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高中数学数形结合思想经典例题(含解析)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 16:47
tags:高中数学思想

高中数学公开课视频函数模型-瑶海区高中数学补习

2020年9月21日发(作者:水桓)



高中数学数形结合思想经典例题
一、选择题
1.已知函数f(x )=
?
?
?
3
x
,x≤0,
?
下列结论正 确的是(
?
log
2
x,x>0,
)
A.函数f(x)为奇函数 B.f(f(
11
4
))=
9

C.函数f(x)的图象关于直线y=x对称 D.函数f(x)在R上是增函数
2.已知二 次函数f(x)=ax
2
-(a+2)x+1(a∈Z),且函数f(x)在(-2,-1)上 恰有一个零点,则
不等式f(x)>1的解集为( )
A.(-∞,-1)∪(0,+∞) B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.(-1,0) D.(0,1)
3.函数f(x)=ln|x+cosx|的图象为( )



1




4.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数, 且f(2)=0,则不等式
f(x)-f(-x)
x
<0的解集为( )
A.(-2,0)∩(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)
?
x-y +2≥0,
5.实数x,y满足不等式组
?
?
2x-y-5≤0,
则 z=|x+2y-4|的最大值为( )
?
?
x+y-4≥0,
A.
215
5
B.21
C.20 D.25
6.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=k x.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根, 则实数k的取
值范围是( )
A.(0,
1
2
) B.(
1
2
,1)
C.(1,2) D.(2,+∞)
7.若实数x,y满足|x-3|≤y≤1,则z=
2x+y
x+y
的最小值为( )
A.
5
3
B.2
C.
3
5
D.
1
2

8. 设方程10
x
=|lg(-x)|的两个根分别为x
1
,x
2
,则( )
A.x
1
x
2
<0 B.x
1
x
2
=1
C.x
1
x
2
>1 D.01
x
2
<1
9.已知函数y=f(x)在(0,1)内 的一段图象是如图所示的一段曲线,若0<x
1
<x
2
<1,则( )

2




A.
f(x
1
)f(x
2

B.
f(x
1
)f(x
2

x
1

x
2

x
1

x
2

C.
f(x
1)f(x
x
1

2

x
2
D.不能确定
?
2x-y+2>0,
10.设关于x,y的不等式组
??
x+m<0,
表示的平面区域内存在点P(x
?
0
,y
0
),满足x
0
-2y
0
?
y-m>0
=2,求 m的取值范围是( )
A.(-∞,
4
3
) B.(-∞,
1
3
)
C.(-∞,-
2
3
) D.(-∞,-
5
3
)
11.在△ABC中,|AB

+ AC

|=|AB

-AC

|,AB=2,AC=1,E ,F为BC的三等分点,则AE

·AF

=( )
A.
8
9
B.
10
9

C.
25
D.
26
9

9

12.设函数f(x)=(x-a)
2
+(lnx
2
-2a)
2,其中x>0,a∈R,存在x
0
使得f(x
0
)≤
4
5
成立,则实数a
的值为( )
A.
1
5
B.
2
5

C.
1
2
D.1
13 .已知抛物线C:y
2
=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个 交

3



点,若

FP=4FQ

,则|QF|=( )
A.
7
2
B.
5
2

C.3 D.2
14.已知双曲线C:
x
2
a
-4y
2
= 1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于
3
2
4
,抛物线E:y2

2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,则抛物线E上的动点M到直线l
1< br>:4x-3y+6=0和l
2

x=-1的距离之和的最小值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题
15.已知函数y =
|x
2
-1|
x-1
的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交 点,则实数k的取值范围是
__________.
16.已知f(x)是定义域为R的偶函 数,当x≥0时,f(x)=x
2
-4x.那么,不等式f(x+2)<5的解集
是_ _______.
?
x+2y-3≤0,
17.已知变量x,y满足约束条件
?
?
x+3y-3≥0,
则F(x,y)=log
?
2
( y+1)+log
1
(x+1)的最小值
?
y-1≤0,
2
为________.
18.已知直线y=x-2与圆x
2
+y
2
-4x+3=0及抛物线y
2
=8x的四个交点从上面依次为A,B,
C,D四点,则 |AB|+|CD|=________.
19.已知函数f(x)=
?
?
?
-x
2
+2x,x≤0,
?
若|f(x)|≥ax,则a的取值范 围是______.
?
ln(x+1),x>0.
20.已知函数f(x)=
?
?
?
|x|,x≤m,
?
?
x
2
-2 mx+4m,x>m,
其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b
有三个不同 的根,则m的取值范围是________.



