高中数学解题四大思想方法(数学)

思想方法一、函数与方程思想

方法1 构造函数关系，利用函数性质解题
根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数 性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通
过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方 程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。
232
3
5
2
5
2
5
例1 （10安徽） 设
a?(),b?(),c?(),
则
a,b,c
的大小关系是（ ）
555
A.a?c?b

B.a?b?cC.c?a?bD.b?c?a

例2 已知函数
f(x)?
1
2
x?ax?(a?1)lnx,a?1.

2
（1） 讨论函数
f(x)
的单调性；
（2） 证明：若
a?5,
则对任意
x
1
,x
2
?(0,??),x
1
?x
2
,有










方法2 选择主从变量，揭示函数关系
含有多 个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中
的函数 关系，再利用函数性质解题。
2
例3 对于满足
0?p?4
的实数
p
，使
x?px?4x?p?3
恒成立的
x
的取值范围是 .
f(x
1
)?f(x
2
)
??1.

x
1
?x
2


方法3 变函数为方程，求解函数性质
实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不 等式，我们知道，哪里有等式，
哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来 实现的……函数与方程是密切相关的。
列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点 考虑的。
例4 函数
f(x)?
sinx
(0?x?2
?
)
的值域是（ ）
5?4cosx
?
11
?
A.
?
?,
?
?
44
?


?
11
?
B.< br>?
?,
?
?
33
?
?
11
?
C.
?
?,
?
?
22
?
?
22
?
D.
?
?,
?
?
33
?

1

思想方法二、数形结合思想
方法1 函数与不等式问题中的数形结合 研究函数的性质可以借助于函数的图像，从函数图像上能直观地观察单调性、周期性、对称性等性质。不等式问题与函数的图像也有密切的联系，比如应用二次函数的图像解决一元二次不等式，就体现了数形结合的
思想方法。因此，解决不等式问题要常联系对应的函数图像，利用函数图像，直观地得到不等式的解集， 避免
复杂的运算。
?lgx,0?x?10,
例1 （10新课标全国卷）已知函数
f(x)?
?
若
a,b,c
互不相等，且
f(a)?f(b )?f(c),
则
abc
的
?
1
?x?6,x?10.?
?2
取值范围是（ ）
A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)

3x?6 ,x??2,
若不等式
f(x)?2x?m
恒成立，则实数
m
的取值 范围是 . 变式：函数
f(x)?
?
?
2
?
x?x?2,x??2.
方法2 解析几何中的数形结合
解析几何是用方程研究 曲线的问题，蕴含着丰富的数形结合思想，往往要先把题目中的几何语言转化为几
何图形，然后再结合这 种图形（一般为曲线）的几何特征，用代数语言即方程表现出来，从而用代数的方法解
决几何问题。
x
2
y
2
0
例2 已知双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的右焦点为
F
，若过点
F
且倾 斜角为
60
的直线与双曲线的右支有且
ab
只有一个交点，则此双曲线离心率 的取值范围是（ ）
A.(1,2]B.(1,2)C.[2,??)D.(2,??)

例3 已知P
为抛物线
y?
1
2
（2,0）
x
上的动点， 点
P
在
x
轴上的射影为
M
，点
A
的坐标为 ，则
PA?PM
的
4
最小值是 .
方法3 参数范围问题中的数形结合
如果参数具有明显的几何意义，那么可以考虑应用数形 结合思想解决问题。一般地，常见的对应关系有：
（1）
y?kx?b
中的
k
表示直线的 ，
b
表示直线在 轴上的 ；
（2）
b?n
表示连接
(a,b)
和
(m,n)
两点直线的 ；
a?m
22
（3）
(a?m)?(b ?n)
表示两点
(a,b)
和
(m,n)
之间的 ；
（4）导数
f
'
(x
0
)
表示曲线在点
(x
0
,f(x
0
))
处的 。
利用这些对应关系，由数想形，可以巧妙的利用几何法解决。
例4 若直线
y?kx ?1
与圆
x?y?1
交于
P、Q
两点，且
?POQ?120
（其中
O
为原点），则
k
的值为（ ）
220
A.?3或3B.3C.?2或2D.2

39
变式：直线< br>y?kx?3
与圆
(x?)
2
?(y?3)
2
?交于
M、N
两点，若
MN?
33
，则
k
的取值 范围值是（ ）
24
2
?
3
?
A.
?
?,0
?
?
4
?

