高中数学数列中的数学思想方法

数列中的数学思想方法

数学思想方法的掌握和自觉运用可以使数学学习达到 更高境界。数列中蕴含了函数思
想、方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等重要 的数学思想，努力
用数学思想的高观点指导数列的学习，可以更深刻地理解知识，形成能力。
一、函数思想与数形结合思想
数列是定义在正整数集上的函数，等差、等比数列的通项公式和 前
n
项和公式是函数的
解析式，在函数的观点指导下可使许多问题的理解产生一个质的 飞跃。
例1．已知数列
?
a
n
?
是等差数列，数列
?
b
n
?
是等比数列，其公比
q?1
，且
bi
?0

（
i?1,2,3,?
），若
a
1< br>?b
1
，
a
11
?b
11
,则（ ）
(A)
a
6
?b
6

(B)
a
6
?b
6

(C)
a
6
?b
6

(D)
a< br>6
?b
6
或
a
6
?b
6

分析：（方法一）
q?1?b
1
?b
11
，
b
i< br>?0
，所以
a
6
?
a
1
?a
11< br>b
1
?b
11
??b
1
b
11
?b
6
2
?b
6
，选B
22
（方法二）等差数列是定 义在正整数集上的一次函数，等比
数列（
q?1
）时是定义在正整数集上的指数函数。 由
a
1
?b
1
，
a
11
?b
11
知两函数有两个交点如图，显然
a
6
?b
6
，而且当
1?n?11,n?N
时都有
a
n
?b
n
，当
n ?11
时，
a
n
?b
n

{b
n
}
都是公差为1的等差数列，例2．已知数列
{a
n
}
、其首项分别 为
a
1
、
b
1
，且
a
1
?b1
?5
，
a
1
,b
1
?N
*
．设
c
n
?a
b
n
（
n?N
*
） ，则数列
{c
n
}
的前10项和等于（ ）
A．55 B．70 C．85 D．100
分析：函数的本质是对应，对数列
{a< br>n
}
，
a
n
?f(n)?a
1
?n?1就是
n?a
1
?n?1
，
c
n
?a
b
n
?f(b
n
)
就是
b
n
?a
1
?b
n
?1
，将上述对应关系中的
n
整体代换成了
b
n
即可。
解：
a
n
?f(n)?a
1
?n?1,b
n
?g(n)?b
1
?n?1

所以，
c
n
?a
b
n
?f(b
n
)?a
1?b
n
?1?a
1
?b
1
?n?2?n?3

S
10
?
10(4?13)
?85

2



二、方程的思想

等差数列有两个基本量
a1
,d
，等比数列有两个基本量
a
1
,q
，等差与等比 数列的两个基
本问题
a
n
,S
n
都可以用两个基本量来表示 ，所以列出关于两个基本量的方程组来求解，这种
方法又可称为基本量法。
例3．在等比数列
?
a
n
?
中，如果
a
1
?a
2< br>?40，a
3
?a
4
?60，那么a
7
?a
8
?
（ ）
A．135 B．100 C．95 D．80
分析：以等比数列的首项
a
1
和公比
q
为基本量列方程组求解，适当运用整体思想可使运算
简化。
?< br>a
1
?a
1
q?40
3
2
解：
?< br>，
?q?
23
aq?aq?60
2
1
?
1< br>3
a
7
?a
8
?a
1
q
6
?a
1
q
7
?a
1
q
6
(1?q)?40 ?()
3
?135

2
注：本题当然可以用等比数列的性质求解，但方程的思想才是这类题的通法。
三、化归与转化思想

数列有等差、等比两种基本类型，其它数列常常化归为等差或等比数列的问题来解决。
例4． 已知数列｛
a
n
｝中，
a
1
?
1
在直线y =x上，其中n=1,2,3….
,点（n,2a
n?1
?a
n
）
2
(Ⅰ)令
b
n
?a
n?1
?a
n
?1,求证数列
?
b
n
?
是等比数列；

的通项；
(Ⅱ)求数列
?
a
n
?

Sn
?
?
T
n
?
、
(Ⅲ)设
S
n
、T
n
分别为数列
?
a
n
?
?
b
n
?
的前n项和,是否存在实数
?
，使得数列
?
??
为
n
??
等差数列？若存在，试求出
?
.若不存在,则 说明理由.
解：（I）由已知得
a
1
?
1
,2an?1
?a
n
?n,

2
1、用等比数列定义证明
2、瞄准目标(常数)
化异为同(转化)
约分得证
3313
a
2
?,a
2
?a
1
?1???1??,

4424
又
b
n
?a
n?1
?a
n
?1,
b
n?1
?a
n?2
?a
n?1
?1,

a
n?1
?(n?1)a
n
?na
n?1
?a
n
?1
?
b
n?1a
n?2
?a
n?1
?1
1
22
?
2
????.

