高中数学解题思想方法(分类讨论思想方法)

九、分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分 类，并逐类求解，然后综合求解，这就
是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有 关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻
辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以 在高考试题中占有重要的位置。
分类原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次，不越级讨论。
分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体 → 确定分类标准，正确进行分类 → 逐步进行讨论，获取
阶段性结果 → 归纳小结，综合得出结论。
Ⅰ、再现性题组：
1. 集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A
?
B，那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 02. 若a>0且a≠1，p＝log
a
(a＋a＋1)，q＝log
a
(a＋a＋1)，则p、q的大小关系是____ _。
A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当03. 函数y＝
sinx
＋cosx
＋
tgx
＋
|ctgx|
的值域是_________ 。
32
|sinx|
|cosx|
|tgx|
ctgx
4. 若θ∈(0,
π
)，则
lim
cos
n
θ?sin
n
θ
的值为_____。
n→∞
cos
n
θ＋sin
n
θ
2
A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1
5. 函数y＝x＋
1
的值域是_____。
x
A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2]
6. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。
A.
8
9
3
B.
4
9
3
C.
2
9
3
D.
4
9
3
或
8
9
3

7. 过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定
Ⅱ、示范性题组：
例1. 设00且a≠1，比较|log
a
(1－x)|与|log
a
(1＋x)|的大小。
【分析】 对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。
【解】 ∵ 01
① 当0a
(1－x )|－|log
a
(1＋x)|＝log
a
(1－x)－[－log
a
(1＋x)]＝log
a
(1－x)>0;
② 当a>1时，|log
a
(1－x)|－|log
a
(1＋x)|＝…
由①、②可知，…
例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试 求同时满足下面两个条件的集合C
的个数： ①. C
?
A∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ 。
【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。
并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
【解】 C
12
·C
8
＋C
12
·C
8
＋C
12
·C
8
＝1084
【另解】（排除法）：

【注】本题是“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是正确分类，达到分类完整及每 类互斥的
要求。并且要确定C中元素如何取法。
例3. 设{a
n
}是由正数组成的等比数列，S
n
是前n项和。 ①. 证明：
是否存在常数c>0，使得
1
2
2
2
1
3
0
lgS
n
?lgS
n?2
n?1
②.
2
lg(S
n
?c)?lg(S
n?2
?c)
＝lg（S－c）成立？并证明结论。(xx全国理)
n?1
2
【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。

【解】 设公比q，则a
1
>0，q>0
①． …





②. 要使
2
lg(S
n
?c)?lg(S< br>n?2
?c)
＝lg（S－c）成立，则必有(S－c)(S
nn?2
－c)＝(S
n?1
－c),
n?1
2
分两种情况讨论如下：
当q＝1时，S
n
＝na
1
，则
(S
n
－c)(S
n?2
－c)－(S
n?1
－c)＝(na
1
－ c)[(n＋2)a
1
－c]－[(n＋1)a
1
－c]＝－a
1< br><0
nn
n?2
2
当q≠1时，S
n
＝
a
1
(1?q)
，则(S
n
－c)(S
n?2
－c) －(S
n?1
－c)＝[
a
1
(1?q)
－c][
a
1
(1?q)
－
222
1?q1?q
1?q
c ]－[
a
1
(1?q
n?1
1?q
)
－c]
2
＝－aq
n
[a－c(1－q)]
11
1?q
n
∵ a
1
q≠0 ∴ a
1
－c(1－q)＝0即c＝
a
1

n
而Sn
－c＝S
n
－
a
1
＝－
a
1
q
<0 ∴对数式无意义
1?q
1?q
由上综述，不存在常数c>0, 使得
lg(S
n?c)?lg(S
n?2
?c)
＝lg（S－c）成立。
n?1
2
【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为 ：证明
log
0.5
S
n
?log
0.5
S
n?2
>logS 。
0.5
n?1
2
例1、例2、例3属于涉 及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给
出的，我们解决时按要求进 行分类。（概念、性质型）
例4. 设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足10，求实数a的取值范围。
【分析】 含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题，先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的< br>位置进行分类讨论。（也属数形结合法）

2
1
）
2
＋2－
1

aa
?1
?
1
?
1
1??4
?
≤1
?
∴
a
或
?
或
?
a
≥4

a< br>??
?
11
?
f()＝2??0
?
?
f(1 )＝a?2?2≥0
?
?
f(4)＝16a?8?2≥0
?
a
?
a
11
∴ a≥1或；
22< br>?
f(1)＝a?2?2≥0
当a<0时，
?
，解得φ；
?
f(4)＝16a?8?2≥0
【解】当a>0时，f(x)＝a（x－
当a＝0时， f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意
由上而得，实数a的取值范围是a>
例5. 解不等式


