高中数学数形结合思想经典例题(含解析)

高中数学数形结合思想经典例题
一、选择题
1．已知函数f(x )＝
?
?
?
3
x
，x≤0，
?
下列结论正 确的是(
?
log
2
x，x>0，
)
A．函数f(x)为奇函数 B．f(f(
11
4
))＝
9

C．函数f(x)的图象关于直线y＝x对称 D．函数f(x)在R上是增函数
2．已知二 次函数f(x)＝ax
2
－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上 恰有一个零点，则
不等式f(x)>1的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．(－1，0) D．(0，1)
3．函数f(x)＝ln|x＋cosx|的图象为( )



1

4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数， 且f(2)＝0，则不等式
f（x）－f（－x）
x
<0的解集为( )
A．(－2，0)∩(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2)
?
x－y ＋2≥0，
5．实数x，y满足不等式组
?
?
2x－y－5≤0，
则 z＝|x＋2y－4|的最大值为( )
?
?
x＋y－4≥0，
A.
215
5
B．21
C．20 D．25
6．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝k x.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根， 则实数k的取
值范围是( )
A．(0，
1
2
) B．(
1
2
，1)
C．(1，2) D．(2，＋∞)
7．若实数x，y满足|x－3|≤y≤1，则z＝
2x＋y
x＋y
的最小值为( )
A.
5
3
B．2
C.
3
5
D.
1
2

8． 设方程10
x
＝|lg(－x)|的两个根分别为x
1
，x
2
，则( )
A．x
1
x
2
<0 B．x
1
x
2
＝1
C．x
1
x
2
>1 D．01
x
2
<1
9．已知函数y＝f(x)在(0，1)内 的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x
1
＜x
2
＜1，则( )

2

A.
f（x
1
）f（x
2
）
B.
f（x
1
）f（x
2
）
x
1
＜
x
2

x
1
＝
x
2

C.
f（x
1）f（x
x
1
＞
2
）
x
2
D．不能确定
?
2x－y＋2>0，
10．设关于x，y的不等式组
??
x＋m<0，
表示的平面区域内存在点P(x
?
0
，y
0
)，满足x
0
－2y
0
?
y－m>0
＝2，求 m的取值范围是( )
A．(－∞，
4
3
) B．(－∞，
1
3
)
C．(－∞，－
2
3
) D．(－∞，－
5
3
)
11．在△ABC中，|AB
→
＋ AC
→
|＝|AB
→
－AC
→
|，AB＝2，AC＝1，E ，F为BC的三等分点，则AE
→
·AF
→
＝( )
A.
8
9
B.
10
9

C.
25
D.
26
9

9

12．设函数f(x)＝(x－a)
2
＋(lnx
2
－2a)
2，其中x>0，a∈R，存在x
0
使得f(x
0
)≤
4
5
成立，则实数a
的值为( )
A.
1
5
B.
2
5

C.
1
2
D．1
13 ．已知抛物线C：y
2
＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个 交

3

点，若
→
FP＝4FQ
→
，则|QF|＝( )
A.
7
2
B.
5
2

C．3 D．2
14．已知双曲线C：
x
2
a
－4y
2
＝ 1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于
3
2
4
，抛物线E：y2
＝
2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l
1< br>：4x－3y＋6＝0和l
2
：
x＝－1的距离之和的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题
15．已知函数y ＝
|x
2
－1|
x－1
的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交 点，则实数k的取值范围是
__________．
16．已知f(x)是定义域为R的偶函 数，当x≥0时，f(x)＝x
2
－4x.那么，不等式f(x＋2)<5的解集
是_ _______．
?
x＋2y－3≤0，
17．已知变量x，y满足约束条件
?
?
x＋3y－3≥0，
则F(x，y)＝log
?
2
( y＋1)＋log
1
(x＋1)的最小值
?
y－1≤0，
2
为________．
18．已知直线y＝x－2与圆x
2
＋y
2
－4x＋3＝0及抛物线y
2
＝8x的四个交点从上面依次为A，B，
C，D四点，则 |AB|＋|CD|＝________．
19．已知函数f(x)＝
?
?
?
－x
2
＋2x，x≤0，
?
若|f(x)|≥ax，则a的取值范 围是______．
?
ln（x＋1），x>0.
20．已知函数f(x)＝
?
?
?
|x|，x≤m，
?
?
x
2
－2 mx＋4m，x>m，
其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b
有三个不同 的根，则m的取值范围是________．



