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高中数学解题思想方法(分类讨论思想方法)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 16:48
tags:高中数学思想

数学学科知识高中数学-高中数学教师招聘试讲内容

2020年9月21日发(作者:靳明甫)


九、分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时,有时会有多种情况,对各种情况加以分 类,并逐类求解,然后综合求解,这就
是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想。有 关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻
辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以 在高考试题中占有重要的位置。
分类原则:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复、分层次,不越级讨论。
分类方法:明确讨论对象,确定对象的全体 → 确定分类标准,正确进行分类 → 逐步进行讨论,获取
阶段性结果 → 归纳小结,综合得出结论。
Ⅰ、再现性题组:
1. 集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x||x-3|≤a,x∈R},若A
?
B,那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 02. 若a>0且a≠1,p=log
a
(a+a+1),q=log
a
(a+a+1),则p、q的大小关系是____ _。
A. p=q B. pq D.当a>1时,p>q;当03. 函数y=
sinx
cosx

tgx

|ctgx|
的值域是_________ 。
32
|sinx|
|cosx|
|tgx|
ctgx
4. 若θ∈(0,
π
),则
lim
cos
n
θ?sin
n
θ
的值为_____。
n→∞
cos
n
θ+sin
n
θ
2
A. 1或-1 B. 0或-1 C. 0或1 D. 0或1或-1
5. 函数y=x+
1
的值域是_____。
x
A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2]
6. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形,则它的体积为_____。
A.
8
9
3
B.
4
9
3
C.
2
9
3
D.
4
9
3

8
9
3

7. 过点P(2,3),且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
A. 3x-2y=0 B. x+y-5=0 C. 3x-2y=0或x+y-5=0 D.不能确定
Ⅱ、示范性题组:
例1. 设00且a≠1,比较|log
a
(1-x)|与|log
a
(1+x)|的大小。
【分析】 对数函数的性质与底数a有关,而分两类讨论。
【解】 ∵ 01
① 当0a
(1-x )|-|log
a
(1+x)|=log
a
(1-x)-[-log
a
(1+x)]=log
a
(1-x)>0;
② 当a>1时,|log
a
(1-x)|-|log
a
(1+x)|=…
由①、②可知,…
例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试 求同时满足下面两个条件的集合C
的个数: ①. C
?
A∪B且C中含有3个元素; ②. C∩A≠φ 。
【分析】 由已知并结合集合的概念,C中的元素分两类:①属于A 元素;②不属于A而属于B的元素。
并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
【解】 C
12
·C
8
+C
12
·C
8
+C
12
·C
8
=1084
【另解】(排除法):

【注】本题是“包含与排除”的基本问题,正确地解题的前提是正确分类,达到分类完整及每 类互斥的
要求。并且要确定C中元素如何取法。
例3. 设{a
n
}是由正数组成的等比数列,S
n
是前n项和。 ①. 证明:
是否存在常数c>0,使得
1
2
2
2
1
3
0
lgS
n
?lgS
n?2
n?1
②.
2
lg(S
n
?c)?lg(S
n?2
?c)
=lg(S-c)成立?并证明结论。(xx全国理)
n?1
2
【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形;再应用比较法而求解。


【解】 设公比q,则a
1
>0,q>0
①. …





②. 要使
2
lg(S
n
?c)?lg(S< br>n?2
?c)
=lg(S-c)成立,则必有(S-c)(S
nn?2
-c)=(S
n?1
-c),
n?1
2
分两种情况讨论如下:
当q=1时,S
n
=na
1
,则
(S
n
-c)(S
n?2
-c)-(S
n?1
-c)=(na
1
- c)[(n+2)a
1
-c]-[(n+1)a
1
-c]=-a
1< br><0
nn
n?2
2
当q≠1时,S
n

a
1
(1?q)
,则(S
n
-c)(S
n?2
-c) -(S
n?1
-c)=[
a
1
(1?q)
-c][
a
1
(1?q)

222
1?q1?q
1?q
c ]-[
a
1
(1?q
n?1
1?q
)
-c]
2
=-aq
n
[a-c(1-q)]
11
1?q
n
∵ a
1
q≠0 ∴ a
1
-c(1-q)=0即c=
a
1

n
而Sn
-c=S
n

a
1
=-
a
1
q
<0 ∴对数式无意义
1?q
1?q
由上综述,不存在常数c>0, 使得
lg(S
n?c)?lg(S
n?2
?c)
=lg(S-c)成立。
n?1
2
【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为 :证明
log
0.5
S
n
?log
0.5
S
n?2
>logS 。
0.5
n?1
2
例1、例2、例3属于涉 及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给
出的,我们解决时按要求进 行分类。(概念、性质型)
例4. 设函数f(x)=ax-2x+2,对于满足10,求实数a的取值范围。
【分析】 含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题,先对开口方向讨论,再对其抛物线对称轴的< br>位置进行分类讨论。(也属数形结合法)

2
1

2
+2-
1

aa
?1
?
1
?
1
1??4
?
≤1
?

a

?