高中数学数形结合思想经典例题解析
一、选择题
1.已知函数f(x)=
?
?
?
3
x
,x≤0,
?
下列结论正确的是
?
log
( )
2
x,x>0,

4



A.函数f(x)为奇函数 B.f(f(
11
4
))=
9

C.函数f(x)的图象关于直线y=x对称 D.函数f(x)在R上是增函数
【答案】 B
【解析】 作出函数f(x)的图象,如图所示,可知A,C,D均错.f(f(
1
4
))=3log
2
1
4
=3

2
=< br>1
9
,故
B正确.

2.已知二次函数f(x)=ax2
-(a+2)x+1(a∈Z),且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,则
不等式f(x)>1的解集为( )
A.(-∞,-1)∪(0,+∞) B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.(-1,0) D.(0,1)
【答案】 C
【解析】 ∵f(x)=ax
2
-(a+2)x+1,Δ=(a+2)
2-4a=a
2
+4>0,
∴函数f(x)=ax
2
-(a+2)x+1必有两个不同的零点.
又∵f(x)在(-2,-1)上有一个零点,则f(-2)f(-1)<0,
∴(6a+5 )(2a+3)<0,解得-
35
2
6
.
又∵a∈Z,∴a=-1.
不等式f(x)>1,即-x
2
-x>0.解得-13.函数f(x)=ln|x+cosx|的图象为( )

5






【答案】 A
【解析】 因为f(0)=ln|cos0|=0,故排除C,D;又f(1)=ln|1+cos1|>ln 1=0,故排
除B,选A.
4.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(2) =0,则不等式
f(x)-f(-x)
x
<0的解集为( )
A.(-2,0)∩(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)
【答案】 D
【解析】 由已知条件可以画出函数f(x)的草图,如图所示.由函数f(x)
为奇函数可化 简不等式
f(x)-f(-x)
x
<0为
2f(x)
x
<0 .若x>0,则需
有f(x)<0,结合图象可知00,结合图 象可知

6



-2?
x-y+ 2≥0,
5.实数x,y满足不等式组
?
?
2x-y-5≤0,
则z =|x+2y-4|的最大值为( )
?
?
x+y-4≥0,
A.
215
5
B.21
C.20 D.25
【答案】 B
【解析】 作出不等式组表示的 平面区域,如下图中阴影部分所示.z=|x+2y-4|=
|x+2y-4|
5
·5 ,即其几何含义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的5倍.


?< br>?
?
x-y+2=0,
?
得B点坐标为(7,9),显然点B到直线x +
?
2x-y-5=0,
2y-4=0的距离最大,此时z
max
= 21.
6.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个 不相等的实根, 则实数k的取
值范围是( )
A.(0,
1
2
) B.(
1
2
,1)
C.(1,2) D.(2,+∞)
【答案】 B
【解析】 在同一坐标系中 分别画出函数f(x),g(x)的图象如图所示,方程f(x)=g(x)有两个不
相等的实根等价于 两个函数的图象有两个不同的交点,结合图象可知,当直线y=kx的斜率大
于坐标原点与点(2,1) 连线的斜率且小于直线y=x-1的斜率时符合题意,故
1
2

7




7.若实数x,y满足|x-3|≤y≤1,则z=
2x+y
x+y
的最小值为( )
A.
5
3
B.2
C.
3
5
D.
1
2

【答案】 A
?
x+y-3≥0,
【解析】 依题意,得实数x,y满足< br>?
?
x-y-3≤0,
画出可行域如图阴
?
?
0≤y ≤1,
2+
y
影部分所示,其中A(3,0),C(2,1),z=
x
=1+
1
∈[
5
1+
yy3
,2],故
x
1+
x
选A.
8.设方程10
x
=|lg(-x)|的两个根分 别为x
1
,x
2
,则( )
A.x
1
x
2
<0 B.x
1
x
2
=1
C.x
1
x
2
>1 D.01
x
2
<1
【答案】 D
【解析】 本题考 查函数的性质.在同一坐标系下,画出函数y=10
x
与y=|lg(-x)|的图象,
结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点横坐标属于
(-∞,-1),另一个交点横坐 标属于(-1,0),即在x
1
,x
2
中,其中一个属于(-∞,-1),另
一个属于(-1,0),不妨设x
1
∈(-∞,-1),x
2
∈(- 1,0),则有10x
1
=|lg(-x
1
)|=lg(-x
1),10x
2
=|lg(-x
2
)|=-lg(-x
2
),10x
1
-10x
2
=lg(-x
1
)+lg(-x< br>2
)=lg(x
1
x
2
)<0,01
x
2
<1,故选D.
9.已知函数y=f(x)在(0,1)内的一段图象是如图所示 的一段曲线,若0<x
1
<x
2
<1,则( )