1 4 x




1 4 x

1
。
2
(x?4a)(x?6a)
>0 (a为常数，a≠－
1
)
2a?12

【分析】 含参不等式 ，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对a>0、a＝0、－
1
2
a<－
1
分别加以讨论。
2
【解】 2a＋1>0时，a〉－
1
； －4a<6a时，a>0 。 所以分以下四种情况讨论：
2
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x>0，解得：x≠0；
当－
1
0，解得: x<6a或x>－4a；
2
2
当a>－
1
时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a2
综上所述，……
【注】 含参问题，结合参数的意义及对结果的影响而分类讨论。（含参型）
例6. 设a≥0,在复数集C中，解方程：z＋2|z|＝a 。 (90年全国高考)
【解】 ∵ z∈R，由z＋2|z|＝a得：z∈R； ∴ z为实数或纯虚数
当z∈R时，|z|＋2|z|＝a,解得：|z|＝－1＋
1?a
∴ z＝±(－1＋
1?a
)；
当z为纯虚数时，设z＝±yｉ (y>0)， ∴ －y＋2y＝a 解得：y＝1±
1?a
（0≤a≤1）
由上可得，z＝±(－1＋
1?a
)或±(1±
1?a
)ｉ
【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖
掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。 （简化型）
2
2
22
2
?
x
2
?y
2
?2x
2
?y
2< br>?a
22
【另解】 设z＝x＋yｉ，代入得 x－y＋2
x
2
?y
2
＋2xyｉ＝a； ∴
?

?
?
?
2xy?0
当y＝0时，…






例7. 在xoy平面上给定曲线y＝2x，设点A(a,0)，a∈ R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，
求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40）
【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函 数在约束条件x≥0下的
最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。
【解】 设M(x,y)为曲线y＝2x上任意一点，则
|MA|＝(x－a)＋y＝(x－a)＋2x＝x－ 2(a－1)x＋a＝[x－(a－1)]＋(2a－1)
由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：
当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即 |MA}
当a－1<0时，x＝0取最小值，即|MA}
2
min
2
2
2222222
2
2
＝a；
min
＝2a－1； 2
(a≥1时)
?
综上所述，有f(a)＝
?
2a?1
。
?
|a|
(a?1时)
Ⅲ、巩固性题组：
1. 若log
a
2
<1，则a的取值范围是_____。
3

333
2. 非零实数a、b、c，则
a
＋
b
＋
c
＋
abc
的值组成的集合是_____。
|a||b||c||abc|
A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,0,4}
3. f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常数，下列结论正确的是_____。
A.当x＝2a时有最小值0 B.当x＝3a时有最大值0
C.无最大值，且无最小值 D.有最小值但无最大值
A. (0,
2
) B. (
2
,1) C. (0,
2
)∪(1,+∞) D. (
2
,+∞)
3
4. 设f
1
(x,y)＝0是椭圆方程，f
2
(x,y )＝0是直线方程，则方程f
1
(x,y)＋λf
2
(x,y)＝0 （λ∈R）
表示的曲线是_____。
A.只能是椭圆 B.椭圆或直线 C.椭圆或一点 D.还有上述外的其它情况
5. 函数f(x)＝ax－2ax＋2＋b (a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a、b的值为_____。
A. a＝1,b＝0 B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3
C. a＝－1，b＝3 D. 以上答案均不正确
6.方程(x－x－1)＝1的整数解的个数是_____。
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
7. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
8. z∈C，方程z－3|z|＋2＝0的解的个数是_____。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 复数z＝a＋aｉ (a≠0)的辐角主值是______________。
10.解关于x的不等式： 2log
a
2
(2x－1)>log
a
(x－a) (a>0且a≠1)






11.设首项为1，公比为q (q>0)的等比数列的前n项和为S
n
，又设Tn
＝
S
n
，求
lim
T
n
。
2
2
2
x?2
2
S
n?1
n→∞




12. 若复数z、z、z在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|＝2，求z 。




13. 有卡片9张，将0、1、2、…、8这9个数字分别写在每张 卡片上。现从中任取3张排成三位数，
若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。

14. 函数f(x)＝(|m|－1)x－2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个公共点，求参数 m的值及交点坐标。
2
23