?
a
≥4

a< br>??
?
11
?
f()=2??0
?
?
f(1 )=a?2?2≥0
?
?
f(4)=16a?8?2≥0
?
a
?
a
11
∴ a≥1或
22< br>?
f(1)=a?2?2≥0
当a<0时,
?
,解得φ;
?
f(4)=16a?8?2≥0
【解】当a>0时,f(x)=a(x-
当a=0时, f(x)=-2x+2, f(1)=0,f(4)=-6, ∴不合题意
由上而得,实数a的取值范围是a>
例5. 解不等式


1 4 x




1 4 x

1

2
(x?4a)(x?6a)
>0 (a为常数,a≠-
1
)
2a?12


【分析】 含参不等式 ,参数a决定了2a+1的符号和两根-4a、6a的大小,故对a>0、a=0、-
1
2
a<-
1
分别加以讨论。
2
【解】 2a+1>0时,a〉-
1
; -4a<6a时,a>0 。 所以分以下四种情况讨论:
2
当a>0时,(x+4a)(x-6a)>0,解得:x<-4a或x>6a;
当a=0时,x>0,解得:x≠0;
当-
1
0,解得: x<6a或x>-4a;
2
2
当a>-
1
时,(x+4a)(x-6a)<0,解得: 6a2
综上所述,……
【注】 含参问题,结合参数的意义及对结果的影响而分类讨论。(含参型)
例6. 设a≥0,在复数集C中,解方程:z+2|z|=a 。 (90年全国高考)
【解】 ∵ z∈R,由z+2|z|=a得:z∈R; ∴ z为实数或纯虚数
当z∈R时,|z|+2|z|=a,解得:|z|=-1+
1?a
∴ z=±(-1+
1?a
);
当z为纯虚数时,设z=±yi (y>0), ∴ -y+2y=a 解得:y=1±
1?a
(0≤a≤1)
由上可得,z=±(-1+
1?a
)或±(1±
1?a
)i
【注】本题用标准解法(设z=x+yi再代入原式得到一个方程组,再解方程组)过程十分繁难,而挖
掘隐含,对z分两类讨论则简化了数学问题。 (简化型)
2
2
22
2
?
x
2
?y
2
?2x
2
?y
2< br>?a
22
【另解】 设z=x+yi,代入得 x-y+2
x
2
?y
2
+2xyi=a; ∴
?

?
?
?
2xy?0
当y=0时,…






例7. 在xoy平面上给定曲线y=2x,设点A(a,0),a∈ R,曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a),
求f(a)的函数表达式。 (本题难度0.40)
【分析】 求两点间距离的最小值问题,先用公式建立目标函数,转化为二次函 数在约束条件x≥0下的
最小值问题,而引起对参数a的取值讨论。
【解】 设M(x,y)为曲线y=2x上任意一点,则
|MA|=(x-a)+y=(x-a)+2x=x- 2(a-1)x+a=[x-(a-1)]+(2a-1)
由于y=2x限定x≥0,所以分以下情况讨论:
当a-1≥0时,x=a-1取最小值,即 |MA}
当a-1<0时,x=0取最小值,即|MA}
2
min
2
2
2222222
2
2
=a;
min
=2a-1; 2
(a≥1时)
?
综上所述,有f(a)=
?
2a?1

?
|a|
(a?1时)
Ⅲ、巩固性题组:
1. 若log
a
2
<1,则a的取值范围是_____。
3


333
2. 非零实数a、b、c,则
a

b

c

abc
的值组成的集合是_____。
|a||b||c||abc|
A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,0,4}
3. f(x)=(a-x)|3a-x|,a是正常数,下列结论正确的是_____。
A.当x=2a时有最小值0 B.当x=3a时有最大值0
C.无最大值,且无最小值 D.有最小值但无最大值
A. (0,
2
) B. (
2
,1) C. (0,
2
)∪(1,+∞) D. (
2
,+∞)
3
4. 设f
1
(x,y)=0是椭圆方程,f
2
(x,y )=0是直线方程,则方程f
1
(x,y)+λf
2
(x,y)=0 (λ∈R)
表示的曲线是_____。
A.只能是椭圆 B.椭圆或直线 C.椭圆或一点 D.还有上述外的其它情况
5. 函数f(x)=ax-2ax+2+b (a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5,最小值2,则a、b的值为_____。
A. a=1,b=0 B. a=1,b=0或a=-1,b=3
C. a=-1,b=3 D. 以上答案均不正确
6.方程(x-x-1)=1的整数解的个数是_____。
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
7. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
8. z∈C,方程z-3|z|+2=0的解的个数是_____。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 复数z=a+ai (a≠0)的辐角主值是______________。
10.解关于x的不等式: 2log
a
2
(2x-1)>log
a
(x-a) (a>0且a≠1)






11.设首项为1,公比为q (q>0)的等比数列的前n项和为S
n
,又设Tn

S
n
,求
lim
T
n

2
2
2
x?2
2
S
n?1
n→∞




12. 若复数z、z、z在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形,且|z|=2,求z 。




13. 有卡片9张,将0、1、2、…、8这9个数字分别写在每张 卡片上。现从中任取3张排成三位数,
若6可以当作9用,问可组成多少个不同的三位数。

14. 函数f(x)=(|m|-1)x-2(m+1)x-1的图像与x轴只有一个公共点,求参数 m的值及交点坐标。
2
23

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