b
n
a
n?1
?a
n
?1a
n?1
?a
n
?1a
n?1
?a
n
?12
?{b
n
}
是以
?
3
为首项，以
1
为公比的等比数列.
42

解：（II）由（I）知，
b< br>n
??
3
?(
1
)
n?1
??
3< br>?
1
n
,

4222
31
31
?a
n?1
?a
n
?1???
n
,
?a
2?a
1
?1???,

22
22
31
31a
3
?a
2
?1???
2
,
???????a
n
?a
n?1
?1???
n?1
,

22
22
一般数列问题
迭
加
转
化

将以上各式相加得：
3111
?a
n
?a
1
?( n?1)??(?
2
?????
n?1
),

222211
(1?
n?1
)
31313
2
?a
n?a
1
?n?1??
2
??(n?1)?(1?
n?1
)?
n
?n?2.
1
22222
1?
2
等差等比问 题

?a
n
?
3
?n?2.

2
n
n
（III）存在
?
?2
，使数列
{
S
n
?
?
T
n
}
是等差数列.
S
n
?a
1
?a
2
?????a
n
?3(
111
?
2
?????
n
)?(1?2?????n)?2n

1
222
一般数列求和
11
(1?
n
)
1n
2
?3n3n
2
?3n
n(n?1)
22
?3 (1?)?????3.

?3???2n
nn
2222
1
2
1?
2
31
?(1?
n
)
2
??
3
(1?
1
)??
3
?
3
.

T
n
?b
1
?b
2
?????b
n
?4
1
22
n
22
n?1
1?
2
分拆< br>组
项
等差等比求和
数列
{
S
n
?
?
T
n
}
是等差数列的充要条件是
n
即
S
n
?
?
T
n
?An
2
?Bn,

S
n
?
?
T
n
?An?B,(A
、
B是常数
)

n


2
2
又
S
n
?
?
T
n
??
3
?
n?3n< br>?3?
?
(?
3
?
3
)
?
n?3n
?3(1?
?
)(1?
1
n
)
.
nn? 1
2222
222
?
当且仅当
1?
?
?0
，即
?
?2
时，数列
{
S
n
?
?
T
n
}
为等差数列.
2n
注：函数迭代及数列递推是近年来高考数 学综合题的热点问题，考查了函数的性质及函数方
法在数列中的应用，体现了数列是特殊的函数的本质属 性。另外，迭代和递推又经常可以实
现一般数列向等差、等比数列的转化，深刻地考查了等价转化的数学 思想。
四、分类讨论思想
(q?1)
?
na
1
?
n
等比数列的前
n
项和公式
S
n
?
?
a
1
(1?q)
是分类给出的，应用时要注意对公比
(q?1)
??
1?q

q
是否为1进行讨论。另外，一般数列由
Sn
?a
n
的公式
a
n
?
?
给出的，要 注意对
n?1
的情况进行讨论。
例：已知数列
{a
n
}< br>是等差数列，且
a
1
?2,a
1
?a
2
?a
3
?12

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
n
（2）令
b
n
?a
n
x(x?R)
，求
{b
n}
的前
n
项和公式。
(n?1)
?
S
1也是分类
?
S
n
?S
n?1
(n?2)
分析： （1）用基本量法、方程的思想求解；（2）用错位相减法求和实现了从一般数列到等
比数列的化归，但 要对
x
进行分类讨论，当
x?0
时
{x}
不是等比数列；当
x?1
时单独求
和。
解：（1）易得由
a
n
?2n


（2）当
x?0
时，
b
n
?0
，所以
S
n
?0< br>；
当
x?1
时，
b
n
?a
n
?2 n
，所以
S
n
?
当
x?0且x?1
时，
n
n(2?2n)
?n
2
?n
；
2
分类讨论
S
n
?2x?4x
2
?6x
3
?
?
?
xS
n
?

23
2nx
n
nn?1
2x?4x?
?
?(2n?2)x?2nx
< br>两式相减得：
(1?x)S
n
?2(x?x?x???x)?2nx
2 3nn?1
2x(1?x
n
)
??2nx
n?1

错位
1?x
1
?
2x(1?x
n
)
n?1
?
?2nx
所以，
S
n
?
??

1?x
?
1?x
?
相减
实现
化归
注：有 人将等差与等比数列对应项相乘所得的数列称为等差比数列，用错位相减法求和。这
是课本上等比数列前
n
项各公式推导的思路，这种题在近年的高考中频繁出现。
高考考纲指出了高考命题 的能力立意，考查数学思想，倡导理性思维的指导思想。数学
思想方法的学习可以使我们有意识、自觉地 将数学知识转化为数学能力，最终通过自身的领
悟转化为创造性能力。因此，加强数学思想方法的学习和 领悟，是培养我们分析问题和解决
问题的能力的重要方法，是提高高考成绩的捷径。