?
33
?
B .
?
?,
?
33
??
?
C.
?
?
?3,3
?
?
2
?
D.
?
?,0
?
?
3
?
2

思想方法三、分类讨论思想
方法1 概念分类型
有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线的斜率、指数函数、对数 函数等，与这样的数学概念有关的
问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整得解决问题。
例1 若函数
f(x)?a
x
?x?a(a?0且a?1)
有两个零 点，则实数
a
的取值范围是

方法2 运算需要型
分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分母是否为0；解方程、不 等式中的恒等
变形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对 公差、公比限制条
件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论.
例2 设函数
f(x)?x?
3
9
2
x?6x?a
.
2
（1） 对于任意实数
x,f
'
(x)?m
恒成立，求
m
的最大值.
（2） 若方程
f(x)?0
有且仅有一个实数，求
a
的取值范围.







方法3 参数变化型
很多问题中参数的不同取值会对结果产生影响，因此，需要对参数的取值进行分类，常见的问题有：含参
不等式的求解；解析式中含有参数的函数的性质问题；含参二元二次方程表示的曲线类型；参数的几何意 义等.
例3 已知函数
f(x)?（x+ax?2a?3a）e(x?R),其中a?R.

（1） 当
a?0
时，求曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处 的切线方程；
（2） 讨论函数
f(x)
的单调性.














3
22x

思想方法四、转化与化归思想
方法1 抽象问题与具体问题化归
具体化原则，就是把一些抽象问题化归为具体问题，从而 解决问题.一般地，对于抽象函数、抽象数列等问
题，可以借助于熟悉的具体函数、数列等知识，探寻抽 象问题的规律，找到解决问题的突破口和方法.
例1 若定义在
R
上的函数
f(x)
满足：对任意
x
1
,x
2
?R
有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)?1
，则下列说法一定正
确的是（ ）
A.f(x)为奇函数B.f( x)为偶函数C.f(x)+1为奇函数D.f(x)+1为偶函数


方法2 一般问题与特殊问题化归
数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性.解题时，有时需要把一般问题化 归为特殊问题，有时需要把特
殊问题化归为一般问题.其解题模式是：首先设法使问题特殊（或一般）化 ，降低难度，然后解这个特殊（或一
般）性的问题，从而使原问题获解.
e
4
e
5
e
6
,,
（其中
e
为自然常数）的大小关系 是（ ） 例2
162536
e
4
e
5
e
6
A.??
162536
e
6
e
5
e
4
B.??
362516
e
5
e
4
e
6C.??
251636
e
6
e
4
e
5
D.??
361625


方法3 正向思维与逆向思维化归
逆 向思维能力是指从正向思维序列到逆向思维序列的转换能力.如果经常注意对问题的逆向思考，不仅可以
加深对可逆只是的理解，而且可以提高思维的灵活性.
例3 已知集合
A?yy?(a?a? 1)y?a(a?1)?0,A?yy?6y?8?0
，若
A?B?0
，则实数
a
的
取值范围为 .

方法4 命题与等价命题化归
有的命题若直接考虑，则显得无从下手，若把命题化归为他的 等价命题，往往柳暗花明.解题时要注意命题
与等价命题的转化，尤其是原命题与逆否命题的转化.
例4 设函数
f(x)?x
3
?3bx
2
?3cx
有两个极值点
x
1
、x
2
,且x
1
?
?< br>?1,0
?
,x
2
?
?
1,2
?
.

（1）求
b,c
满足的约束条件； （2）证明：
?10?f(x
2
)??.

?
222
??
2
?
1
2

4