高中数学数形结合思想经典例题解析
一、选择题
1．已知函数f(x)＝
?
?
?
3
x
，x≤0，
?
下列结论正确的是
?
log
( )
2
x，x>0，

4

A．函数f(x)为奇函数 B．f(f(
11
4
))＝
9

C．函数f(x)的图象关于直线y＝x对称 D．函数f(x)在R上是增函数
【答案】 B
【解析】 作出函数f(x)的图象，如图所示，可知A，C，D均错．f(f(
1
4
))＝3log
2
1
4
＝3
－
2
＝< br>1
9
，故
B正确．

2．已知二次函数f(x)＝ax2
－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则
不等式f(x)>1的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．(－1，0) D．(0，1)
【答案】 C
【解析】 ∵f(x)＝ax
2
－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)
2－4a＝a
2
＋4>0，
∴函数f(x)＝ax
2
－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点．
又∵f(x)在(－2，－1)上有一个零点，则f(－2)f(－1)<0，
∴(6a＋5 )(2a＋3)<0，解得－
35
2
6
.
又∵a∈Z，∴a＝－1.
不等式f(x)>1，即－x
2
－x>0.解得－13．函数f(x)＝ln|x＋cosx|的图象为( )

5

【答案】 A
【解析】 因为f(0)＝ln|cos0|＝0，故排除C，D；又f(1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排
除B，选A.
4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2) ＝0，则不等式
f（x）－f（－x）
x
<0的解集为( )
A．(－2，0)∩(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2)
【答案】 D
【解析】 由已知条件可以画出函数f(x)的草图，如图所示．由函数f(x)
为奇函数可化 简不等式
f（x）－f（－x）
x
<0为
2f（x）
x
<0 .若x>0，则需
有f(x)<0，结合图象可知00，结合图 象可知

6

－2?
x－y＋ 2≥0，
5．实数x，y满足不等式组
?
?
2x－y－5≤0，
则z ＝|x＋2y－4|的最大值为( )
?
?
x＋y－4≥0，
A.
215
5
B．21
C．20 D．25
【答案】 B
【解析】 作出不等式组表示的 平面区域，如下图中阴影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝
|x＋2y－4|
5
·5 ，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的5倍．

由
?< br>?
?
x－y＋2＝0，
?
得B点坐标为(7，9)，显然点B到直线x ＋
?
2x－y－5＝0，
2y－4＝0的距离最大，此时z
max
＝ 21.
6．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个 不相等的实根， 则实数k的取
值范围是( )
A．(0，
1
2
) B．(
1
2
，1)
C．(1，2) D．(2，＋∞)
【答案】 B
【解析】 在同一坐标系中 分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不
相等的实根等价于 两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y＝kx的斜率大
于坐标原点与点(2，1) 连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故
1
2

7

7．若实数x，y满足|x－3|≤y≤1，则z＝
2x＋y
x＋y
的最小值为( )
A.
5
3
B．2
C.
3
5
D.
1
2

【答案】 A
?
x＋y－3≥0，
【解析】 依题意，得实数x，y满足< br>?
?
x－y－3≤0，
画出可行域如图阴
?
?
0≤y ≤1，
2＋
y
影部分所示，其中A(3，0)，C(2，1)，z＝
x
＝1＋
1
∈[
5
1＋
yy3
，2]，故
x
1＋
x
选A.
8．设方程10
x
＝|lg(－x)|的两个根分 别为x
1
，x
2
，则( )
A．x
1
x
2
<0 B．x
1
x
2
＝1
C．x
1
x
2
>1 D．01
x
2
<1
【答案】 D
【解析】 本题考 查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y＝10
x
与y＝|lg(－x)|的图象，
结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于
(－∞，－1)，另一个交点横坐 标属于(－1，0)，即在x
1
，x
2
中，其中一个属于(－∞，－1)，另
一个属于(－1，0)，不妨设x
1
∈(－∞，－1)，x
2
∈(－ 1，0)，则有10x
1
＝|lg(－x
1
)|＝lg(－x
1)，10x
2
＝|lg(－x
2
)|＝－lg(－x
2
)，10x
1
－10x
2
＝lg(－x
1
)＋lg(－x< br>2
)＝lg(x
1
x
2
)<0，01
x
2
<1，故选D.
9．已知函数y＝f(x)在(0，1)内的一段图象是如图所示 的一段曲线，若0＜x
1
＜x
2
＜1，则( )

