?
cos
2
?
?< br>444
A?C
22
解得：cosα＝， 即：cos＝。
2< br>22
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以
1
1< br>2
＋＝－
cosA
cosC
cosB
＝－2
2，设
1
1
＝－
2
＋m，＝－
2
－m ， cosA
cosC
所以cosA＝
11
，cosC＝，两式分别相加、相 减得：
?2?m?2?m
A?CA?CA?C
22
cos＝cos＝
2
，
222
m?2
cosA＋cosC＝2cos
cosA－c osC＝－2sin
A?CA?CA?C2m
sin＝－
3
sin＝
2
，
222
m?2
即：sin
A?C
22
2m< br>2
A?C
2
A?C
＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：222
m
2
?2
3(m
2
?2)
2
3 m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos
4
A?C
222
＝
2
＝。
2
2
m?2
【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°” 、“
1
1
＋＝－2
2
”分别进行均值换
cosA
c osC
元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三
角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，
得A ＋C＝120°，B＝60°。所以
1
1
2
＋＝－＝－2
2
，即cosA＋cosC＝－
cosA
cosC
cosB
2
2
cosAcosC，和积互化得：

2cos
A?CA?CA?C
2
cos＝－
2
[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－
2cos(A-C)
222
2
＝
A?C
2
2
A? C
2
A?C
－
2
(2cos－1)，整理得：4
2
cos＋2cos－3
2
＝0,
222
2
A?C
2
＝
2
2
2
解得：cos
例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的
最大值和最小值。
y
, ,
【解】 设sinx＋cos x＝t，则t∈[-
2
,
2
]，由(sinx＋
－
2

2
x
2
t
2
?1
cos x)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝
2
11
2
(t－2a)＋ （a>0），t∈[-
2
,
2
]
22
1
2
t＝-
2
时，取最小值：－2a－2
2
a－
2
1
2
当2a≥
2
时，t＝
2
，取最大值：－2a＋2
2a－ ；
2
1
当0<2a≤
2
时，t＝2a，取最大值： 。
2
∴ f(x)＝g(t)＝－
?
12
(0?a?)
?
1
?
22
2
∴ f(x)的最小值为－2a－2
2
a－，最大值为
?
。
2
12
?
2
?2a?22a?(a?)
?
22
?
【注 】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。
换元过程 中一定要注意新的参数的范围（t∈[-
2
,
2
]）与sinx＋cosx对 应，否则将会出
错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位 置
关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与c osx的和、差、积等而求三角式的最大值
和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，si nxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化
为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
4(a?1)
2a
(a?1)
2
例4. 设对所于有实数x，不等式xlog
2
＋2x log
2
＋log
2
>0恒
2
a
a?1
4a
2
成立，求a的取值范围。 （87年全国理）

4(a?1)
2a
(a?1)
2
【分析】不等式中log
2
、 log
2
、log
2
三项有 何联系？进行对数
2
a
a?1
4a
式的有关变形后不难发现，再实施 换元法。
【解】 设log
2
4(a?1)
8(a?1)
2aa? 1
＝t，则log
2
＝log
2
＝3＋log
2
＝ 3－
a
2a
a?12a
2aa?1
(a?1)
2
l og
2
＝3－t，log
2
＝2log＝－2t，
2
2< br>a?12a
4a
代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t>0，它对一切实数 x恒成立，所以：
2
?
t?3
?
3?t?0
2a
，解得 ∴ t<0即log<0
?
?
2
2
a?1
t?0或t?6?
?
??4t?8t(3?t)?0
0<
2a
<1，解得0a?1
【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元 及如何设
4(a?1)
2a
(a?1)
2
元，关键是发现已知不等式 中log
2
、 log
2
、log
2
三项之间的联系。a
a?1
4a
2
在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外 ，本题还要求对数运算十分熟练。一
般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元 时也可能要对所给的已
知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的 一点。
x
sinθ
cos
2
θ
10
cosθsin
2
θ
例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。
2
22
2
x
y
x
y
3(x?y)
y
sin θ
cosθ
22222
【解】 设＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且s inθ＋cosθ＝k(x+y)
x
y
y
2
10k
2
x
2
10
k
2
x
2
k
2
y2
10
＝1,代入②式得：
2
＋ 即：
2
＋
2
＝
2
＝
22
＝
3< br>3
x
x
3(x?y)
y
y
1
x
3< br>x
2
1
设
2
＝t，则t＋＝
10
, 解得：t＝3或 ∴＝±
3
或±
t
3
3
y
3
y
x
sinθ
cos
2
θ
【另解】 由＝＝t gθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tgθ的
y
cosθ
x
2
式子：1＋tgθ＝
(1?tg
?
)?
4
2
10
1
3(1?
2
)
tg
?
＝
10
222
tgθ，设tgθ＝t，则3t—10t＋3＝0，
3
x
3
1
∴t＝3或， 解得＝±
3
或±。
3
3
y

sinθ
cosθ
【注】 第一种解 法由＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。
x
y
第二种解法将已知变形为
x
sinθ
＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种
ycosθ
解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
(x?1)
2
(y?1)
2
例6. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
9
16
(x?1)
2
(y?1)
2
22
【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋ b＝1有相似之处，于
9
16
是实施三角换元。
x?1
y?1(x?1)
2
(y?1)
2
【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ ，
3
4
9
16
?
x?1?3cosθ
即：
?
代入不等式x＋y－k>0得：
?
y??1?4sinθ
3cos θ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
所以k<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了 含参三角不等式恒
成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。 一般
地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有
关问题时，经常使用“三角换元法”。
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角 坐标系，不等式ax＋by
＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两 部分中含x轴正方向的一部分。
此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终
y
位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0
x
在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切

?
16(x?1)
2
?9(y?1)
2
?144

时，方程组
?
有相等的一组
x＋y－k>0
?
x?y?k?0
k 平面区域
实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原

不等式恒成立。

Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知f(x)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
A. 2lg2 B.
1
lg2 C.
2
lg2 D.
2
lg4
333
3
2. 函数y＝(x＋1)＋2的单调增区间是______。
4

A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
3. 设等差数列{a
n
}的公差d＝
1
，且S
100＝145，则a
1
＋a
3
＋a
5
＋……＋a
9 9
的值为_____。
2
A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5
4. 已知x＋4y＝4x，则x＋y的范围是_________________。
5. 已知a≥0， b≥0，a＋b＝1，则
a?
1
＋
b?
1
的范围是____ ________。
2
2
22
6. 不等式
x
>ax＋< br>3
的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
2
7. 函数y＝2x＋
x?1
的值域是________________。
8. 在等比 数列{a
n
}中，a
1
＋a
2
＋…＋a
10
＝2，a
11
＋a
12
＋…＋a
30
＝12，求a
31
＋a
32
＋…
＋a
60
。
9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不
y D C
10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线
A B

22
x＋y＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始
O x
终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。







等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
2