8




A.
f(x
1
)f(
x
1

x
2

x
2
B.
f(x
1
)f(x
2

x
1

x
2
< br>C.
f(x
1
)f(x
2

x
1

x
2
D.不能确定
【答案】 C
【解析】 如图,设曲线上两 点P
1
(x
1
,f(x
1
)),P
2
(x
2
,f(x
2
)),kOP
1

f(x
1
)-0f(
x

x
1

,kOP
f(x< br>2
)-0f(x
2

1
-0
x
1
2

x

2
-0
x
2
,由于0<x
1
<x
2
<1,根据斜率与倾斜角之间的关系,显然有kOP
1
>k OP
2
,即
f(x
1
)f(x
2

x1

x
2
,故选C.
?
10.设关于x,y的不等式 组
?
2x-y+2>0,
?
x+m<0,
表示的平面区域内存在点P (x
?
0
,y
0
),满足x
0
-2y
0< br>?
y-m>0
=2,求m的取值范围是( )
A.(-∞,
4
3
) B.(-∞,
1
3
)
C.(-∞,-
2
3
) D.(-∞,-
5
3
)
【答案】 C
【解析】 作出不等式组所表示的平面区域,根据题设条件分析求解.
当m≥0时,若平面区域存在,则平面区域 内的点在第二象限,平面区
域内不可能存在点P(x
0
,y
0
)满足 x
0
-2y
0
=2,因此m<0.
如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.
要使可行域内包含y=
1
2
x-1上的点,只需可行域边界点(-m,m)在直线y=

9



1
2
x-1的下方即可,即m<-
1
2< br>m-1,解得m<-
2
3
.
11.在△ABC中,|AB

+AC

|=|AB

-AC

|,AB=2,A C=1,E,F为BC的三等分点,则AE

·AF

=( )
A.
8
9
B.
10
9

C.
25
9
D.
26
9

【答案】 B
【解析】 由|AB

+AC

|=|AB

-AC

|,化简得AB

·AC

=0,又因
为 AB和AC为三角形的两条边,不可能为0,所以AB

与AC


直,所以△ABC为直角三角形.以AC为x轴,以AB为y轴建
立平面直角坐标系,如图所示,则A( 0,0),B(0,2),C(1,0),
由E,F为BC的三等分点知E(
2214

2
3

3
),F(
3

3
), 所以AE=(
3

2
→→
2124
3
),AF
=(
1
3

4
3
),所以AE·AF=10
3
×
3

3
×
3

9< br>.
12.设函数f(x)=(x-a)
2
+(lnx
2
-2 a)
2
,其中x>0,a∈R,存在x
0
使得f(x
0
)≤
4
5
成立,则实数a
的值为( )
A.
1
5
B.
2
5

C.
1
2
D.1
【答案】 A
【解析】 (x- a)
2
+(lnx
2
-2a)
2
表示点P(x,lnx2
)与点Q(a,2a)距离的平方.
而点P在曲线g(x)=2lnx上,点Q(a,2a)在直线y=2x上.
因为g′(x) =
22
x
,且y=2x表示斜率为2的直线,所以由
x
=2,解得x =1.
从而曲线g(x)=2lnx在x=1处的切线方程为y=2(x-1),又直线y=2(x- 1)与直线y=2x平行,
且它们间的距离为
22
2
2
+(-1)< br>2

5
5
,如图所示.

10




故|PQ|的最小值为
25
5
即f(x)=(x-a)
2
+(lnx
2
-2a)
2
的 最小值为(
25
5
)
2

4
5
,当|PQ |最小时,P点的坐标为(1,0),所以
2a-0
a-1
×2=-1,解得a=1
5
.
13.已知抛物线C:y
2
=8x的焦点为F,准线为 l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交
点,若

FP=4FQ
,则|QF|=( )
A.
7
2
B.
5
2

C.3 D.2
【答案】 C
【解析】 利用

FP=4FQ

转化长度关系,再利用抛物线定义求解.


FP=4FQ


∴|FP

|=4|FQ

|.

|PQ||PF|

3
4
.如图,过Q作QQ′⊥l,垂足为Q′,设l与x轴的 交点为A,
则|AF|=4.

|PQ|
|PF|

|Q Q′|
|AF|

3
4
.∴|QQ′|=3.
根据抛物线定义可知|QQ′|=|QF|=3,故选C.
14.已知双曲线C:
x
2
a
-4y
2
=1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于< br>3
2
4
,抛物线E:y
2

2px的焦点与双曲线C 的右焦点重合,则抛物线E上的动点M到直线l
1
:4x-3y+6=0和l
2


11



x=-1的距离之和的最小值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】 B
【解析】 x
2
a
2
-4y
2
=1的右顶点坐标为(a,0),一 条渐近线为
x-2ay=0.由点到直线的距离公式得d=
|a|
1
2+4a
2