8

A.
f（x
1
）f（
x
1
＜
x
2
）
x
2
B.
f（x
1
）f（x
2
）
x
1
＝
x
2
< br>C.
f（x
1
）f（x
2
）
x
1
＞
x
2
D．不能确定
【答案】 C
【解析】 如图，设曲线上两 点P
1
(x
1
，f(x
1
))，P
2
(x
2
，f(x
2
))，kOP
1
＝
f（x
1
）－0f（
x
＝
x
1
）
，kOP
f（x< br>2
）－0f（x
2
）
1
－0
x
1
2
＝
x
＝
2
－0
x
2
，由于0＜x
1
＜x
2
＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP
1
＞k OP
2
，即
f（x
1
）f（x
2
）
x1
＞
x
2
，故选C.
?
10．设关于x，y的不等式 组
?
2x－y＋2>0，
?
x＋m<0，
表示的平面区域内存在点P (x
?
0
，y
0
)，满足x
0
－2y
0< br>?
y－m>0
＝2，求m的取值范围是( )
A．(－∞，
4
3
) B．(－∞，
1
3
)
C．(－∞，－
2
3
) D．(－∞，－
5
3
)
【答案】 C
【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解．
当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域 内的点在第二象限，平面区
域内不可能存在点P(x
0
，y
0
)满足 x
0
－2y
0
＝2，因此m<0.
如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．
要使可行域内包含y＝
1
2
x－1上的点，只需可行域边界点(－m，m)在直线y＝

9

1
2
x－1的下方即可，即m<－
1
2< br>m－1，解得m<－
2
3
.
11．在△ABC中，|AB
→
＋AC
→
|＝|AB
→
－AC
→
|，AB＝2，A C＝1，E，F为BC的三等分点，则AE
→
·AF
→
＝( )
A.
8
9
B.
10
9

C.
25
9
D.
26
9

【答案】 B
【解析】 由|AB
→
＋AC
→
|＝|AB
→
－AC
→
|，化简得AB
→
·AC
→
＝0，又因
为 AB和AC为三角形的两条边，不可能为0，所以AB
→
与AC
→
垂
直，所以△ABC为直角三角形．以AC为x轴，以AB为y轴建
立平面直角坐标系，如图所示，则A( 0，0)，B(0，2)，C(1，0)，
由E，F为BC的三等分点知E(
2214
→
2
3
，
3
)，F(
3
，
3
)， 所以AE＝(
3
，
2
→→
2124
3
)，AF→
＝(
1
3
，
4
3
)，所以AE·AF＝10
3
×
3
＋
3
×
3
＝
9< br>.
12．设函数f(x)＝(x－a)
2
＋(lnx
2
－2 a)
2
，其中x>0，a∈R，存在x
0
使得f(x
0
)≤
4
5
成立，则实数a
的值为( )
A.
1
5
B.
2
5

C.
1
2
D．1
【答案】 A
【解析】 (x－ a)
2
＋(lnx
2
－2a)
2
表示点P(x，lnx2
)与点Q(a，2a)距离的平方．
而点P在曲线g(x)＝2lnx上，点Q(a，2a)在直线y＝2x上．
因为g′(x) ＝
22
x
，且y＝2x表示斜率为2的直线，所以由
x
＝2，解得x ＝1.
从而曲线g(x)＝2lnx在x＝1处的切线方程为y＝2(x－1)，又直线y＝2(x－ 1)与直线y＝2x平行，
且它们间的距离为
22
2
2
＋（－1）< br>2
＝
5
5
，如图所示．

10

故|PQ|的最小值为
25
5
， 即f(x)＝(x－a)
2
＋(lnx
2
－2a)
2
的 最小值为(
25
5
)
2
＝
4
5
，当|PQ |最小时，P点的坐标为(1，0)，所以
2a－0
a－1
×2＝－1，解得a＝1
5
.
13．已知抛物线C：y
2
＝8x的焦点为F，准线为 l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交
点，若
→
FP＝4FQ
→，则|QF|＝( )
A.
7
2
B.
5
2

C．3 D．2
【答案】 C
【解析】 利用
→
FP＝4FQ
→
转化长度关系，再利用抛物线定义求解．
∵
→
FP＝4FQ
→
，
∴|FP
→
|＝4|FQ
→
|.
∴
|PQ||PF|
＝
3
4
.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的 交点为A，
则|AF|＝4.
∴
|PQ|
|PF|
＝
|Q Q′|
|AF|
＝
3
4
.∴|QQ′|＝3.
根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C.
14．已知双曲线C：
x
2
a
－4y
2
＝1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于< br>3
2
4
，抛物线E：y
2
＝
2px的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l
1
：4x－3y＋6＝0和l
2
：