3
4
,解得a=
3
2
或a =
-3
2
(舍去),故双曲线的方程为
4x
2
3
- 4y
2
=1.因为c=
3
4

1
4
=1, 故双曲线的右焦点为(1,0),即抛物线的焦点为(1,0),所以p
=2,x=-1是抛物线的准线 ,如图,作MA⊥l
1
于点A,MB⊥l
2

点B,设抛物线的焦点 为F,连接MF,则由抛物线的定义知|MB|=|MF|,当M,A,F三点共
线时,距离之和最小, 其最小值是点F到l
1
的距离,由点到直线的距离公式可得d
1

| 4+6|
(-3)
2
+4
2

10
5
=2 ,即距离之和的最小值为2,选B.
二、填空题
15.已知函数y=
|x
2
-1|
x-1
的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围 是
__________.
【答案】 (0,1)∪(1,4)
【解析】 根据绝对值的意义,
y=
|x
2
-1|
?
x+1,x>1 或x<-1,
x-1

?
?
?
?
-x-1,-1≤ x<1.

在直角坐标系中作出该函数的图象,如下图中实线所示.根据图象可知,当0时有两个交点.

12



16.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x
2
-4x.那么, 不等式f(x+2)<5的解集
是________.
【答案】 (-7,3)
【解析】 当x≥0时,f(x)=x
2
-4x<5的解集为[0,5),又f(x) 为偶函数,所以f(x)<5的解集为
(-5,5).所以f(x+2)<5的解集为(-7,3).
?
x+2y-3≤0,
17.已知变量x,y满足约束条件
?
?x+3y-3≥0,
则F(x,y)=log
?
2
(y+1)+log< br>1
(x+1)的最小值
?
y-1≤0,
2
为________ .
【答案】 -2
【解析】 F(x,y)=loglog
1
(x+1) =log
y+1y+1
2
(y+1)+
2
(y+1)-log
2
(x+1)=log
2
2
x+1
,令k=
x+1

y-(-1)
x-(-1)
,则k表示可行域内(如图所示)的点与P(-1,- 1)所在直线的斜率.

13




18.已知直 线y=x-2与圆x
2
+y
2
-4x+3=0及抛物线y
2
=8x的四个交点从上面依次为A,B,
C,D四点,则|AB|+|CD|=________.
【答案】 14
【解析】 如图所示,圆的方程可化为(x-2)
2
+y< br>2
=1,抛物线的焦点F(2,0),准线x=-2.


?
?
?
y=x-2,
?
?
y
2
=8x,
得 x
2
-12x+4=0,设直线与抛物线交于A(x
A
,y
A
),D(x
D
,y
D
),则x
A
+x
D
=12.
|AB|+|CD|=(|AF|-|BF|)+(|DF|-|CF|)=(|AF|-1 )+(|DF|-1)=|AF|+|DF|-2,由抛物线的定义
得|AF|=x
A
+2,|DF|=x
D
+2,故|AB|+|CD|=(|AF|+|DF|)-2=x
A
+x
D
+2=14.
19.已知函数f(x)=
?
?
?
-x
2
+2x,x≤0,
?
若|f(x)|≥ax,则a 的取值范围是______.
?
ln(x+1),x>0.
【答案】 [-2,0]
【解析】 画出函数|f(x)|的图象,数形结合求解.

14




作出函数y=|f(x)|的图象,如图,
当|f(x)|≥ax时,必有k≤a≤0,
其中k是y=x
2
-2x(x≤0)在原点处的切线斜率,显然,k=-2.
∴a的取值范围是[-2,0].
20.已知函数f(x)=
?
?
?
|x|,x≤m,
?
?
x
2
-2mx+4m,x>m,< br>其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b
有三个不同的根,则m的取值范围是 ________.
【答案】 (3,+∞)
【解析】 f(x)=
?
?
?
|x|,x≤m,
2
当x>m时,f(x)=x
2
-2m x+4m=(x-m)
2
+4m-m
2
?
?
x-2mx+4 m,x>m,

其顶点为(m,4m-m
2
);当x≤m时,函数f(x)的 图象与直线x
=m的交点为Q(m,m).①当
?
?
?
m>0,< br>?
4m-m
2
≥m,
即0?
直线y=b与函数f(x) 的图象有一个或两个不同的交点,不符合题意;②当?
?
?
4m-m
2
?

?m>0,
m>3时,函数f(x)的图象如图2所示,则存在实数b满足4m-m
2
f(x)的图象有三个不同的交点,符合题意.综上,m的取值范围 为(3,+∞).

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