11

x＝－1的距离之和的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】 B
【解析】 x
2
a
2
－4y
2
＝1的右顶点坐标为(a，0)，一 条渐近线为
x－2ay＝0.由点到直线的距离公式得d＝
|a|
1
2＋4a
2
＝
3
4
，解得a＝
3
2
或a ＝
－3
2
(舍去)，故双曲线的方程为
4x
2
3
－ 4y
2
＝1.因为c＝
3
4
＋
1
4
＝1， 故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p
＝2，x＝－1是抛物线的准线 ，如图，作MA⊥l
1
于点A，MB⊥l
2
于
点B，设抛物线的焦点 为F，连接MF，则由抛物线的定义知|MB|＝|MF|，当M，A，F三点共
线时，距离之和最小， 其最小值是点F到l
1
的距离，由点到直线的距离公式可得d
1
＝
| 4＋6|
（－3）
2
＋4
2
＝
10
5
＝2 ，即距离之和的最小值为2，选B.
二、填空题
15．已知函数y＝
|x
2
－1|
x－1
的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围 是
__________．
【答案】 (0，1)∪(1，4)
【解析】 根据绝对值的意义，
y＝
|x
2
－1|
?
x＋1，x>1 或x<－1，
x－1
＝
?
?
?
?
－x－1，－1≤ x<1.

在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0时有两个交点．

12

16．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x
2
－4x.那么， 不等式f(x＋2)<5的解集
是________．
【答案】 (－7，3)
【解析】 当x≥0时，f(x)＝x
2
－4x<5的解集为[0，5)，又f(x) 为偶函数，所以f(x)<5的解集为
(－5，5)．所以f(x＋2)<5的解集为(－7，3)．
?
x＋2y－3≤0，
17．已知变量x，y满足约束条件
?
?x＋3y－3≥0，
则F(x，y)＝log
?
2
(y＋1)＋log< br>1
(x＋1)的最小值
?
y－1≤0，
2
为________ ．
【答案】 －2
【解析】 F(x，y)＝loglog
1
(x＋1) ＝log
y＋1y＋1
2
(y＋1)＋
2
(y＋1)－log
2
(x＋1)＝log
2
2
x＋1
，令k＝
x＋1
＝
y－（－1）
x－（－1）
，则k表示可行域内(如图所示)的点与P(－1，－ 1)所在直线的斜率．

13

18．已知直 线y＝x－2与圆x
2
＋y
2
－4x＋3＝0及抛物线y
2
＝8x的四个交点从上面依次为A，B，
C，D四点，则|AB|＋|CD|＝________．
【答案】 14
【解析】 如图所示，圆的方程可化为(x－2)
2
＋y< br>2
＝1，抛物线的焦点F(2，0)，准线x＝－2.

由
?
?
?
y＝x－2，
?
?
y
2
＝8x，
得 x
2
－12x＋4＝0，设直线与抛物线交于A(x
A
，y
A
)，D(x
D
，y
D
)，则x
A
＋x
D
＝12.
|AB|＋|CD|＝(|AF|－|BF|)＋(|DF|－|CF|)＝(|AF|－1 )＋(|DF|－1)＝|AF|＋|DF|－2，由抛物线的定义
得|AF|＝x
A
＋2，|DF|＝x
D
＋2，故|AB|＋|CD|＝(|AF|＋|DF|)－2＝x
A
＋x
D
＋2＝14.
19．已知函数f(x)＝
?
?
?
－x
2
＋2x，x≤0，
?
若|f(x)|≥ax，则a 的取值范围是______．
?
ln（x＋1），x>0.
【答案】 [－2，0]
【解析】 画出函数|f(x)|的图象，数形结合求解．

14

作出函数y＝|f(x)|的图象，如图，
当|f(x)|≥ax时，必有k≤a≤0，
其中k是y＝x
2
－2x(x≤0)在原点处的切线斜率，显然，k＝－2.
∴a的取值范围是[－2，0]．
20．已知函数f(x)＝
?
?
?
|x|，x≤m，
?
?
x
2
－2mx＋4m，x>m，< br>其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b
有三个不同的根，则m的取值范围是 ________．
【答案】 (3，＋∞)
【解析】 f(x)＝
?
?
?
|x|，x≤m，
2
当x>m时，f(x)＝x
2
－2m x＋4m＝(x－m)
2
＋4m－m
2
?
?
x－2mx＋4 m，x>m，
，
其顶点为(m，4m－m
2
)；当x≤m时，函数f(x)的 图象与直线x
＝m的交点为Q(m，m)．①当
?
?
?
m>0，< br>?
4m－m
2
≥m，
即0?
直线y＝b与函数f(x) 的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当?
?
?
4m－m
2
?
即
?m>0，
m>3时，函数f(x)的图象如图2所示，则存在实数b满足4m－m
2
f(x)的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，m的取值范围 为(3，＋∞)．

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